Đề thi cuối kì 1 Toán 10 năm 2025-2026 THPT Việt Đức (Hà Nội) có đáp án

Vì tam giác $ABC$ đều nên đường trung tuyến $AM$ đồng thời là đường cao và đường phân giác.

Tâm $O$ nằm trên đoạn thẳng $AM$, do đó vectơ $\overrightarrow {OM}$ cùng hướng với vectơ $\overrightarrow {AM}$.

Suy ra: $\left( {\overrightarrow {OM} ,\overrightarrow {AB} } \right) = \left( {\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {AB} } \right)$

Trong tam giác vuông $ABM$ (vuông tại $M$), $\widehat {BAM}$ là góc giữa đường phân giác $AM$ và cạnh $AB$ nên $\widehat {BAM} = \frac{{\widehat {BAC}}}{2} = \frac{{60^\circ }}{2} = 30^\circ$.

Do đó, $\left( {\overrightarrow {OM} ,\overrightarrow {AB} } \right) = 30^\circ$.

Chọn B.

Độ chính xác $d = 300$ thuộc hàng trăm. Theo quy tắc quy tròn số gần đúng, ta quy tròn $a$ đến hàng nghìn (hàng lớn hơn hàng của độ chính xác một đơn vị).

Chữ số ở hàng nghìn của $a = 8\,141\,378$ là $1$, chữ số ngay sau nó (hàng trăm) là $3 < 5$.

Do đó, quy tròn $a$ đến hàng nghìn ta được $8\,141\,000$.

Chọn D.

Xét mệnh đề A: Với $x = 1 \in \mathbb{R}$, ta có ${1^2} = 1$ (Đúng).

Xét mệnh đề B: Với $x = 0{,}5 \in \mathbb{R}$, ta có $0{,}5 > {\left( {0{,}5} \right)^2} = 0{,}25$ (Đúng).

Xét mệnh đề C: Chọn $x = 2 \in \mathbb{R}$, ta có $2 \ne {2^2} = 4$, do đó mệnh đề $\forall x \in \mathbb{R}:x = {x^2}$ là mệnh đề sai.

Xét mệnh đề D: Chọn $x = 2 \in \mathbb{R}$, ta có $2 < {2^2}$, do đó mệnh đề $\forall x \in \mathbb{R}:x > {x^2}$ cũng là mệnh đề sai.

(Lưu ý: Trong các đề thi chuẩn, các mệnh đề khẳng định "với mọi" không thỏa mãn đều là mệnh đề sai).

Chọn C (hoặc D).

Áp dụng công thức tính cosin của góc giữa hai vectơ: $\cos \left( {\vec u,\vec v} \right) = \frac{{\vec u \cdot \vec v}}{{\left| {\vec u\left| \cdot \right|\vec v} \right|}}$.

Ta có:

$\vec u \cdot \vec v = 1 \cdot \left( { - 2} \right) + 2 \cdot 2 = - 2 + 4 = 2$

$\left| {\vec u} \right| = \sqrt {{1^2} + {2^2}} = \sqrt 5$

$\left| {\vec v} \right| = \sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {2^2}} = \sqrt 8 = 2\sqrt 2$

Suy ra $\cos \left( {\vec u,\vec v} \right) = \frac{2}{{\sqrt 5 \cdot 2\sqrt 2 }} = \frac{1}{{\sqrt {10} }} = \frac{{\sqrt {10} }}{{10}}$.

Chọn D.

Theo quy tắc ba điểm đối với phép cộng vectơ, với ba điểm $A,B,C$ bất kỳ ta luôn có:

$\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC}$.

Chọn B.

Vì $M \in Oy$ nên tọa độ của $M$ có dạng $M\left( {0;{y_M}} \right)$.

Ta có: $\overrightarrow {AB} = \left( { - 2 - 1;6 - 2} \right) = \left( { - 3;4} \right)$; $\overrightarrow {AM} = \left( {0 - 1;{y_M} - 2} \right) = \left( { - 1;{y_M} - 2} \right)$.

