Đề thi cuối kì 1 Toán 11 năm 2025-2026 THPT Nguyễn Thị Minh Khai (TP.HCM) có đáp án

Theo lý thuyết giới hạn của dãy số cơ bản:

$\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {1^n} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } 1 = 1 \ne 0$.

$\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{1}{n} = 0 \ne 1$.

Nếu $q > 1$ thì $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {q^n} = + \infty$.

Nếu $\left| q \right| < 1$ thì $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {q^n} = 0$.

Chọn đáp án: D.

Với góc $\alpha$ thuộc góc phần tư thứ II ($90^\circ < \alpha < 180^\circ$), ta có:

$\sin \alpha > 0$; $\cos \alpha < 0$; $\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} < 0$; $\cot \alpha = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} < 0$.

Chọn đáp án: A.

Số hạng tổng quát của cấp số nhân là: ${u_n} = {u_1} \cdot {q^{n - 1}}$.

Thay các giá trị đã cho vào ta có: $1024 = 1 \cdot {2^{n - 1}} \Leftrightarrow {2^{10}} = {2^{n - 1}} \Leftrightarrow n - 1 = 10 \Leftrightarrow n = 11$.

Vậy số $1024$ là số hạng thứ $11$ của cấp số nhân.

Chọn đáp án: A.

Hàm đa thức $y = {x^2} - 3x + 2$ liên tục trên $\mathbb{R}$.

Hàm phân thức $y = \frac{{3x}}{{x + 2}}$ có tập xác định là $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 2} \right\}$, do đó nó không liên tục tại $x = - 2$, tức là không liên tục trên $\mathbb{R}$.

Hàm lượng giác $y = \cos x$ liên tục trên $\mathbb{R}$.

Hàm phân thức $y = \frac{{2x}}{{{x^2} + 1}}$ có mẫu số ${x^2} + 1 > 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$, tập xác định là $D = \mathbb{R}$ nên liên tục trên $\mathbb{R}$.

Chọn đáp án: B.

Hàm số $f\left( x \right)$ liên tục tại ${x_0} = - 2$ khi và chỉ khi: $\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} f\left( x \right) = f\left( { - 2} \right)$.

Ta có: $f\left( { - 2} \right) = m$; $\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \frac{{{x^2} - 4}}{{x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \left( {x - 2} \right) = - 2 - 2 = - 4$.

Do đó, để hàm số liên tục tại ${x_0} = - 2$ thì $m = - 4$.

Chọn đáp án: D.

Sử dụng công thức cộng cho hàm số lượng giác sin: $\sin \left( {a - b} \right) = \sin a\cos b - \cos a\sin b$.

Thay $a = x$, $b = y$, ta thu được: $\sin x\cos y - \cos x\sin y = \sin \left( {x - y} \right)$.

Chọn đáp án: C.

Tổng số học sinh (cỡ mẫu) là: $N = 4 + 6 + 8 + 5 + 2 = 25$. Ta có $\frac{N}{4} = \frac{{25}}{4} = 6{,}25$.

Ta lập bảng tần số tích lũy:

Nhóm $\left[ {0;2} \right)$: tần số tích lũy là $4$.

Nhóm $\left[ {2;4} \right)$: tần số tích lũy là $4 + 6 = 10$.

Do $4 < 6{,}25 \le 10$, nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất ${Q_1}$ là nhóm $\left[ {2;4} \right)$.

Chọn đáp án: B.

Ta có: $\sin \left( {x - \frac{\pi }{3}} \right) = 0 \Leftrightarrow x - \frac{\pi }{3} = k\pi \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{3} + k\pi \quad \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Chọn đáp án: C.

Phân tích đợt thứ nhất:

Dãy số tiền tích góp mỗi tháng ở đợt 1 là một cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ có công sai $d = 2$.

Số hạng thứ 10 là ${u_{10}} = 21$. Ta có: ${u_{10}} = {u_1} + 9d \Rightarrow 21 = {u_1} + 9 \cdot 2 \Rightarrow {u_1} = 3$ (triệu đồng).

Như vậy ý b) đúng.

Gọi $n$ là số tháng tích góp của đợt thứ nhất. Tổng số tiền tích góp được trong đợt 1 là ${S_n} = 624$ triệu đồng.

${S_n} = \frac{{n\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right]}}{2} \Rightarrow 624 = \frac{{n\left[ {2 \cdot 3 + \left( {n - 1} \right) \cdot 2} \right]}}{2}$$\Leftrightarrow 624 = \frac{{n\left( {6 + 2n - 2} \right)}}{2} = \frac{{n\left( {2n + 4} \right)}}{2} = n\left( {n + 2} \right)$

$\Leftrightarrow {n^2} + 2n - 624 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{n = 24}\\{n = - 26{\rm{\;(loai)}}}\end{array}} \right.$.

