Đề thi cuối kì 1 Toán 11 THPT Nguyễn Trường Tộ (Nghệ An) năm 2023-2024 (có đáp án)

Chọn C

Ta có ${u_4} = {u_1}.{q^3}$

$64 = 1.{q^3}$

$q = 4$.

Chọn A

Trong $\left( {BCD} \right)$, gọi $K = MN \cap CD$ suy ra $K = MN \cap \left( {ACD} \right)$.

Chọn A

Ta có $O \in AC \subset \left( {SAC} \right)$ nên $O$ nằm trên mặt phẳng $\left( {SAC} \right)$.

Chọn D

Xét $\Delta SAB$ có $J,{\rm{ }}I$ lần lượt là trung điểm của $SB,\;SA$ nên $JI$ là đường trung bình của $\Delta SAB$

Suy ra $JI{\rm{ // }}BA$.

Mặt khác $ABCD$ là hình bình hành nên $BA{\rm{ // }}CD$

Vậy $JI{\rm{ // }}BA{\rm{ // }}CD$.

Chọn B

Để dãy số là một cấp số cộng thì từ số hạng thứ hai trở đi sẽ bằng số hạng trước cộng với một hằng số không đổi $d$(công sai)

Phương án A không phải là một cấp số cộng vì $\left( { - 2} \right) - 1 \ne \left( { - 4} \right) - \left( { - 2} \right)$.

Phương án B là một cấp số cộng vì $\left( { - 3} \right) - 1 = \left( { - 7} \right) - \left( { - 3} \right) = \left( { - 11} \right) - \left( { - 7} \right) = \left( { - 15} \right) - \left( { - 11} \right) = - 4$

Phương án C không phải là một cấp số cộng vì $\left( { - 3} \right) - 1 \ne \left( { - 6} \right) - \left( { - 3} \right)$.

Phương án D không phải là một cấp số cộng vì $\left( { - 3} \right) - 1 \ne \left( { - 5} \right) - \left( { - 3} \right)$.

Chọn D

Công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản sin là

$\sin x = \sin \alpha \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k2\pi \\x = \pi - \alpha + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

Chọn B

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {3x - 1} \right) = 3.2 - 1 = 5$.

Chọn A

$\begin{array}{l}\cos x = 1\\ \Leftrightarrow x = k2\pi ,\;k \in \mathbb{Z}\end{array}$

Chọn D

Nếu $b{\rm{ // }}\left( \alpha \right)$ và mặt phẳng $\left( \beta \right)$ chứa $b$ thì $\left( \beta \right)$ sẽ cắt $\left( \alpha \right)$ theo giao tuyến là đường thẳng song song với $b$.

Chọn B

Ta có ${u_2} = {u_1} + d = 7 + 2 = 9$.

Chọn B

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{1}{{{n^k}}} = 0$.

Chọn C

Ta có ${u_n} = \frac{1}{{n + 1}}$, ba số hạng đầu của dãy số ứng với ${u_1} = \frac{1}{{1 + 1}} = \frac{1}{2};\;{u_2} = \frac{1}{{2 + 1}} = \frac{1}{3};\;{u_3} = \frac{1}{{3 + 1}} = \frac{1}{4}$.

Chọn D

Ta thấy số học sinh có thời gian tập thể dục trong khoảng $\left[ {40;\;60} \right)$ có số lượng đông nhất ($12$ học sinh) nên nhóm $\left[ {40;\;60} \right)$ chứa mốt của mẫu số liệu.

Chọn B

Hai điểm $M,N$ biểu diễn các cung có số đo $x = \frac{\pi }{3} + k\pi$,$k \in \mathbb{Z}$.

Chọn B

Dãy $2{,}4{,}8{,}16,...$ là một cấp số nhân với ${u_1} = 2$ và $q = 2$.

Chọn C

Công thức $\cos \left( {a + b} \right) = \sin a\sin b - \cos a\cos b$ sai.

Sửa lại $\cos \left( {a + b} \right) = \cos a\cos b - \sin a\sin b$.

Chọn A

Hình chiếu song song của một đường thẳng là một đường thẳng.

Chọn D

Từ đồ thị, hàm số liên tục trên $\left( {1;\;4} \right)$.

Chọn D

Giá trị đại diện của nhóm $\left[ {20;\;40} \right)$ là $\frac{{20 + 40}}{2} = 30$.

Chọn C

$\left( \alpha \right){\rm{ // }}\left( \beta \right)$ nên $\left( \alpha \right)$ và $\left( \beta \right)$ không có điểm chung.

Chọn C

Hàm số $y = \frac{{\sin x + 1}}{{\sin x - 1}}$ xác định khi và chỉ khi $\sin x - 1 \ne 0$

$\Leftrightarrow \sin x \ne 1 \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{2} + k2\pi \;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

Tập xác định: $D = \mathbb{R}{\rm{\backslash }}\left\{ {\frac{\pi }{2} + k2\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}$.

