Đề thi cuối kì 1 Toán 12 cấu trúc mới (có đáp án) - Đề 08

Đáp án đúng là: D

Điểm cực đại của hàm số là $x = 6.$

Đáp án đúng là: D

Từ đồ thị hàm số ta suy ra số nghiệm của phương trình $f\left( x \right) = 1$ là 3.

Đáp án đúng là: C

Cho $x = 0 \Rightarrow y = - \frac{1}{c} < 0 \Leftrightarrow c > 0$.

Đường tiệm cận đứng $x = - \frac{c}{b} = 2 \Rightarrow c = - 2b \Rightarrow b < 0$ (do $c > 0$).

Tiệm cận ngang $y = \frac{a}{b} = - 1 \Leftrightarrow a = - b \Rightarrow a > 0$ (do $b < 0$).

Khi đó $a > 0;b < 0;c > 0$.

Đáp án đúng là: A

Ta có $D = \mathbb{R}$, $y' = \frac{{2x}}{{\sqrt {2{x^2} + 1} }}$; $y' > 0 \Leftrightarrow x > 0$.

Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( { - \infty ;\,0} \right)$ và đồng biến trên khoảng $\left( {0;\, + \infty } \right)$.

Đáp án đúng là: B

Theo quy tắc hình hộp ta có đáp án B.

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\overrightarrow {MN} = \left( {\frac{1}{2} - \frac{1}{2};\left( { - 2} \right) - 1;4 - \left( { - 3} \right)} \right) = \left( {0; - 3;7} \right)$$_{.}$

Đáp án đúng là: C

Tọa độ vectơ vận tốc $\overrightarrow v$ của máy bay $B$là: $\overrightarrow v = - 2\overrightarrow u \Rightarrow \overrightarrow v = \left( { - 600; - 400; - 800} \right)$.

Đáp án đúng là: C

Ta có $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AB} .\left( {\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AC} } \right) = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}$

$= AB.AD.\cos 60^\circ - AB.AC.\cos 60^\circ = 0$

$\Rightarrow \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} } \right) = 90^\circ$.

Đáp án đúng là: B

Vì$A'$ đối xứng với $A$ qua $B$ nên $B$ là trung điểm của $AA'$.

Do đó $\left\{ \begin{array}{l}{x_B} = \frac{{{x_A} + {x_{A'}}}}{2}\\{y_B} = \frac{{{y_A} + {y_{A'}}}}{2}\\{z_B} = \frac{{{z_A} + {z_{A'}}}}{2}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{A'}} = 2{x_B} - {x_A} = 2.\left( { - 1} \right) - 2 = - 4\\{y_{A'}} = 2{y_B} - {y_A} = 2.2 - 1 = 3\\{z_{A'}} = 2{z_B} - {z_A} = 2.1 - 1 = 1\end{array} \right.$.

Vậy $A'\left( { - 4;3;1} \right)$.

Đáp án đúng là: D

Ta có $\overrightarrow x = \overrightarrow a - 4\overrightarrow b + 2\overrightarrow c$$= \left( { - 9;0;25} \right)$.

Đáp án đúng là: B

Ta có $s = \sqrt {25} = 5$.

Đáp án đúng là: A

Nhóm $[82;84)$ là nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ lớn hơn hoặc bằng $\frac{n}{4} = \frac{{90}}{4} = 22{,}5$ nên chứa tứ phân vị thứ nhất.

Ta có: ${Q_1} = 82 + \frac{{22{,}5 - 18}}{{20}}.2 = 82{,}45$

Nhóm $[86;88)$ là nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ lớn hơn hoặc bằng $\frac{{3n}}{4} = \frac{{3.90}}{4} = 67{,}5$ nên chứa tứ phân vị thứ ba.

Ta có: ${Q_3} = 86 + \frac{{67{,}5 - 62}}{{15}} \cdot 2 = \frac{{1301}}{{15}}$

Suy ra khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên là: $\Delta Q = {Q_3} - {Q_1} \approx 4{,}28$.

a) Đ, b) S, c) S, d) S

a) Dựa trên bảng biến thiên ta có $\mathop {\max }\limits_{{\rm{[}}0;2]} f(x) = 4$ tại $x = 2$.

b) Hàm số không có giá trị nhỏ nhất.

c) Đặt $t = 2\cos x,\,\,t \in \left[ { - 2;2} \right]$, ta có $y = f\left( {2\cos x} \right) = f(t)$.

