Đề thi cuối kì 1 Toán 12 cấu trúc mới (có tự luận) có đáp án - Đề 4

Đây là đồ thị hàm số dạng phân thức hữu tỉ.

Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm $\left( {0;2} \right)$. Do đó $y = \frac{{x + 2}}{{x + 1}}$. Chọn D.

a) $\overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC'}$ (theo quy tắc hình hộp).

b)

Gọi $M$ là trung điểm của $DC$.

Ta có $\overrightarrow {AG} = \overrightarrow {AM} + \overrightarrow {MG} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DM} + \frac{1}{3}\overrightarrow {MD'}$$= \overrightarrow {AD} + \frac{1}{2}\overrightarrow {DC} + \frac{1}{3}\overrightarrow {MD} + \frac{1}{3}\overrightarrow {DD'}$$= \overrightarrow {AD} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} - \frac{1}{3}.\frac{1}{2}\overrightarrow {DC} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AA'}$

$= \overrightarrow {AD} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} - \frac{1}{6}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AA'}$$= \overrightarrow {AD} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AA'}$.

$\overrightarrow {DB} = \overrightarrow {DA} + \overrightarrow {DC}$$= - \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AB}$.

Khi đó $\overrightarrow {AG} .\overrightarrow {DB} = \left( {\overrightarrow {AD} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AA'} } \right)\left( { - \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AB} } \right)$

$= - {\overrightarrow {AD} ^2} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AA'} .\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}{\overrightarrow {AB} ^2} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AA'} .\overrightarrow {AB}$

$= - {\overrightarrow {AD} ^2} + \frac{1}{3}{\overrightarrow {AB} ^2}$ (vì $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AA'} .\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AA'} .\overrightarrow {AB} = 0$)

$= - 9{a^2} + \frac{1}{3}.4{a^2} = - \frac{{23}}{3}{a^2}$.

c) $\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CC'} } \right| = \left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} } \right| = \left| {\overrightarrow {AC'} } \right| = \sqrt {4{a^2} + 9{a^2} + 16{a^2}} = a\sqrt {29}$.

d) Có $AA' \bot AD$ nên $\overrightarrow {AA'} .\overrightarrow {AD} = 0$.

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.

a) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu trên là $R = 6 - 0 = 6$.

b) Cỡ mẫu $n = 3 + 15 + 12 + 9 + 5 + 1 = 45$.

Gọi ${x_1};{x_2};...;{x_{45}}$ là thời gian sử dụng smartphone trong 1 ngày của 45 học sinh lớp 12A được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có ${Q_1} = \frac{{{x_{11}} + {x_{12}}}}{2}$ mà ${x_{11}};{x_{12}} \in \left[ {1;2} \right)$ nên nhóm này chứa tứ phân vị thứ nhất.

Ta có ${Q_1} = 1 + \frac{{\frac{{45}}{4} - 3}}{{15}}.1 = \frac{{31}}{{20}}$.

Ta có ${Q_3} = \frac{{{x_{34}} + {x_{35}}}}{2}$ mà ${x_{34}},{x_{35}} \in \left[ {3;4} \right)$ nên nhóm này chứa tứ phân vị thứ ba.

Có ${Q_3} = 3 + \frac{{\frac{{3.45}}{4} - 30}}{9}.1 = \frac{{41}}{{12}}$.

Khoảng tứ phân vị là ${\Delta _Q} = \frac{{41}}{{12}} - \frac{{31}}{{20}} = \frac{{28}}{{15}} \approx 1{,}9$.

c) Ta có bảng sau

Ta có $\overline x = \frac{{3.0{,}5 + 15.1{,}5 + 12.2{,}5 + 9.3{,}5 + 5.4{,}5 + 1.5{,}5}}{{45}} = \frac{{227}}{{90}}$.

d) Phương sai của mẫu số liệu trên là

${s^2} = \frac{1}{{45}}\left( \begin{array}{l}3.{\left( {0{,}5 - \frac{{227}}{{90}}} \right)^2} + 15.{\left( {1{,}5 - \frac{{227}}{{90}}} \right)^2} + 12.{\left( {2{,}5 - \frac{{227}}{{90}}} \right)^2}\\ + 9.{\left( {3{,}5 - \frac{{227}}{{90}}} \right)^2} + 5.{\left( {4{,}5 - \frac{{227}}{{90}}} \right)^2} + 1.{\left( {5{,}5 - \frac{{227}}{{90}}} \right)^2}\end{array} \right) = \frac{{2924}}{{2025}}$.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu là $s = \sqrt {\frac{{2924}}{{2025}}} = \frac{{2\sqrt {731} }}{{45}}$.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Sai.

Có $f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 2\\x = 3\end{array} \right.$.

Ta có bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta có hàm số có 2 điểm cực trị.

Trả lời: $2$.

Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( { - 4; - x - 2;2} \right),\overrightarrow {AC} = \left( {4; - 3;y + 1} \right)$.

