Đề thi cuối kì 1 Toán 12 cấu trúc mới (có đáp án) - Đề 07

Đáp án đúng là: A

Đường cong có dạng của đồ thị hàm số bậc $3$ với hệ số $a > 0$ và đi qua gốc tọa độ $O$ nên chỉ có hàm số $y = {x^3} - 2024x$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án đúng là: C

Hàm số có tập xác định là $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 2;1} \right\}$.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{x + 1}}{{{x^2} + x - 2}} = + \infty$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{x + 1}}{{{x^2} + x - 2}} = - \infty$ nên đường thẳng $x = 1$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ + }} \frac{{x + 1}}{{{x^2} + x - 2}} = + \infty$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ - }} \frac{{x + 1}}{{{x^2} + x - 2}} = - \infty$ nên đường thẳng $x = - 2$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Vậy đồ thị hàm số có $2$tiệm cận đứng.

Đáp án đúng là: A

Ta có $f'\left( x \right) = 1 - \frac{4}{{{x^2}}}$; $f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 2$ hoặc $x = - 2$.

Bảng biến thiên của hàm số đã cho trên khoảng$\left( { - 4;0} \right)$:

Từ bảng biến thiên, ta thấy $\mathop {{\rm{max}}}\limits_{\left( { - 4;0} \right)} f\left( x \right) = f\left( { - 2} \right) = - 4$.

Đáp án đúng là: C

Từ đồ thị, ta thấy đồ thị hàm số có tiệm cận đứng $x = 1$.

Vì đồ thị hàm số có tiệm cận đứng $x = 1$ nên ta có $b = - 1$.

Đồ thị đi qua gốc toạ độ nên ta có: $a = 0$

Vậy $T = a + b = - 1$.

Đáp án đúng là: D

Hai vectơ $\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AD}$ có giá cùng nằm trong mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$.

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\overrightarrow a = 2\overrightarrow i + \overrightarrow k - 3\overrightarrow j = 2\overrightarrow i - 3\overrightarrow j + 1.\overrightarrow k$$\Rightarrow \overrightarrow a = \left( {2; - 3;1} \right)$.

Đáp án đúng là: C

Ta có: $- \frac{1}{2}\overrightarrow u = \left( { - 2;1; - 3} \right)$.

Gọi $N\left( {x;\,y;\,z} \right)$. Ta có $\overrightarrow {MN} = \left( {x - 4;y - 1;z + 2} \right)$.

Khi đó $\overrightarrow {MN} = - \frac{1}{2}\overrightarrow u \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 4 = - 2\\y - 1 = 1\\z + 2 = - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 2\\z = - 5\end{array} \right.$.

Vậy $N\left( {2;\,2;\, - 5} \right)$.

Đáp án đúng là: C

Ta có $M$ thuộc cạnh $AB$ và $AM = 2BM$ nên $\overrightarrow {AM} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AB}$.

Do $G$ là trọng tâm tam giác $BCD$ nên $3\overrightarrow {AG} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD}$ hay $\overrightarrow {AG} = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} } \right)$.

Mà $\overrightarrow {MG} = \overrightarrow {AG} - \overrightarrow {AM}$ nên $\overrightarrow {MG} = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} } \right) - \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} = - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AD}$.

Đáp án đúng là: D

Ta có: $A\left( {4\,;0\,;0} \right) \in Ox$, $B\left( {0\,;2\,;0} \right) \in Oy$ nên tam giác $OAB$vuông tại $O$.

Do đó, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $OAB$là trung điểm $I$ của cạnh $AB$.

Vậy $I = \left( {2\,;1\,;0} \right)$.

Đáp án đúng là: A

Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( {4;x - 5;2} \right),\,\,\overrightarrow {AC} = \left( {6; - 3;y + 1} \right)$

$A,\,\,B,\,\,C$thẳng hàng khi $\overrightarrow {AB} ,\,\,\overrightarrow {AC}$ cùng phương

$$\Leftrightarrow \frac{4}{6} = \frac{{x - 5}}{{ - 3}} = \frac{2}{{y + 1}} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}6\left( {x - 5} \right) = - 12\\4\left( {y + 1} \right) = 12\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 2\end{array} \right.$$

Vậy $x + y = 5.$

Đáp án đúng là: C

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là ${Q_3} - {Q_1}$.

