Đề thi cuối kì 1 Toán 11 THPT Kiến An (Hải Phòng) năm 2023-2024 (có đáp án)

Chọn C

$$\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\sqrt {{a^2}{x^2} + 3} }}{{2x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ - \sqrt {{a^2} + \frac{3}{{{x^2}}}} }}{{2 - \frac{1}{x}}} = \frac{{ - \left| a \right|}}{2} = 2 \Rightarrow a = \pm 4$$

Chọn C

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}AC \cap BD = M\\AC \subset \left( {SAC} \right)\\BD \subset \left( {SBD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow M \subset \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)$

Vậy $\left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right) \equiv SM$

Chọn B

Ta có: $\left( {AA'H} \right) \cap B'C \equiv B'$

$$\left( {HA'C'} \right) \cap B'C \equiv B'$$

$$\left( {HAB} \right) \cap B'C \equiv B'$$

Bằng phương pháp loại trừ, ta chọn $\left( {AHC'} \right)\parallel B'C$

Chọn B

Ta có: $I \in BD \subset \left( {BCD} \right) \Rightarrow I \in \left( {BCD} \right)$

$I \in MN \subset \left( {CMN} \right) \Rightarrow I \in \left( {CMN} \right)$

$I \in BD \subset \left( {ABD} \right) \Rightarrow I \in \left( {ABD} \right)$

Vậy $I \notin \left( {ACD} \right)$

Chọn C

Dễ dàng nhận thấy $(SAB) \cap (SBC) \equiv SB$

Chọn B

Ta có: $f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 1}}{{{x^2} + 5x + 6}}$ có tập xác định là $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 3; - 2} \right\}$

Hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên khoảng $\left( { - \infty ; - 3} \right);\left( { - 3; - 2} \right)$ và $\left( { - 2; + \infty } \right)$

Chọn D

Tập xác định của hàm số $y = \frac{{\cos x}}{{\sin x + 1}}$ là $D = \mathbb{R}{\rm{\backslash }}\left\{ { - \frac{\pi }{2} + k2\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}$

Chọn B

Giá trị đại diện nhóm $\left[ {30;40} \right)$ là $\frac{{30 + 40}}{2} = 35$.

Chọn B

Dựa vào đồ thị, ta thấy hàm số gián đoạn tại điểm có hoành độ $x = 1$

Chọn B

Đổi $250^\circ \to \frac{{250.\pi }}{{180}} = \frac{{25\pi }}{{18}}$

Chọn B

Nhóm có tần số lớn nhất là $\left[ {18;22} \right)$

Mốt nhóm dữ liệu là: ${M_0} = {a_j} + \frac{{{m_j} - {m_{j - 1}}}}{{\left( {{m_j} - {m_{j - 1}}} \right) + \left( {{m_j} - {m_{j + 1}}} \right)}}.h$

${M_0} = 18 + \frac{{120 - 78}}{{\left( {120 - 78} \right) + \left( {120 - 45} \right)}}.4 = 19{,}4$

Chọn B

Phương trình ${\rm{cos}}\,{\rm{2}}x = \frac{1}{2}$

$$\Rightarrow {\rm{cos2}}x = \cos \frac{\pi }{3}$$

$$\Rightarrow {\rm{2}}x = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi$$

$$\Rightarrow x = \pm \frac{\pi }{6} + k\pi$$

Chọn A

Ta có: $MN\parallel AC$( đường trung bình)

Do đó $MN\parallel \left( {ABCD} \right)$

Chọn B

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left[ {f\left( x \right).g\left( x \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right).\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} g\left( x \right) = 5.1 = 5$

Chọn C

Do $AD\parallel BC$ nên giao tuyến của $\left( {SAD} \right)$ và $\left( {SBC} \right)$ là $d$ qua $S$ và song song với $BC$.

Chọn D

$\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{2 - {5^{n - 2}}}}{{{3^n} + {{2.5}^n}}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{\frac{2}{{{5^n}}} - \frac{{{5^{n - 2}}}}{{{5^n}}}}}{{\frac{{{3^n}}}{{{5^n}}} + \frac{{{{2.5}^n}}}{{{5^n}}}}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{\frac{2}{{{5^n}}} - \frac{1}{{25}}}}{{\frac{{{3^n}}}{{{5^n}}} + 2}} = - \frac{1}{{50}}$

Chọn C

$y = {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x + {\rm{sin}}x + 9 = 1 - {\rm{si}}{{\rm{n}}^2}x + {\rm{sin}}x + 9 = - {\rm{si}}{{\rm{n}}^2}x + {\rm{sin}}x + 10$

Xét hàm số $y = - {t^2} + t + 10$ có đỉnh $I\left( {\frac{1}{2};\frac{{41}}{4}} \right)$ nên hàm số có GTLN là $\frac{{41}}{4}$.

