Đề thi cuối kì 1 Toán 10 năm 2025-2026 Trung học thực hành Sài Gòn (TP.HCM) có đáp án

Dựa vào đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ trên đoạn $\left[ { - 1;4} \right]$, ta thấy:

- Giá trị nhỏ nhất của $y$ trên đồ thị là $y = - 1$ (tại $x = 4$).
- Giá trị lớn nhất của $y$ trên đồ thị là $y = 2$ (tại các điểm $x \in \left[ {0;1} \right]$).

Do đó, tập giá trị của hàm số là $T = \left[ { - 1;2} \right]$.

Chọn A.

Hoành độ đỉnh của parabol $\left( P \right):y = a{x^2} + bx + c$ với $a = - 1$, $b = - 4$, $c = 1$ là:

$x = - \frac{b}{{2a}} = - \frac{{ - 4}}{{2 \cdot \left( { - 1} \right)}} = - 2$.

Do đó, trục đối xứng của parabol là đường thẳng $x = - 2$.

Chọn A.

Trong hình thoi $ABCD$, hai vectơ $\overrightarrow {AB}$ và $\overrightarrow {BC}$ không cùng hướng (các cạnh $AB$ và $BC$ cắt nhau tại $B$), nên $\overrightarrow {AB} \ne \overrightarrow {BC}$. Do đó mệnh đề A sai.

$BC{\rm{//}}AD$ và cùng hướng, $BC = AD$ nên $\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AD}$ (B đúng).

$CD{\rm{//}}AB$, ngược hướng và $CD = AB$ nên $\overrightarrow {CD} = - \overrightarrow {AB}$ (C đúng).

Độ dài các cạnh của hình thoi bằng nhau nên $\left| {\overrightarrow {AB} \left| = \right|\overrightarrow {AD} } \right| = AB = AD$ (D đúng).

Chọn A.

Áp dụng quy tắc hiệu và quy tắc ba điểm đối với phép cộng vectơ:

$\vec u = \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} = \left( {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} } \right) + \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {CB} + \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {CD}$.

Chọn B.

$O$ là trung điểm của $AC$ nên $\overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AO}$. Theo quy tắc hình bình hành: $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AO} \ne \overrightarrow {AO}$.

$\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {DB}$. Do $O$ là trung điểm của $BD$ nên $\overrightarrow {DB} = 2\overrightarrow {DO} = 2\overrightarrow {OB} = - 2\overrightarrow {BO}$.

$\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CB} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {DA} = \overrightarrow {DB}$. Mệnh đề D đúng.

$G$ là trọng tâm nên $\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GD} = \vec 0$, không suy ra được $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = 3\overrightarrow {GA}$.

Chọn D.

Theo định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ $\vec a$ và $\vec b$ khác $\vec 0$, ta có $\vec a \cdot \vec b = \left| {\vec a} \right| \cdot \left| {\vec b} \right| \cdot \cos \left( {\vec a,\vec b} \right)$.

Chọn A.

Hàng phần nghìn là chữ số thứ 3 sau dấu phẩy (chữ số $8$).

Chữ số ngay sau hàng phần nghìn là chữ số $2$ (nhỏ hơn $5$).

Do đó, khi quy tròn đến hàng phần nghìn, ta giữ nguyên chữ số hàng phần nghìn và bỏ toàn bộ các chữ số sau đó: $e \approx 2{,}718$.

Chọn D.

Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm ($N = 9$ giá trị): $3;3;9;9;10;10;12;12;37$.

