Đề thi cuối kì 1 Toán 11 THPT Bình Giang (Hải Dương) năm 2023-2024 (có đáp án)

Chọn A

Cách 1:

Ta có: ${u_{n + 1}} = \frac{{2\left( {n + 1} \right) - 1}}{{\left( {n + 1} \right) + 1}} = \frac{{2n + 1}}{{n + 2}}$.

Xét hiệu ${u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{2n + 1}}{{n + 2}} - \left( {\frac{{2n - 1}}{{n + 1}}} \right) = \frac{3}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}} > 0$.

Suy ra ${u_{n + 1}} - {u_n} > 0,n \in \mathbb{N}*$.

Vậy ${u_n} = \frac{{2n - 1}}{{n + 1}}$ là dãy số tăng.

Cách 2: Sử dụng máy tính cầm tay

Sử dụng máy tính cầm tay kiểm tra dãy số tăng, giảm (Nhập hai hàm số kiểm tra một lần).

Quy trình:

- Menu 8 trên máy Casio_580VNX.

- Nhập $f\left( x \right) = \frac{{2x - 1}}{{x + 1}}$ (Đáp án A)

- Nhập $g\left( x \right) = \frac{1}{x}$ (Đáp án B)

- Với Start = $1$ , End =$10$, Step = $1$.

Kiểm tra các giá trị của các hàm số, ta thấy $f\left( x \right) = \frac{{2x - 1}}{{x + 1}}$ nhận các giá trị tăng dần nên chọn đáp án A.

Chọn D

Hàm số $y = {x^3} - 3x + 1$ là hàm số đa thức có tập xác định $\mathbb{R}$ nên nó liên tục trên $\mathbb{R}$.

Chú ý: Các hàm số đa thức, phân thức, lượng giác thì liên tục trên tập xác định của nó.

Chọn B

Ta có: $\lim {u_n} = \lim \left( {1 - 2n} \right) = - \infty$ nên dãy số ${u_n} = 1 - 2n$ không bị chắn dưới.

Chọn C

Tần số lớn nhất là $120$ nên nhóm chứa mốt là nhóm thứ $3 \Rightarrow j = 3$.

Nhóm $\left[ {18;22} \right)$ có độ dài $h = 4$.

Ta có: ${a_3} = 18$; ${m_3} = 120$; ${m_2} = 78$; ${m_4} = 45$

Do đó mốt của mẫu số liệu là

${M_o} = {a_j} + \frac{{\left( {{m_j} - {m_{j - 1}}} \right)}}{{\left( {{m_j} - {m_{j - 1}}} \right) + \left( {{m_j} - {m_{j + 1}}} \right)}}.h = 18 + \frac{{\left( {120 - 78} \right)}}{{\left( {120 - 78} \right) + \left( {120 - 45} \right)}}.4 = \frac{{758}}{{39}} \approx 19{,}4$.

Chọn D

Thay $n = 1$ vào các đáp án. Loại đáp án B và C

Thay $n = 2$ vào đáp án A và D. Loại đáp án A

Chọn D

Cách 1:

Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\left| x \right|}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ - x}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( { - 1} \right) = - 1$.

Cách 2: Dùng máy tính cầm tay

Quy trình: như hình

· Trên máy Casio_580VNX.

Chọn D

Công thức lượng giác góc nhân đôi.

$\cos 2\alpha = {\cos ^2}\alpha - {\sin ^2}\alpha = 2{\cos ^2}\alpha - 1 = 1 - 2{\sin ^2}\alpha$.

Chọn C

Ta có: $\begin{array}{l}3 = 1.3\\9 = 3.3\end{array}$

Suy ra $1,\;3,\;9$ là một cấp số nhân với ${u_1} = 1$ và $q = 3$.

Chọn C

Ta có: $\left( {AA'B'} \right) \equiv \left( {ABB'A'} \right)$.

Gọi $N$ là trung điểm của $AB$$\Rightarrow MN\parallel AB$.

Vậy $N$ là hình chiếu chiếu song song của điểm $M$ lên $\left( {AA'B'} \right)$ theo phương chiếu $CB$ .

Chọn B

Cấp số nhân có ${u_1} = 3$ và $q = - 4$ nên ${u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}} = 3.{\left( { - 4} \right)^{n - 1}}$.

