Đề thi cuối kì 1 Toán 12 năm 2025-2026 THPT Nguyễn Thượng Hiền (TP.HCM) có đáp án

Dựa vào đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ trên đoạn $\left[ {0;3} \right]$ ở hình vẽ:

Điểm cao nhất của đồ thị trên đoạn $\left[ {0;3} \right]$ là điểm có tọa độ $\left( {0;2} \right)$.

Do đó, giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $\left[ {0;3} \right]$ là $\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;3} \right]} f\left( x \right) = 2$.

Chọn C.

Quan sát đồ thị ta thấy:

Đồ thị có nhánh cuối cùng đi xuống khi $x \to + \infty$, suy ra hệ số của ${x^3}$ phải âm ($a < 0$). Loại đáp án B.

Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ âm, từ các phương án ta thấy các hàm số đều giao trục tung tại $\left( {0; - 1} \right)$.

Đồ thị có hai điểm cực trị là điểm cực tiểu $\left( { - 1;3} \right)$ và điểm cực đại $\left( {1;1} \right)$.

Ta kiểm tra tọa độ điểm cực đại $\left( {1;1} \right)$ vào các hàm số còn lại:

Với đáp án A: $y\left( 1 \right) = - {1^3} + 3 \cdot 1 - 1 = 1$ (Thỏa mãn).

Kiểm tra thêm điểm cực tiểu $y\left( { - 1} \right) = - {\left( { - 1} \right)^3} + 3 \cdot \left( { - 1} \right) - 1 = 1 - 3 - 1 = - 3$ (Thỏa mãn).

Với đáp án C: $y\left( 1 \right) = - \frac{1}{3} + 1 - 1 = - \frac{1}{3} \ne 1$.

Với đáp án D: $y\left( 1 \right) = - 2 + 6 - 1 = 3 \ne 1$.

Chọn A.

Khoảng tứ phân vị ${{\rm{\Delta }}_Q} = {Q_3} - {Q_1}$ đo mức độ phân tán của nửa giữa của mẫu số liệu. Khoảng tứ phân vị càng nhỏ thì số liệu càng đồng đều (tập trung gần trung vị).

Lớp 12B1: Tổng số học sinh $n = 7 + 3 + 15 + 12 + 4 = 41$.

Tứ phân vị thứ nhất ${Q_1}$ thuộc nhóm $\left[ {7;8} \right)$. Ta có ${Q_1} = 7 + \frac{{\frac{{41}}{4} - 10}}{{15}} \times 1 = \frac{{421}}{{60}}$.

Tứ phân vị thứ ba ${Q_3}$ thuộc nhóm $\left[ {8;9} \right)$. Ta có ${Q_1} = 8 + \frac{{3 \cdot \frac{{41}}{4} - 25}}{{12}} \times 1 = \frac{{407}}{{48}}$.

Do đó ${{\rm{\Delta }}_Q} = {Q_3} - {Q_1} = \frac{{407}}{{48}} - \frac{{421}}{{60}} = \frac{{117}}{{80}} = 1{,}4625$.

Lớp 12B2: Tổng số học sinh $n = 5 + 9 + 12 + 11 + 3 = 40$.

Vị trí tìm ${Q_1}$ là $10$, thuộc nhóm $\left[ {6;7} \right)$. Công thức ghép nhóm: ${Q_1} = 6 + \frac{{10 - 5}}{9} \times 1 = \frac{{59}}{9}$.

Vị trí tìm ${Q_3}$ là $30$, thuộc nhóm $\left[ {8;9} \right)$. Công thức ghép nhóm: ${Q_3} = 8 + \frac{{30 - 26}}{{11}} \times 1 = \frac{{92}}{{11}}$.

${{\rm{\Delta }}_Q} = \frac{{92}}{{11}} - \frac{{59}}{9} \approx 1{,}81$.

Lớp 12B3: Tổng số học sinh $n = 10 + 10 + 9 + 6 + 1 = 36$.