Ba điểm $A,B,M$ thẳng hàng khi và chỉ khi hai vectơ $\overrightarrow {AM}$ và $\overrightarrow {AB}$ cùng phương:

$\frac{{ - 1}}{{ - 3}} = \frac{{{y_M} - 2}}{4} \Rightarrow \frac{1}{3} = \frac{{{y_M} - 2}}{4} \Rightarrow {y_M} - 2 = \frac{4}{3} \Rightarrow {y_M} = \frac{{10}}{3}$.

Vậy $M\left( {0;\frac{{10}}{3}} \right)$.

Chọn B.

Mốt (${M_o}$) của mẫu số liệu là giá trị có tần số xuất hiện lớn nhất.

Trong bảng trên, tần số lớn nhất là $24$, tương ứng với giá trị điểm số là $16$.

Do đó, mốt của mẫu số liệu là ${M_o} = 16$.

Chọn A.

Điểm trung bình: $\bar x = \frac{{3 \cdot 2 + 4 \cdot 3 + 5 \cdot 7 + 6 \cdot 18 + 7 \cdot 3 + 8 \cdot 2 + 9 \cdot 4 + 10 \cdot 1}}{{40}}$$= \frac{{244}}{{40}} = 6{,}1$.

Chọn C.

Nửa chu vi tam giác $ABC$ là: $p = \frac{{a + b + c}}{2} = \frac{{7 + 5 + 8}}{2} = 10$.

Áp dụng công thức Heron tính diện tích:

$S = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)}$$= \sqrt {10\left( {10 - 7} \right)\left( {10 - 5} \right)\left( {10 - 8} \right)} = \sqrt {10 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 2} = 10\sqrt 3$.

Chọn B.

Theo quy tắc hình bình hành xuất phát từ đỉnh $B$, ta có: $\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {BD}$.

Chọn B.

Lời giải

Diện tích tam giác $ABC$ bằng một nửa tích hai cạnh nhân với sine của góc kẹp giữa hai cạnh đó:

$S = \frac{1}{2}ab\sin C = \frac{1}{2}bc\sin A = \frac{1}{2}ac\sin B$.

Chọn A.

Sắp xếp lại các vectơ đơn vị theo đúng thứ tự: $\vec u = - 5\vec i + 2\vec j$.

Do đó, tọa độ của vectơ $\vec u$ là $\left( { - 5;2} \right)$.

Chọn B.

a) ĐÚNG. Áp dụng định lý sin cho tam giác $ABC$:

$\frac{{AC}}{{\sin B}} = 2R \Rightarrow R = \frac{{AC}}{{2\sin B}} = \frac{{13}}{{2\sin 120^\circ }} = \frac{{13}}{{2 \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2}}} = \frac{{13}}{{\sqrt 3 }} = \frac{{13\sqrt 3 }}{3}$.

c) SAI. Đặt $AB = c$. Áp dụng định lý côsin tại đỉnh $B$:

$A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos B$

${13^2} = {c^2} + {7^2} - 2 \cdot c \cdot 7 \cdot \cos 120^\circ$

$169 = {c^2} + 49 - 14c \cdot \left( { - \frac{1}{2}} \right)$

${c^2} + 7c - 120 = 0$

Giải phương trình bậc hai trên ta được $c = 8$ (do $c > 0$).

Vậy độ dài $AB = 8$ (không phải $9$).

b) SAI. Diện tích tam giác $ABC$:

${S_{{\rm{\Delta }}ABC}} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin B = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 7 \cdot \sin 120^\circ = 28 \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2} = 14\sqrt 3$.

Đường cao $BH$ ứng với cạnh $AC$:

${S_{{\rm{\Delta }}ABC}} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH \Rightarrow BH = \frac{{2{S_{{\rm{\Delta }}ABC}}}}{{AC}} = \frac{{2 \cdot 14\sqrt 3 }}{{13}} = \frac{{28\sqrt 3 }}{{13}}$

d) ĐÚNG. Nửa chu vi tam giác $ABC$: $p = \frac{{AB + BC + AC}}{2} = \frac{{8 + 7 + 13}}{2} = 14$.

