Đề thi cuối kì 1 Toán 12 cấu trúc mới (có đáp án) - Đề 02

Đáp án đúng là: D

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy hàm số đồng biến trên khoảng $\left( { - \infty ;1} \right)$.

Đáp án đúng là: D

Dựa vào bảng xét dấu ta có $\mathop {\max }\limits_{\left( { - 1; + \infty } \right)} f\left( x \right) = f\left( 0 \right)$.

Đáp án đúng là: B

Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{3x + 1}}{{x - 1}} = 3;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{3x + 1}}{{x - 1}} = 3$.

Do đó $y = 3$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Đáp án đúng là: A

Số nghiệm của phương trình $f\left( x \right) = - 1$ là số giao điểm của hai đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ và $y = - 1$.

Dựa vào đồ thị ta thấy số giao điểm là 3. Do đó phương trình $f\left( x \right) = - 1$ có ba nghiệm phân biệt.

Đáp án đúng là: D

Ta có $y' = \frac{{ - 58}}{{{{\left( {5x - 9} \right)}^2}}} < 0,\forall x \ne \frac{9}{5}$.

Do đó hàm số nghịch biến trên các khoảng $\left( { - \infty ;\frac{9}{5}} \right)$ và $\left( {\frac{9}{5}; + \infty } \right)$.

Suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( {2; + \infty } \right)$.

Đáp án đúng là: C

Có $y' = \frac{3}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} > 0,\forall x \ne - 1$.

Suy ra hàm số đồng biến trên các khoảng $\left( { - \infty ; - 1} \right)$ và $\left( { - 1; + \infty } \right)$.

Đồ thị hàm số nhận $x = - 1$ là tiệm cận đứng và $y = 1$ là tiệm cận ngang. Do đó chọn C.

Đáp án đúng là: B

$\overrightarrow {AO} - \overrightarrow {DO} = \overrightarrow {AO} + \overrightarrow {OD} = \overrightarrow {AD}$.

Đáp án đúng là: D

Ta có $\overrightarrow a = \left( { - 1;2; - 3} \right)$.

Đáp án đúng là: A

Ta có $\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AS} } \right) = \widehat {SAB}$.

Có $\tan \widehat {SAB} = \frac{{SB}}{{AB}} = \frac{{\sqrt 3 a}}{a} = \sqrt 3$$\Rightarrow \widehat {SAB} = 60^\circ$.

Đáp án đúng là: D

Có $\overrightarrow {AG} = \left( {0;2; - 3} \right)$.

Gọi M là trung điểm của BC.

Khi đó $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AM} = 2.\frac{3}{2}\overrightarrow {AG} = 3\overrightarrow {AG} = 3\left( {0;2; - 3} \right) = \left( {0;6; - 9} \right)$.

Đáp án đúng là: A

Tứ phân vị thứ nhất ${Q_1} = 290 + \frac{{\frac{{50}}{4} - 3}}{{13}}.\left( {330 - 290} \right) = \frac{{4150}}{{13}}$.

Tứ phân vị thứ ba ${Q_3} = 370 + \frac{{\frac{{3.50}}{4} - \left( {3 + 13 + 18} \right)}}{{11}}.\left( {410 - 370} \right) = \frac{{4210}}{{11}}$.

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là ${\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = \frac{{4210}}{{11}} - \frac{{4150}}{{13}} \approx 63{,}5$.

Đáp án đúng là: C

Có ${s^2} = 9$.

a) Vì từ đồ thị của hàm số $y = f'\left( x \right)$ ta thấy $f'\left( x \right) \ge 0$ với $\forall x \ge 1$ nên hàm số đồng biến trên khoảng $\left( {1; + \infty } \right)$.

b) Vì từ đồ thị của hàm số $y = f'\left( x \right)$ ta thấy $f'\left( x \right)$ chỉ đổi dấu một lần qua $x = 1$ nên hàm số có một điểm cực trị.

c) Từ đồ thị ta có hàm số $f'\left( x \right)$ có dạng: $f'\left( x \right) = a{\left( {x + 2} \right)^2}\left( {x - 1} \right)$.

