Đề thi cuối kì 1 Toán 12 cấu trúc mới (có tự luận) có đáp án - Đề 5

Dựa vào đồ thị ta có $x = 2;x = - 2$ là tiệm cận đứng, $y = - 1;y = 1$ là tiệm cận ngang.

Có tất cả 4 đường tiệm cận. Chọn A.

Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là $x = - 1$.

Đồ thị hàm số cắt trục $Oy$ tại điểm $\left( {0;2} \right)$. Do đó $y = \frac{{{x^2} + 2x + 2}}{{x + 1}}$. Chọn D.

Xét hàm số $y = {x^3} + 2x$.

Có $y' = 3{x^2} + 2 > 0,\forall x \in \mathbb{R}$. Do đó hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$. Chọn B.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2x - 1}}{{2x + 4}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2 - \frac{1}{x}}}{{2 + \frac{4}{x}}} = 1$.

Suy ra $y = 1$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. Chọn C.

Ta có bảng sau

Cân nặng trung bình của quả mít là $\overline x = \frac{{8.5 + 12.7 + 17.9 + 5.11 + 8.13}}{{8 + 12 + 17 + 5 + 8}} = 8{,}72$.

Phương sai ${s^2} = \frac{{8.{{\left( {5 - 8{,}72} \right)}^2} + 12.{{\left( {7 - 8{,}72} \right)}^2} + 17.{{\left( {9 - 8{,}72} \right)}^2} + 5.{{\left( {11 - 8{,}72} \right)}^2} + 8.{{\left( {13 - 8{,}72} \right)}^2}}}{{8 + 12 + 17 + 5 + 8}} \approx 6{,}40$. Chọn B.

a) Ta có $G\left( {\frac{{1 - 2 + 3}}{3};\frac{{ - 1 + 5 + 4}}{3};\frac{{0 + 3 + 9}}{3}} \right)$$\Rightarrow G\left( {\frac{2}{3};\frac{8}{3};4} \right)$.

b) $M \in \left( {Oxz} \right) \Rightarrow M\left( {a;0;c} \right)$.

Có $\overrightarrow {AM} = \left( {a - 1;1;c} \right),\overrightarrow {AB} = \left( { - 3;6;3} \right)$

Theo đề ta có $\overrightarrow {AM}$ và $\overrightarrow {AB}$ cùng phương $\Rightarrow \frac{{a - 1}}{{ - 3}} = \frac{1}{6} = \frac{c}{3}$$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{1}{2}\\c = \frac{1}{2}\end{array} \right.$.

Do đó $a + b + c = \frac{1}{2} + 0 + \frac{1}{2} = 1$.

c) $\overrightarrow {AB} = \left( { - 3;6;3} \right)$.

d) Giả sử $D\left( {x;y;z} \right)$. Ta có $\overrightarrow {DC} = \left( {3 - x;4 - y;9 - z} \right)$.

Để $ABCD$ là hình bình hành thì $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC}$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3 - x = - 3\\4 - y = 6\\9 - z = 3\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 6\\y = - 2\\z = 6\end{array} \right. \Rightarrow D\left( {6; - 2;6} \right)$.

Đáp án: a) Sai; b) Sai; c) Sai; d) Đúng.

a) Khoảng biến thiên $R = 180 - 155 = 25$.

b) Giá trị đại diện của nhóm $\left[ {155;160} \right)$ là $\frac{{155 + 160}}{2} = 157{,}5$.

c) d)

Chiều cao trung bình của mẫu số liệu là $\overline x = \frac{{2.157{,}5 + 5.162{,}5 + 10.167{,}5 + 5.172{,}5 + 3.177{,}5}}{{25}} = 167{,}9$.

Phương sai: ${s^2} = \frac{1}{{25}}\left[ \begin{array}{l}2.{\left( {157{,}5 - 167{,}9} \right)^2} + 5.{\left( {162{,}5 - 167{,}9} \right)^2} + 10.{\left( {167{,}5 - 167{,}9} \right)^2}\\ + 5.{\left( {172{,}5 - 167{,}9} \right)^2} + 3.{\left( {177{,}5 - 167{,}9} \right)^2}\end{array} \right] = 29{,}84$.

Độ lệch chuẩn: $s = \sqrt {29{,}84} \approx 5{,}46$.

Đáp án: a) Sai; b) Sai; c) Sai; d) Đúng.

Dựa vào đồ thị hàm số ta có $I\left( { - 1;2} \right)$ là tâm đối xứng.

Suy ra $m = - 1;n = 2$. Do đó $m + n = 1$.

Trả lời: $1$.

Ta có $\overrightarrow a .\overrightarrow b = 1.\left( { - 1} \right) + \left( { - 3} \right).1 + 1.2 = - 2$.

Trả lời: $- 2$.

Ta có ${\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} } \right)^2} = {\overrightarrow {AB} ^2} + {\overrightarrow {AC} ^2} + {\overrightarrow {AD} ^2} + 2.\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} + 2.\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD} + 2\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD}$

$= {\overrightarrow {AB} ^2} + {\overrightarrow {AC} ^2} + {\overrightarrow {AD} ^2} + 2.\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) + 2.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\left| {\overrightarrow {AD} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AD} } \right) + 2\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AD} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} } \right)$

$= {12^2} + {12^2} + {12^2} + 2.12.12.\cos 60^\circ + 2.12.12.\cos 60^\circ + 2.12.12.\cos 60^\circ$$= 864$.

