Đề thi cuối kì 1 Toán 12 cấu trúc mới (có đáp án) - Đề 01

Đáp án đúng là: D

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy hàm số đồng biến trên khoảng $\left( {0;1} \right)$.

Đáp án đúng là: A

Dựa vào đồ thị ta thấy $\mathop {\min }\limits_D y = - 1$.

Đáp án đúng là: B

Dựa vào bảng biến thiên ta có:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = - 3$ nên $y = - 3$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = 3$ nên $y = 3$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} f\left( x \right) = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} f\left( x \right) = - \infty$ nên $x = - 2$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Đáp án đúng là: B

Dựa vào đồ thị ta thấy đồ thị hàm số nhận $x = 1$ là tiệm cận đứng và $y = 1$ là tiệm cận ngang.

Do đó chọn B.

Đáp án đúng là: A

Ta có $y' = 4{x^3} - 4x$; $y' = 4{x^3} - 4x = 0 \Leftrightarrow x = 0;x = 1;x = - 1$.

Ta có $y' < 0$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x < - 1\\0 < x < 1\end{array} \right.$.

Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng $\left( { - \infty ; - 1} \right)$ và $\left( {0;1} \right)$.

Đáp án đúng là: C

Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\frac{2}{x}}}{{1 + \frac{1}{{{x^2}}}}} = 0$; $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\frac{2}{x}}}{{1 + \frac{1}{{{x^2}}}}} = 0$.

Do đó $y = 0$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Đáp án đúng là: A

$\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {D'C'}$.

Đáp án đúng là: A

$\overrightarrow {OM} = \overrightarrow i - 2\overrightarrow j + 3\overrightarrow k$.

Đáp án đúng là: B

Vì $G$ là trọng tâm của tứ diện nên $\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = \overrightarrow 0$.

Khi đó $\overrightarrow {OG} = \frac{1}{4}\left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} } \right)$.

Lại có $\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = \overrightarrow 0$$\Leftrightarrow \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow 0$

$\Leftrightarrow 4\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow 0$$\Leftrightarrow \overrightarrow {AG} = \frac{1}{4}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} } \right)$.

Đáp án đúng là: C

Ta có $\overrightarrow u .\overrightarrow v = 1.2 + 0.1 + \left( { - 1} \right).\left( { - 2} \right) = 4$.

Đáp án đúng là: D

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu là: 175 – 160 = 15.

Đáp án đúng là: A

Công thức trên để tính phương sai.

a) S, b) Đ, c) Đ, d) S

a) Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số nghịch biến trên các khoảng $\left( { - \infty ;1} \right)$ và $\left( {3;7} \right)$.

b) $\mathop {\min }\limits_\mathbb{R} f\left( x \right) = - 18$ khi $x = 7$.

c) $- 17 = f\left( 1 \right) < f\left( 3 \right) = - 13$.

d) Hàm số không có giá trị lớn nhất.

a) S, b) S, c) Đ, d) S

a) Có $y' = 3{x^2} - 3$.

$y' = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = 1\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y\left( { - 1} \right) = 3\\y\left( 1 \right) = - 1\end{array} \right.$.

Ta có bảng biến thiên:

b) Từ bảng biến thiên ta có trên khoảng $\left( { - \infty ;1} \right)$ hàm số có giá trị lớn nhất là 3 khi $x = - 1$.

c) Đồ thị hàm số $y = {x^3} - 3x + 1$ như hình

d) Ta có ${S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}d\left( {B,AC} \right).AC = \frac{1}{2}.2.1 = 1$.

a) Đ, b) S, c) S, d) S

a) Gọi $I$ là trung điểm của $AB$. Khi đó $\left\{ \begin{array}{l}{x_I} = \frac{{{x_A} + {x_B}}}{2} = \frac{{ - 3 + \left( { - 5} \right)}}{2} = - 4\\{y_I} = \frac{{{y_A} + {y_B}}}{2} = \frac{{4 + 6}}{2} = 5\\{z_I} = \frac{{{z_A} + {z_B}}}{2} = \frac{{2 + 2}}{2} = 2\end{array} \right. \Rightarrow I\left( { - 4;5;2} \right)$.

b) $\overrightarrow {AB} = \left( { - 2;2;0} \right)$.

c) Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( { - 2;2;0} \right),\,\overrightarrow {DC} = \left( { - 10 - {x_D};17 - {y_D}; - 7 - {z_D}} \right)$.

Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC}$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 10 - {x_D} = - 2\\17 - {y_D} = 2\\ - 7 - {z_D} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_D} = - 8\\{y_D} = 15\\{z_D} = - 7\end{array} \right. \Rightarrow D\left( { - 8;15; - 7} \right)$.