Đồ thị hàm số $y = f'\left( x \right)$ đi qua $\left( {0; - 4} \right)$ nên: $- 4 = a{\left( {0 + 2} \right)^2}\left( {0 - 1} \right) \Leftrightarrow a = 1$.

Vậy $f'\left( x \right) = {\left( {x + 2} \right)^2}\left( {x - 1} \right) \Rightarrow f'\left( 2 \right) = {\left( {2 + 2} \right)^2}\left( {2 - 1} \right) = 16$.

d) Ta có: $g'\left( x \right) = f'\left( x \right) - x + 1 = 0 \Leftrightarrow f'\left( x \right) = x - 1$.

Vẽ đường thẳng $y = x - 1$ trên cùng hệ trục tọa độ với đồ thị hàm số $y = f'\left( x \right)$.

Khi đó: $f'\left( x \right) = x - 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 3\\x = - 1\\x = 1\end{array} \right.$.

Bảng biến thiên của hàm số $g\left( x \right)$.

Ta có hàm số $g\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( { - 3; - 1} \right)$ nên $g\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( { - \frac{5}{2}; - \frac{3}{2}} \right)$.

a) Đ, b) Đ, c) Đ, d) S

Hàm số $y = \frac{{{x^2} + 4x - 1}}{{x - 1}}$ có tập xác định $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}$.

Xét đạo hàm $y' = \frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = 3\end{array} \right.$.

a) Hàm số đồng biến trên các khoảng $\left( { - \infty ; - 1} \right)$ và $\left( {3; + \infty } \right)$ và nghịch biến trên các khoảng $\left( { - 1;1} \right)$ và $\left( {1;3} \right)$.

b) Đồ thị hàm số đạt cực đại tại điểm $\left( { - 1;2} \right)$.

c) Có $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = - \infty$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = + \infty$ nên đường thẳng $x = 1$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

d) Ta có $y = \frac{{{x^2} + 4x - 1}}{{x - 1}} = x + 5 + \frac{4}{{x - 1}}$.

Ta có $M\left( {x;y} \right) \in \left( C \right):y = x + 5 + \frac{4}{{x - 1}}$ có tọa độ nguyên $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \in \mathbb{Z}\\y \in \mathbb{Z}\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \in \mathbb{Z}\\4 \vdots \left( {x - 1} \right)\end{array} \right.$.

Từ đó ta có $\left[ \begin{array}{l}x - 1 = 1\\x - 1 = - 1\\x - 1 = 2\\x - 1 = - 2\\x - 1 = 4\\x - 1 = - 4\end{array} \right.$$\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2;y = 11\\x = 0;y = 1\\x = 3;y = 10\\x = - 1;y = 2\\x = 5;y = 11\\x = - 3;y = 1\end{array} \right.$.

Do đó đồ thị $\left( C \right)$ có 6 tọa độ nguyên.

a) Đ, b) Đ, c) S, d) Đ

a) $\overrightarrow {AB} = \left( {3;3;3} \right)$.

b) Gọi $G$ là trọng tâm của $\Delta ABC$.

Ta có: $G\left( {\frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3};\,\frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}\,;\,\frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3}} \right)$

Vậy: $G\left( {\frac{7}{3};\,\frac{{14}}{3}\,;\,\frac{{13}}{3}} \right)$.

c) $\overrightarrow {AB} = \left( {3\,;\,3\,;\,3} \right)$; $\overrightarrow {AC} = \left( {1\,;\,5\,;\,1} \right)$.