Bán kính đường tròn nội tiếp $r$: $r = \frac{{{S_{{\rm{\Delta }}ABC}}}}{p} = \frac{{14\sqrt 3 }}{{14}} = \sqrt 3$.

Diện tích hình tròn nội tiếp: ${S_{{\rm{tr\`o n}}}} = \pi {r^2} = \pi {\left( {\sqrt 3 } \right)^2} = 3\pi$.

Kết luận: a) Đúng | b) Sai | c) Sai | d) Đúng

a) ĐÚNG. $\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AC} } \right| \cdot \cos \widehat {BAC} = 3 \cdot 4 \cdot \cos 60^\circ = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6$.

b) ĐÚNG. $\left| {\overrightarrow {BA} - \overrightarrow {BC} } \right| = \left| {\overrightarrow {CA} } \right| = AC = 4$.

c) SAI. Vì $D$ là trung điểm của $BC$, theo công thức trung điểm ta có: $\overrightarrow {AD} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC}$.

d) ĐÚNG. Ta biểu diễn vectơ $\overrightarrow {BE}$ theo $\overrightarrow {AB}$ và $\overrightarrow {AC}$: $\overrightarrow {BE} = \overrightarrow {AE} - \overrightarrow {AB} = k\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB}$.

Hai đường thẳng $AD$ và $BE$ vuông góc với nhau khi và chỉ khi $\overrightarrow {AD} \cdot \overrightarrow {BE} = 0$:

$\left( {\frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} } \right) \cdot \left( {k\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right) = 0$

$\Leftrightarrow \frac{1}{2}\left( {k\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} - {{\overrightarrow {AB} }^2} + k{{\overrightarrow {AC} }^2} - \overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {AB} } \right) = 0$

Thay các giá trị $\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = 6$, ${\left| {\overrightarrow {AB} } \right|^2} = 9$, ${\left| {\overrightarrow {AC} } \right|^2} = 16$:

$k \cdot 6 - 9 + k \cdot 16 - 6 = 0 \Leftrightarrow 22k - 15 = 0 \Leftrightarrow k = \frac{{15}}{{22}}$.

Kết luận: a) Đúng | b) Đúng | c) Sai | d) Đúng

Viết các tập hợp dưới dạng khoảng, đoạn:

Tập hợp $A = \left[ { - 5;1} \right)$.

Giải bất phương trình ${x^2} - 4 < 0 \Leftrightarrow - 2 < x < 2 \Rightarrow B = \left( { - 2;2} \right)$.

Thực hiện phép hiệu hai tập hợp $A\backslash B$:

$A\backslash B = \left[ { - 5;1} \right)\left( { - 2;2} \right) = \left[ { - 5; - 2} \right]$

Do đó, $a = - 5$ và $b = - 2$.

Tính giá trị biểu thức: ${a^2} - {b^2} = {\left( { - 5} \right)^2} - {\left( { - 2} \right)^2} = 25 - 4 = 21$.

Đáp số: 21.

Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm ($N = 9$):

$7;\quad 8;\quad 11;\quad 13;\quad 15;\quad 18;\quad 19;\quad 20;\quad 22$.

Trung vị ${Q_2}$ (tứ phân vị thứ hai) là giá trị thứ 5: ${Q_2} = 15$.

Nửa số liệu bên trái ${Q_2}$ gồm 4 giá trị: $7;8;11;13$.

Do đó, tứ phân vị thứ nhất là: ${Q_1} = \frac{{8 + 11}}{2} = 9{,}5$.

Nửa số liệu bên phải ${Q_2}$ gồm 4 giá trị: $18;19;20;22$.

Do đó, tứ phân vị thứ ba là: ${Q_3} = \frac{{19 + 20}}{2} = 19{,}5$.

Khoảng tứ phân vị ${{\rm{\Delta }}_Q}$: ${{\rm{\Delta }}_Q} = {Q_3} - {Q_1} = 19{,}5 - 9{,}5 = 10$.