Chọn D

Ta có ${u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d \Rightarrow 100 = - 5 + \left( {n - 1} \right).3$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow 105 = \left( {n - 1} \right).3\\ \Leftrightarrow n - 1 = 105:3 = 35\\ \Leftrightarrow n = 35 + 1 = 36\end{array}$

Số $100$ là số hạng thứ $36$ của cấp số cộng.

Chọn A

Ta có $S \in \left( {SBC} \right) \cap \left( {SAD} \right)$

Mà $BC{\rm{ // }}AD$ nên $d = \left( {SBC} \right) \cap \left( {SAD} \right)$ là đường thẳng đi qua $S$ và $d{\rm{ // }}BC{\rm{ // }}AD$.

Chọn C

$$\tan x = 3 \approx \tan 1{,}249$$

$\Leftrightarrow x = 1{,}249 + k\pi \;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

Ta có $x \in \left( {0;3\pi } \right) \Rightarrow 0 < 1{,}249 + k\pi < 3\pi$

$\Leftrightarrow \frac{{ - 1{,}249}}{\pi } < k < \frac{{3\pi - 1{,}249}}{\pi }$

Mà $k \in \mathbb{Z}$ nên $k \in \left\{ {0;\;1;\;2} \right\}$

Vậy trên khoảng $\left( {0;3\pi } \right)$ thì phương trình $\tan x = 3$ có $3$ nghiệm.

Chọn A

Trong mặt phẳng $\left( {SCD} \right)$, gọi $F = IJ \cap DC$

Ta có $F \in \left( {AIJ} \right) \cap \left( {ABCD} \right)$ và $A \in \left( {AIJ} \right) \cap \left( {ABCD} \right)$ nên $AF = \left( {AIJ} \right) \cap \left( {ABCD} \right)$.

Chọn B

$$\begin{array}{l}C = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{\sqrt {2x + 3} - x}}{{{x^2} - 4x + 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{2x + 3 - {x^2}}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 3} \right)\left( {\sqrt {2x + 3} + x} \right)}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{ - \left( {x + 1} \right)\left( {x - 3} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 3} \right)\left( {\sqrt {2x + 3} + x} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{ - \left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {\sqrt {2x + 3} + x} \right)}}\\ = \frac{{ - \left( {3 + 1} \right)}}{{\left( {3 - 1} \right)\left( {\sqrt {2.3 + 3} + 3} \right)}} = \frac{{ - 1}}{3}\end{array}$$

Chọn D

$$\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{\sqrt {9{n^2} + 1} - \sqrt {n + 2} }}{{3n - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{n\left( {\sqrt {9 + \frac{1}{{{n^2}}}} - \sqrt {\frac{1}{n} + \frac{2}{{{n^2}}}} } \right)}}{{n\left( {3 - \frac{3}{n}} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{\sqrt {9 + \frac{1}{{{n^2}}}} - \sqrt {\frac{1}{n} + \frac{2}{{{n^2}}}} }}{{3 - \frac{3}{n}}} = \frac{{\sqrt 9 }}{3} = 3$$

Chọn D

Xét $\Delta ACD$ có $I,\;J$ lần lượt là trung điểm của $AD,\;AC$ nên $IJ$ là đường trung bình của $\Delta ACD$

Suy ra $IJ{\rm{ // }}CD$

Ta có $G \in \left( {IJG} \right) \cap \left( {BCD} \right)$ và $IJ{\rm{ // }}CD$ nên $d = \left( {IJG} \right) \cap \left( {BCD} \right)$ là đường thẳng qua $G$ và $d{\rm{ // }}IJ{\rm{ // }}CD$.

Chọn D

Ta có${u_5} = {u_1}.{q^4} = 54$ và ${u_2} = {u_1}.q = - 2$

Suy ra $\frac{{{u_5}}}{{{u_2}}} = \frac{{{u_1}.{q^4}}}{{{u_1}.q}} \Rightarrow {q^3} = \frac{{54}}{{ - 2}} = - 27 \Rightarrow q = - 3$

Thay vào ${u_2} = {u_1}.q = - 2$, suy ra ${u_1} = - 2:\left( { - 3} \right) = \frac{2}{3}$

$${S_{10}} = {u_1}.\frac{{1 - {q^{10}}}}{{1 - q}} = \frac{2}{3}.\frac{{1 - {{\left( { - 3} \right)}^{10}}}}{{1 - \left( { - 3} \right)}} = \frac{{\frac{2}{3}.\left[ {1 - {3^{10}}} \right]}}{4}$$

Chọn A

Do $ABCD.A'B'C'D'$ là hình hộp nên $BB'{\rm{ // }}DD';\;AB{\rm{ // }}C'D'$ và $BB' = DD';\;AB = C'D'$

Suy ra $BB'D'D,\;ABC'D'$ là các hình bình hành

Suy ra $AD'{\rm{ // }}BC';\;B'D'{\rm{ // }}BD$ hay $AD'{\rm{ // }}\left( {BC'D} \right);\;B'D'{\rm{ // }}\left( {BC'D} \right)$

Vậy $\left( {AB'D'} \right){\rm{ // }}\left( {BC'D} \right)$.