Vậy anh An tích góp đợt 1 trong $24$ tháng. Như vậy ý c) sai (đề ghi là 25 tháng).

Phân tích đợt thứ hai:

Số tiền tích góp của đợt 2 là một cấp số nhân $\left( {{v_m}} \right)$ với ${v_1} = 5$ triệu đồng và tháng tiếp theo gấp đôi tháng trước nên công bội $q = 2$. Như vậy ý a) đúng.

Số tiền còn lại cần tích góp ở đợt 2 để đủ mua xe: $1259 - 624 = 635$ (triệu đồng).

Gọi $m$ là số tháng tích góp của đợt 2. Tổng số tiền đợt 2 phải đạt tối thiểu là $635$ triệu đồng:

${T_m} = {v_1} \cdot \frac{{1 - {q^m}}}{{1 - q}} = 5 \cdot \frac{{1 - {2^m}}}{{1 - 2}} = 5 \cdot \left( {{2^m} - 1} \right)$

Ta có yêu cầu: $5 \cdot \left( {{2^m} - 1} \right) \ge 635 \Leftrightarrow {2^m} - 1 \ge 127 \Leftrightarrow {2^m} \ge 128 \Leftrightarrow m \ge 7$.

Do đó, số tháng tối thiểu để tích góp ở đợt 2 là $7$ tháng.

Tổng số tháng tích góp ở cả hai đợt ít nhất là: $n + m = 24 + 7 = 31{\rm{\;(th\'a ng)}}$.

Như vậy ý d) đúng.

Kết luận:

a) ĐÚNG b) ĐÚNG c) SAI d) ĐÚNG

Tính giá trị đại diện của các nhóm:

$\left[ {0;1} \right) \to 0{,}5$

$\left[ {1;2} \right) \to 1{,}5$

$\left[ {2;3} \right) \to 2{,}5$

$\left[ {3;4} \right) \to 3{,}5$

$\left[ {4;5} \right) \to 4{,}5$

$\left[ {5;6} \right) \to 5{,}5$

$\left[ {6;7} \right) \to 6{,}5$

$\left[ {7;8} \right) \to 7{,}5$

Tính số trung bình $\bar x$:

$\bar x = \frac{{3 \cdot 0{,}5 + 9 \cdot 1{,}5 + 18 \cdot 2{,}5 + 36 \cdot 3{,}5 + 21 \cdot 4{,}5 + 6 \cdot 5{,}5 + 4 \cdot 6{,}5 + 3 \cdot 7{,}5}}{{100}}$$= 3{,}62$ (giờ).

Do đó ý a) sai (đề ghi 3,36 giờ).

Số học sinh sử dụng mạng xã hội ít hơn 4 giờ một ngày tương ứng với các nhóm từ $\left[ {0;1} \right)$ đến $\left[ {3;4} \right)$:

$3 + 9 + 18 + 36 = 66$ (học sinh).

Do đó ý b) sai (đề ghi 36 học sinh).

“Thời gian học sinh sử dụng mạng xã hội nhiều nhất”: ở đây thực chất là tìm giá trị mốt (Mode - ${M_o}$) của mẫu số liệu ghép nhóm.

Nhóm có tần số lớn nhất là nhóm $\left[ {3;4} \right)$ với tần số ${n_4} = 36$.

Áp dụng công thức tính mốt, ta được: ${M_o} = 3 + \frac{{36 - 18}}{{\left( {36 - 18} \right) + \left( {36 - 21} \right)}} \cdot 1 = 3 + \frac{{18}}{{18 + 15}} = 3 + \frac{{18}}{{33}} \approx 3{,}55$ (giờ).

Do đó ý c) đúng.

Để tìm mốc thời gian không quá bao nhiêu giờ mà có 75% số học sinh đạt được, ta cần tìm tứ phân vị thứ ba ${Q_3}$ (vì ${Q_3}$ tương ứng với mốc phân chia sao cho có 75% giá trị nhỏ hơn hoặc bằng nó).

Ta có $\frac{{3N}}{4} = \frac{{3 \cdot 100}}{4} = 75$.

Ta tính tần số tích lũy:

Đến nhóm $\left[ {2;3} \right)$: tích lũy là $3 + 9 + 18 = 30$.

Đến nhóm $\left[ {3;4} \right)$: tích lũy là $30 + 36 = 66$.

Đến nhóm $\left[ {4;5} \right)$: tích lũy là $66 + 21 = 87$.

Vì $66 < 75 \le 87$, nên nhóm chứa ${Q_3}$ là nhóm $\left[ {4;5} \right)$.

Áp dụng công thức tính tứ phân vị: ${Q_3} = 4 + \frac{{75 - 66}}{{21}} \cdot 1 = 4 + \frac{9}{{21}} = 4 + \frac{3}{7} \approx 4{,}43$ (giờ).