Đáp án đúng là: B

Cỡ mẫu $n = 56$.

Gọi ${x_1};{x_2}; \ldots ;{x_{56}}$ là mẫu số liệu gốc về thời gian truy bài trước mỗi buổi học của $56$ số học sinh trong một tuần được xếp theo thứ tự không giảm.

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là $\frac{{{x_{14}} + {x_{15}}}}{2} \in [12{,}5\,;\,15{,}5)$.

a) Đ, b) S, c) Đ, d) S

a) Dựa vào đồ thị ta thấy hàm số đồng biến trên khoảng $\left( {0;2} \right)$.

b) Dựa vào đồ thị ta thấy hàm số đạt cực đại tại $x = 2$.

c) Theo đồ thị ta thấy $\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} f\left( x \right) = 0$và $\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} f\left( x \right) = - 4$.

d) Xét hàm số $g\left( x \right) = f\left( {3 - x} \right)$ . Vì $f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ nên $g\left( x \right)$liên tục trên $\mathbb{R}$.

Từ đồ thị ta có bảng xét dấu của $f'\left( x \right)$ như sau:

Ta có: $g'\left( x \right) = {\left( {3 - x} \right)^\prime }f'\left( {3 - x} \right) = - f'\left( {3 - x} \right)$.

Cho $g'\left( x \right) = 0$$\Leftrightarrow - f'\left( {3 - x} \right) = 0$$\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{3 - x = 0}\\{3 - x = 2}\end{array}} \right.$$\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x = 3}\\{x = 1}\end{array}} \right.$.

Từ bảng xét dấu của $f'\left( x \right)$ suy ra được bảng xét dấu của $g'\left( x \right)$

Vậy hàm số $g\left( x \right)$ không nghịch biến trên $\left( {2;5} \right)$.

a) Đ, b) S, c) Đ, d) S

a) Có $y' = \frac{{{x^2} - 2x}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} > 0,\,\forall x \in \left( {2; + \infty } \right)$ nên hàm số $y = \frac{{{x^2} - x + 1}}{{x - 1}}$ đồng biến trên $\left( {2;\; + \infty } \right)$.

b) $f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow {x^{2017}}{\left( {x - 1} \right)^{2018}}\left( {x + 1} \right)\, = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\\x = - 1\end{array} \right.$

Lập bảng biến thiên

Vậy hàm số chỉ có hai điểm cực trị.

c) Ta có: $y' = 3{x^2} - 6x + 2a,\,\,y'' = 6x - 6$.

Để đồ thị hàm số có điểm cực trị $A(2\,;\, - 2)$ cần có:

$\left\{ \begin{array}{l}y'(2) = 0\\y(2) = - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a = 0\\4a + b - 4 = - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 0\\b = 2\end{array} \right.$. Vậy $a + b = 2$.

d) Chi phí sản xuất $x$(kg) sản phẩm loại A là $5000 + 4x$.

Chi phí sản xuất mỗi (kg) sản phẩm loại A là $T\left( x \right) = \frac{{5000 + 4x}}{x}$.

TXĐ: $D = \left( {0; + \infty } \right)$. $T'\left( x \right) = \frac{{ - 5000}}{{{x^2}}} < 0\,\,\,\forall x \in D$.

Mặt khác với $x = {10^5} \in D$, $T\left( x \right) = 4{,}05 < 4{,}1$ nên 4,1 không phải là GTNN của $T\left( x \right)$ trên $D.$

a) Đ, b) S, c) S, d) Đ

a) Vì nền nhà là hình chữ nhật nên $OABC$ là hình chữ nhật, suy ra ${x_A} = {x_B} = 4$, ${y_C} = {y_B} = 5$.

Do điểm $A$ nằm trên trục $Ox$ nên tọa độ điểm $A\left( {4\,;\,0\,;\,0} \right)$; điểm $C$ nằm trên trục $Oy$ nên tọa độ điểm $C\left( {0;5;0} \right)$.

Tường nhà là hình chữ nhật nên $OCHE$ là hình chữ nhật, suy ra ${y_H} = {y_c} = 5$, ${z_H} = {z_E} = 3$.

Do $H$ nằm trên mặt phẳng $\left( {Oyz} \right)$ nên tọa độ điểm $H\left( {0;5;3} \right)$.