- Trung vị ${Q_2} = 10$.
- Tứ phân vị thứ nhất ${Q_1}$ là trung vị của nửa dưới $3;3;9;9$: ${Q_1} = \frac{{3 + 9}}{2} = 6$.
- Tứ phân vị thứ ba ${Q_3}$ là trung vị của nửa trên $10;12;12;37$: ${Q_3} = \frac{{12 + 12}}{2} = 12$.
- Khoảng tứ phân vị: ${{\rm{\Delta }}_Q} = {Q_3} - {Q_1} = 12 - 6 = 6$.
- Giá trị ngoại lệ $x$ thoả mãn $x < {Q_1} - 1{,}5{{\rm{\Delta }}_Q}$ hoặc $x > {Q_3} + 1{,}5{{\rm{\Delta }}_Q}$:

${Q_1} - 1{,}5{{\rm{\Delta }}_Q} = 6 - 1{,}5 \cdot 6 = - 3$

${Q_3} + 1{,}5{{\rm{\Delta }}_Q} = 12 + 1{,}5 \cdot 6 = 21$

Trong mẫu số liệu, chỉ có giá trị $37 > 21$, do đó $37$ là giá trị ngoại lệ.

Chọn B.

Mẫu số liệu có $n = 11$ giá trị.

- Số trung vị ${M_e} = {Q_2}$ là giá trị thứ $6$: ${M_e} = 166$.
- Tứ phân vị thứ nhất ${Q_1}$ là trung vị của nửa dưới gồm $5$ số $161;162;163;164;165$: ${Q_1} = 163$.
- Tứ phân vị thứ ba ${Q_3}$ là trung vị của nửa trên gồm $5$ số $167;168;169;170;171$: ${Q_3} = 169$.
- Số trung bình: $\bar x = \frac{{161 + 162 + 163 + 164 + 165 + 166 + 167 + 168 + 169 + 170 + 171}}{{11}} = 166$.

Do đó, khẳng định C đúng.

Chọn C.

Mốt của mẫu số liệu là giá trị có tần số xuất hiện lớn nhất.

Cỡ giày $42$ có tần số lớn nhất là $77$.

Do đó, mốt của mẫu số liệu là ${M_o} = 42$.

Chọn B.

Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự tăng dần ($n = 9$): $7;8;11;13;15;18;19;20;22$.

- Trung vị ${Q_2}$ là giá trị thứ $5$: ${Q_2} = 15$.
- Nửa số liệu bên trái ${Q_2}$ là: $7;8;11;13$. Ta có ${Q_1} = \frac{{8 + 11}}{2} = 9{,}5$.
- Nửa số liệu bên phải ${Q_2}$ là: $18;19;20;22$.Ta có ${Q_3} = \frac{{19 + 20}}{2} = 19{,}5$.
- Khoảng tứ phân vị: ${{\rm{\Delta }}_Q} = {Q_3} - {Q_1} = 19{,}5 - 9{,}5 = 10$.

Chọn C.

Số trung bình của mẫu số liệu: $\bar x = \frac{{2{,}0 + 2{,}5 + 2{,}5 + 2{,}4 + 2{,}3}}{5} = \frac{{11{,}7}}{5} = 2{,}34$.

Phương sai ${s^2}$: ${s^2} = \frac{{{{\left( {2{,}0 - 2{,}34} \right)}^2} + {{\left( {2{,}5 - 2{,}34} \right)}^2} + {{\left( {2{,}5 - 2{,}34} \right)}^2} + {{\left( {2{,}4 - 2{,}34} \right)}^2} + {{\left( {2{,}3 - 2{,}34} \right)}^2}}}{5} = 0{,}0344$.

Chọn D.

a) Sai. Dựa vào đồ thị, đỉnh $I$ của $\left( P \right)$ có tọa độ là $\left( {1; - 2} \right)$.

b) Sai. Đồ thị đi xuống từ trái sang phải trên $\left( { - \infty ;1} \right)$, tức là hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( { - \infty ;1} \right)$.

c) Đúng. Điểm thấp nhất trên đồ thị có tung độ $y = - 2$, nên tập giá trị của hàm số là $\left[ { - 2; + \infty } \right)$.

d) Đúng. Ta thấy đồ thị cắt trục tung tại $\left( {0; - 1} \right)$, suy ra $c = - 1$.

Đỉnh $I\left( {1; - 2} \right)$ thuộc đồ thị $\left( P \right)$, suy ra giá trị của hàm số tại $x = 1$ là

$y\left( 1 \right) = a \cdot {1^2} + b \cdot 1 + c = a + b + c = - 2$.