Chọn C

Ta có:$AA'\parallel BB'$ nên phép chiếu song song có phương chiếu $AA'$ lên $\left( {ABCD} \right)$biến điểm $B'$ thành điểm $B$.

Chọn C

Theo tính chất của phép chiếu song song:

Phép chiếu song song biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau nên hình chiếu của hình vuông không là hình thang.

Chọn A

Theo tính chất của hai mặt phẳng song song.

Chọn A

Ta có: $AD'\parallel BC'$ và $AD' \subset \left( {AB'D'} \right)$$\Rightarrow BC'\parallel \left( {AB'D'} \right)$.

$AB'\parallel DC'$ và $AB' \subset \left( {AB'D'} \right)$$\Rightarrow DC'\parallel \left( {AB'D'} \right)$.

Mà $BC' \cap DC' = \left\{ {C'} \right\}$.

Vậy $\left( {AB'D'} \right)\parallel \left( {BC'D} \right)$.

Chọn D

Hai mặt phẳng cùng song song với một mặt phẳng thì hoặc song song với nhau hoặc trùng nhau.

Chú ý: Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thì song song với nhau.

Chọn B

Ta có: $\cos x = \,\;\frac{1}{2} \Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}$.

Chọn C

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {x + 2} - \sqrt {2 - x} }}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{2x}}{{\sqrt {x + 2} + \sqrt {2 - x} }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}$.

Hàm số $f\left( x \right)$ liên tục tại $x = 0 \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) \Leftrightarrow f\left( 0 \right) = \frac{1}{{\sqrt 2 }}$ .

Chọn B

Vì dãy số $6,x, - 2,y$ theo thứ tự lập thành cấp số cộng nên ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}2x = 6 - 2\\ - 4 = x + y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = - 6\end{array} \right.$.

Chọn B

Do $\left\{ \begin{array}{l}a\parallel \left( \alpha \right)\\b \subset \left( \alpha \right)\end{array} \right. \Rightarrow a \cap b = \emptyset$. Suy ra $a\parallel b$ hoặc $a,\,b$ chéo nhau.

Chọn A

Ta xác định được $3$ mặt phẳng là: $\left( {a,b} \right)$; $\left( {B,a} \right)$; $\left( {B,b} \right)$.

Chọn A

$\left\{ \begin{array}{l}ON\parallel SB\\SB \subset \left( {SBC} \right)\end{array} \right. \Rightarrow ON\parallel \left( {SBC} \right)$.

Ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}OM\parallel SC\\SC \subset \left( {SBC} \right)\end{array} \right. \Rightarrow OM\parallel \left( {SBC} \right)$.

Ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}OM\parallel \left( {SBC} \right)\\ON\parallel \left( {SBC} \right)\\OM \cap ON = \left\{ O \right\}\\OM,ON \subset \left( {OMN} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left( {OMN} \right)\parallel \left( {SBC} \right)$.

Chọn A

$1\pi {\rm{ rad }} = 180^\circ$.

Chọn B

Ta có $MN$ là đường trung bình trong $\Delta ABC$ nên $MN\parallel BC$.

Mà $BC \subset \left( {BCD} \right)$ và $MN \notin \left( {BCD} \right)$. Vậy $MN\parallel \left( {BCD} \right)$.

Chọn D

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\{u_{n + 1}} = 2{u_n}\end{array} \right. \Rightarrow$$\left( {{u_n}} \right)$ là cấp số nhân với $\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\q = 2\end{array} \right.$.

Chọn A

Ta có: $d = {u_2} - {u_1} = 3 - \left( { - 2} \right) = 5$.

Chọn B

Gọi $M$, $N$, $P$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $BC$, $CD$ và $BD$.

Ta có: $\frac{{A{G_1}}}{{AM}} = \frac{{A{G_2}}}{{AN}} = \frac{{A{G_3}}}{{AP}} = \frac{2}{3}$ (vì ${G_1}$, ${G_2}$, ${G_3}$ là trọng tâm của các $\Delta ABC$, $\Delta ACD$, $\Delta ABD$).

Suy ra ${G_1}{G_2}\parallel MN$ mà $MN \subset \left( {BCD} \right)$ nên ${G_1}{G_2}\parallel \left( {BCD} \right)$

và ${G_1}{G_3}\parallel MP$ mà $MP \subset \left( {BCD} \right)$ nên ${G_1}{G_3}\parallel \left( {BCD} \right)$.