$\overrightarrow {AD} = \left( { - 5;11; - 9} \right)$. Do đó $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} = - 2.\left( { - 5} \right) + 2.11 + 0.\left( { - 9} \right) = 32$.

d) Gọi $H\left( {a;b;c} \right)$ là chân đường cao vẽ từ A của tam giác ABD.

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BD} = 0\\\overrightarrow {DH} = k\overrightarrow {DB} \end{array} \right.$.

Ta có $\overrightarrow {AH} = \left( {a + 3;b - 4;c - 2} \right)$, $\overrightarrow {BD} = \left( { - 3;9; - 9} \right)$; $\overrightarrow {DH} = \left( {a + 8;b - 15;c + 7} \right)$, $\overrightarrow {DB} = \left( {3; - 9;9} \right)$.

Do đó $\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BD} = 0\\\overrightarrow {DH} = k\overrightarrow {DB} \end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 3\left( {a + 3} \right) + 9\left( {b - 4} \right) - 9\left( {c - 2} \right) = 0\\a + 8 = 3k\\b - 15 = - 9k\\c + 7 = 9k\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 3a + 9b - 9c = 27\\a = 3k - 8\\b = - 9k + 15\\c = 9k - 7\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 3\left( {3k - 8} \right) + 9\left( { - 9k + 15} \right) - 9\left( {9k - 7} \right) = 27\\a = 3k - 8\\b = - 9k + 15\\c = 9k - 7\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 171k = - 195\\a = 3k - 8\\b = - 9k + 15\\c = 9k - 7\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k = \frac{{65}}{{57}}\\a = - \frac{{87}}{{19}}\\b = \frac{{90}}{{19}}\\c = \frac{{62}}{{19}}\end{array} \right.$. Vậy $H\left( { - \frac{{87}}{{19}};\frac{{90}}{{19}};\frac{{62}}{{19}}} \right)$.

a) Đ, b) Đ, c) Đ, d) S

a) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu nhà đầu tư vào lĩnh vực A là 30 – 5 = 25.

b) Cỡ mẫu là ${n_1} = 2 + 4 + 7 + 5 + 3 = 21$.

Số trung bình $\overline {{x_1}} = \frac{{7{,}5.2 + 12{,}5.4 + 17{,}5.7 + 22{,}5.5 + 27{,}5.3}}{{21}} = \frac{{255}}{{14}}$.

Phương sai $s_1^2 = \frac{{{{7{,}5}^2}.2 + {{12{,}5}^2}.4 + {{17{,}5}^2}.7 + {{22{,}5}^2}.5 + {{27{,}5}^2}.3}}{{21}} - {\left( {\frac{{255}}{{14}}} \right)^2} = \frac{{5000}}{{147}}$.

Suy ra ${s_1} = \sqrt {\frac{{5000}}{{147}}} \approx 5{,}83$.

c) Cỡ mẫu là ${n_2} = 5 + 4 + 6 + 2 + 4 = 21$

Số trung bình $\overline {{x_2}} = \frac{{7{,}5.5 + 12{,}5.4 + 17{,}5.6 + 22{,}5.2 + 27{,}5.4}}{{21}} = \frac{{695}}{{42}}$.

$s_2^2 = \frac{{{{7{,}5}^2}.5 + {{12{,}5}^2}.4 + {{17{,}5}^2}.6 + {{22{,}5}^2}.2 + {{27{,}5}^2}.4}}{{21}} - {\left( {\frac{{695}}{{42}}} \right)^2} = \frac{{21650}}{{441}}$.

Suy ra ${s_2} = \sqrt {\frac{{21650}}{{441}}} \approx 7{,}01$.

d) Ta có ${s_1} < {s_2}$.

Vậy nếu so sánh theo độ lệch chuẩn thì tiền lãi của các nhà đầu tư trong lĩnh vực B có xu hướng phân tán rộng hơn so với tiền lãi của các nhà đầu tư trong lĩnh vực A.

Trả lời: 36

Ta có $v = s' = - {t^2} + 12t$; $a = v' = - 2t + 12$; $v' = 0 \Leftrightarrow t = 6$.

Ta có $v(0) = 0;v\left( 6 \right) = 36;v\left( 9 \right) = 27$.

Vậy vận tốc lớn nhất của vật là 36 m/s.

Trả lời: 6

Xét ${f^2}\left( x \right) - f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow f\left( x \right)\left[ {f\left( x \right) - 1} \right] = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f\left( x \right) = 0\;\left( 1 \right)\\f\left( x \right) = 1\;\left( 2 \right)\end{array} \right.$.