$\mathop {\max }\limits_\mathbb{R} f\left( {2\cos x} \right) = \mathop {\max }\limits_{{\rm{[}} - 2;2]} f\left( t \right) = 4$ khi $t = \pm 2$, tức là $\cos x = \pm 1$.

Mà $\cos \frac{\pi }{2} = 0$ nên hàm số $y = f\left( {2\cos x} \right)$ không đạt giá trị lớn nhất tại $x = \frac{\pi }{2}$.

d) Đặt $t = f(x)$, ta có $y = f\left( {f(x)} \right) = f(t)$, $x \in \left( { - 2;2} \right) \Rightarrow t \in \left[ {0;4} \right)$.

Ta có $\mathop {\max }\limits_{\left( { - 2;2} \right)} f\left( {f(x)} \right) = \mathop {\max }\limits_{{\rm{[}}0;4)} f\left( t \right) = 4$ khi $t = 2$.

a) Đ, b) Đ, c) Đ, d) S

a) Tiệm cận đứng là $x = 2$.

b) Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\frac{{{x^2} - 2x + 4}}{{x - 2}} - x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\frac{4}{{x - 2}}} \right) = 0;$$\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\frac{{{x^2} - 2x + 4}}{{x - 2}} - x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\frac{4}{{x - 2}}} \right) = 0$.

Vậy phương trình tiệm cận xiên là $y = x$.

c) Ta có $y' = 1 - \frac{4}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}$. Ta thấy $y' = 0 \Leftrightarrow x = 0;x = 4$; $y\left( 0 \right) = - 2;y\left( 4 \right) = 6$.

Vậy tổng các giá trị cực đại và giá trị cực tiểu là $- 2 + 6 = 4$.

d) Phương trình hoành độ giao điểm $\frac{{{x^2} - 2x + 4}}{{x - 2}} = mx - 2$

Dễ thấy phương trình không có nghiệm $x = 2$ nên phương trình tương đương

$\left( {m - 1} \right){x^2} - 2mx = 0$.

Nếu $m = 1$ thì phương trình có nghiệm duy nhất $x = 0$(KTM).

Nếu $m \ne 1$, phương trình đã cho có hai nghiệm $x = 0;x = \frac{{2m}}{{m - 1}}$.

Yêu cầu bài toán tương đương $\frac{{2m}}{{m - 1}} > 2 \Leftrightarrow \frac{2}{{m - 1}} > 0 \Leftrightarrow m > 1$.

Vậy có 9 giá trị nguyên của tham số $m$ thỏa mãn là $2;3;4;5;6;7;8;9;10$.

a) Đ, b) Đ, c) S, d) Đ

a) $I$ là trung điểm của $AB$ nên $I\left( {\frac{3}{2};\frac{3}{2};4} \right)$.

b) $\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = \left( {5;7;10} \right)$.

c) Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( {1; - 1;2} \right),\overrightarrow {AC} = \left( {1;2; - 1} \right)$.

$\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \frac{{1.1 + \left( { - 1} \right).2 + 2.\left( { - 1} \right)}}{{\sqrt {1 + 1 + 4} .\sqrt {1 + 4 + 1} }} = \frac{1}{2}$$\Rightarrow \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = 60^\circ$.

d) Gọi $K\left( {x;y;z} \right)$ thỏa mãn $3\overrightarrow {KB} - \overrightarrow {KC} = \overrightarrow 0$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3\left( {2 - x} \right) - \left( {2 - x} \right) = 0\\3\left( {1 - y} \right) - \left( {4 - y} \right) = 0\\3\left( {5 - z} \right) - \left( {2 - z} \right) = 0\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = - \frac{1}{2}\\z = \frac{{13}}{2}\end{array} \right.$.

Suy ra $K\left( {2; - \frac{1}{2};\frac{{13}}{2}} \right)$.