Tích vô hướng của hai véc tơ $\overrightarrow {AB}$ và $\overrightarrow {AC}$: $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = 3.1 + 3.5 + 3.1 = 21$.

d) Ta có:

$AB = \sqrt {{{(4 - 1)}^2} + {{(5 - 2)}^2} + {{(6 - 3)}^2}} = 3\sqrt 3$

$BC = \sqrt {{{(2 - 4)}^2} + {{(7 - 5)}^2} + {{(4 - 6)}^2}} = 2\sqrt 3$

$AC = \sqrt {{{(2 - 1)}^2} + {{(7 - 2)}^2} + {{(4 - 3)}^2}} = 3\sqrt 3$

Chu vi $\Delta ABC$:

${P_{\Delta ABC}} = AB + BC + AC = 3\sqrt 3 + 2\sqrt 3 + 3\sqrt 3 = 8\sqrt 3$.

Ta có nửa chu vi $\Delta ABC$ là $p = \frac{1}{2}.8\sqrt 3 = 4\sqrt 3$.

Áp dụng công thức Heron, ta có diện tích tam giác $ABC$ là:

${S_{\Delta ABC}} = \sqrt {p\left( {p - AB} \right)\left( {p - BC} \right)\left( {p - AC} \right)}$

$= \sqrt {4\sqrt 3 \left( {4\sqrt 3 - 3\sqrt 3 } \right)\left( {4\sqrt 3 - 2\sqrt 3 } \right)\left( {4\sqrt 3 - 3\sqrt 3 } \right)} = 6\sqrt 2 \,$.

a) S, b) Đ, c) Đ, d) S

a) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu của Quy Nhơn là 310 – 160 = 150.

b) Xét số liệu của Nha Trang:

Số trung bình: $\overline {{x_X}} = \frac{{1.145 + 1.175 + 1.205 + 8.235 + 7.265 + 2.295}}{{20}} = 242{,}5$.

Độ lệch chuẩn: $s_X^2 = \frac{{{{1.145}^2} + {{1.175}^2} + {{1.205}^2} + {{8.235}^2} + {{7.265}^2} + {{2.295}^2}}}{{20}} - {242{,}5^2} = 1248{,}75$.

c) Xét số liệu của Quy Nhơn:

Số trung bình: $\overline {{x_Y}} = \frac{{1.175 + 2.205 + 4.235 + 10.265 + 3.295}}{{20}} = 253$.

Độ lệch chuẩn: ${s_Y} = \sqrt {\frac{{{{1.175}^2} + {{2.205}^2} + {{4.235}^2} + {{10.265}^2} + {{3.295}^2}}}{{20}} - {{253}^2}} \approx 30{,}59$.

d) Vậy nếu so sánh theo độ lệch chuẩn thì số giờ nắng trong tháng 6 của Quy Nhơn đồng đều hơn.

Trả lời: 5

Ta có $y' = 3{x^2} - 6x - 9$; $y' = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 6x - 9 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = 3\end{array} \right.$.

Vì $x \in \left[ {0;4} \right]$ nên chọn $x = 3$.

Ta có $y\left( 0 \right) = 28;y\left( 3 \right) = 1;y\left( 4 \right) = 8$.

Suy ra hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại $x = 3$. Do đó $P = 3 + 2 = 5$.

Trả lời: 2

Để đồ thị hàm số có tiệm cận đứng, tiệm cận ngang thì $m \ne 0$.

Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là $x = \frac{1}{m}$ và tiệm cận ngang là $y = \frac{2}{m}$.

Vì diện tích bằng 2 nên $\left| {\frac{1}{m}} \right|.\left| {\frac{2}{m}} \right| = 2 \Leftrightarrow m = \pm 1$.

Vậy có 2 giá trị của m.

Trả lời: 3

Giả sử độ dài cạnh hình vuông của các miếng tôn bị cắt bỏ bằng $x\,(0 < 2x < 15 \Leftrightarrow 0 < x < \frac{{15}}{2})$. Khi đó hình hộp chữ nhật có chiều cao bằng x, chiều rộng bằng $15 - 2x$ và chiều dài bằng $24 - 2x$. Suy ra hình hộp chữ nhật có thể tích $V = x\left( {15 - 2x} \right)\left( {24 - 2x} \right) = 4{x^3} - 78{x^2} + 360x$.

