Đề thi cuối kì 1 Toán 12 cấu trúc mới (có đáp án) - Đề 10

Đáp án đúng là: D

Dựa vào bẳng biến thiên ta thấy hàm số $y = f\left( x \right)$ không có giá trị nhỏ nhất trên khoảng $\left( { - 2; + \infty } \right)$

Đáp án đúng là: D

Từ đồ thị hàm số ta suy ra $y = - 1$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Đáp án đúng là: A

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng $x = 1$. Suy ra loại B và D.

Ta thấy đồ thị hàm số đi qua điểm $\left( {0;2} \right)$ nên loại C.

Vậy bảng biến thiên đề bài cho là của hàm số $y = \frac{{{x^2} + 2x - 2}}{{x - 1}}$.

Đáp án đúng là: A

Ta có $y' = {x^2} + 2x - m$.

Hàm số $y = \frac{1}{3}{x^3} + {x^2} - mx - 1$ có đúng một điểm cực trị thuộc khoảng $\left( {0;4} \right)$ khi phương trình $y' = 0$ chỉ có đúng một nghiệm thuộc khoảng $\left( {0;4} \right)$.

Ta có $y' = 0 \Leftrightarrow {x^2} + 2x = m$ (*)

Bảng biến thiên của hàm số $f\left( x \right) = {x^2} + 2x$ trên khoảng $\left( {0;4} \right)$ như sau:

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy phương trình (*) có đúng một nghiệm thuộc khoảng $\left( {0;4} \right)$ khi $0 < m < 24$.

Vì $m \in \mathbb{Z}$ nên $m \in \left\{ {1;2;3;...;23} \right\}$.

Vậy có 23 giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn yêu cầu.

Đáp án đúng là: B

$\overrightarrow {OA} = \left( {3; - 4;0} \right)$.

Đáp án đúng là: A

Hình chữ nhật $OKMN$ nên $N$ là hình chiếu của $M$trên mặt phẳng $Oxy$,$K$ là hình chiếu của $M$trên trục $Oz$, do đó tọa độ đỉnh $M$là: $M\left( {1;\,2;\,2} \right)$.

Đáp án đúng là: C

Ta có $\overrightarrow i = (1;0;0),\overrightarrow j = (0;1;0),\overrightarrow k = (0;0;1).$

Do đó, $\overrightarrow i + \overrightarrow j - \overrightarrow k = (1;1; - 1).$

Đáp án đúng là: B

Ta có $\overrightarrow {MN} = \left( {2 - 3;4 + 2;1 - 0} \right) = \left( { - 1;6;1} \right)$.

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\overrightarrow {OM} = \left( {1;5;2} \right) \Rightarrow M\left( {1;5;2} \right)$, $\overrightarrow {ON} = \left( {3;7; - 4} \right) \Rightarrow N\left( {3;7; - 4} \right)$.

Vì $P$ là điểm đối xứng với $M$qua $N$ nên $N$ là trung điểm của $MP$, ta suy ra được

$\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {NP}$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_N} - {x_M} = {x_P} - {x_N}\\{y_N} - {y_M} = {y_P} - {y_N}\\{z_N} - {z_M} = {z_P} - {z_N}\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_P} = 5\\{y_P} = 9\\{z_P} = - 10\end{array} \right. \Rightarrow P\left( {5;9; - 10} \right)$.

Khi đó $\overrightarrow {KP} = \left( {6;6; - 11} \right)$.

Đáp án đúng là: C

Theo giả thiết có $\overrightarrow {AB} = 2\,\overrightarrow i \,;\,\,\overrightarrow {AD} = 4\,\overrightarrow j \,;\,\overrightarrow {AA'} = 3\,\overrightarrow k \,;\,$

Áp dụng quy tắc hình hộp ta có: $\overrightarrow {AC'} \, = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} = 2\,\overrightarrow i \, + 4\overrightarrow j \, + 3\overrightarrow k$.

