Đề thi cuối kì 1 Toán 12 cấu trúc mới (có tự luận) có đáp án - Đề 1

Dựa vào bảng biến thiên ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = 8;\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = 2$.

Do đó $y = 2;y = 8$ là các đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. Chọn C.

Dựa vào dạng đồ thị ta có đây là dạng đồ thị của hàm số $y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d$.

Lại có $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = - \infty$. Chọn B.

Ta có $f'\left( x \right) = x\left( {x - 4} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 4\end{array} \right.$.

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta có $f\left( 0 \right) > f\left( 2 \right)$. C họn B.

Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng $x = \frac{{ - d}}{c} > 0$ và tiệm cận ngang $y = \frac{a}{c} > 0$.

Suy ra $\left\{ \begin{array}{l}ac > 0\\dc < 0\end{array} \right.$.

Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm $\left( {0;\frac{b}{d}} \right)$ có tung độ dương. Suy ra $\frac{b}{d} > 0 \Leftrightarrow bd > 0$.

Đồ thị cắt trục hoành tại điểm $\left( { - \frac{b}{a};0} \right)$ có hoành độ dương. Suy ra $- \frac{b}{a} > 0 \Leftrightarrow ab < 0$. Chọn A.

Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( {1; - 3;4} \right)$.

Gọi $D\left( {x;y;z} \right)$. Khi đó $\overrightarrow {DC} = \left( { - 3 - x;5 - y;1 - z} \right)$.

Để $ABCD$ là hình bình hành thì $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC}$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 3 - x = 1\\5 - y = - 3\\1 - z = 4\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 4\\y = 8\\z = - 3\end{array} \right.$. Suy ra $D\left( { - 4;8; - 3} \right)$. Chọn D.

Ta có $2\overrightarrow a = \left( {4; - 6; - 2} \right);3\overrightarrow b = \left( { - 6;0;12} \right)$.

Ta có $\overrightarrow u = \left( {10; - 6; - 14} \right)$. Chọn B.

a) Dựa vào đồ thị ta có hàm số đạt cực tiểu tại $x = 2$.

b) Để phương trình $f\left( x \right) = m$ có 3 nghiệm phân biệt thì $- 2 < m < 2$ mà $m \in \mathbb{Z}$ nên $m \in \left\{ { - 1;0;1} \right\}$.

Vậy có 3 giá trị nguyên của $m$ để phương trình $f\left( x \right) = m$ có 3 nghiệm phân biệt.

c) Dựa vào đồ thị hàm số ta có $\left\{ \begin{array}{l}f\left( 0 \right) = 2\\f\left( 2 \right) = - 2\\f'\left( 0 \right) = 0\\f'\left( 2 \right) = 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}d = 2\\8a + 4b + 2c + d = - 2\\c = 0\\12a + 4b + c = 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = - 3\\c = 0\\d = 2\end{array} \right.$.

Suy ra $f\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} + 2$.

d) Ta có $M = \mathop {\max }\limits_{\left[ {0;2} \right]} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) = 2;m = \mathop {\min }\limits_{\left[ {0;2} \right]} f\left( x \right) = f\left( 2 \right) = - 2$.

Suy ra $M + m = 0$.

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Đúng; d) Đúng.

a) $\overrightarrow {AB} = \left( {6;2; - 6} \right)$.

b) Có $\overrightarrow {AC} = \left( {21;5; - 9} \right)$.

Ta có $\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \frac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} }}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|}}$$= \frac{{6.21 + 2.5 + \left( { - 6} \right).\left( { - 9} \right)}}{{\sqrt {36 + 4 + 36} .\sqrt {{{21}^2} + 25 + {{\left( { - 9} \right)}^2}} }} = \frac{{190}}{{2\sqrt {19} .\sqrt {547} }} \approx 0{,}93$.

Suy ra $\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) \approx 21{,}3^\circ$.

c) Có $\overrightarrow {BC} = \left( {15;3; - 3} \right)$.

Có $\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AB} = \left( {21;5; - 9} \right)$$\Rightarrow \left| {\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {{{21}^2} + {5^2} + {{\left( { - 9} \right)}^2}} = \sqrt {547}$.

d) Có $\left\{ \begin{array}{l}N \in AB\\NA = 3NB\end{array} \right.$$\Rightarrow \overrightarrow {NA} = - 3\overrightarrow {NB}$$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 5 - a = - 3\left( {1 - a} \right)\\ - b = - 3\left( {2 - b} \right)\\7 - c = - 3\left( {1 - c} \right)\end{array} \right.$$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - \frac{1}{2}\\b = \frac{3}{2}\\c = \frac{5}{2}\end{array} \right.$.

Suy ra $a + b + c = 3{,}5$.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Sai.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to - {7^ - }} f\left( x \right) = - \infty$ $\Rightarrow x = - 7$là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = - 3$$\Rightarrow y = - 3$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Vậy đồ thị hàm số có tất cả 2 đường tiệm cận.

Trả lời: 2.

Vì $M'$ đối xứng với $M$ qua mặt phẳng $\left( {Oyz} \right)$ nên $M\left( { - 2;5;4} \right)$.

Suy ra $a = - 2;b = 5;c = 4$. Do đó $a + b + c = 7$.