Chọn B

Ta thấy có tất cả $n = 3 + 12 + 15 + 24 + 2 = 56$ học sinh được điều tra

Do đó số trung vị thuộc nhóm $\left[ {15{,}5;\;18{,}5} \right)$, có ${n_m} = 15$ và $C = 3 + 12 = 15$

Số trung vị ${M_e} = {u_m} + \frac{{\frac{n}{2} - C}}{{{n_m}}}\left( {{u_{m + 1}} - {u_m}} \right) = 15{,}5 + \frac{{28 - 15}}{{15}}\left( {18{,}5 - 15{,}5} \right) = 18{,}1$.

Chọn A

${u_2} = 3.{u_1} + 2 = 3.\left( { - 1} \right) + 2 = - 1$

${u_3} = 3{u_2} + 3 = 3.\left( { - 1} \right) + 3 = 0$.

Chọn C

Xét $\Delta SAC$ có $M,\;N$ lần lượt là trung điểm của $SA,\;SC$ nên $MN$ là đường trung bình của $\Delta SAC$

Suy ra $MN{\rm{ // }}AC$

Mà $AC \subset \left( {ABCD} \right)$ nên $MN{\rm{ // }}\left( {ABCD} \right)$.

Chọn C

Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {{x^2} + x} \right) = {1^2} + 1 = 2$; $f\left( 1 \right) = 2$; $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {{m^2}x + 1} \right) = {m^2} + 1$

Để hàm số liên tục tại $x = 1$ thì $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = f\left( 1 \right) = 2$

Suy ra ${m^2} + 1 = 2 \Leftrightarrow {m^2} = 1 \Leftrightarrow m = \pm 1$

Vậy $S = 1 + \left( { - 1} \right) = 0$.

Chọn B

Theo lý thuyết về hai mặt phẳng song song ta có $\left( P \right){\rm{ // }}\left( Q \right) \Rightarrow a{\rm{ // }}\left( Q \right)$ và $b{\rm{ // }}\left( P \right)$.

Các trường hợp ở các ý A, C, D có trường hợp sai.

Đặt ${u_n} = {x_n} - \frac{3}{4},\forall n = 1{,}2, \ldots$ Khi đó ${u_{n + 1}} = {x_{n + 1}} - \frac{3}{4}$.

Thay vào giả thiết ta được

${x_{n + 1}} - \frac{3}{4} = 5\left( {{x_n} - \frac{3}{4}} \right) + 3,\forall n = 1{,}2, \ldots$

$\Leftrightarrow {x_{n + 1}} = 5{x_n},\forall n = 1{,}2, \ldots$

Vậy $({x_n})$ là cấp số nhân có cộng bội $q = 5$, số hạng đầu

${x_1} = {u_1} + \frac{3}{4} = - 3 + \frac{3}{4} = - \frac{9}{4}.$$

Do đó ${x_n} = {x_1}{q^{n - 1}} = - \frac{9}{4}{.5^{n - 1}},\forall n = 1{,}2, \ldots$

Suy ra ${u_n} = - \frac{3}{4} - \frac{9}{4}{.5^{n - 1}},\forall n = 1{,}2, \ldots$

Xét hàm số $P(x) = {x^3} + nx - 1$ liên tục và tăng nghiêm ngặt trên $\mathbb{R}$

Ta có $P(0) = - 1 < 0$ và $P(1) = n \ge 1$, do đó tồn tại duy nhất ${a_n} \in [0{,}1]$ sao cho $P\left( {{a_n}} \right) = 0$.

Ta có $a_n^3 + n{a_n} - 1 = 0$ cho nên $0 \le {a_n} = \frac{{1 - a_n^3}}{n} \le \frac{1}{n},{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \forall n = 1{,}2, \ldots$

Do $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{1}{n} = 0$ nên từ $(*)$ suy ra $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {a_n} = 0$.

Gọi $d'$ là ảnh của $d$ qua phép vị tự ${V_{(I, - 3)}}$, khi đó $d'$ song song hoặc trùng với $d$, do đó phương trình của $d'$ có dạng $d':2x - y + C = 0$.

Xét điểm $M(0;1)$ thuộc $d$. Giả sử ${V_{(I, - 3)}}(M) = M'$. Khi đó

$\overrightarrow {IM'} = - 3\overrightarrow {IM} \Leftrightarrow \left( {{x_{M'}} - {x_I};{y_{M'}} - {y_I}} \right) = - 3\left( {{x_M} - {x_I};{y_M} - {y_I}} \right)$

$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{{x_{M'}} - {x_I} = - 3({x_M} - {x_I}) = - 3}\\{{y_{M'}} - {y_I} = - 3({y_M} - {y_I}) = 3}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{{x_{M'}} = - 4}\\{{y_{M'}} = 5.}\end{array}} \right.$

Vậy $M'( - 4;5)$. Mà $M' \in d'$ nên $2( - 4) - 5 + C = 0 \Leftrightarrow C = 13$.

Do đó ảnh của $d$ qua ${V_{(I, - 3)}}$ là đường thẳng $d':2x - y + 13 = 0$.