Đáp số: 10.

Gọi:

${\overrightarrow{v}}_{\text{đ}}$ là vận tốc của ca nô đối với bờ:$|{\overrightarrow{v}}_{\text{đ}}|=22\text{km/h}$ .

${\vec v_{\rm{n}}}$ là vận tốc của dòng nước: $\left| {{{\vec v}_{\rm{n}}}} \right| = 2{\rm{\;km/h}}$, hướng về phía Đông.

${\vec v_{\rm{r}}}$ là vận tốc riêng của ca nô đối với nước.

Theo công thức cộng vận tốc: .

Chọn hệ trục tọa độ $Oxy$ sao cho gốc $O$ tại vị trí ca nô, trục $Ox$ hướng về phía Đông, trục $Oy$ hướng về phía Bắc.

Hướng ${\rm{S}}20^\circ {\rm{E}}$ tương ứng với góc tạo bởi vectơ và trục $Ox$ (hướng Đông) là $- \left( {90^\circ - 20^\circ } \right) = - 70^\circ$.

Khi đó tọa độ các vectơ: và ${\vec v_{\rm{n}}} = \left( {2;0} \right)$.

Suy ra tọa độ vectơ vận tốc riêng là ${\vec v_{\rm{r}}} = \left( {22\cos \left( { - 70^\circ } \right) - 2;22\sin \left( { - 70^\circ } \right)} \right)$.

Độ lớn vận tốc riêng của ca nô:

$\left| {{{\vec v}_{\rm{r}}}} \right| = \sqrt {{{\left[ {22\cos \left( { - 70^\circ } \right) - 2} \right]}^2} + {{\left[ {22\sin \left( { - 70^\circ } \right)} \right]}^2}} \approx 21{,}4{\rm{\;km/h}}$.

Đáp số: 21,4.

Sau $2$ giờ chuyển động thẳng đều, vectơ dịch chuyển của tàu là: $\overrightarrow {AB} = 2\vec v = 2 \cdot \left( {3;4} \right) = \left( {6;8} \right)$.

Tọa độ vị trí $B\left( {x;y} \right)$ thỏa mãn: $\left\{ \begin{array}{l}{x_B} - 3 = 6\\{y_B} - 2 = 8\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_B} = 9\\{y_B} = 10\end{array} \right. \Rightarrow B\left( {9;10} \right)$.

Tính tích $x \cdot y = 9 \cdot 10 = 90$.

Đáp số: 90.

a) Vì $M$ thuộc đoạn thẳng $BC$ và $2MB = 3MC \Rightarrow \frac{{MB}}{{MC}} = \frac{3}{2}$, do đó: $\overrightarrow {BM} = \frac{3}{5}\overrightarrow {BC}$.

Ta có $\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BM} = \overrightarrow {AB} + \frac{3}{5}\overrightarrow {BC}$$= \overrightarrow {AB} + \frac{3}{5}\left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right) = \left( {1 - \frac{3}{5}} \right)\overrightarrow {AB} + \frac{3}{5}\overrightarrow {AC} = \frac{2}{5}\overrightarrow {AB} + \frac{3}{5}\overrightarrow {AC}$.

b) Từ giả thiết $2MB = 3MC$ và $M \in BC$, ta có điểm $M$ thỏa mãn đẳng thức vectơ:

$2\overrightarrow {MB} + 3\overrightarrow {MC} = \vec 0$.

Ta có $5\overrightarrow {KA} + 2\overrightarrow {KB} + 3\overrightarrow {KC} = 5\overrightarrow {KA} + 2\left( {\overrightarrow {KM} + \overrightarrow {MB} } \right) + 3\left( {\overrightarrow {KM} + \overrightarrow {MC} } \right)$

$= 5\overrightarrow {KA} + 5\overrightarrow {KM} + \left( {2\overrightarrow {MB} + 3\overrightarrow {MC} } \right) = 5\left( {\overrightarrow {KA} + \overrightarrow {KM} } \right)$.