Vị trí tìm ${Q_1}$ là $9$, thuộc nhóm $\left[ {5;6} \right)$. Ta có ${Q_1} = 5 + \frac{{9 - 0}}{{10}} \times 1 = 5{,}9$.

Vị trí tìm ${Q_3}$ là $27$, thuộc nhóm $\left[ {7;8} \right)$. Ta có ${Q_3} = 7 + \frac{{27 - 20}}{9} \times 1 = \frac{{70}}{9}$.

${{\rm{\Delta }}_Q} = \frac{{70}}{9} - 5{,}9 = \frac{{169}}{{90}} \approx 1{,}88$.

Lớp 12B4: Tổng số học sinh $n = 14 + 3 + 15 + 9 + 1 = 42$.

Vị trí tìm ${Q_1}$ là $10{,}5$, thuộc nhóm $\left[ {5;6} \right)$. Ta có ${Q_1} = 5 + \frac{{10{,}5 - 0}}{{14}} \times 1 = 5{,}75$.

Vị trí tìm ${Q_3}$ là $31{,}5$, thuộc nhóm $\left[ {7;8} \right)$. Ta có ${Q_3} = 7 + \frac{{14{,}5}}{{15}} \times 1 \approx 7{,}97$.

${{\rm{\Delta }}_Q} \approx 7{,}97 - 5{,}75 \approx 2{,}22$.

So sánh khoảng tứ phân vị của 4 lớp, ta thấy lớp 12B1 có khoảng tứ phân vị bé nhất, vì vậy số điểm của lớp 12B1 đồng đều nhất.

Chọn B.

Áp dụng công thức tính cosin góc giữa hai vectơ trong không gian: $\cos \left( {\vec u,\vec v} \right) = \frac{{\vec u \cdot \vec v}}{{\left| {\vec u} \right| \cdot \left| {\vec v} \right|}}$.

Ta có:

Tích vô hướng: $\vec u \cdot \vec v = 1 \cdot 2 + \left( { - 3} \right) \cdot 1 + 2 \cdot 1 = 2 - 3 + 2 = 1$.

Độ dài vectơ $\vec u$: $\left| {\vec u} \right| = \sqrt {{1^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2} + {2^2}} = \sqrt {1 + 9 + 4} = \sqrt {14}$.

Độ dài vectơ $\vec v$: $\left| {\vec v} \right| = \sqrt {{2^2} + {1^2} + {1^2}} = \sqrt {4 + 1 + 1} = \sqrt 6$.

Suy ra: $\cos \left( {\vec u,\vec v} \right) = \frac{1}{{\sqrt {14} \cdot \sqrt 6 }} = \frac{1}{{\sqrt {84} }} = \frac{1}{{2\sqrt {21} }} = \frac{{\sqrt {21} }}{{42}}$.

Chọn D.

Ta có $AB = \sqrt {{{\left( {3 - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 3 - \left( { - 1} \right)} \right)}^2} + {{\left( {1 - 4} \right)}^2}}$$= \sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} = \sqrt {1 + 4 + 9} = \sqrt {14}$.

Chọn C.

Hàm số phân thức bậc nhất trên bậc nhất $y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}$ có:

Đường tiệm cận đứng là $x = - \frac{d}{c} = - \frac{3}{4}$.

Đường tiệm cận ngang là $y = \frac{a}{c} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

Tâm đối xứng $I$ của đồ thị hàm số chính là giao điểm của hai đường tiệm cận. Do đó, tọa độ tâm đối xứng là $I\left( { - \frac{3}{4};\frac{1}{2}} \right)$.

Chọn D.

Ta có $y = \frac{{2{x^2} - 3x + 3}}{{x - 1}} = 2x - 1 + \frac{2}{{x - 1}}$.

Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{2}{{x - 1}} = 0$, nên đường thẳng $y = 2x - 1$ chính là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Chọn B.

Ta có đạo hàm: $y' = 3{x^2} - 12x$.

Để tìm điểm cực trị, ta giải phương trình $y' = 0$: $3{x^2} - 12x = 0 \Leftrightarrow 3x\left( {x - 4} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{{x_1} = 0}\\{{x_2} = 4}\end{array}} \right.$.