Kết quả:

a) Sai b) Sai c) Đúng d) Đúng

a) Sai. Do hai vectơ $\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC}$ không cùng phương.

b) Đúng. $I$ là trung điểm của $AC$ nên $\overrightarrow {IA}$ và $\overrightarrow {IC}$ là hai vectơ đối nhau, tức là $\overrightarrow {IA} = - \overrightarrow {IC}$.

c) Đúng. Ta có $\overrightarrow {IA} = \overrightarrow {CI}$. Khi đó: $\overrightarrow {IA} - \overrightarrow {CB} = \overrightarrow {CI} - \overrightarrow {CB} = \overrightarrow {BI}$.

Độ dài đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông: $BI = \frac{{AC}}{2} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$.

Vậy $\left| {\overrightarrow {IA} - \overrightarrow {CB} } \right| = \left| {\overrightarrow {BI} } \right| = BI = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$.

d) Sai. Tam giác $ABC$ vuông cân tại $B$ có $AC = \sqrt 2$.

Theo định lý Pythagore ta có $A{B^2} + B{C^2} = A{C^2} \Rightarrow 2A{B^2} = 2 \Rightarrow AB = BC = 1$.

Ta có $\overrightarrow {CA} = - \overrightarrow {AC}$ và $\widehat {BAC} = 45^\circ$.

Như vậy $\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {CA} = \overrightarrow {AB} \cdot \left( { - \overrightarrow {AC} } \right) = - \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = - \left| {\overrightarrow {AB} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AC} } \right| \cdot \cos \widehat {BAC}$$= - 1 \cdot \sqrt 2 \cdot \cos 45^\circ = - \sqrt 2 \cdot \frac{{\sqrt 2 }}{2} = - 1$.

Do đó $\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {CA} = - 1 \ne 1$.

Kết quả:

a) Sai b) Đúng c) Đúng d) Sai

Hàm số $f\left( x \right)$ xác định khi và chỉ khi biểu thức trong căn ở mẫu thức nhận giá trị dương:

$25 - 5x > 0$$\Leftrightarrow 5x < 25$$\Leftrightarrow x < 5$.

Vậy tập xác định của hàm số là $D = \left( { - \infty ;5} \right)$.

Tập xác định: $D = \mathbb{R}$.

Toạ độ đỉnh $I$: ${x_I} = - \frac{b}{{2a}} = - \frac{2}{{2 \cdot \left( { - 1} \right)}} = 1$; ${y_I} = - {1^2} + 2 \cdot 1 + 3 = 4 \Rightarrow I\left( {1;4} \right)$.

Trục đối xứng: đường thẳng $x = 1$.

Hệ số $a = - 1 < 0$ nên bề lõm của parabol hướng xuống dưới và hàm số đồng biến trên $\left( { - \infty ;1} \right)$ và nghịch biến trên $\left( {1; + \infty } \right)$.

Bảng biến thiên:

Giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ:

Cho $x = 0 \Rightarrow y = 3$, đồ thị cắt $Oy$ tại $\left( {0;3} \right)$.

Cho $y = 0 \Leftrightarrow - {x^2} + 2x + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = - 1}\\{x = 3}\end{array}} \right.$, đồ thị cắt $Ox$ tại $\left( { - 1;0} \right)$ và $\left( {3;0} \right)$.

Điểm đối xứng với $\left( {0;3} \right)$ qua trục đối xứng $x = 1$ là $\left( {2;3} \right)$.

Vẽ đồ thị: Đồ thị hàm số là một parabol có đỉnh $I\left( {1;4} \right)$, nhận đường thẳng $x = 1$ làm trục đối xứng, đi qua các điểm $\left( { - 1;0} \right)$, $\left( {0;3} \right)$, $\left( {2;3} \right)$, $\left( {3;0} \right)$ và quay bề lõm xuống dưới.

Đổi $50\,000$ đồng $= 50$ nghìn đồng.

Điều kiện của giá bán $x$: $x > 50$ và $150 - x > 0 \Rightarrow 50 < x < 150$.

Lợi nhuận từ mỗi cuốn sách bán ra là: $x - 50$ (nghìn đồng).