Suy ra $\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} } \right| = 12\sqrt 6$. Do đó $a = 12$.

Trả lời: $12$.

Cỡ mẫu $n = 17 + 32 + 40 + 48 + 50 + 10 + 2 + 1 = 200$ .

Gọi ${x_1};{x_2};...;{x_{200}}$ là độ tuổi của 200 cư dân được sắp theo thứ tự không giảm.

Ta có ${Q_1} = \frac{{{x_{50}} + {x_{51}}}}{2}$ mà ${x_{50}};{x_{51}} \in \left[ {30;40} \right)$ nên nhóm này chứa tứ phân vị thứ nhất.

${Q_1} = 30 + \frac{{\frac{{200}}{4} - 49}}{{40}}.10 = 30{,}25$ .

Ta có ${Q_3} = \frac{{{x_{150}} + {x_{151}}}}{2}$ mà ${x_{150}};{x_{151}} \in \left[ {50;60} \right)$ nên nhóm này chứa tứ phân vị thứ ba.

${Q_3} = 50 + \frac{{\frac{{3.200}}{4} - 137}}{{50}}.10 = 52{,}6$ .

Khoảng tứ phân vị ${\Delta _Q} = 52{,}6 - 30{,}25 \approx 22{,}4$ .

Trả lời: $22{,}4$ .

Điều kiện $0 < x < 50$.

Cạnh đáy của lăng trụ lục giác đều $AB = HK = 100 - 2x$.

Chiều cao của lăng trụ lục giác đều $HA = MH.\tan 60^\circ = x\sqrt 3$.

Diện tích đáy của hình lăng trụ lục giác đều ${S_{ABCDEF}} = 6{S_{ABO}} = 6.\frac{{\sqrt 3 }}{4}{\left( {100 - 2x} \right)^2}$.

Thể tích của khối lăng trụ lục giác đều: $V\left( x \right) = HA.{S_{ABCDEF}} = \frac{9}{2}x{\left( {100 - 2x} \right)^2}$.

Ta có $V\left( x \right) = 18{x^3} - 1800{x^2} + 45000x$.

Xét hàm số $V\left( x \right) = 18{x^3} - 1800{x^2} + 45000x$ trên khoảng $\left( {0;50} \right)$.

Ta có $V'\left( x \right) = 54{x^2} - 3600x + 45000 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{50}}{3}\\x = 50\end{array} \right.$.

Vì $x \in \left( {0;50} \right)$ nên $x = \frac{{50}}{3}$.

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta có thể tích của khối lăng trụ lục giác đều lớn nhất khi và chỉ khi $x = \frac{{50}}{3}$cm.

Gắn hệ trục $Oxyz$ như hình vẽ.

Ta có $A\left( {0;0;0} \right),A'\left( {0;0;3{,}2} \right),M\left( {4;4;1{,}6} \right),D'\left( {0;4;3{,}2} \right),I\left( {2;0;1{,}6} \right)$ .

Gọi $E\left( {x;y;z} \right),F\left( {m;n;p} \right)$ .

Giả sử $\overrightarrow {AE} = a\overrightarrow {AM}$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 4a\\y = 4a\\z = 1{,}6a\end{array} \right. \Rightarrow E\left( {4a;4a;1{,}6a} \right)$ .

$\overrightarrow {D'F} = b\overrightarrow {D'I}$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 2b\\n - 4 = - 4b\\p - 3{,}2 = - 1{,}6b\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 2b\\n = 4 - 4b\\p = 3{,}2 - 1{,}6b\end{array} \right.$$\Rightarrow F\left( {2b;4 - 4b;3{,}2 - 1{,}6b} \right)$ .

Ta có $\overrightarrow {EF} = \left( {2b - 4a;4 - 4b - 4a;3{,}2 - 1{,}6b - 1{,}6a} \right)$ , $\overrightarrow {AA'} = \left( {0;0;3{,}2} \right)$ .

Đường thẳng đi qua hai con nhện vuông góc với trần nhà thì $\overrightarrow {EF}$ cùng phương với $\overrightarrow {AA'}$ nên

$\left\{ \begin{array}{l}2b - 4a = 0\\4 - 4b - 4a = 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{1}{3}\\b = \frac{2}{3}\end{array} \right.$ . Khi đó $\overrightarrow {EF} = \left( {0;0;1{,}6} \right) \Rightarrow EF = 1{,}6$ .

Vậy khoảng cách giữa hai con nhện bằng 1,6 m.

Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm $\left( {0;d} \right)$ có tung độ âm nên $d < 0$.

Có $y' = 3a{x^2} + 2bx + c = 0$ có hai nghiệm ${x_1};{x_2}$.

Vì hàm số đồng biến trên khoảng $\left( {{x_1};{x_2}} \right)$ nên $a < 0$.

Vì ${x_1} \in \left( { - 1;0} \right),{x_2} \in \left( {1;2} \right)$ nên $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} > 0\\{x_1}{x_2} < 0\end{array} \right.$.

Mà $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - \frac{{2b}}{{3a}}\\{x_1}{x_2} = \frac{c}{{3a}}\end{array} \right.$$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} - \frac{{2b}}{{3a}} > 0\\\frac{c}{{3a}} < 0\end{array} \right.$$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}b > 0\\c > 0\end{array} \right.$ (do $a < 0$).

Vậy $a < 0;b > 0;c > 0;d < 0$.