Tứ giác $OAFE$ là hình chữ nhật nên ${x_F} = {x_A} = 4$, ${z_F} = {z_E} = 3$

Do $F$ nằm trên mặt phẳng $\left( {Oxz} \right)$ nên tọa độ điểm $F\left( {4;0;3} \right)$.

b) Ta có toạ độ vectơ $\overrightarrow {AH} = ( - 4\,;\,5\,;\,3)$.

c) Ta có $\overrightarrow {AF} = (0\,;0\,;3)$. Suy ra $\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {AF} = 0 + 0 + 9 = 9$.

d) Để tính góc đốc của mái nhà, ta tính số đo của góc nhị diện có cạnh là đường thẳng $FG$, hai mặt lần lượt là $\left( {FGQP} \right)$ và $\left( {FGHE} \right)$.

Do mặt phẳng $\left( {Ozx} \right)$ vuông góc với hai mặt phẳng $\left( {FGQP} \right)$ và $\left( {FGHE} \right)$ nên $\widehat {PFE}$ là góc phẳng nhị diện cần tìm.

Ta có $\overrightarrow {FP} = ( - 2\,;\,0\,;\,1)$, $\overrightarrow {FE} = ( - 4\,;\,0\,;\,0)$ suy ra

$\cos \widehat {PFE} = \cos (\overrightarrow {FP} ,\overrightarrow {FE} ) = \frac{{\overrightarrow {FP} .\overrightarrow {FE} }}{{\left| {\overrightarrow {FP} } \right|.\left| {\overrightarrow {FE} } \right|}} = \frac{{( - 2)( - 4) + 0.0 + 1.0}}{{\sqrt {{{( - 2)}^2} + {0^2} + {1^2}} .\sqrt {{{( - 4)}^2} + {0^2} + {0^2}} }} = \frac{{2\sqrt 5 }}{5}$.

Do đó, $\widehat {PFE} \approx 26{,}6^\circ$. Vậy góc đốc mái nhà khoảng $26{,}6^\circ$.

a) Đ, b) Đ, c) Đ, d) Đ

Ta có bảng của lớp $12A$:

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm lớp $12A$ là

$\overline x = \frac{1}{{45}}\left( {5 \cdot 1 + 6 \cdot 3 + 6 \cdot 5 + 25 \cdot 7 + 3 \cdot 9} \right) \approx 5{,}7$.

Ta có bảng của lớp $12B$:

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm lớp $12B$ là

$\overline x = \frac{1}{{45}}\left( {2 \cdot 1 + 5 \cdot 3 + 18 \cdot 5 + 16 \cdot 7 + 4 \cdot 9} \right) \approx 5{,}7$.

Vậy số trung bình cộng của hai mẫu số liệu trên bằng nhau.

b) Ta có phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm lớp $12A$ là

${S^2} = \frac{1}{{45}}\left[ {5.{{\left( {1 - 5{,}7} \right)}^2} + 6.{{\left( {3 - 5{,}7} \right)}^2} + 6.{{\left( {5 - 5{,}7} \right)}^2} + 25.{{\left( {7 - 5{,}7} \right)}^2} + 3.{{\left( {9 - 5{,}7} \right)}^2}} \right] \approx 5{,}16$.

Độ lệch chuẩn mẫu số liệu ghép nhóm lớp $12A$ là $S = \sqrt {{S^2}} \approx \sqrt {5{,}16} \approx 2{,}27$.

c) Ta có phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm lớp $12B$ là

${S^2} = \frac{1}{{45}}\left[ {2.{{\left( {1 - 5{,}7} \right)}^2} + 5{{\left( {3 - 5{,}7} \right)}^2} + 18.{{\left( {5 - 5{,}7} \right)}^2} + 16.{{\left( {7 - 5{,}7} \right)}^2} + 4.{{\left( {9 - 5{,}7} \right)}^2}} \right] \approx 3{,}56$.

d) Độ lệch chuẩn mẫu số liệu ghép nhóm lớp $12B$ là $S = \sqrt {{S^2}} \approx \sqrt {3{,}56} \approx 1{,}89$.

Do độ lệch chuẩn của lớp $12B$ nhỏ hơn độ lệch chuẩn của lớp $12A$ nên điểm thi của lớp $12B$ đồng đều hơn.

Trả lời: −1

Tập xác định $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{1}{2}} \right\}$.