Khi đó $T = \left| {3\overrightarrow {IB} - \overrightarrow {IC} } \right| = \left| {3\overrightarrow {IK} - \overrightarrow {IK} + 3\overrightarrow {KB} - \overrightarrow {KC} } \right| = \left| {2\overrightarrow {IK} } \right| = 2IK$.

$T$ đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi $I$ là hình chiếu của $K$ trên $\left( {Oxz} \right)$.

Vậy $I\left( {2;0;\frac{{13}}{2}} \right)$. Suy ra $a = 2;b = 0;c = \frac{{13}}{2}$. Do đó $a - 2b + 2c = 15$.

a) S, b) S, c) Đ, d) Đ

a) Khoảng biến thiên của điểm thi của học sinh lớp $12A$ là ${R_A} = 10 - 6 = 4$.

Khoảng biến thiên của điểm thi của học sinh lớp $12B$ là ${R_B} = 10 - 5 = 5$.

b) Điểm trung bình môn Toán của lớp $12A$ là

$\overline {{x_A}} = \frac{{2.6{,}5 + 6.7{,}5 + 12.8{,}5 + 10.9{,}5}}{{30}} = \frac{{17}}{2} = 8{,}5$.

Điểm trung bình môn Toán của lớp $12B$ là

$\overline {{x_B}} = \frac{{2.5{,}5 + 12.6{,}5 + 10.7{,}5 + 5.8{,}5 + 1.9{,}5}}{{30}} = \frac{{36}}{5} = 7{,}2$.

Vì $\overline {{x_A}} > \overline {{x_B}}$nên số điểm trung bình môn Toán trong kỳ kiểm tra đánh giá của lớp $12A$ lớn hơn của lớp $12B$.

c) Ta có ${Q_1} = 7 + \frac{{\frac{{30}}{4} - 2}}{6}.1 = \frac{{95}}{{12}}$; ${Q_3} = 9 + \frac{{\frac{{90}}{4} - 20}}{{10}}.1 = \frac{{37}}{4}$.

Suy ra ${\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = \frac{4}{3} \approx 1{,}33$.

d) Ta tính khoảng tứ phân vị của lớp 12B.

${Q_1} = 6 + \frac{{\frac{{30}}{4} - 2}}{{12}}.1 = \frac{{155}}{{24}}$; ${Q_3} = 7 + \frac{{\frac{{90}}{4} - 14}}{{10}}.1 = \frac{{157}}{{20}}$.

Suy ra ${\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = \frac{{167}}{{120}} \approx 1{,}39$.

Trả lời: 7

Ta có:$y' = - 3{x^2} - 2mx + \left( {4m + 9} \right)$.

Hàm số nghịch biến trên $\left( { - \infty ; + \infty } \right)$ khi $y' \le 0,\forall x \in \left( { - \infty ; + \infty } \right)$.

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 1 < 0\\\Delta ' = {m^2} + 12m + 27 \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow - 9 \le m \le - 3$.

Vì $m$ nguyên nên $m \in \left\{ { - 9; - 8; - 7; - 6; - 5; - 4; - 3} \right\}$.

Vậy có $7$ giá trị.

Trả lời: 30

Để chi phí xây dựng bờ rào là ít tốn kém nhất thì chu vi mảnh đất phải bé nhất.

Gọi $x$ là chiều dài của mảnh đất hình chữ nhật$\left( {x > 0} \right)$.

Suy ra chiều rộng là $\frac{{100}}{x}$.

Chu vi của mảnh đất hình chữ nhật là $C\left( x \right) = 2x + \frac{{200}}{x}$.

Ta có:$C'\left( x \right) = 2 - \frac{{200}}{{{x^2}}} = \frac{{2{x^2} - 200}}{{{x^2}}}$.

$C'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 2{x^2} - 200 = 0 \Leftrightarrow x = 10$$\left( {v\`i \,\,x > 0} \right)$

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta thấy $\mathop {\min \,\,C\left( x \right) = C(10) = 40}\limits_{\left( {0; + \infty } \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}$.

Suy ra chu vi mảnh đất hình chữ nhật bé nhất khi chiều dài bằng $10\,{\rm{m}}$, chiều rộng bằng $10\,{\rm{m}}$

Vậy $a + 2b = 30$.

