Đề thi cuối kì 1 Toán 12 cấu trúc mới (có tự luận) có đáp án - Đề 2

Ta có $M = \mathop {\max }\limits_{\left[ {1;3} \right]} f\left( x \right) = f\left( 2 \right) = 0;m = \mathop {\min }\limits_{\left[ {1;3} \right]} f\left( x \right) = f\left( 3 \right) = - 4$.

Suy ra $M + m = - 4$. Chọn D.

a) Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( { - 1;1} \right)$.

b) Giá trị cực đại của hàm số là 2.

c) $\mathop {\min }\limits_{\left[ {\frac{1}{2};2} \right]} f\left( x \right) = f\left( 1 \right) = - 2$.

d) Đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ nên $f\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow d = 0$.

Theo đề ta có $\left\{ \begin{array}{l}f\left( { - 1} \right) = 2\\f\left( 1 \right) = - 2\\f'\left( { - 1} \right) = 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - a + b - c = 2\\a + b + c = - 2\\3a - 2b + c = 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 0\\c = - 3\end{array} \right.$.

Suy ra $f\left( x \right) = {x^3} - 3x$.

Do đó $f\left( 5 \right) = {5^3} - 3.5 = 110$.

Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Sai; d) Sai.

a) $\overrightarrow {AB} = \left( { - 1;0;1} \right)$.

b) $\overrightarrow {AC} = \left( {1;1;1} \right)$. Có $\frac{{ - 1}}{1} \ne \frac{0}{1}$. Suy ra $\overrightarrow {AC}$ và $\overrightarrow {AB}$ không cùng phương.

c) Có $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = \left( { - 1} \right).1 + 0.1 + 1.1 = 0$. Suy ra $AB \bot AC$.

d) Ta có ${S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC = \frac{1}{2}.\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {0^2} + {1^2}} .\sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} = \frac{{\sqrt 6 }}{2}$.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.

Ta có $y = \frac{{{x^2} + 3x + 2}}{{x - 3}} = x + 6 + \frac{{20}}{{x - 3}}$.

Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {y - \left( {x + 6} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{20}}{{x - 3}} = 0$; $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {y - \left( {x + 6} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{20}}{{x - 3}} = 0$.

Do đó $y = x + 6$ là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Suy ra $g\left( { - 2} \right) = - 2 + 6 = 4$.

Trả lời: 4.

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow a .\overrightarrow c = 0\\\overrightarrow b .\overrightarrow c = 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}36 - 2m + n = 0\\12 + 2m + n = 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 6\\n = - 24\end{array} \right.$.

Suy ra $4n - 5m = 4.\left( { - 24} \right) - 5.6 = - 126$.

Trả lời: −126.

Cỡ mẫu $n = 1 + 0 + 15 + 12 + 10 + 5 = 43$.

Gọi ${x_1};{x_2};...;{x_{43}}$ là chiều cao của 43 học sinh lớp 12A được sắp theo thứ tự không giảm.

Ta có ${Q_1} = {x_{11}} \in \left[ {155;160} \right)$.

Khi đó ${Q_1} = 155 + \frac{{\frac{{43}}{4} - 1}}{{15}}.5 = \frac{{633}}{4}$.

Ta có ${Q_3} = {x_{33}} \in \left[ {165;170} \right)$.

Khi đó ${Q_3} = 165 + \frac{{\frac{{3.43}}{4} - 28}}{{10}}.5 = \frac{{1337}}{8}$.

Suy ra ${\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = \frac{{1337}}{8} - \frac{{633}}{4} = \frac{{71}}{8} \approx 8{,}88$.

Trả lời: 8,88.

Thời gian trung bình $\overline x = \frac{{2.5{,}25 + 8.5{,}75 + 15.6{,}25 + 10.6{,}75 + 5.7{,}25}}{{2 + 8 + 15 + 10 + 5}} = 6{,}35$ .

Phương sai:

$\overline x = \frac{{2.{{\left( {5{,}25 - 6{,}35} \right)}^2} + 8.{{\left( {5{,}75 - 6{,}35} \right)}^2} + 15.{{\left( {6{,}25 - 6{,}35} \right)}^2} + 10.{{\left( {6{,}75 - 6{,}35} \right)}^2} + 5.{{\left( {7{,}25 - 6{,}35} \right)}^2}}}{{2 + 8 + 15 + 10 + 5}} = 0{,}2775$ .

Độ lệch chuẩn $s = \sqrt {0{,}2775} \approx 0{,}53$ .

Trả lời: 0,53 .

Ta có 80000 đồng/m$^{2}$ = 8 đồng/cm$^{2}$; 100000 đồng/m$^{2}$ = 10 đồng/cm$^{2}$.

Gọi $x$ (cm) là độ dài của một cạnh đáy còn lại của hình hộp, $h$ (cm) là chiều cao của hình hộp ( $x > 0,h > 0$).

Thể tích của khối hộp $V = x.80.h = 16000 \Rightarrow h = \frac{{16000}}{{80x}} = \frac{{200}}{x}$.

Do đó chi phí làm bể cá là

$f\left( x \right) = 80x.10 + \left( {2.80.\frac{{200}}{x} + 2x.\frac{{200}}{x}} \right).8 = 800x + \frac{{256000}}{x} + 3200$ đồng.

Yêu cầu bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $f\left( x \right) = 800x + \frac{{256000}}{x} + 3200$ trên $\left( {0; + \infty } \right)$.

Ta có $f'\left( x \right) = 800 - \frac{{256000}}{{{x^2}}} = 0 \Leftrightarrow x = 8\sqrt 5$ vì $x \in \left( {0; + \infty } \right)$

Bảng biến thiên

Vậy chi phí ít nhất để làm bể cá như yêu cầu đề bài khoảng 32 nghìn đồng.

Ta có $\overrightarrow {OA} = 10\overrightarrow k \Rightarrow A\left( {0;0;10} \right)$ .

Ta có $OH = OB.\cos 30^\circ = \frac{{15\sqrt 3 }}{2}$ .

$OK = OB.\cos \left( {90^\circ - 30^\circ } \right) = \frac{{15}}{2}$ .

$\Rightarrow B\left( {\frac{{15}}{2};\frac{{15\sqrt 3 }}{2};0} \right)$ $\Rightarrow \overrightarrow {AB} = \left( {\frac{{15}}{2};\frac{{15\sqrt 3 }}{2}; - 10} \right)$ .

Độ lớn trọng lực tác dụng lên em nhỏ là $P = m.g = 25.9{,}8 = 245$ (N).

Công sinh ra bởi trọng lực $\overrightarrow P$khi em nhỏ trượt hết chiều dài cầu trượt là

$A = \overrightarrow P .\overrightarrow d = \left| {\overrightarrow P } \right|.\overrightarrow {\left| d \right|} .\cos \left( {\overrightarrow P ,\overrightarrow d } \right) = 245.4.\cos 60^\circ = 490$(J).