Đề thi cuối kì 1 Toán 12 cấu trúc mới (có đáp án) - Đề 05

Đáp án đúng là: A

Từ bảng biến thiên suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( {2; + \infty } \right)$.

Đáp án đúng là: C

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = 2$ $\Rightarrow$ đường thẳng $y = 2$ là tiệm cận ngang của $y = f\left( x \right)$.

Đáp án đúng là: B

Ta có: $f'\left( x \right) = \frac{{1 - \ln x}}{{{x^2}}}$.

$f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = e$.

Bảng biến thiên của hàm số trên nửa khoảng $\left[ {1;\,{e^2}} \right)$:

Vậy $m = \mathop {\min }\limits_{\left[ {1;{e^2}} \right)} f\left( x \right) = 0;\,M = \mathop {\max }\limits_{\left[ {1;{e^2}} \right)} f\left( x \right) = \frac{1}{e}$.

$\Rightarrow \ln \left( {m + M} \right) = \ln \frac{1}{e} = - 1$.

Đáp án đúng là: C

Dựa vào đồ thị ta thấy đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là $x = - 1$ nên loại B và D.

Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tọa độ $\left( {0; - 1} \right)$ chọn C.

Đáp án đúng là: A

Vectơ cùng phương với $\overrightarrow {AB}$ là $\overrightarrow {CD}$, vì hai vectơ này có giá song song với nhau.

Đáp án đúng là: C

Tọa độ của vectơ $\overrightarrow a$là $\overrightarrow a = \left( {3\;;\;4\;;\; - 1} \right)$.

Đáp án đúng là: B

Vì $\vec c = \vec a - \vec b = \left( { - 2; - 2;4} \right)$.

Đáp án đúng là: D

Ta có $\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BM} = \overrightarrow {CB} - \overrightarrow {CA} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BB'}$$= \vec b - \vec a + \frac{1}{2}\overrightarrow {AA'} = \vec b - \vec a + \frac{1}{2}\vec c$.

Đáp án đúng là: D

Ta có: $I\left( { - 5;0;5} \right)$ là trung điểm của đoạn $MN$ nên ta có.

$\left\{ \begin{array}{l}{x_I} = \frac{{{x_M} + {x_N}}}{2}\\{y_I} = \frac{{{y_M} + {y_N}}}{2}\\{z_I} = \frac{{{z_M} + {z_N}}}{2}\end{array} \right.$$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_N} = 2{x_I} - {x_M}\\{y_N} = 2{y_I} - {y_M}\\{z_N} = 2{z_I} - {z_M}\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_N} = 2 \cdot \left( { - 5} \right) - 1\\{y_N} = 2 \cdot 0 - \left( { - 4} \right)\\{z_N} = 2 \cdot 5 - 7\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_N} = - 11\\{y_N} = 4\\{z_N} = 3\end{array} \right.$. Suy ra $N\left( { - 11;4;3} \right)$.

Đáp án đúng là: A

Ta có:$\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}} \Leftrightarrow \cos 60^\circ = \frac{{ - m}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2}} .\sqrt {{1^2} + {m^2}} }}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{2} = \frac{{ - m}}{{\sqrt 2 .\sqrt {1 + {m^2}} }}$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 0\\{m^2} - 1 = 0\end{array} \right. \Rightarrow m = - 1$.

Đáp án đúng là: B

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là:$R = 30 - 10 = 20$ (triệu đồng /${{\rm{m}}^{\rm{2}}}$).

Đáp án đúng là: C

Căn bậc hai số học của phương sai được gọi là độ lệch chuẩn.

a) S, b) S, c) Đ, d) S

a) Hàm số đã cho nghịch biến trên các khoảng $\left( { - \infty ;1} \right)$ và $\left( {1; + \infty } \right)$.

b) Hàm số không có giá trị nhỏ nhất.

c) Đồ thị hàm số nhận $x = 1$ làm tiệm cận đứng và $y = 2$ làm tiệm cận ngang nên tâm đối xứng của đồ thị là $I\left( {1;2} \right)$.

d) Từ bảng biến thiên của hàm số $f\left( x \right)$ ta có bảng biến thiên của hàm số $\left| {f\left( x \right)} \right|$ như sau (ở đây ${x_0} = - \frac{b}{a}$).