Trả lời: 41

Gọi $x$ đồng $\left( {30000 < x < 50000} \right)$ là giá bán vải mới để cửa hàng thu được lợi nhuận lớn nhất.

Suy ra giá bán ra đã giảm là $50000 - x$ (đồng).

Số lượng vải bán ra đã tăng thêm là $\frac{{50\left( {50000 - x} \right)}}{{4000}} = 625 - 0{,}0125x$.

Tổng số vải bán được là $25 + 625 - 0{,}0125x = 650 - 0{,}0125x$.

Doanh thu của cửa hàng là $\left( {650 - 0{,}0125x} \right)x$.

Số tiền vốn ban đầu để mua vải là $\left( {650 - 0{,}0125x} \right)30000$.

Vậy lợi nhuận của cửa hàng là:

$\left( {650 - 0{,}0125x} \right)x - \left( {650 - 0{,}0125x} \right)30000 = - 0{,}0125{x^2} + 1025x - 19500000$.

Ta có $f\left( x \right) = - 0{,}0125{x^2} + 1025x - 19500000 = - 0{,}0125{\left( {x - 41000} \right)^2} + 1512500 \le 1512500$.

Suy ra $\max f\left( x \right) = 1512500$ khi $x = 41000$ đồng $= 41$ nghìn đồng.

Vậy giá bán mỗi cân vải là 41 nghìn đồng thì cửa hàng thu được lợi nhuận lớn nhất.

Trả lời: 2

Ta có $\overrightarrow {AC'} = \left( {3;\,5;\, - 6} \right)\,;\,\overrightarrow {AB} = \left( {1;1;1} \right)\,;\,\overrightarrow {AD} = \left( {0;\, - 1;\,0} \right)\,$

Theo quy tắc hình hộp ta có $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {AC'}$.

$\Rightarrow \overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {AC'} - \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AD} = \left( {3 - 1 - 0\,;5 - 1 + 1\,;\, - 6 - 1 - 0\,} \right) = \left( {2;\,5;\, - 7} \right)$.

Gọi $A'\left( {x;\,y;\,z} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AA'} = \left( {x - 1;y;\,z - 1} \right) = \left( {2;\,5;\, - 7} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 1 = 2\\y = 5\\z - 1 = - 7\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 5\\z = - 6\end{array} \right. \Rightarrow A'\left( {3;\,5;\, - 6} \right)$.

Suy ra $a = 3;b = 5;c = - 6$. Do đó $a + b + c = 3 + 5 - 6 = 2$.

Trả lời: 27,7

Ta có: $P = \left| {\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_3}} } \right| = \left| {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} } \right|$.

Vẽ hình vuông $OAEB$, ta có $\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} = \overrightarrow {OE}$. (Quy tắc hình bình hành)

Vẽ hình chữ nhật $OCFE$, ta có $\overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OE} = \overrightarrow {OF}$. (Quy tắc hình bình hành)

Suy ra: $P = \left| {\overrightarrow {OF} } \right| = OF$.

Xét hình vuông $OAEB$, cạnh $16$, có đường chéo $OE = 16\sqrt 2$.

Xét tam giác vuông $OEF$, vuông tại $E$, có

$OF = \sqrt {O{E^2} + E{F^2}} = \sqrt {{{\left( {16\sqrt 2 } \right)}^2} + {{16}^2}} = 16\sqrt 3 \approx 27{,}7$.

Vậy $P \approx 27{,}7$(N).

Trả lời: 4,6

Bảng phân bố tần số tần suất của bảng số liệu của công ty bất động sản Đất Vàng

Mức giá trung bình của công ty là

$\overline x = \frac{{12.75 + 16.105 + 20.179 + 24.96 + 28.45}}{{500}} = 19{,}448$ (triệu đồng)

Phương sai của mức giá là:

${s^2} = \frac{{{{12}^2}.75 + {{16}^2}.105 + {{20}^2}.179 + {{24}^2}.96 + {{28}^2}.45}}{{500}} - {19{,}448^2} \approx 21{,}5$.

Độ lệch chuẩn của mức giá $\sqrt {{s^2}} = 4{,}6$.