Hàm số bậc ba có hai điểm cực trị phân biệt là ${x_1} = 0$ và ${x_2} = 4$.

Giá trị tổng hai điểm cực trị thu được là: ${x_1} + {x_2} = 0 + 4 = 4$.

(Hoặc có thể áp dụng ngay định lý Vi-ét cho phương trình bậc hai $y' = 0$: ${x_1} + {x_2} = - \frac{{ - 12}}{3} = 4$).

Chọn B.

Trước hết, ta tính giá trị trung tâm ${x_i}$ của từng nhóm số liệu:

Nhóm $\left[ {10{,}5;12{,}5} \right)$: ${x_1} = 11{,}5$, số học sinh ${n_1} = 3$.

Nhóm $\left[ {12{,}5;14{,}5} \right)$: ${x_2} = 13{,}5$, số học sinh ${n_2} = 12$.

Nhóm $\left[ {14{,}5;16{,}5} \right)$: ${x_3} = 15{,}5$, số học sinh ${n_3} = 15$.

Nhóm $\left[ {16{,}5;18{,}5} \right)$: ${x_4} = 17{,}5$, số học sinh ${n_4} = 24$.

Nhóm $\left[ {18{,}5;20{,}5} \right)$: ${x_5} = 19{,}5$, số học sinh ${n_5} = 2$.

Tổng số học sinh là: $N = 3 + 12 + 15 + 24 + 2 = 56$.

Số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$\bar x = \frac{{3 \cdot 11{,}5 + 12 \cdot 13{,}5 + 15 \cdot 15{,}5 + 24 \cdot 17{,}5 + 2 \cdot 19{,}5}}{{56}} = \frac{{34{,}5 + 162 + 232{,}5 + 420 + 39}}{{56}} = \frac{{888}}{{56}} = \frac{{111}}{7}$.

Do đó phương sai bằng:

${s^2} = \frac{1}{{56}}\left[ {3 \cdot {{\left( {11{,}5} \right)}^2} + 12 \cdot {{\left( {13{,}5} \right)}^2} + 15 \cdot {{\left( {15{,}5} \right)}^2} + 24 \cdot {{\left( {17{,}5} \right)}^2} + 2 \cdot {{\left( {19{,}5} \right)}^2}} \right] - {\left( {\frac{{111}}{7}} \right)^2} \approx 3{,}87$.

Chọn D.

Vì $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$, theo tính chất trọng tâm ta luôn có với mọi điểm $S$ trong không gian:

$\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \vec 0$$\Leftrightarrow \left( {\overrightarrow {SA} - \overrightarrow {SG} } \right) + \left( {\overrightarrow {SB} - \overrightarrow {SG} } \right) + \left( {\overrightarrow {SC} - \overrightarrow {SG} } \right) = \vec 0$

$\Leftrightarrow \overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SC} = 3\overrightarrow {SG} \Leftrightarrow \overrightarrow {SG} = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SC} } \right)$.

Chọn B.

Nhìn vào đồ thị ở hình vẽ:

- Đồ thị có đường tiệm cận đứng là $x = 1$. Cả 4 đáp án đều có mẫu số là $x - 1$ nên thỏa mãn tiệm cận đứng $x = 1$.

- Tiệm cận xiên của đồ thị là $y = - x + 2$ (đường thẳng đi qua hai điểm $\left( {0;2} \right)$ và $\left( {2;0} \right)$).

Thử tính cho đáp án B: $y = \frac{{ - {x^2} + 3x - 3}}{{x - 1}} = - x + 2 - \frac{1}{{x - 1}}$.

Tiệm cận xiên là $y = - x + 2$.

Đạo hàm của hàm số: $y' = - 1 + \frac{1}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \frac{{1 - {{\left( {x - 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \frac{{ - {x^2} + 2x}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}$.

$y' = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = 2$.