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình $\left| {\frac{{ax + b}}{{cx + d}}} \right| = m$ có 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi $2 \ne m > 0$, do đó có 2023 giá trị nguyên của tham số $m$ thỏa yêu cầu.

a) Đ, b) S, c) S, d) S

Ta có $y' = 3{x^2} - 6mx + 3\left( {{m^2} - 1} \right)$.

Với $m = 1$, ta có $y' = 3{x^2} - 6x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.$.

Ta có bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên,

a) Hàm số đạt cực tiểu tại $x = 2$.

b) Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( {0;2} \right)$.

c) Hàm số có giá trị nhỏ nhất trên khoảng $\left( {0; + \infty } \right)$ bằng $2021$.

d) Ta có $y' = 3{x^2} - 6mx + 3\left( {{m^2} - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_1} = m - 1\\{x_2} = m + 1\end{array} \right.$.

Để hàm số có giá trị nhỏ nhất trên khoảng $\left( {0; + \infty } \right)$ thì ${x_1} \le 0 < {x_2}$ hoặc $0 < {x_1} < {x_2}$.

TH1: ${x_1} \le 0 < {x_2}$$\Leftrightarrow m - 1 \le 0 < m + 1 \Leftrightarrow - 1 < m \le 1$. Do $m \in \mathbb{Z}$ nên $m \in \left\{ {0;1} \right\}$.

Bảng biến thiên

TH2: $0 < {x_1} < {x_2}$

Bảng biến thiên của hàm số

Hàm số có giá trị nhỏ nhất trên khoảng $\left( {0; + \infty } \right)$khi và chỉ khi $\left\{ \begin{array}{l}m - 1 > 0\\y\left( {m + 1} \right) \le y\left( 0 \right)\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 1\\{\left( {m + 1} \right)^3} - 3m{\left( {m + 1} \right)^2} + 3\left( {{m^2} - 1} \right)\left( {m + 1} \right) + 2025 \le 2025\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 1\\{\left( {m + 1} \right)^2}\left( {m - 2} \right) \le 0\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 1\\\left[ \begin{array}{l}m \le 2\\m = - 1\end{array} \right.\end{array} \right.$$\Leftrightarrow 1 < m \le 2$. Do $m \in \mathbb{Z}$ nên $m = 2$.

Vậy có tất cả 3 giá trị của $m$.

a) Đ, b) Đ, c) S, d) S

a) $\overrightarrow {OA} = - \overrightarrow i + 3\overrightarrow k$.

b) Vì $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ nên $\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{ - 1 + 4 + 3}}{3} = 2\\{y_G} = \frac{{0 + 2 + 1}}{3} = 1\\{z_G} = \frac{{3 + 0 - 3}}{3} = 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow G\left( {2;1;0} \right)$.

c) Ta có $\overrightarrow {AM} = \left( {a + 1;b;c - 3} \right)$, $\overrightarrow {CB} = \left( {1;1;3} \right)$.

Vì $\overrightarrow {AM} = 3\overrightarrow {CB}$ nên $\left\{ \begin{array}{l}a + 1 = 3\\b = 3\\c - 3 = 9\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 3\\c = 12\end{array} \right.$$\Rightarrow a + b + c = 17$.

d) $M\left( {a;b;c} \right) \in Ox \Rightarrow M\left( {a;0;0} \right)$.

Có $\overrightarrow {BM} = \left( {a - 4; - 2;0} \right)$; $\overrightarrow {AC} = \left( {4;1; - 6} \right)$.