Do đó điểm $C'$ có tọa độ là $\left( {2;4;3} \right)$. Vậy $a + b - c = 2 + 4 - 3 = 3$.

Đáp án đúng là: B

Khoảng tứ phân vị dùng để đo độ phân tán của nửa giữa của mẫu số liệu, không bị ảnh hưởng nhiều bởi các giá trị ngoại lệ trong mẫu số liệu.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có: ${Q_1} = 6 + \frac{{23 - 14}}{{30}}.5 = \frac{{15}}{2} = 7{,}5$.

Ta có: ${Q_3} = 11 + \frac{{69 - 44}}{{25}}.5 = 16$.

Suy ra khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên là: $\Delta Q = {Q_3} - {Q_1} = 8{,}5$.

a) S, b) Đ, c) S, d) Đ

a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f\left( x \right) - \left( { - x + 1} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( { - \frac{1}{{x - 1}}} \right) = 0$; $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {f\left( x \right) - \left( { - x + 1} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( { - \frac{1}{{x - 1}}} \right) = 0$.

Do đó $y = - x + 1$ là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

b) $y' = - 1 + \frac{1}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}$$= \frac{{2x - {x^2}}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}},x \ne 1$.

c) Có $y' = \frac{{2x - {x^2}}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = 0$$\Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = 2$.

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên, ta có giá trị cực tiểu của hàm số $y = f\left( x \right)$ là $2$.

d) Với $x > 1$, ta có:

${x^2} + \left( {m - 2} \right)x - m + 2 \ge 0$$\Leftrightarrow m\left( {x - 1} \right) \ge - {x^2} + 2x - 2$$\Leftrightarrow m \ge \frac{{ - {x^2} + 2x - 2}}{{x - 1}}$ hay $f\left( x \right) \le m$.

Từ bảng biến thiên, ta có $f\left( x \right) \le - 2$ với mọi $x > 1$.

Suy ra nếu $m \ge - 2$ thì bất phương trình $f\left( x \right) \le m$ nghiệm đúng với mọi $x > 1$.

a) Đ, b) S, c) Đ, d) S

Ta có $C'\left( t \right) = 0{,}05.\frac{{{t^2} + t + 1 - t\left( {2t + 1} \right)}}{{{{\left( {{t^2} + t + 1} \right)}^2}}} = \frac{{1 - {t^2}}}{{20{{\left( {{t^2} + t + 1} \right)}^2}}},t \ge 0$.

Bảng biến thiên

Từ đó, a) và c) đúng; b) sai

Vì giá trị lớn nhất của $C\left( t \right)$ là $\frac{1}{{60}} \approx 0{,}01666... < 0{,}02$ nên d) sai.

a) S, b) S, c) S, d) Đ

a) Các vectơ (khác vectơ $\overrightarrow 0$) có điểm đầu và điểm cuối được tạo thành từ các đỉnh của tứ diện là: $\overrightarrow {AB\,}$,$\overrightarrow {AC\,}$,$\overrightarrow {AD\,}$,$\overrightarrow {BA\,}$,$\overrightarrow {BC\,}$,$\overrightarrow {B{\rm{D}}\,}$,$\overrightarrow {CA\,}$,$\overrightarrow {CB\,}$,$\overrightarrow {C{\rm{D}}\,}$,$\overrightarrow {DA\,}$,$\overrightarrow {DB\,}$,$\overrightarrow {DC\,}$.

Do đó có $12$ vectơ thỏa mãn yêu cầu.

b) $(\overrightarrow {AB\,} ,\overrightarrow {BC} ) = 180^\circ - (\overrightarrow {BA\,} ,\overrightarrow {BC} ) = 180^\circ - \widehat {ABC} = 120^\circ$.

c) $\overrightarrow {BE\,} = \overrightarrow {BC\,} + \overrightarrow {CE\,} = \overrightarrow {BC\,} + \frac{1}{3}\overrightarrow {CD\,} = \overrightarrow {BC\,} + \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {BD\,} - \overrightarrow {BC\,} } \right) = \frac{2}{3}\overrightarrow {BC\,} + \frac{1}{3}\overrightarrow {BD\,}$.