Phương trình (1) có nghiệm đơn $x = - 2$ và nghiệm kép $x = 1$.

Phương trình (2) có 3 nghiệm a, b, c khác các nghiệm phương trình thứ nhất.

Như vậy $y = \frac{{{x^2} - 1}}{{{f^2}\left( x \right) - f\left( x \right)}} = \frac{{{x^2} - 1}}{{k{{\left( {x - 1} \right)}^2}\left( {x + 2} \right)\left( {x - a} \right)\left( {x - b} \right)\left( {x - c} \right)}}$

$= \frac{{x + 1}}{{k\left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x - a} \right)\left( {x - b} \right)\left( {x - c} \right)}}$.

Ngoài ra $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } y = \frac{{{x^2} - 1}}{{{f^2}\left( x \right) - f\left( x \right)}} = 0$ nên $y = 0$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Vậy có tất cả 6 đường tiệm cận.

Trả lời: 59

Gọi chiều rộng của hình chữ nhật đáy bể là $x\,\left( m \right)$ suy ra chiều dài của hình chữ nhật là $2x$. Gọi $h$ là chiều cao của bể ta có $V = Sh = 2{x^2}.h = 200 \Rightarrow h = \frac{{100}}{{{x^2}}}.$

Diện tích của bể là $S = 2h.x + 2.2hx + 2{x^2} = 2{x^2} + 6hx = 2{x^2} + 6.\frac{{100}}{{{x^2}}}.x = 2{x^2} + \frac{{600}}{x}$

$$S' = 4x - \frac{{600}}{{{x^2}}}$$

$S' = 0 \Leftrightarrow 4x = \frac{{600}}{{{x^2}}} \Leftrightarrow x = \sqrt[3]{{150}}$.

Suy ra chi phí thấp nhất để xây bể là $S\left( {\sqrt[3]{{150}}} \right).350000 \approx 59$ triệu đồng.

Trả lời: −2

Ta có $f'\left( t \right) = 500\left( {2t - m{e^{ - t}}} \right)$ và $f''\left( t \right) = 500\left( {2 + m{e^{ - t}}} \right)$.

Tốc độ bán hàng luôn tăng trong khoảng thời gian 10 năm đầu phát hành sản phẩm Û $f'\left( t \right)$ là hàm đồng biến trên $\left[ {0;10} \right]$$\Leftrightarrow f''\left( t \right) \ge 0,\forall t \in \left[ {0;10} \right]$$\Leftrightarrow 500\left( {2 + m{e^{ - t}}} \right) \ge 0,\forall t \in \left[ {0;10} \right]$$\Leftrightarrow 2 + m{e^{ - t}} \ge 0,\forall t \in \left[ {0;10} \right]$$\Leftrightarrow m{e^{ - t}} \ge - 2,\forall t \in \left[ {0;10} \right]$$\Leftrightarrow m \ge - 2{e^t},\forall t \in \left[ {0;10} \right]$$\Leftrightarrow m \ge - 2{e^0} = - 2,\forall t \in \left[ {0;10} \right]$ (do hàm số $y = - 2{e^t}$ nghịch biến trên $\left[ {0;10} \right]$).

Vậy giá trị nhỏ nhất của m là −2.

Trả lời: 30

Gọi O là tâm của hình vuông $ABCD$.

Ta có $\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = \overrightarrow 0$$\Leftrightarrow 4\overrightarrow {SO} = \overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SC} + \overrightarrow {SD}$$\Rightarrow \left| {4\overrightarrow {SO} } \right| = \left| {\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SC} + \overrightarrow {SD} } \right|$.

Trọng lượng của vật nặng là $P = mg = 3.10 = 30$(N). Suy ra $4\left| {\overrightarrow {SO} } \right| = P = 30 \Rightarrow SO = \frac{{15}}{2}$.

Lại có tam giác $ASC$ vuông cân tại $S$ nên $SA = \frac{{SO}}{{\sin \widehat {SAC}}} = \frac{{\frac{{15}}{2}}}{{\sin 45^\circ }} = \frac{{15\sqrt 2 }}{2} = \frac{{30\sqrt 2 }}{4} \Rightarrow a = 30.$

Trả lời: −8

Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( { - 4; - x - 2;2} \right)$; $\overrightarrow {AC} = \left( {4; - 3;y + 1} \right)$.

Để $A,B,C$ thẳng hàng thì $\overrightarrow {AB} = k\overrightarrow {AC}$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 4 = k.4\\ - x - 2 = k.\left( { - 3} \right)\\2 = k\left( {y + 1} \right)\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k = - 1\\x = - 5\\y = - 3\end{array} \right.$.

Vậy $x + y = - 5 - 3 = - 8$.