Gọi $I$ là trung điểm của đoạn thẳng $AM$, suy ra $\overrightarrow {KA} + \overrightarrow {KM} = 2\overrightarrow {KI}$.

Khi đó: $P = \left| {5 \cdot 2\overrightarrow {KI} } \right| = 10KI$.

Để $P$ đạt giá trị nhỏ nhất thì độ dài đoạn thẳng $KI$ phải ngắn nhất.

Vì $K$ di động trên đường thẳng $d$ đi qua $A$ và song song với $BC$, $KI$ ngắn nhất khi và chỉ khi $K$ là hình chiếu vuông góc của $I$ trên đường thẳng $d$.

Do $d{\rm{//}}BC$ và $AM$ cắt $BC$ tại $M$, hình chiếu $K$ chính là chân đường vuông góc kẻ từ $I$ đến $d$.

a) Vì $G\left( {3;2} \right)$ là trọng tâm tam giác $ABC$, tọa độ của $G$ thỏa mãn hệ phương trình:

$\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3}\\{y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}\end{array} \right.$.

Thay tọa độ các điểm $A\left( { - 1; - 1} \right)$, $B\left( {3;5} \right)$, $G\left( {3;2} \right)$ vào hệ trên, ta suy ra:

$\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{{x_C} = 3 \cdot 3 - \left( { - 1} \right) - 3 = 9 + 1 - 3 = 7}\\{{y_C} = 3 \cdot 2 - \left( { - 1} \right) - 5 = 6 + 1 - 5 = 2}\end{array}} \right.$.

Vậy $C\left( {7;2} \right)$.

b) Vì $M \in Ox$ nên tọa độ điểm $M$ có dạng $M\left( {x;0} \right)$.

Tính tọa độ các vectơ $\overrightarrow {MA}$ và $\overrightarrow {MB}$: $\overrightarrow {MA} = \left( { - 1 - x; - 1} \right)$; $\overrightarrow {MB} = \left( {3 - x;5} \right)$.

Tam giác $ABM$ vuông tại $M$ khi và chỉ khi $\overrightarrow {MA} \bot \overrightarrow {MB} \Leftrightarrow \overrightarrow {MA} \cdot \overrightarrow {MB} = 0$:

$\left( { - 1 - x} \right) \cdot \left( {3 - x} \right) + \left( { - 1} \right) \cdot \left( 5 \right) = 0$$\Leftrightarrow {x^2} - 2x - 3 - 5 = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 8 = 0$.

Giải phương trình bậc hai trên ta được $x = 4$ hoặc $x = - 2$.

Vậy có 2 điểm $M$ thỏa mãn yêu cầu bài toán là ${M_1}\left( {4;0} \right)$ và ${M_2}\left( { - 2;0} \right)$.

Mẫu số liệu số lượng gạo tiêu thụ theo từng tháng (đơn vị: tấn) gồm $n = 12$ số liệu:

$x = \left\{ {2000;3000;5000;4000;4000;4000;3000;2000;5000;4000;2000;3000} \right\}$

a) Số lượng tiêu thụ trung bình mỗi tháng:

$\bar x = \frac{{2000 + 3000 + 5000 + 4000 + 4000 + 4000 + 3000 + 2000 + 5000 + 4000 + 2000 + 3000}}{{12}}$

$= \frac{{41\,000}}{{12}} \approx 3\,416{,}67$ (tấn).

b) Phương sai của mẫu số liệu:

$$\begin{array}{l}{s^2} = \frac{1}{{12}}\left[ {{{2000}^2} + {{3000}^2} + {{5000}^2} + {{4000}^2} + {{4000}^2} + {{4000}^2} + {{3000}^2} + {{2000}^2}} \right.\\\left. {\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, + {{5000}^2} + {{4000}^2} + {{2000}^2} + {{3000}^2}} \right] - {\left( {\frac{{41\,000}}{{12}}} \right)^2} \approx 1\,076\,388{,}89.\end{array}$$