Do đó $m = 0$,$n = \frac{2}{3}$,$p = \frac{1}{3}$. Suy ra $m + n + p = 1$.

d) Ta có: $\overrightarrow {BE} = \overrightarrow {AE} - \overrightarrow {AB} = \left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CE} } \right) - \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AC} + \frac{1}{3}\overrightarrow {CD} - \overrightarrow {AB}$

$= \overrightarrow {AC} + \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AC} } \right) - \overrightarrow {AB} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AC} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB}$.

Suy ra: $\overrightarrow {AD} .\overrightarrow {BE} = \overrightarrow {AD} .\left( {\frac{2}{3}\overrightarrow {AC} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} } \right) = \frac{2}{3}.\overrightarrow {AD} .\overrightarrow {AC} + \frac{1}{3}.{\overrightarrow {AD} ^2} - \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {AB}$

$= \frac{2}{3}.a.a.\cos 60^\circ + \frac{1}{3}{a^2} - a.a.\cos 60^\circ = \frac{{{a^2}}}{6}$.

a) Đ, b) S, c) Đ, d) Đ

a) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm về thời gian tập thể dục của Chi là $40 - 15 = 25$ (phút).

b) Ở bạn Bình.

Tứ phân vị thứ nhất là ${Q_1} = 20 + \frac{{\frac{{30}}{4} - 5}}{8}.5 = \frac{{345}}{{16}}$.

c) Ở bạn Chi.

Tứ phân vị thứ nhất là ${Q_1} = 15 + \frac{{\frac{{30}}{4} - 0}}{{10}}.5 = 18{,}75$.

Tứ phân vị thứ ba là ${Q_3} = 25 + \frac{{\frac{{3.30}}{4} - \left( {10 + 10} \right)}}{5}.5 = 27{,}5$.

Vậy khoảng tứ phân vị là ${\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = 8{,}75$.

d) Thời gian trung bình bạn Bình tập thể dục buổi sáng là

$\overline x = \frac{{17{,}5.5 + 22{,}5.8 + 27{,}5.10 + 32{,}5.4 + 37{,}5.3}}{{30}} = \frac{{157}}{6}$.

Vậy phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm về thời gian tập thể dục buổi sáng của bạn Bình là

${s^2} = \frac{{{{17{,}5}^2}.5 + {{22{,}5}^2}.8 + {{27{,}5}^2}.10 + {{32{,}5}^2}.4 + {{37{,}5}^2}.3}}{{30}} - {\left( {\frac{{157}}{6}} \right)^2} = \frac{{314}}{9}$.

Trả lời: 7

Dựa vào đồ thị ta có $f\left( {f\left( x \right)} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f\left( x \right) = a\,\,\,\,\left( { - 1 < a < 0} \right)\\f\left( x \right) = 1\\f\left( x \right) = b\,\,\,\,\left( {2 < b < 3} \right)\end{array} \right.$ .

Phương trình $f\left( x \right) = a$ với $- 1 < a < 0$ có ba nghiệm thực phân biệt.

Phương trình $f\left( x \right) = 1$ có ba nghiệm thực phân biệt.

Phương trình $f\left( x \right) = b$ với $2 < b < 3$ có một nghiệm .

Vậy phương trình $f\left( {f\left( x \right)} \right) = 0$ có $7$ nghiệm thực phân biệt.

Trả lời: 20,8

Kí hiệu $x$ là hoành độ của điểm $B$ $\left( {0 < x < 3} \right)$.

Ta có $AB = 2x,BC = 9 - {x^2}$.