Với $x = 0 \Rightarrow y = 3$, xét dấu đạo hàm ta thấy $\left( {0;3} \right)$ là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số, điều này hoàn toàn trùng khớp với đồ thị có đỉnh lõm hướng lên tại $\left( {0;3} \right)$.

Với $x = 2 \Rightarrow y = - 1$, xét dấu đạo hàm ta thấy $\left( {2; - 1} \right)$ là điểm cực đại của đồ thị hàm số, điều này hoàn toàn trùng khớp với đồ thị có đỉnh lõm hướng xuống tại $\left( {2; - 1} \right)$.

Chọn B.

Hàm số đã cho xác định và liên tục trên đoạn $\left[ {2;3} \right]$.

Ta tính đạo hàm: $y' = \frac{{3\left( {x + 1} \right) - 1\left( {3x - 2} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \frac{{3x + 3 - 3x + 2}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \frac{5}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} > 0,\forall x \in \left[ {2;3} \right]$.

Vì $y' > 0$ nên hàm số đồng biến trên đoạn $\left[ {2;3} \right]$.

Do đó, giá trị nhỏ nhất của hàm số đạt được tại đầu mút $x = 2$: $\mathop {\min }\limits_{\left[ {2;3} \right]} y = y\left( 2 \right) = \frac{{3 \cdot 2 - 2}}{{2 + 1}} = \frac{{6 - 2}}{3} = \frac{4}{3}$.

Chọn C.

a) Sai. Lớp 12A có điểm nằm trong các nhóm từ $\left[ {6;7} \right)$ đến $\left[ {9;10} \right)$. Khoảng biến thiên dựa trên các nhóm có tần số lớn hơn 0 là từ giá trị nhỏ nhất có thể $6$ đến giá trị lớn nhất $10$, độ dài là $10 - 6 = 4$.

Lớp 12B có điểm nằm trong các nhóm từ $\left[ {5;6} \right)$ đến $\left[ {8;9} \right)$. Khoảng biến thiên là $9 - 5 = 4$. Khoảng biến thiên của hai lớp bằng nhau, nên không thể kết luận lớp 12A phân tán hơn chỉ dựa vào khoảng biến thiên.

b) Đúng. Tính khoảng tứ phân vị lớp 12A: Tổng số học sinh $n = 0 + 2 + 6 + 12 + 10 = 30$.

Vị trí tìm ${Q_1}$ là $\frac{{30}}{4} = 7{,}5$. Nhóm chứa ${Q_1}$ là nhóm $\left[ {7;8} \right)$ vì tích lũy đến nhóm này là $2 + 6 = 8$.

Ta có: ${Q_1} = 7 + \frac{{7{,}5 - 2}}{6} \times 1 \approx 7{,}917$.

Vị trí tìm ${Q_3}$ là $3 \times 7{,}5 = 22{,}5$. Nhóm chứa ${Q_3}$ là nhóm $\left[ {9;10} \right)$. Ta có: ${Q_3} = 9 + \frac{{22{,}5 - 20}}{{10}} \times 1 = 9{,}25$.

Khoảng tứ phân vị lớp 12A: ${{\rm{\Delta }}_{{Q_A}}} = {Q_3} - {Q_1} \approx 9{,}25 - 7{,}917 = 1{,}333 > 1$.

c) Sai. Tính khoảng tứ phân vị lớp 12B: Tổng số học sinh $n' = 2 + 12 + 10 + 6 + 0 = 30$.

Vị trí tìm ${Q_1}^\prime$ là $7{,}5$, thuộc nhóm $\left[ {6;7} \right)$. Ta có ${Q_1}^\prime = 6 + \frac{{7{,}5 - 2}}{{12}} \times 1 \approx 6{,}458$.

Vị trí tìm ${Q_3}^\prime$ là $22{,}5$, thuộc nhóm $\left[ {7;8} \right)$. Ta có ${Q_3}^\prime = 7 + \frac{{22{,}5 - 14}}{{10}} \times 1 = 7{,}85$.

Khoảng tứ phân vị lớp 12B: ${{\rm{\Delta }}_{{Q_B}}} \approx 7{,}85 - 6{,}458 = 1{,}392$.