Để $BM$ vuông góc với đường thẳng $AC$ khi

$\overrightarrow {BM} \bot \overrightarrow {AC} \Leftrightarrow \overrightarrow {BM} \cdot \overrightarrow {AC} = 0$$\Leftrightarrow 4\left( {a - 4} \right) - 2 \cdot 1 = 0 \Leftrightarrow 4a = 18 \Leftrightarrow a = \frac{9}{2}$.

Do đó $4{a^2} + {b^2} + {c^2} = 81$.

a) S, b) S, c) Đ, d) Đ

a) Khoảng biến thiên về độ dài quãng đường đi của bác tài A là $300 - 50 = 250$.

Khoảng biến thiên về độ dài quãng đường đi của bác tài B là $250 - 50 = 200$.

b) Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu về độ dài quãng đường mỗi ngày của bác tài A là ${Q_1} = 100 + \frac{{\frac{{30}}{4} - 5}}{{10}} \cdot 50 = 112{,}5$.

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu về độ dài quãng đường mỗi ngày của bác tài B là ${Q_1} = 100 + \frac{{\frac{{30}}{4} - 4}}{8} \cdot 50 = 121{,}875$.

c) Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu về quãng đường mỗi ngày của bác tài B là ${x_{23}}$nên thuộc nhóm $\left[ {150;200} \right)$.

d) Vì khoảng biến thiên về độ dài quãng đường đi của bác tài A lớn hơn bác tài B nên mức độ phân tán về độ dài quãng đường bác A phân tán hơn bác B.

Trả lời: 2

Hàm số xác định và liên tục trên $D = \left( { - \infty ;0} \right] \cup \left[ {1; + \infty } \right)$. Ta có:

$a = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2x - \sqrt {{x^2} - x} }}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {2 - \sqrt {1 - \frac{1}{x}} } \right) = 1$.

$b = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {f\left( x \right) - x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {x - \sqrt {{x^2} - x} } \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{x}{{x + \sqrt {{x^2} - x} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{1}{{1 + \sqrt {1 - \frac{1}{x}} }} = \frac{1}{2}$.

$\Rightarrow y = x + \frac{1}{2}$ là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số khi $x \to + \infty$.

$a = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{2x - \sqrt {{x^2} - x} }}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {2 + \sqrt {1 - \frac{1}{x}} } \right) = 3$.

$b = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {f\left( x \right) - 3x} \right) = - \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {x + \sqrt {{x^2} - x} } \right) = - \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{x}{{x - \sqrt {{x^2} - x} }} = - \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{1}{{1 + \sqrt {1 - \frac{1}{x}} }} = - \frac{1}{2}$.

$\Rightarrow y = 3x - \frac{1}{2}$ là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số khi $x \to - \infty$.

Vậy đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận xiên.

Trả lời: 2

Ta có $v = s'\left( t \right) = 12t - 3{t^2}$; $v'\left( t \right) = 12 - 6t$; $v'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t = 2$.

Bảng biến thiên

Do đó ${v_{\max }} = 12\left( {{\rm{m/s}}} \right)$ tại $t = 2\left( {\rm{s}} \right)$.

Trả lời: 60

Ta có $C'\left( v \right) = - \frac{{5400}}{{{v^2}}} + \frac{3}{2} = \frac{{3\left( {v - 60} \right)\left( {v + 60} \right)}}{{2{v^2}}}$;

$C'\left( v \right) = 0$$\Leftrightarrow v = - 60$(loại) hoặc $v = 60$ (nhận).

Trên khoảng $\left( {0;60} \right)$, $C'\left( v \right) < 0$ nên hàm số nghịch biến trên khoảng này.

Trên khoảng $\left( {60;120} \right)$, $C'\left( v \right) > 0$ nên hàm số đồng biến trên khoảng này.

Hàm số đạt cực tiểu tại $v = 60,{C_{CT}} = C\left( {60} \right) = 180$.

Như vậy để tiết kiệm xăng nhất tài xế nên chạy xe với tốc độ trung bình là 60 km/h.