Tổng lợi nhuận trong một tháng của cửa hàng là: $f\left( x \right) = \left( {x - 50} \right)\left( {150 - x} \right)$$= - {x^2} + 200x - 7500$.

Đây là hàm số bậc hai có hệ số $a = - 1 < 0$, đạt giá trị lớn nhất tại đỉnh của parabol:

$x = - \frac{b}{{2a}} = - \frac{{200}}{{2 \cdot \left( { - 1} \right)}} = 100$.

Vì $x = 100$ thỏa mãn điều kiện $50 < x < 150$, nên lợi nhuận thu được trong một tháng của cửa hàng đạt giá trị lớn nhất khi giá bán mỗi cuốn sách là $100$ nghìn đồng (tức là $100\,000$ đồng).

a) Mẫu số liệu tổ B có cỡ mẫu $n = 11$.

Số trung bình của tổ B là: ${\bar x_B} = \frac{{0{,}5 + 7{,}0 + 8{,}5 + 9{,}0 + 9{,}0 + 9{,}0 + 9{,}5 + 9{,}5 + 9{,}5 + 9{,}8 + 10{,}0}}{{11}} = \frac{{91{,}3}}{{11}} \approx 8{,}30$.

Phương sai $s_B^2 = \frac{{{{0{,}5}^2} + {{7{,}0}^2} + {{8{,}5}^2} + {{9{,}0}^2} + {{9{,}0}^2} + {{9{,}0}^2} + {{9{,}5}^2} + {{9{,}5}^2} + {{9{,}5}^2} + {{9{,}8}^2} + {{10{,}0}^2}}}{{11}} - {8{,}3^2} \approx 6{,}68$.

Độ lệch chuẩn ${s_B} = \sqrt {s_B^2} \approx \sqrt {6{,}68} \approx 2{,}58$.

b)

So sánh ban đầu bằng số trung bình:

Số trung bình của tổ A là: ${\bar x_A} = \frac{{7{,}3 + 8{,}3 + 7{,}8 + 8{,}0 + 8{,}8 + 8{,}0 + 8{,}5 + 9{,}0 + 7{,}5 + 8{,}3 + 9{,}8}}{{11}} = \frac{{91{,}3}}{{11}} = 8{,}30$.

Vì ${\bar x_A} = {\bar x_B} = 8{,}30$, nếu chỉ dựa vào số trung bình ban đầu thì điểm kiểm tra trung bình của học sinh hai tổ A và B là như nhau.

Xác định giá trị ngoại lệ:

Xét mẫu số liệu tổ A:

Sắp xếp: $7{,}3;\quad 7{,}5;\quad 7{,}8;\quad 8{,}0;\quad 8{,}0;\quad 8{,}3;\quad 8{,}3;\quad 8{,}5;\quad 8{,}8;\quad 9{,}0;\quad 9{,}8$.

Khi đó, ${Q_{1A}} = 7{,}8$; ${Q_{3A}} = 8{,}8 \Rightarrow {{\rm{\Delta }}_{QA}} = {Q_{3A}} - {Q_{1A}} = 1{,}0$.

Khoảng chấp nhận: $\left[ {7{,}8 - 1{,}5 \cdot 1{,}0;\quad 8{,}8 + 1{,}5 \cdot 1{,}0} \right] = \left[ {6{,}3;\quad 10{,}3} \right]$.

Tổ A không có giá trị ngoại lệ.

Xét mẫu số liệu tổ B:

Sắp xếp: $0{,}5;\quad 7{,}0;\quad 8{,}5;\quad 9{,}0;\quad 9{,}0;\quad 9{,}0;\quad 9{,}5;\quad 9{,}5;\quad 9{,}5;\quad 9{,}8;\quad 10{,}0$.

Khi đó, ${Q_{1B}} = 8{,}5$; ${Q_{3B}} = 9{,}5 \Rightarrow {{\rm{\Delta }}_{QB}} = {Q_{3B}} - {Q_{1B}} = 1{,}0$.