Chọn B

$0 < {u_n} = \frac{{2n + 1}}{{n + 1}} = 2 - \frac{1}{{n + 1}} < 2$ là dãy số bị chặn

Chọn C

Hàm số $y = \cos 2x.$ là hàm số chẵn do $f\left( { - x} \right) = \cos \left( { - 2x} \right) = \cos 2x = f\left( x \right)$

Chọn C

Ta có: ${u_n} = 2n - 1$

${u_{n + 1}} = 2\left( {n + 1} \right) - 1 = 2n + 1$

${u_{n + 1}} - {u_n} = 2n + 1 - \left( {2n - 1} \right) = 2 > 0$ nên đây là dãy tăng.

Chọn B

Hình chiếu của $M$qua phép chiếu song song trên theo phương chiếu là $M'$

Hình chiếu của $D$qua phép chiếu song song trên theo phương chiếu là $D'$

Hình chiếu của $\Delta B'DM$qua phép chiếu song song trên theo phương chiếu là $\Delta B'D'M'.$

Chọn D

Xét $\Delta SAC$ có $O$ là trung điểm $AC$; $OK\parallel SA$ nên $OK$ là đường trung bình

$\Rightarrow K$ là trung điểm $SC$.

Vậy $SK = KC$.

Chọn B

Ta có: $N = 5 + 9 + 12 + 10 + 6 = 42$

Tứ phân vị thứ nhất nằm trong nhóm thứ $2$ là $\left[ {20;40} \right)$

${Q_1} = {a_p} + \frac{{\frac{n}{4} - \left( {{m_1} + ... + {m_{p - 1}}} \right)}}{{{m_p}}}\left( {{a_{p + 1}} - {a_p}} \right)$

${Q_1} = 20 + \frac{{\frac{{42}}{4} - 5}}{9}\left( {40 - 20} \right) = \frac{{290}}{9}$

Tứ phân vị thứ ba nằm trong nhóm thứ $4$ là $\left[ {60;80} \right)$

${Q_3} = {a_p} + \frac{{\frac{{3n}}{4} - \left( {{m_1} + ... + {m_{p - 1}}} \right)}}{{{m_p}}}\left( {{a_{p + 1}} - {a_p}} \right)$

${Q_3} = 60 + \frac{{\frac{{3.42}}{4} - 26}}{{10}}\left( {80 - 60} \right) = 71$

Vậy: $9{Q_1} - {Q_3} = 9.\frac{{290}}{9} - 71 = 219$

Chọn A

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}CD\parallel AB\\CD \subset \left( {CDM} \right);AB \subset \left( {SAB} \right)\\\left( {CDM} \right) \cap \left( {SAB} \right) \equiv MN\end{array} \right. \Rightarrow MN\parallel CD\parallel AB$

Chọn A

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}B'D'\parallel BD\\AD'\parallel BC'\end{array} \right. \Rightarrow \left( {AB'D'} \right)\parallel \left( {BC'D} \right)$

Chọn B

Cỡ mẫu của mẫu số liệu ghép nhóm trên là $N = 4 + 9 + 14 + 11 + 7 + 5 = 50$.

Chọn B

Ta có: ${\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1$

${\cos ^2}\alpha = 1 - {\sin ^2}\alpha = 1 - {\left( {\frac{{12}}{{13}}} \right)^2} = \frac{{25}}{{169}}$

$\Rightarrow \cos \alpha = \pm \frac{5}{{13}}$

Do $\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi$ nên$\cos \alpha = - \frac{5}{{13}}$.

Chọn C

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{u_4} = - 12\\{u_{14}} = 18\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 3d = - 12\\{u_1} + 13d = 18\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = - 21\\d = 3\end{array} \right.$

Vậy ${S_{16}} = \frac{{ - 21.2 + 15.3}}{2}.16 = 24$

Chọn D

${u_7} = {u_1} + 6d = - 0{,}1 + 6.0{,}1 = 0{,}5$

Chọn D

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}IJ\parallel BC\\JN\parallel CC'\end{array} \right. \Rightarrow \left( {IJN} \right)\parallel \left( {BCC'B'} \right)$

Chọn A

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f\left( x \right) - 10}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt {4f\left( x \right) + 9} + 3} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f\left( x \right) - 10}}{{\sqrt x - 1}}.\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{1}{{\sqrt {4f\left( x \right) + 9} + 3}}$

Xét $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f\left( x \right) - 10}}{{\sqrt x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\left[ {f\left( x \right) - 10} \right]\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{x - 1}} = 5\left( {1 + 1} \right) = 10$

Xét $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \sqrt {4f\left( x \right) + 9} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {\sqrt {4\frac{{\left( {f\left( x \right) - 10 + 10} \right)}}{{x - 1}}\left( {x - 1} \right) + 9} } \right)$

$$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {\sqrt {4\left[ {\frac{{f\left( x \right) - 10}}{{x - 1}} + \frac{{10}}{{x - 1}}} \right]\left( {x - 1} \right) + 9} } \right)$$

$$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {\sqrt {4\left( {5 + \frac{{10}}{{x - 1}}} \right)\left( {x - 1} \right) + 9} } \right)$$

$$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {\sqrt {20\left( {x - 1} \right) + 40 + 9} } \right) = \sqrt {49} = 7$$

Suy ra $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{1}{{\sqrt {4f\left( x \right) + 9} + 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{1}{{7 + 3}} = \frac{1}{{10}}$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f\left( x \right) - 10}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt {4f\left( x \right) + 9} + 3} \right)}} = 10.\frac{1}{{10}} = 1$