Để 3 điểm $A,B,C$ thẳng hàng thì $\frac{{ - 4}}{4} = \frac{{ - x - 2}}{{ - 3}} = \frac{2}{{y + 1}}$$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 5\\y = - 3\end{array} \right.$.

Do đó $x + y = - 8$.

Trả lời: $- 8$.

Ta có $y' = \frac{{1 - \ln x}}{{{x^2}}}$; $y' = 0 \Leftrightarrow 1 - \ln x = 0 \Leftrightarrow \ln x = 1 \Leftrightarrow x = e \in \left[ {2;3} \right]$.

Ta có $y\left( 2 \right) = \frac{{\ln 2}}{2};y\left( e \right) = \frac{1}{e};y\left( 3 \right) = \frac{{\ln 3}}{3}$.

Suy ra $\mathop {\min }\limits_{\left[ {2;3} \right]} y = \frac{{\ln 2}}{2}$. Suy ra $a = 1;b = 2$. Do đó $a - 5b = 1 - 5.2 = - 9$.

Trả lời: $- 9$.

Xét lĩnh vực A.

$\overline {{x_A}} = \frac{{2.7{,}5 + 5.12{,}5 + 8.17{,}5 + 6.22{,}5 + 4.27{,}5}}{{2 + 5 + 8 + 6 + 4}} = 18$.

$s_A^2 = \frac{{2.{{\left( {7{,}5 - 18} \right)}^2} + 5.{{\left( {12{,}5 - 18} \right)}^2} + 8.{{\left( {17{,}5 - 18} \right)}^2} + 6.{{\left( {22{,}5 - 18} \right)}^2} + 4.{{\left( {27{,}5 - 18} \right)}^2}}}{{2 + 5 + 8 + 6 + 4}} = \frac{{137}}{4}$.

Suy ra ${s_A} = \frac{{\sqrt {137} }}{2}$.

Xét lĩnh vực B

$\overline {{x_B}} = \frac{{8.7{,}5 + 4.12{,}5 + 2.17{,}5 + 5.22{,}5 + 6.27{,}5}}{{8 + 4 + 2 + 5 + 6}} = \frac{{169}}{{10}}$.

$s_B^2 = \frac{{8.{{\left( {7{,}5 - 16{,}9} \right)}^2} + 4.{{\left( {12{,}5 - 16{,}9} \right)}^2} + 2.{{\left( {17{,}5 - 16{,}9} \right)}^2} + 5.{{\left( {22{,}5 - 16{,}9} \right)}^2} + 6.{{\left( {27{,}5 - 16{,}9} \right)}^2}}}{{8 + 4 + 2 + 5 + 6}} = \frac{{1616}}{{25}}$.

Suy ra ${s_B} = \frac{{4\sqrt {101} }}{5}$.

Do đó ${s_A} + {s_B} = \frac{{\sqrt {137} }}{2} + \frac{{4\sqrt {101} }}{5} \approx 13{,}9$.

Trả lời: $13{,}9$.

Số tiền bán hết $x$ mét vải lụa là $B\left( x \right) = 220x$ nghìn đồng.

Lợi nhuận thu được khi bán $x$ mét vải lụa là

$L\left( x \right) = B\left( x \right) - C\left( x \right) = 220x - \left( {{x^3} - 3{x^2} - 20x + 500} \right)$$= - {x^3} + 3{x^2} + 240x - 500$.

Có $L'\left( x \right) = - 3{x^2} + 6x + 240 = 0$$\Leftrightarrow x = 10$ (vì $1 \le x \le 18$).

Ta có $L\left( 1 \right) = - {1^3} + {3.1^2} + 240.1 - 500 = - 258$; $L\left( {10} \right) = - {10^3} + {3.10^2} + 240.10 - 500 = 1200$;

$L\left( {18} \right) = - {18^3} + {3.18^2} + 240.18 - 500 = - 1040$.

Vậy mỗi ngày hộ làm nghề dệt này cần sản xuất và bán ra 10 mét vải thì thu được lợi nhuận tối đa là 1200 nghìn đồng.

Vì $A \in Ox \Rightarrow A\left( {a;0;0} \right),B \in Oy \Rightarrow B\left( {0;b;0} \right)$.

Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$, $G \in Oz \Rightarrow G\left( {0;0;c} \right)$.

Do đó $C\left( { - a; - b;3c} \right)$.

Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( { - a;b;0} \right),\overrightarrow {AC} = \left( { - 2a; - b;3c} \right)$.

Vì $\Delta ABC$ vuông tại $A$ nên $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = 0$$\Leftrightarrow 2{a^2} - {b^2} = 0 \Leftrightarrow {b^2} = 2{a^2}$.

Khi đó $\frac{{OA}}{{OB}} = \frac{{\sqrt {{a^2}} }}{{\sqrt {{b^2}} }} = \sqrt {\frac{{{a^2}}}{{2{a^2}}}} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$.

Từ đồ thị của hàm số $y = f'\left( x \right)$ ta suy ra bảng biến thiên của hàm số $y = f\left( x \right)$ như hình

Vậy phương trình $f\left( x \right) = f\left( 3 \right)$ có một nghiệm.