Khoảng chấp nhận: $\left[ {8{,}5 - 1{,}5 \cdot 1{,}0;\quad 9{,}5 + 1{,}5 \cdot 1{,}0} \right] = \left[ {7{,}0;\quad 11{,}0} \right]$.

Giá trị $0{,}5 < 7{,}0$ nên $0{,}5$ là giá trị ngoại lệ của tổ B.

So sánh lại sau khi loại bỏ giá trị ngoại lệ $0{,}5$ của tổ B:

Mẫu số liệu tổ B mới gồm 10 học sinh có điểm:

$7{,}0;\quad 8{,}5;\quad 9{,}0;\quad 9{,}0;\quad 9{,}0;\quad 9{,}5;\quad 9{,}5;\quad 9{,}5;\quad 9{,}8;\quad 10{,}0$.

Số trung bình mới của tổ B là: ${\bar x_B}^\prime = \frac{{91{,}3 - 0{,}5}}{{10}} = \frac{{90{,}8}}{{10}} = 9{,}08$.

Vì ${\bar x_B}^\prime = 9{,}08 > 8{,}30 = {\bar x_A}$, nên sau khi loại bỏ giá trị ngoại lệ, điểm kiểm tra của các học sinh tổ B cao hơn điểm kiểm tra của các học sinh tổ A.

a) Vì là tam giác đều cạnh $a$ nên $AB = AC = a$ và $\widehat {BAC} = 60^\circ$.

Tích vô hướng $\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC}$ là: $\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AC} } \right| \cdot \cos \widehat {BAC} = a \cdot a \cdot \cos 60^\circ = {a^2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{{{a^2}}}{2}$.

b) Từ giả thiết $EA = 2EC$ và $E \in AC$, ta có $\overrightarrow {AE} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AC}$.

Từ giả thiết $FB = 4FC$ và $F \in BC$, ta có $BF = \frac{4}{5}BC$, suy ra $\overrightarrow {BF} = \frac{4}{5}\overrightarrow {BC}$.

Biểu diễn $\overrightarrow {BE}$ và $\overrightarrow {AF}$ theo hai vectơ không cùng phương $\overrightarrow {AB}$ và $\overrightarrow {AC}$:

$\overrightarrow {BE} = \overrightarrow {AE} - \overrightarrow {AB} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB}$;

$\overrightarrow {AF} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BF} = \overrightarrow {AB} + \frac{4}{5}\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AB} + \frac{4}{5}\left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right) = \frac{1}{5}\overrightarrow {AB} + \frac{4}{5}\overrightarrow {AC}$.

Xét tích vô hướng $\overrightarrow {BE} \cdot \overrightarrow {AF}$:

$\overrightarrow {BE} \cdot \overrightarrow {AF} = \left( {\frac{2}{3}\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right) \cdot \left( {\frac{1}{5}\overrightarrow {AB} + \frac{4}{5}\overrightarrow {AC} } \right)$$= \frac{2}{{15}}\overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {AB} + \frac{8}{{15}}{\overrightarrow {AC} ^2} - \frac{1}{5}{\overrightarrow {AB} ^2} - \frac{4}{5}\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC}$

$= - \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} + \frac{8}{{15}}{\left| {\overrightarrow {AC} } \right|^2} - \frac{1}{5}{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|^2}$.

Thay $\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = \frac{{{a^2}}}{2}$ và ${\left| {\overrightarrow {AB} } \right|^2} = {\left| {\overrightarrow {AC} } \right|^2} = {a^2}$ vào biểu thức:

$\overrightarrow {BE} \cdot \overrightarrow {AF} = - \frac{2}{3} \cdot \left( {\frac{{{a^2}}}{2}} \right) + \frac{8}{{15}}{a^2} - \frac{1}{5}{a^2}$$= - \frac{1}{3}{a^2} + \frac{8}{{15}}{a^2} - \frac{1}{5}{a^2} = \left( { - \frac{5}{{15}} + \frac{8}{{15}} - \frac{3}{{15}}} \right){a^2} = 0$.

Vì $\overrightarrow {BE} \cdot \overrightarrow {AF} = 0$ nên $BE \bot AF$.