Chọn C

Tiền lương mỗi năm là một cấp số cộng có ${u_1} = 180$ và công sai $d = 8$

Giả sử sau $n$ năm, tổng số tiền lương của người kĩ sư đó là

${S_n} = \frac{{2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d}}{2}.n = \frac{{2.180 + 8\left( {n - 1} \right)}}{2}.n = n\left( {4n + 176} \right) = 4{n^2} + 176n$

Suy ra $4{n^2} + 176n = 2160$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 4{n^2} + 176n - 2160 = 0\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 10\\n = - 54\left( L \right)\end{array} \right.\end{array}$

Vậy sau $10$ năm thì tổng tiền lương của người kĩ sư đó bằng 2160 triệu đồng.

Chọn A

Ta có: ${u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}} = \left( { - 1} \right).{\left( { - \frac{1}{{10}}} \right)^{n - 1}} = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{{{{10}^{n - 1}}}} = \frac{1}{{{{10}^{2023}}}}$

Suy ra $n - 1 = 2023 \Rightarrow n = 2024$.

a)

$\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{\sqrt {9{n^4} + 3{n^2} + 1} }}{{4{n^2} + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{\sqrt {\frac{{9{n^4} + 3{n^2} + 1}}{{{n^4}}}} }}{{\frac{{4{n^2} + 2}}{{{n^2}}}}}$

$\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{\sqrt {9 + \frac{3}{{{n^2}}} + \frac{1}{{{n^4}}}} }}{{4 + \frac{2}{{{n^2}}}}} = \frac{3}{4}$

b)

$$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} - 1}}{{{x^2} - 5x + 4}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{(x - 1)(x - 4)}}$$

$$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{x + 1}}{{x - 4}} = \frac{{ - 2}}{3}$$

TXD: $\mathbb{R}$

Có hàm số xác định tại $x = 3$

+ $f\left( 3 \right) = \frac{{ - 1}}{4}$

+ $\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \frac{{\sqrt {x + 1} - 2}}{{x - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \frac{{x - 3}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {\sqrt {x + 1} + 2} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \frac{1}{{\sqrt {x + 1} + 2}} = \frac{1}{4}$

+ $\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \frac{{2 - x}}{4} = - \frac{1}{4}$

Suy ra: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} f\left( x \right)$ nên không tồn tại $\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^{}}} f\left( x \right)$.

Vậy hàm số gián đoạn tại x = 3.

+ Sau ngày thứ nhất hàm lượng thuốc còn là: $4\% \cdot 150\left( {{\rm{gam}}} \right)$.

+ Sau ngày thứ hai hàm lượng thuốc còn là

$$\left( {150 + 4\% \cdot 150} \right)4\% = 150.4\% + {\left( {4\% } \right)^2} \cdot 150{\rm{\; = }}\left[ {\left( {4\% } \right) + {{\left( {4\% } \right)}^2}} \right] \cdot 150{\rm{(gam)\;}}$$

+ Sau ngày thứ ba hàm lượng thuốc còn là

$\left( {4\% + {{\left( {4\% } \right)}^2} + {{\left( {4\% } \right)}^3}} \right) \cdot 150{\rm{\;(gam)\;}}$.

+ Sau ngày thứ n hàm lượng thuốc còn là: $\left( {4\% + {{\left( {4\% } \right)}^2} + \cdot \cdot \cdot + {{\left( {4\% } \right)}^n}} \right) \cdot 150{\rm{\;(gam)\;}}$

+ Có $S = 4\% + {\left( {4\% } \right)^2} + \cdot \cdot \cdot + {\left( {4\% } \right)^n} + \cdot \cdot \cdot$ là tổng cấp số nhân lùi vô hạn với ${U_1} = 4\% ;q = 4\%$

Nên $S = 4\% \frac{1}{{1 - 4\% }} = \frac{1}{{24}}$

Vậy lượng thuốc còn lại sau khi bệnh nhân sử dụng dài hạn khoảng $150.\frac{1}{{24}} = 6{,}25(gam)$

a) + CM: $MO$ là đường trung bình của $\Delta SDB$$\Rightarrow MO//SB$

+ $OM \not\subset \left( {SAB} \right),{\rm{ SB}} \subset \left( {SAB} \right) \Rightarrow OM//\left( {SAB} \right)$

b) + Gọi $E$ là giao điểm đường thẳng $DP$ và đường thẳng $AB$

Khi đó $N$ là giao điểm của đường thẳng $GE$ và đường thẳng $SA$.

+ CM: $B$ là trung điểm $AE$

+ Dựng $KI$ song song với $SA$

+ CM: $\frac{{KI}}{{SN}} = \frac{{KG}}{{SG}} = \frac{1}{2}$; $\frac{{KI}}{{AN}} = \frac{{EK}}{{AE}} = \frac{3}{4}$

Suy ra: $\frac{{AN}}{{SN}} = \frac{2}{3} \Rightarrow \frac{{SN}}{{SA}} = \frac{3}{5}$