Ta có $a = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{3x - {x^2}}}{{2{x^2} - x}} = - \frac{1}{2}$;

$b = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f\left( x \right) - ax} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\frac{{3x - {x^2}}}{{2x - 1}} + \frac{1}{2}x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{5x}}{{2\left( {2x - 1} \right)}} = \frac{5}{4}$.

Do đó, đồ thị hàm số có tiệm cận xiên là đường thẳng $y = - \frac{1}{2}x + \frac{5}{4}$.

Vậy $P = {a^2} - b = {\left( { - \frac{1}{2}} \right)^2} - \frac{5}{4} = - 1$.

Trả lời: 0,73

Giả sử bể cá có kích thước như hình vẽ, với $x,\,h > 0$.

Theo đề bài ta có: $2{x^2} + 2xh + 4xh = 4 \Leftrightarrow h = \frac{{4 - 2{x^2}}}{{6x}}$.

Do $x > 0,\,\,h > 0$ nên $4 - 2{x^2} > 0 \Leftrightarrow 0 < x < \sqrt 2$.

Thể tích của bể cá là $V = 2{x^2}h = \frac{{4x - 2{x^3}}}{3} = f\left( x \right)$, với $x \in \left( {0;\sqrt 2 } \right)$.

Ta có: $f'\left( x \right) = \frac{4}{3} - 2{x^2}$

$f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{4}{3} - 2{x^2} = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{\sqrt 6 }}{3}$ (vì $x > 0$).

Bảng biến thiên

Vậy bể cá có dung tích lớn nhất bằng $\frac{{8\sqrt 6 }}{{27}}\,{{\rm{m}}^3} \approx 0{,}73\,{{\rm{m}}^3}$.

Trả lời: 7

Tốc độ thay đổi số lượng ong của đàn theo thời gian $t$ là

$T\left( t \right) = P'\left( t \right) = 2 \cdot {10^7} \cdot \frac{{{e^{ - t}}}}{{{{\left( {1 + 1000{e^{ - t}}} \right)}^2}}}$.

Ta có $T'\left( t \right) = 2 \cdot {10^7} \cdot \frac{{ - {e^{ - t}} \cdot {{\left( {1 + 1000{e^{ - t}}} \right)}^2} - {e^{ - t}} \cdot 2 \cdot \left( {1 + 1000{e^{ - t}}} \right) \cdot \left( { - 1000{e^{ - t}}} \right)}}{{{{\left( {1 + 1000{e^{ - t}}} \right)}^4}}}$

$= 2 \cdot {10^7} \cdot \frac{{{e^{ - t}} \cdot \left( {1000{e^{ - t}} - 1} \right)}}{{{{\left( {1 + 1000{e^{ - t}}} \right)}^3}}}$$= 2 \cdot {10^7} \cdot \frac{{{e^{ - 2t}} \cdot \left( {1000 - {e^t}} \right)}}{{{{\left( {1 + 1000{e^{ - t}}} \right)}^3}}}$.

$T'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow 1000 - {e^t} = 0 \Leftrightarrow t = \ln 1000$.

Bảng xét dấu của đạo hàm

Từ đó, $T\left( t \right)$ đạt giá trị lớn nhất tại $t = \ln 1000 \approx 7$.

Vậy đàn ong tăng nhanh nhất tại thời điểm khoảng $t = 7$ tuần.

Trả lời: −1,5

Từ hình vẽ: $A \in \left( {Oxz} \right)$ nên $A\left( {x\,;\,0\,;\,z} \right)$; $B \in \left( {Oyz} \right)$ nên $B\left( {0\,;\,y\,;\,z} \right)$

Theo đề $A\left( {4\,;\,0\,;\,3} \right)$; $B\left( {0\,;\,3\,;\,\frac{5}{2}} \right)$.

Khi đó $\overrightarrow {AB} = \left( { - 4\,;\,3\,;\, - \frac{1}{2}} \right)$.

Suy ra $a = - 4;b = 3;c = - \frac{1}{2}$. Do đó $a + b + c = - 1{,}5$.