Vậy $\left( {{G_1}{G_2}{G_3}} \right)\parallel \left( {BCD} \right)$.

Chọn A

Ta có: $\frac{1}{4} < \,\,\frac{1}{3} < \;\frac{1}{2}$ nên dãy số $\frac{1}{4},\,\,\frac{1}{3},\;\frac{1}{2}$ là dãy số tăng.

Chọn D

Cách 1:

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {x + 3} \right) = - \infty \\\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( { - 2} \right) = - 2 < 0\end{array} \right.$ $\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ { - 2\left( {x + 3} \right)} \right] = + \infty$.

Cách 2: Dùng máy tính cầm tay

Quy trình:

Trên máy Casio_580VNX.

CALC biểu thức $- 2\left( {x + 3} \right)$ với giá trị $x = - {10^{30}}$ như hình.

Chọn B

Hàm số $y = \tan x$ xác định $\Leftrightarrow \cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}$.

Chọn C

Ta có: $\left( {{u_n}} \right)$ là cấp số cộng với ${u_{n + 1}} = {u_n} + 3 \Rightarrow d = 3$.

Mà ${u_3} = - 2$ nên ${u_1} + 2d = - 2 \Leftrightarrow {u_1} = - 2 - 6 = - 8$.

Số hạng tổng quấ của cấp số cộng: ${u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d = - 8 + \left( {n - 1} \right)3 = 3n - 11$.

Chọn D

Cách 1:

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 5} \frac{{x - 5}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 5} \frac{{5 - 5}}{{5 - 2}} = \frac{0}{3} = 0$.

Cách 2: Dùng máy tính cầm tay

Quy trình:

Trên máy Casio_580VNX.

CALC biểu thức $\frac{{x - 5}}{{x - 2}}$ với giá trị $x = 5$ như hình.

Chọn C

Cách 1:

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {x + 1} \right) = 3\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {x - 2} \right) = 0\\x - 2 < ,\forall x < 2\end{array} \right. \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{x - 1}}{{x - 2}} = - \infty$.

Cách 2: Dùng máy tính cầm tay

Quy trình:

Trên máy Casio_580VNX.

CALC biểu thức $\frac{{1 + x}}{{x - 2}}$ với giá trị $x = 2 - {10^{ - 9}}$ như hình.

Chọn B

Cách 1:

Ta thấy $S$ là tổng của $n$ số tự nhiên lẻ liên tiếp:${S_n} = {n^2}$

Ta có: $1{,}2{,}3,...,2023$ có $1012$ số hạng.

Do đó: $S = 1 + 3 + 5 + ..... + 2023 = {1012^2} = 1024144$.

Cách 2:

Ta có:$S = 1 + 3 + 5 + ..... + 2023$ là tổng của 1012 số hạng đầu của cấp số cộng với ${u_1} = 1$ và ${u_n} = 2023$

Ta có: ${s_n} = \frac{{n\left( {{u_1} + {u_n}} \right)}}{2} \Rightarrow {S_{1012}} = \frac{{1012\left( {1 + 2023} \right)}}{2} = 1024144$.

Chọn A

Qua hai đường thẳng chéo nhau ta xác định được một mặt phẳng nên có vô số mặt phẳng song song với mặt phẳng cho trước.

Chọn A

Ta có: ${u_n} = 3{u_{n - 1}} + n \Rightarrow {u_2} = 3.{u_1} + 2 = 3.\left( { - 1} \right) + 2 = - 1$

$\Rightarrow {u_3} = 3.{u_2} + 3 = 3.\left( { - 1} \right) + 3 = 0$.

Tập xác định $D = \mathbb{R}$.

- Khi $x \ne 1$ thì $f\left( x \right) = \frac{{{x^3} - {x^2} + 2x - 2}}{{x - 1}}$ là hàm phân thức hữu tỉ xác định trên khoảng $\left( { - \infty ;\,1} \right),(1; + \infty )$ nên liên tục trên khoảng $\left( { - \infty ;\,1} \right)$ và $\left( {1;\, + \infty } \right)$.

- Xét tính liên tục của hàm số tại điểm $x = 1$, ta có:

+ $f\left( 1 \right) = 2 + m$, $\mathop {\lim }\limits_{x\, \to \,1} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x\, \to \,1} \frac{{{x^3} - {x^2} + 2x - 2}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x\, \to \,1} \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + 2} \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x\, \to \,1} \left( {{x^2} + 2} \right) = 3$.

- Hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ $\Leftrightarrow$ hàm số $f\left( x \right)$ liên tục tại $x = 1$

Û $\mathop {\lim }\limits_{x\, \to \,1} f\left( x \right) = f\left( 1 \right)$ Û $m + 2 = 3 \Leftrightarrow m = 1$.

Vậy với $m = 1$ thì hàm số đã cho liên tục tại $x = 1$.

a) Ta có:

${s_1} = {a^2}$, Cạnh của hình vuông $C(2)$ là: ${a}_{2}=\sqrt{{(\frac{3}{4}a)}^{2}+{(\frac{1}{4}a)}^{2}}=\frac{\sqrt[a]{10}}{4}$ .

Do đó diện tích ${S}_{2}=\frac{5}{8}{a}^{2}=\frac{5}{8}{S}_{1}$ .

Cạnh của hình vuông (C3) là:

Do đó diện tích

Tương tự ta có :${s_1},{s_2},...,{s_n},...$Lập thành csn lùi vô hạn có số hạng đầu là :${s_1} = {a^2}$, công bội $q = \frac{5}{8}$

Vậy: $T = {s_1} + {s_2} + {s_3} + ... + {s_n} + ... = \frac{{{s_1}}}{{1 - q}} = \frac{{{a^2}}}{{1 - \frac{5}{8}}} = \frac{{8{a^2}}}{3} = \frac{{32}}{3} \Leftrightarrow a = 2$
b) Sau $1$ tháng giá trị của ô tô còn lại là:

${u_1}\; = {\rm{ 7}}00{\rm{ }}--{\rm{ 7}}00.0{,}4\% {\rm{ }} = {\rm{ 7}}00.\left( {1{\rm{ }}--{\rm{ 0,}}4\% } \right){\rm{ }}$(triệu đồng).

Sau $2$ tháng giá trị của ô tô còn lại là:

${u_2}\; = {\rm{ 7}}00.\left( {1{\rm{ }}--{\rm{ 0,}}4\% } \right){\rm{ }}--{\rm{ 7}}00.\left( {1{\rm{ }}--{\rm{ 0,}}4\% } \right).0{,}4\% {\rm{ }} = {\rm{ 7}}00.{\left( {1{\rm{ }}--{\rm{ 0,}}4\% } \right)^2}\;$ (triệu đồng).

Sau $3$ tháng giá trị của ô tô còn lại là:

${u_3}\; = {\rm{ 7}}00.{\left( {1{\rm{ }}--{\rm{ 0,}}4\% } \right)^2}{\rm{ }}--{\rm{ 7}}00.{\left( {1{\rm{ }}--{\rm{ 0,}}4\% } \right)^2}.0{,}4\% {\rm{ }} = {\rm{ 7}}00.{\left( {1{\rm{ }}--{\rm{ 0,}}4\% } \right)^3}\;$(triệu đồng).

Gọi ${u_n}$ là giá trị của ô tô sau $n$ tháng sử dụng.

Dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ tạo thành một cấp số nhân với số hạng đầu là giá trị đầu của ô tô là${u_1}\; = {\rm{7}}00.\left( {1{\rm{ }}--{\rm{ 0,}}4\% } \right){\rm{ }}$triệu đồng và công bội $q = 1{\rm{ }}--{\rm{ 0,}}4\% {\rm{ }}$.

Khi đó công thức tổng quát để tính ${u_n}\; = {\rm{7}}00.{\left( {1{\rm{ }}--{\rm{ 0,}}4\% } \right)^n}{\rm{ }}$.

Sau $3$ năm sử dụng giá trị của ô tô còn lại là:${u_{36}}\; = {\rm{ 7}}00.{\left( {1{\rm{ }}--{\rm{ 0,}}4\% } \right)^{36}}\; \approx {\rm{ 605{,}95}}$ (triệu đồng).

Sau $3$ năm thầy Thu làm ra $18.36 = 648$ (triệu đồng).

Sau $3$ năm tổng số tiền (bao gồm giá tiền xe ô tô và tổng số tiền thầy Thu làm ra) thầy Thu có được là $648 + 605{,}95 = 1253{,}95$(triệu đồng).