So sánh: $1{,}333 < 1{,}392 \Rightarrow {{\rm{\Delta }}_{{Q_A}}} < {{\rm{\Delta }}_{{Q_B}}}$.

d) Sai. Nhìn trực quan vào bảng, điểm số của lớp 12A tập trung chủ yếu ở các nhóm cao $\left[ {8;9} \right)$ và $\left[ {9;10} \right)$ trong khi lớp 12B tập trung ở các nhóm thấp hơn là $\left[ {6;7} \right)$ và $\left[ {7;8} \right)$. Do đó điểm trung bình của lớp 12A chắc chắn lớn hơn lớp 12B.

Tính toán kiểm tra:

${\bar x_A} = \frac{{2 \cdot 6{,}5 + 6 \cdot 7{,}5 + 12 \cdot 8{,}5 + 10 \cdot 9{,}5}}{{30}} = 8{,}5$;

${\bar x_B} = \frac{{2 \cdot 5{,}5 + 12 \cdot 6{,}5 + 10 \cdot 7{,}5 + 6 \cdot 8{,}5}}{{30}} \approx 7{,}2$.

Vậy điểm trung bình của lớp 12A lớn hơn lớp 12B.

Tập xác định: $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 3 \right\}$.

Ta tính đạo hàm: $y' = \frac{{\left( {2x - 3} \right)\left( {x - 3} \right) - 1\left( {{x^2} - 3x - 5} \right)}}{{{{\left( {x - 3} \right)}^2}}} = \frac{{2{x^2} - 9x + 9 - {x^2} + 3x + 5}}{{{{\left( {x - 3} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} - 6x + 14}}{{{{\left( {x - 3} \right)}^2}}}$.

Xét tử số của đạo hàm: ${x^2} - 6x + 14 = {\left( {x - 3} \right)^2} + 5 > 0,\forall x \in D$.

Vì $y' > 0$ với mọi $x \ne 3$ nên:

Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định $\left( { - \infty ;3} \right)$ và $\left( {3; + \infty } \right)$. Do đó ý c) nói đồng biến trên $\mathbb{R}$ là Sai.

Hàm số không có điểm cực trị nào. Do đó ý b) và ý d) đều Sai.

Xét trên đoạn $\left[ { - 2;0} \right]$ thuộc khoảng $\left( { - \infty ;3} \right)$, hàm số đồng biến liên tục nên giá trị lớn nhất đạt được tại $x = 0$: $\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 2;0} \right]} y = y\left( 0 \right) = \frac{{{0^2} - 3 \cdot 0 - 5}}{{0 - 3}} = \frac{{ - 5}}{{ - 3}} = \frac{5}{3}$. Vậy ý a) là Đúng.

a) Đúng, b) Sai, c) Sai, d) Sai.

d) Đúng. Theo định nghĩa tọa độ vectơ, $\overrightarrow {IA} = \left( {{x_A} - {x_I};{y_A} - {y_I};{z_A} - {z_I}} \right) = \left( { - 2 - x;3 - y;1 - z} \right)$.

a) Sai. Từ hệ thức vectơ ta tìm tọa độ tâm tỉ cự $I$:

${x_I} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C} + 2{x_D}}}{{1 + 1 + 1 + 2}} = \frac{{ - 2 + 2 - 3 + 2 \cdot 1}}{5} = \frac{{ - 1}}{5}$

${y_I} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C} + 2{y_D}}}{5} = \frac{{3 + 1 - 1 + 2 \cdot 1}}{5} = \frac{5}{5} = 1$

Tung độ của điểm $I$ phải bằng $1$, không phải $- 1$.

b) Sai. Vectơ $\overrightarrow {AB} = \left( {4; - 2; - 1} \right)$. Phương trình đường thẳng AB đi qua B là: $\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x = 2 + 4t}\\{y = 1 - 2t}\\{z = - t}\end{array}} \right.$.