Trả lời: 13,3

Gọi ${{\rm{A}}_1},{\rm{\;}}{{\rm{B}}_1},{{\rm{C}}_1}$, ${{\rm{D}}_1}$ lần lượt là các điểm sao cho $\overrightarrow {E{A_1}} = \overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {E{B_1}} = \overrightarrow {{F_2}} ,\overrightarrow {E{C_1}} = \overrightarrow {{F_3}} ,\overrightarrow {E{D_1}} = \overrightarrow {{F_4}}$

Vì $EA, EB,EC,ED$ có độ dài bằng nhau và cùng tạo với mặt phẳng ($ABCD$) một góc bằng $60^\circ$ nên $E{A_1},\;E{B_1},E{C_1},E{D_1}$ bằng nhau và cùng tạo với mặt phẳng $\left( {{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}} \right)$ một góc bằng $60^\circ$.

Vì $ABCD$ là hình chữ nhật nên ${A_1}{B_1}{C_1}{D_1}$ cũng là hình chữ nhật.

Gọi $O$ là tâm của hình chữ nhật ${A_1}{B_1}{C_1}{D_1}$.

Ta suy ra $EO \bot \left( {{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}} \right)$.

Do đó, góc giữa đường thẳng $E{A_1}$ và mặt phẳng $\left( {{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}} \right)$ bằng góc $E{A_1}O$.

Suy ra $\widehat {E{A_1}O} = 60^\circ$.

Ta có $\left| {{{\vec F}_1}} \right| = \left| {{{\vec F}_2}} \right| = \left| {{{\vec F}_3}} \right| = \left| {{{\vec F}_4}} \right| = 4{,}7\left( {{\rm{\;kN}}} \right)$ nên $E{A_1} = E{B_1} = E{C_1} = E{D_1} = 4{,}7$.

Tam giác $E{A_1}O$ vuông tại O nên $EO = E{A_1}\sin \widehat {E{A_1}O} = 4{,}7\sin 60^\circ = 2{,}35\sqrt 3$.

Theo quy tắc ba điếm, ta có

$\overrightarrow {E{A_1}} = \overrightarrow {EO} + \overrightarrow {O{A_1}} ,\overrightarrow {E{B_1}} = \overrightarrow {EO} + \overrightarrow {O{B_1}} ,\overrightarrow {E{C_1}} = \overrightarrow {EO} + \overrightarrow {O{C_1}}$, $\overrightarrow {E{D_1}} = \overrightarrow {EO} + \overrightarrow {O{D_1}}$

Vì $O$ là trung điếm của ${A_1}{C_1}$ và ${B_1}{D_1}$ nên $\overrightarrow{O{A}_{1}}+\overrightarrow{O{C}_{1}}=\overrightarrow{0},\overrightarrow{O{B}_{1}}+\overrightarrow{O{D}_{1}}=\overrightarrow{0}$

Từ đó suy ra

$\overrightarrow {E{A_1}} + \overrightarrow {E{B_1}} + \overrightarrow {E{C_1}} + \overrightarrow {E{D_1}} = 4\overrightarrow {EO}$.
Do đó, $\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_3}} + \overrightarrow {{F_4}} = 4\overrightarrow {EO}$.

Gọi $P$ là trọng lực của khung sắt có chứa chiếc ô tô.

Vì chiếc khung sắt chứa xe ô tô đang được kéo lên.

Suy ra trọng lượng của khung sắt chứa chiếc xe ô tô là $\left| {\vec P\left| { \le 4} \right|\overrightarrow {EO} } \right| = 4.2{,}35\sqrt 3 = 9{,}4\sqrt 3 \left( {{\rm{\;kN}}} \right).$

Vì trọng lượng của khung sắt là $3{\rm{\;kN}}$ nên trọng lượng của chiếc xe ô tô là:

$9{,}4\sqrt 3 - 3 \approx 13{,}3\left( {{\rm{\;kN}}} \right).$

Trả lời: 5,91

Ta có bảng phân bố của mẫu ghép nhóm 40 bé sơ sinh

Chiều dài trung bình của 40 trẻ là:

$\overline x = \frac{{45.3 + 47.3 + 49.10 + 51.15 + 53.7 + 55.2}}{{40}} = 50{,}3$ (cm).

Phương sai của 40 bé sơ sinh ở bảng thống kê trên là:

${s^2} = \frac{{{{45}^2}.3 + {{47}^2}.3 + {{49}^2}.10 + {{51}^2}.15 + {{53}^2}.7 + {{55}^2}.2}}{{40}} - {50{,}3^2} = 5{,}91$.