Từ đó, diện tích hình chữ nhật $ABCD$ là $S\left( x \right) = 18x - 2{x^3},0 < x < 3$.

Ta có $S'\left( x \right) = 18 - 6{x^2}$, $S'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow {x^2} = 3 \Leftrightarrow x = \sqrt 3$ (do $x > 0$).

Bảng biến thiên

Từ đó $\mathop {\max }\limits_{\left( {0;3} \right)} S\left( x \right) = S\left( {\sqrt 3 } \right) = 12\sqrt 3 \approx 20{,}8$.

Trả lời: 512

Số cá bác đã thả trong vụ vừa qua là 20.50 = 1000 con.

Gọi $x$ là số cá giảm đi, khi đó năng suất $a$ tăng $a = \frac{{0{,}5.x}}{8} = 0{,}0625x$ (kg/con).

Vậy sản lượng thu được trong năm tới của bác Tôm sẽ là

$f\left( x \right) = \left( {1000 - x} \right)\left( {1{,}5 + 0{,}0625x} \right)$ (kg).

Xét hàm số $f\left( x \right) = \left( {1000 - x} \right)\left( {1{,}5 + 0{,}0625x} \right) = - 0{,}0625{x^2} + 61x + 1500$.

Có $f'\left( x \right) = - 0{,}125x + 61$; $f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 488$.

Bảng biến thiên

Vậy số cá giống cần mua là $1000 - 488 = 512$.

Trả lời: 64

Khối đa diện tạo ra mái nhà được tách thành 3 khối là 2 khối chóp có đáy là hình chữ nhật và khối lăng trụ đứng tam giác nên $V = {V_{S.ADMN}} + {V_{SAD.KBC}} + {V_{K.BCFE}}$.

Mà ${V_{S.ADMN}} = {V_{K.BCFE}}$

Theo hình vẽ hệ trục có $N\left( {2;2;0} \right)$suy ra $\left\{ \begin{array}{l}MN = 4\\AN = 2\\AB = 8\end{array} \right.$

Khi đó, $V = 2{V_{S.ADMN}} + {V_{SAD.KBC}} = 2.\frac{1}{3}.4.2.3 + \frac{1}{2}.4.3.8 = 64$(đvtt).

Trả lời: 14,47

Gọi vị trí tháp là $T\left( {x;y;z} \right)$.

Vì$AB = AC = BC = 6$nên tam giác $ABC$ đều.

Khi đó vị trí của tháp là trọng tâm của tam giác $ABC$.

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{0 + 6 + 3}}{3} = \frac{9}{2}\\y = \frac{{0 + 0 + \sqrt 3 }}{3} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\\z = \frac{{0 + 0 + 2\sqrt 6 }}{3} = \frac{{2\sqrt 6 }}{3}\end{array} \right.$$\Rightarrow T\left( {\frac{9}{2};\frac{{\sqrt 3 }}{3};\frac{{2\sqrt 6 }}{3}} \right)$.

Khi đó khoảng cách từ tháp đến các toà nhà là: $TA = TB = TC = \frac{{\sqrt {93} }}{2}$.

Vậy tổng khoảng cách cần tìm là: $S = TA + TB + TC = \frac{{3\sqrt {93} }}{2} \approx 14{,}47$.

Trả lời: 2,96

Ta có bảng tần số ghép nhóm

Tứ phân vị thứ nhất ${Q_1} = 8 + \frac{{\frac{{50}}{4} - 4}}{{12}} \cdot \left( {10 - 8} \right) = \frac{{113}}{{12}}$.

Tứ phân vị thứ ba ${Q_3} = 12 + \frac{{\frac{{50 \cdot 3}}{4} - 36}}{8} \cdot \left( {14 - 12} \right) = \frac{{99}}{8}$.

Khoảng tứ phân vị ${\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = \frac{{99}}{8} - \frac{{113}}{{12}} = \frac{{71}}{{24}} \approx 2{,}96$.