Điểm $M$ thuộc mặt phẳng $\left( {Oxz} \right)$ nên tung độ của $M$ phải bằng $0 \Rightarrow {y_M} = 0$.

Từ phương trình đường thẳng AB, ta cho $y = 0 \Leftrightarrow 1 - 2t = 0 \Leftrightarrow t = \frac{1}{2}$.

Thay $t = \frac{1}{2}$ vào ta được tọa độ của $M$:

${x_M} = 2 + 4 \cdot \left( {\frac{1}{2}} \right) = 4 \Rightarrow a = 4$

${y_M} = 0 \Rightarrow b = 0$

${z_M} = - \frac{1}{2} \Rightarrow c = - \frac{1}{2}$

Vậy $a + b + c = 4 + 0 - \frac{1}{2} = \frac{7}{2}$. Mệnh đề ghi giá trị bằng $- \frac{{11}}{2}$ là Sai.

c) Sai. Hình chiếu vuông góc của điểm $A\left( { - 2;3;1} \right)$ lên mặt phẳng tọa độ $\left( {Oxz} \right)$ thu được bằng cách giữ nguyên hoành độ, cao độ và cho tung độ bằng 0. Do đó hình chiếu phải là $A'\left( { - 2;0;1} \right)$.

Dựa vào đồ thị hàm số, ta xác định các đường tiệm cận:

Đường tiệm cận đứng là $x = 1$. Mẫu số $cx + 1 = 0$ khi $x = 1 \Rightarrow c \cdot 1 + 1 = 0 \Leftrightarrow c = - 1$.

Vậy tập xác định là $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}$. Ý d) Đúng.

Đường tiệm cận ngang là $y = 2 \Rightarrow \frac{a}{c} = 2 \Leftrightarrow \frac{a}{{ - 1}} = 2 \Leftrightarrow a = - 2$.

Giao điểm của hai đường tiệm cận là $\left( {1;2} \right)$, đây chính là tâm đối xứng của đồ thị. Do đó ý b) phát biểu là $\left( {2;1} \right)$ là Sai.

Hàm số có dạng đầy đủ: $y = \frac{{ - 2x + b}}{{ - x + 1}}$.

Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tọa độ $\left( {0; - 1} \right)$. Thay vào hàm số: $- 1 = \frac{{ - 2 \cdot 0 + b}}{{ - 0 + 1}} \Leftrightarrow b = - 1$.

Vậy ý c) là Đúng.

Hàm số hoàn chỉnh là: $y = \frac{{ - 2x - 1}}{{ - x + 1}} = \frac{{2x + 1}}{{x - 1}}$.

Kiểm tra ý a) với điểm $B\left( {9;2} \right)$: Thay $x = 9 \Rightarrow y = \frac{{2 \cdot 9 + 1}}{{9 - 1}} = \frac{{19}}{8} \ne 2$. Do đó ý a) là Sai.

a) Sai, b) Sai, c) Đúng, d) Đúng.

Thời gian máy bay bay từ M đến N là $20$ phút, từ N đến Q là $10$ phút. Vì máy bay giữ nguyên vận tốc và hướng bay, ta có tỉ lệ: $\overrightarrow {MQ} = 2\overrightarrow {NQ}$.

Ta có $\overrightarrow {NQ} = \left( {1500 - {x_N};860 - {y_N};16 - {z_N}} \right)$.

Do đó $\overrightarrow {MN} = 2\overrightarrow {NQ} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{{x_N} - 1100 = 2\left( {1500 - {x_N}} \right)}\\{{y_N} - 650 = 2\left( {860 - {y_N}} \right)}\\{{z_N} - 14 = 2\left( {16 - {z_N}} \right)}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{3{x_N} = 4100}\\{3{y_N} = 2370}\\{3{z_N} = 46}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{{x_N} = \frac{{4100}}{3}}\\{{y_N} = 790}\\{{z_N} = \frac{{46}}{3}}\end{array}} \right.$.

Khi đó, $\overrightarrow {MN} = \left( {\frac{{800}}{3};140;\frac{4}{3}} \right)$.