Trả lời: −1

Gọi $M\left( {x;y;z} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AM} = \left( {x - 1;y;z} \right)\\\overrightarrow {BM} = \left( {x;y - 1;z} \right)\\\overrightarrow {CM} = \left( {x;y;z - 1} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}A{M^2} = {(x - 1)^2} + {y^2} + {z^2}\\B{M^2} = {x^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {z^2}\\C{M^2} = {x^2} + {y^2} + {\left( {z - 1} \right)^2}\end{array} \right.$

$\Rightarrow M{A^2} + 2M{B^2} - M{C^2}$$= \left[ {{{(x - 1)}^2} + {y^2} + {z^2}} \right] + 2\left[ {{x^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2} + {z^2}} \right] - \left[ {{x^2} + {y^2} + {{\left( {z - 1} \right)}^2}} \right]$

$= 2{x^2} + 2{y^2} + 2{z^2} - 2x - 4y + 2z + 2$$= 2{\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} + 2{\left( {y - 1} \right)^2} + 2{\left( {z + \frac{1}{2}} \right)^2} - 1 \ge - 1$.

$\Rightarrow {P_{\min }} = - 1 \Leftrightarrow$$\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{1}{2}\\y = 1\\z = - \frac{1}{2}\end{array} \right.$$\Leftrightarrow M\left( {\frac{1}{2};1; - \frac{1}{2}} \right)$.

Trả lời: 3

Chọn hệ trục toạ độ $Oxyz$ với gốc $O$ đặt tại điểm xuất phát của hai khinh khí cầu, mặt phẳng $\left( {Oxy} \right)$ trùng với mặt đất với trục $Ox$ hướng về phía nam, trục $Oy$ hướng về phía đông và trục ${\rm{Oz}}$ hướng thẳng đứng lên trời (tham khảo hình vẽ), đơn vị đo lấy theo kilômét.

Chiếc khinh khí cầu thứ nhất và thứ hai ở vị trí $A,B$. Ta có $A\left( {\frac{5}{2};2;\frac{4}{5}} \right),B\left( { - \frac{3}{2}; - 3;\frac{3}{5}} \right)$.

Gọi $C$ là điểm đối xứng của $A$ qua mặt phẳng $\left( {Oxy} \right)$, $C\left( {\frac{5}{2};2; - \frac{4}{5}} \right)$.

Khi đó $I = BC \cap \left( {Oxy} \right)$.

$\overrightarrow {BC} = \left( {4;5; - \frac{7}{5}} \right)$. $I \in \left( {Oxy} \right) \Rightarrow I\left( {x;y;0} \right) \Rightarrow \overrightarrow {BI} = \left( {x + \frac{3}{2};y + 3; - \frac{3}{5}} \right)$

$\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {BI}$ cùng phương nên $\frac{{x + \frac{3}{2}}}{4} = \frac{{y + 3}}{5} = \frac{3}{7} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{3}{{14}}\\y = - \frac{6}{7}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{3}{{14}}\\b = \frac{6}{7}\end{array} \right. \Rightarrow 2a + 3b = 3$.

Trả lời: 0,168

Chọn giá trị đại diện cho nhóm số liệu ta có:

Thời gian trung bình mỗi lần chạy của vận động viên trên là

$\overline x = \frac{1}{{20}}\left( {3 \cdot 10{,}2 + 8 \cdot 10{,}6 + 6 \cdot 11 + 2 \cdot 11{,}4 + 1 \cdot 11{,}8} \right) = 10{,}8\,$( giây).

Phương sai của thời gian chạy của vận động viên trên là

${s^2} = \frac{1}{{20}}\left( {3 \cdot {{10{,}2}^2} + 8 \cdot {{10{,}6}^2} + 6 \cdot {{11}^2} + 2 \cdot {{11{,}4}^2} + 1 \cdot {{11{,}8}^2}} \right) - {10{,}8^2} = 0{,}168$.