Xét hàm $f\left( x \right) = 4{x^3} - 78{x^2} + 360x$ trên $\left( {0;\frac{{15}}{2}} \right)$.

$f'\left( x \right) = 12{x^2} - 156x + 360 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\\x = 10\end{array} \right.$. Bảng biến thiên hàm số $f\left( x \right)$ trên $\left( {0;\frac{{15}}{2}} \right)$:

Dựa vào bảng biến thiên ta có hàm số đạt giá trị lớn nhất trên $\left( {0;\frac{{15}}{2}} \right)$ tại $x = 3$ hay hình hộp chữ nhật có thể tích lớn nhất khi độ dài cạnh hình vuông của miếng tôn bị cắt bỏ bằng 3 cm.

Trả lời: 2800000

Lợi nhuận doanh nghiệp thu được là $h\left( x \right) = \left( {2000x - {x^2}} \right) - \left( {{x^2} + 1440x + 50} \right) - tx$

$= - 2{x^2} + \left( {560 - t} \right)x - 50$ với $0 < x \le 2000$.

Xét hàm $h\left( x \right) = - 2{x^2} + \left( {560 - t} \right)x - 50$ với $0 < x \le 2000$.

Ta có $h'\left( x \right) = - 4x + 560 - t = 0 \Rightarrow x = \frac{{560 - t}}{4} \in \left( {0;2000} \right)$.

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta thấy lợi nhuận doanh nghiệp cao nhất tại $x = \frac{{560 - t}}{4}$.

Khi đó số tiền thuế thu được từ doanh nghiệp là $k\left( t \right) = \frac{{560 - t}}{4}.t = - \frac{{{t^2}}}{4} + \frac{{560}}{4}t$ với $0 < t < 300$.

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta thấy mức thuế phụ thu trên một đơn vị sản phẩm bán được là $t = 280 \Rightarrow x = 70$ sản phẩm.

Vậy mức thuế phụ thu là 2800000 đồng/ sản phẩm, doanh nghiệp sản xuất và bán hết 70 sản phẩm.

Trả lời: 1,5

Do $AM = 3MD$, $BN = 3NC$ và $P,Q$ lần lượt là trung điểm của $AD$ và $BC$nên $M,N$ lần lượt là trung điểm của $PD$ và $QC$.

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MP} + \overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {QN} \\\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MD} + \overrightarrow {DC} + \overrightarrow {CN} \end{array} \right. \Rightarrow 2\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {DC} \Rightarrow \overrightarrow {MN} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {DC} } \right)$.

Khi đó $a = \frac{1}{2};b = \frac{1}{2} \Rightarrow a + 2b = \frac{3}{2}$.

Trả lời: 2

Ta thấy $M\left( {a;b;0} \right) \in \left( {Oxy} \right)$. Gọi $I\left( {\frac{3}{2};\frac{1}{2};2} \right)$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB$.

Ta có $M{A^2} + M{B^2} = {\overrightarrow {MA} ^2} + {\overrightarrow {MB} ^2} = {\left( {\overrightarrow {IA} - \overrightarrow {IM} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {IB} - \overrightarrow {IM} } \right)^2}$

$= 2I{M^2} + 2I{A^2} = 2I{M^2} + 7$.

Suy ra $M{A^2} + M{B^2}$ nhỏ nhất Û $IM$ ngắn nhất Û $M$ là hình chiếu vuông góc của $I$ trên mặt phẳng $\left( {Oxy} \right)$.

Suy ra $M\left( {\frac{3}{2};\frac{1}{2};0} \right)$. Như vậy $a = \frac{3}{2};b = \frac{1}{2} \Rightarrow a + b = \frac{3}{2} + \frac{1}{2} = 2$.