Khoảng cách từ khẩu pháo E đến vị trí mục tiêu N:

$\overrightarrow {EN} = \left( {{x_N} - {x_E};{y_N} - {y_E};{z_N} - {z_E}} \right) = \left( {\frac{{4100}}{3} - \frac{{1700}}{3};790 - 370;\frac{{46}}{3} - \frac{{34}}{3}} \right) = \left( {800;420;4} \right)$.

Nhận thấy $\overrightarrow {EN} = 3 \cdot \overrightarrow {MN}$. Do đó khoảng cách $EN = 3 \cdot MN$.

Vì vận tốc pháo gấp 5 lần vận tốc máy bay (${v_{{\rm{ph\'a o}}}} = 5{v_{{\rm{m\'a y\;bay}}}}$), thời gian để đạn pháo bay từ E đến N là:

${t_{{\rm{ph\'a o}}}} = \frac{{EN}}{{{v_{{\rm{ph\'a o}}}}}} = \frac{{3 \cdot MN}}{{5 \cdot {v_{{\rm{m\'a y\;bay}}}}}} = \frac{3}{5} \cdot {t_{{\rm{m\'a y\;bay\;(M}} \to {\rm{N)}}}} = \frac{3}{5} \times 20 = 12{\rm{\;(ph\'u t)}}$.

Để đạn trúng máy bay tại N sau khi máy bay xuất phát từ M được 20 phút, pháo phải được bắn tại thời điểm: $t = 20 - 12 = 8{\rm{\;(ph\'u t)}}$.

Kết quả: 8.

Hàm số xác định khi $- {x^2} + 2x + 3 \ge 0 \Leftrightarrow - 1 \le x \le 3$.

Để tìm cực đại của hàm số, ta tìm giá trị lớn nhất của biểu thức bậc hai dưới dấu căn:

$f\left( x \right) = - {x^2} + 2x + 3 = - \left( {{x^2} - 2x + 1} \right) + 4 = 4 - {\left( {x - 1} \right)^2}$

Biểu thức đạt giá trị lớn nhất bằng $4$ tại $x = 1$.

Vì hàm căn thức đồng biến với biểu thức dưới dấu căn nên hàm số đạt cực đại tại $x = 1$ và giá trị cực đại thu được là: .

Ngoài cách trên, ta có thể sử dụng đạo hàm để xác định cực đại của hàm số.

Kết quả: 2.

Tổng số nhân viên trong mẫu số liệu: $n = 14 + 1 + 1 + 8 + 2 = 26$.

Tìm tứ phân vị thứ nhất ${Q_1}$:

Vị trí là $\frac{{26}}{4} = 6{,}5$. Nhóm chứa ${Q_1}$ là nhóm thứ nhất $\left[ {7;11} \right)$.

Ta có${Q_1} = 7 + \frac{{6{,}5 - 0}}{{14}} \times \left( {11 - 7} \right) = 7 + \frac{{6{,}5}}{{14}} \times 4 \approx 8{,}857$.

Tìm tứ phân vị thứ ba ${Q_3}$:

Vị trí là $\frac{{3 \times 26}}{4} = 19{,}5$.

Tích lũy tần số các nhóm: nhóm 1 là 14, nhóm 2 là 15, nhóm 3 là 16, nhóm 4 là $16 + 8 = 24$.

Vị trí $19{,}5$ nằm trong nhóm thứ tư $\left[ {19;23} \right)$.

Ta có ${Q_3} = 19 + \frac{{19{,}5 - 16}}{8} \times \left( {23 - 19} \right) = 19 + \frac{{3{,}5}}{8} \times 4 = 19 + 1{,}75 = 20{,}75$.

Khoảng tứ phân vị: ${{\rm{\Delta }}_Q} = {Q_3} - {Q_1} = 20{,}75 - 8{,}857 = 11{,}893 \approx 11{,}9$.

Kết quả: 11,9.

Hàm doanh thu khi bán $x$ mét vải lụa với giá 220 nghìn đồng/mét là: $R\left( x \right) = 220x$.

