Đề thi cuối kì 1 Toán 10 THPT Võ Nguyên Giáp (Quảng Nam) năm học 2022-2023 có đáp án

a/ Ta có: $B{C^2} = {a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A$

$= {3^2} + {6^2} - 2.3.6.\cos 120^\circ = 63$

Suy ra $BC = \sqrt {63} = 3\sqrt 7 \,\,{\rm{cm}}$.

b/ Ta có: $\overrightarrow a .\overrightarrow b = 4.\left( { - 3} \right) + 2.6 = - 12 + 12 = 0$.

Suy ra $\overrightarrow a \bot \overrightarrow b$.

a/ Ta có: $A \cap B = \left[ {1;2} \right]$

${C_\mathbb{R}}\left( {A \cap B} \right) = \left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)$

b/

Vì $G$ là trọng tâm của tam giác $ABD$ nên $GO = \frac{1}{3}AO$.

Vì $O$ là trung điểm của $AC$ nên $AO = \frac{1}{2}AC$.

Do đó $GO = \frac{1}{3}.\frac{1}{2}AC = \frac{1}{6}AC$, suy ra $\overrightarrow {GO} = \frac{1}{6}\overrightarrow {AC}$.

Ta chứng minh được $OE$ là đường trung bình của tam giác $ABD$ nên $OE{\rm{//}} = \frac{1}{2}BA$.

Suy ra $\overrightarrow {OE} = \frac{1}{2}\overrightarrow {BA}$.

Theo quy tắc hình bình hành ta có: $\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD}$.

Theo quy tắc ba điểm ta có:

$\overrightarrow {GE} = \overrightarrow {GO} + \overrightarrow {OE}$$= \frac{1}{6}\overrightarrow {AC} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BA}$$= \frac{1}{6}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right) - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB}$$= \frac{1}{6}\overrightarrow {AD} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB}$. (0,25 điểm)

Lưu ý: HS biến đổi cách khác đúng vẫn cho điểm theo thang điểm như trên.

Vì điểm $D$ nằm trên đường thẳng $x + y = 1$ nên gọi tọa độ điểm $D$ là $D\left( {x;1 - x} \right)$.

Ta có: $\overrightarrow {AD} = \left( {x + 2;\, - 2 - x} \right)$, $\overrightarrow {BD} = \left( {x + 1;\,4 - x} \right)$.

Tam giác$ABD$ vuông tại $D$ $\Leftrightarrow AD \bot BD \Leftrightarrow \overrightarrow {AD} \bot \overrightarrow {BD} \Leftrightarrow \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {BD} = 0$

$\Leftrightarrow \left( {x + 2} \right)\left( {x + 1} \right) + \left( { - 2 - x} \right)\left( {4 - x} \right) = 0$

$\Leftrightarrow {x^2} + 3x + 2 - 8 - 2x + {x^2} = 0$

$\Leftrightarrow 2{x^2} + x - 6 = 0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 2\\x = \frac{3}{2}\end{array} \right.$.

+ Với $x = - 2$, ta có $D\left( { - 2;\,3} \right)$ trùng với $A$ nên loại.

+ Với $x = \frac{3}{2}$, ta có $D\left( {\frac{3}{2};\, - \frac{1}{2}} \right)$.

Vậy $D\left( {\frac{3}{2};\, - \frac{1}{2}} \right)$.