Do đó ý d) đúng.

Kết luận:

a) SAI b) SAI c) ĐÚNG d) ĐÚNG

a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{3 - \sqrt {8x + 1} }}{{x - 1}}$$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\left( {3 - \sqrt {8x + 1} } \right)\left( {3 + \sqrt {8x + 1} } \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {3 + \sqrt {8x + 1} } \right)}}$$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{9 - \left( {8x + 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {3 + \sqrt {8x + 1} } \right)}}$

$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{8 - 8x}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {3 + \sqrt {8x + 1} } \right)}}$$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{ - 8\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {3 + \sqrt {8x + 1} } \right)}}$$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{ - 8}}{{3 + \sqrt {8x + 1} }}$$= - \frac{4}{3}$.

b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to - {3^ - }} \frac{{{x^3} + 27}}{{\left| {{x^2} + 5x + 6} \right|}}$$= \mathop {\lim }\limits_{x \to - {3^ - }} \frac{{\left( {x + 3} \right)\left( {{x^2} - 3x + 9} \right)}}{{\left| {\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right)} \right|}}$$= \mathop {\lim }\limits_{x \to - {3^ - }} \frac{{\left( {x + 3} \right)\left( {{x^2} - 3x + 9} \right)}}{{ - \left| {\left( {x + 2} \right)} \right|\left( {x + 3} \right)}}$$= \mathop {\lim }\limits_{x \to - {3^ - }} \frac{{{x^2} - 3x + 9}}{{ - \left| {x + 2} \right|}}$$= - 27$.

a) Ta có $S$ là điểm chung thứ nhất của hai mặt phẳng $\left( {SAB} \right)$ và $\left( {SCD} \right)$: $S \in \left( {SAB} \right) \cap \left( {SCD} \right)$.

Mặt khác, trong hai mặt phẳng $\left( {SAB} \right)$ và $\left( {SCD} \right)$ lần lượt chứa hai đường thẳng $AB$ và $CD$ song song với nhau.

Theo hệ quả về giao tuyến của ba mặt phẳng song song, giao tuyến của $\left( {SAB} \right)$ và $\left( {SCD} \right)$ là đường thẳng $d$ đi qua $S$ và song song với $AB$ và $CD$.

b) Do $AB{\rm{//}}CD$, theo định lý Thales trong tam giác đối đỉnh tạo bởi giao điểm $O$ của hai đường chéo hình thang, ta có: $\frac{{OA}}{{OC}} = \frac{{OB}}{{OD}} = \frac{{AB}}{{CD}}$.

Theo giả thiết $AB = 2DC \Rightarrow \frac{{AB}}{{CD}} = 2$. Do đó: $\frac{{OA}}{{OC}} = 2 \Rightarrow OA = 2OC \Rightarrow \frac{{AO}}{{AC}} = \frac{2}{3}$.

Xét cạnh $AB$: vì $M \in AB$ và $AM = 2MB$, ta có: $AM = \frac{2}{3}AB \Rightarrow \frac{{AM}}{{AB}} = \frac{2}{3}$.

Trong tam giác $ABC$, xét hai tỉ số trên các cạnh $AC$ và $AB$: $\frac{{AO}}{{AC}} = \frac{{AM}}{{AB}} = \frac{2}{3}$.

Theo định lý Thales đảo trong tam giác $ABC$, ta suy ra: $OM{\rm{//}}BC$.

Mặt khác: $\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{OM{\rm{//}}BC}\\{BC \subset \left( {SBC} \right)}\\{OM \not\subset \left( {SBC} \right)}\end{array}} \right.$$\Rightarrow OM{\rm{//}}\left( {SBC} \right)$ (đpcm).

c) Gọi $N$ là trung điểm của $SC$ và $F$ là giao điểm của $OG$ và $SA$.

Ta có: $\frac{{AG}}{{GN}} = \frac{{AO}}{{OC}} = 2$ ($G$ là trọng tâm giác $SAC$) $\Rightarrow OG{\rm{//}}SC \Rightarrow OF{\rm{//}}SC$.

$\Rightarrow \frac{{AF}}{{FS}} = \frac{{AO}}{{OC}} = \frac{{AM}}{{MB}} \Rightarrow MF{\rm{//}}SB$.

Ta có $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{MF{\rm{//}}SB}\\{\left( {SBD} \right) \cap \left( {OMG} \right) = OK}\end{array}} \right. \Rightarrow OK{\rm{//}}SB{\rm{//}}MF$$\Rightarrow \frac{{MG}}{{GK}} = \frac{{FG}}{{GO}} = \frac{{SN}}{{NC}} = 1$.

Vậy $\frac{{{S_{OMG}}}}{{{S_{OKG}}}} = \frac{{MG}}{{GK}} = 1$.