Hàm lợi nhuận thu được là hiệu giữa doanh thu và chi phí sản xuất:

$L\left( x \right) = R\left( x \right) - C\left( x \right) = 220x - \left( {{x^3} - 3{x^2} - 20x + 500} \right) = - {x^3} + 3{x^2} + 240x - 500$.

Xét hàm $L\left( x \right)$ trên đoạn $\left[ {1;18} \right]$. Ta tính đạo hàm: $L'\left( x \right) = - 3{x^2} + 6x + 240$.

Giải phương trình $L'\left( x \right) = 0$: $- 3\left( {{x^2} - 2x - 80} \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 10} \right)\left( {x + 8} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x = 10\quad \left( { \in \left[ {1;18} \right]} \right)}\\{x = - 8\quad \left( {{\rm{loai}}} \right)}\end{array}} \right.$.

Ta tính giá trị của hàm lợi nhuận tại các điểm đầu mút và điểm tới hạn:

$L\left( 1 \right) = - {1^3} + 3 \cdot {1^2} + 240 \cdot 1 - 500 = - 258$;

$L\left( {10} \right) = - {10^3} + 3 \cdot {10^2} + 240 \cdot 10 - 500 = - 1000 + 300 + 2400 - 500 = 1200$;

$L\left( {18} \right) = - {18^3} + 3 \cdot {18^2} + 240 \cdot 18 - 500 = - 5832 + 972 + 4320 - 500 = - 1040$.

Vậy lợi nhuận tối đa mà hộ dệt thu được mỗi ngày là $1200$ nghìn đồng (khi sản xuất và bán ra 10 mét vải).

Kết quả: 1200.

Tập xác định của hàm số: $D = \left[ {1;5} \right]$.

Hàm số liên tục trên đoạn $\left[ {1;5} \right]$, ta tính đạo hàm: $y' = \frac{1}{{2\sqrt {x - 1} }} - \frac{{ - 1}}{{2\sqrt {5 - x} }} = \frac{1}{{2\sqrt {x - 1} }} + \frac{1}{{2\sqrt {5 - x} }}$.

Với mọi $x \in \left( {1;5} \right)$, ta thấy cả hai phân thức đều dương, do đó $y' > 0,\forall x \in \left( {1;5} \right)$.

Hàm số đồng biến trên toàn bộ đoạn $\left[ {1;5} \right]$. Do đó, giá trị lớn nhất của hàm số sẽ đạt được tại điểm mút bên phải $x = 5$: $\mathop {\max }\limits_{\left[ {1;5} \right]} y = y\left( 5 \right) = \sqrt {5 - 1} - \sqrt {5 - 5} = \sqrt 4 - 0 = 2$.

Kết quả: 2.

Gọi hợp lực của ba lực là vectơ $\vec F = {\vec F_1} + {\vec F_2} + {\vec F_3}$.

Vì ba lực có phương đôi một vuông góc nhau nên các tích vô hướng của chúng bằng 0:

${\vec F_1} \cdot {\vec F_2} = {\vec F_2} \cdot {\vec F_3} = {\vec F_3} \cdot {\vec F_1} = 0$.

Bình phương vô hướng độ lớn của hợp lực thu được là:

${\left| {\vec F} \right|^2} = {\left( {{{\vec F}_1} + {{\vec F}_2} + {{\vec F}_3}} \right)^2} = {\left| {{{\vec F}_1}} \right|^2} + {\left| {{{\vec F}_2}} \right|^2} + {\left| {{{\vec F}_3}} \right|^2} + 2\left( {{{\vec F}_1}{{\vec F}_2} + {{\vec F}_2}{{\vec F}_3} + {{\vec F}_3}{{\vec F}_1}} \right)$$= {3^2} + {6^2} + {2^2} + 0 = 9 + 36 + 4 = 49$.

Suy ra độ lớn của hợp lực là: $\left| {\vec F} \right| = \sqrt {49} = 7{\rm{\;(N)}}$.

Kết quả: 7.