Trả lời: 7.

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu là $R = 70 - 40 = 30$.

Gọi ${x_1};{x_2};...;{x_{44}}$ là số tiền mà 44 khách hàng mua hàng ở siêu thị được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có ${Q_1} = \frac{{{x_{11}} + {x_{12}}}}{2}$ mà ${x_{11}};{x_{12}} \in \left[ {45;50} \right)$ nên nhóm này chứa tứ phân vị thứ nhất.

Ta có ${Q_1} = 45 + \frac{{\frac{{44}}{4} - 4}}{{14}}.5 = 47{,}5$.

Ta có ${Q_3} = \frac{{{x_{33}} + {x_{34}}}}{2}$ mà ${x_{33}};{x_{34}} \in \left[ {55;60} \right)$ nên nhóm này chứa tứ phân vị thứ ba.

Ta có ${Q_3} = 55 + \frac{{\frac{{3.44}}{4} - 26}}{{10}}.5 = 58{,}5$.

Suy ra ${\Delta _Q} = 58{,}5 - 47{,}5 = 11$.

Do đó $R + {\Delta _Q} = 30 + 11 = 41$.

Trả lời: 41.

Ta có

Ta có $\overline x = \frac{{2.3{,}25 + 6.3{,}75 + 8.4{,}25 + 4.4{,}75}}{{2 + 6 + 8 + 4}} = 4{,}1$.

Phương sai của mẫu số liệu: ${s^2} = \frac{{2.{{\left( {3{,}25 - 4{,}1} \right)}^2} + 6.{{\left( {3{,}75 - 4{,}1} \right)}^2} + 8.{{\left( {4{,}25 - 4{,}1} \right)}^2} + 4.{{\left( {4{,}75 - 4{,}1} \right)}^2}}}{{2 + 6 + 8 + 4}} \approx 0{,}2$.

Trả lời: 0,2.

Chiều cao của chiếc hộp khi gập tấm nhôm là $x$ cm.

Kích thước hai đáy của chiếc hộp là $30 - 2x$ cm.

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\30 - 2x > 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\x < 15\end{array} \right. \Leftrightarrow 0 < x < 15$.

Thể tích chiếc hộp $V\left( x \right) = x{\left( {30 - 2x} \right)^2} = 4{x^3} - 120{x^2} + 900x$.

Có $V'\left( x \right) = 12{x^2} - 240x + 900$; $V'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 5\\x = 15\end{array} \right.$.

Bài toán trở thành tìm $x\left( {0 < x < 15} \right)$ sao cho $V\left( x \right)$ là lớn nhất.

Vậy cần cắt bỏ ở bốn góc của tấm nhôm đó các hình vuông bằng nhau có cạnh là 5 cm để chiếc hộp tạo thành có thể tích lớn nhất.

Giả sử $\overrightarrow P$ là trọng lượng của chiếc đèn.

Do chiếc đèn ở vị trí cân bằng nên $\overrightarrow P = \overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_3}}$.

Ta có ${\left( {\overrightarrow P } \right)^2} = {\left( {\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_3}} } \right)^2} = {\left( {\overrightarrow {{F_1}} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {{F_2}} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {{F_3}} } \right)^2} + 2\overrightarrow {{F_1}} \overrightarrow {{F_2}} + 2\overrightarrow {{F_2}} \overrightarrow {{F_3}} + 2\overrightarrow {{F_1}} \overrightarrow {{F_3}}$.

Mà $\overrightarrow {{F_1}} \overrightarrow {{F_2}} = \overrightarrow {{F_2}} \overrightarrow {{F_3}} = \overrightarrow {{F_1}} \overrightarrow {{F_3}} = 0$ nên $\left| {\overrightarrow P } \right| = \sqrt {{{\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right|}^2} + {{\left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right|}^2} + {{\left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right|}^2}} = 20\sqrt 3$ N.

Chiếc flycam thứ nhất và thứ hai ở vị trí A, B.

Ta có $A\left( {3;2;5} \right),B\left( { - 6; - 6;5} \right)$.

Gọi $C$là điểm đối xứng của $A$ qua mặt phẳng $\left( {Oxy} \right)$. Khi đó $C\left( {3;2; - 5} \right)$.

Gọi $I = BC \cap \left( {Oxy} \right)$ là vị trí trên mặt đất sao cho tổng khoảng cách từ vị trí đó tới hai chiếc flycam ngắn nhất.

Ta có $IA + IB = IC + IB \ge BC$ nên $IA + IB$ ngắn nhất khi ba điểm $B,C,I$ thẳng hàng.

Ta có $\overrightarrow {BC} = \left( {9;8; - 10} \right)$.

Vì $I \in \left( {Oxy} \right) \Rightarrow I\left( {x;y;0} \right) \Rightarrow \overrightarrow {BI} = \left( {x + 6;y + 6; - 5} \right)$.

Ba điểm $B,C,I$ thẳng hàng nên $\frac{{x + 6}}{9} = \frac{{y + 6}}{8} = \frac{1}{2}$$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - \frac{3}{2}\\y = - 2\end{array} \right.$ $\Rightarrow I\left( { - \frac{3}{2}; - 2;0} \right)$.

Suy ra $IO = 2{,}5$ m.