Đề thi cuối kì 1 Toán 10 năm 2025-2026 THPT Vạn Xuân (Hoài Đức-Hà Nội) có đáp án

Theo định lý Cô-sin trong tam giác $ABC$, ta có công thức tính độ dài cạnh $a$:

${a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A$.

Chọn A.

Giải bất phương trình bậc hai ${x^2} - 5x + 4 < 0$:

Tam thức $f\left( x \right) = {x^2} - 5x + 4$ có hai nghiệm là $x = 1$ và $x = 4$. Hệ số $a = 1 > 0$.

Do đó, $f\left( x \right) < 0 \Leftrightarrow x \in \left( {1;4} \right)$.

Xét các giá trị ở phương án: Với $x = 2$, ta thấy $2 \in \left( {1;4} \right)$.

Ngoài ra, ta có thể thử từng phương án ở các đáp án thay vào bất phương trình để chọn.

Chọn D.

Diện tích tam giác $ABC$ được tính theo công thức: $S = \frac{1}{2}bc\sin A = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot AB \cdot \sin A$.

Thay số: $S = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 5 \cdot \sin 30^\circ = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5$.

Chọn D.

Thay lần lượt các cặp số vào bất phương trình $x - 2y < 3$:

Thay $\left( { - 2;1} \right)$: $- 2 - 2\left( 1 \right) = - 4 < 3$ (mệnh đề đúng).

Chọn B.

Trục đối xứng của parabol $y = a{x^2} + bx + c$ có phương trình là đường thẳng $x = - \frac{b}{{2a}}$.

Áp dụng với $a = 1,b = - 4$ thì $x = - \frac{{ - 4}}{{2 \cdot 1}} = 2$.

Chọn A.

Căn cứ vào bảng biến thiên, trên khoảng $\left( {2; + \infty } \right)$, mũi tên chiều đi lên nên hàm số đồng biến trên khoảng $\left( {2; + \infty } \right)$.

Chọn B.

Theo quy tắc hiệu hai vectơ chung gốc: $\overrightarrow {OM} - \overrightarrow {ON} = \overrightarrow {NM}$.

Chọn C.

"Hôm nay trời đẹp quá!" là câu cảm thán.

"Bạn có thích học Toán không?" là câu hỏi.

"$x + 1 > 3$" là mệnh đề chứa biến.

"$2 + 3 = 6$" là một khẳng định sai, do đó nó là một mệnh đề.

Chọn B.

Trong lục giác đều $ABCDEF$ tâm $O$, đường chéo $FC$ song song với cạnh $AB$. Do đó, vectơ $\overrightarrow {FC}$ cùng phương với vectơ $\overrightarrow {AB}$.

Chọn D.

Góc giữa hai vectơ $\overrightarrow {AB}$ và $\overrightarrow {BC}$ là: $\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} } \right) = 180^\circ - \widehat {ABC} = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Tích vô hướng: $\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {BC} = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {BC} } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} } \right) = a \cdot a \cdot \cos 120^\circ = {a^2} \cdot \left( { - \frac{1}{2}} \right) = - \frac{{{a^2}}}{2}$.

Chọn B.

Theo quy tắc hình bình hành áp dụng cho hình vuông $ABCD$ ta có $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC}$.

Độ dài vectơ tổng: $\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} \left| = \right|\overrightarrow {AC} } \right| = AC = a\sqrt 2$.

Chọn A.

Vì $k = - 3 < 0$, nên vectơ $- 3\vec a$ ngược hướng với vectơ $\vec a$ và có độ dài bằng $\left| { - 3\left| \cdot \right|\vec a\left| { = 3} \right|\vec a} \right|$.

Chọn B.

Xác định các thông số của Parabol $\left( P \right)$ từ đồ thị:

Đồ thị cắt trục hoành tại hai điểm có hoành độ $x = 1$ và $x = 5$.

Đỉnh của Parabol là $I\left( {3; - 4} \right)$.

Đồ thị cắt trục tung tại $\left( {0;5} \right) \Rightarrow c = 5$.

Phương trình Parabol có dạng: $f\left( x \right) = a\left( {x - 1} \right)\left( {x - 5} \right) = a\left( {{x^2} - 6x + 5} \right)$.

Vì $c = 5 \Rightarrow a = 1 \Rightarrow f\left( x \right) = {x^2} - 6x + 5$.

Do đó $a = 1,b = - 6,c = 5$.

Xét từng phát biểu:

a) Đúng. Phần đồ thị $f\left( x \right) < 0$ nằm phía dưới trục hoành ứng với $x \in \left( {1;5} \right)$.

b) Sai. Đỉnh của Parabol là $I\left( {3; - 4} \right)$, không phải $I\left( { - 4;3} \right)$.

c) Sai. ${a^2} + {b^2} + {c^2} = {1^2} + {\left( { - 6} \right)^2} + {5^2} = 1 + 36 + 25 = 62 \ne 60$.

d) Đúng. Đỉnh có hoành độ $x = 3$ và bề lõm hướng lên trên nên hàm số đồng biến trên $\left( {3; + \infty } \right)$.

b) Đúng. Điểm $M$ thuộc đoạn $AD$ nên $\overrightarrow {MA}$ và $\overrightarrow {MD}$ là hai vectơ ngược hướng. Mặt khác $MA = 3MD$, nên $\overrightarrow {MA} = - 3\overrightarrow {MD}$.

c) Sai. Ta có: $\overrightarrow {AN} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BN} = \overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AD}$.

d) Sai. Vì $I$ là trung điểm của $MN$ nên theo quy tắc trung điểm với điểm $D$ bất kỳ:

$\overrightarrow {DI} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {DM} + \overrightarrow {DN} } \right)$.

a) Đúng. Với $x = \frac{1}{4}$ thì $\overrightarrow {DK} = x\overrightarrow {DC} = \frac{1}{4}\overrightarrow {DC} = \frac{1}{4}\overrightarrow {AB}$.

Ta có $\overrightarrow {AK} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DK} = \overrightarrow {AD} + \frac{1}{4}\overrightarrow {AB}$; $\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {AN} - \overrightarrow {AM} = \left( {\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} } \right) - \frac{3}{4}\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AB} - \frac{1}{4}\overrightarrow {AD}$.

$ABCD$ là hình vuông nên $\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AD} = 0$ và $AB = AD$

Khi đó $\overrightarrow {AK} \cdot \overrightarrow {MN} = \left( {\overrightarrow {AD} + \frac{1}{4}\overrightarrow {AB} } \right) \cdot \left( {\overrightarrow {AB} - \frac{1}{4}\overrightarrow {AD} } \right) = \overrightarrow {AD} \cdot \overrightarrow {AB} - \frac{1}{4}{\overrightarrow {AD} ^2} + \frac{1}{4}{\overrightarrow {AB} ^2} - \frac{1}{{16}}\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AD} = 0$.

Suy ra $\overrightarrow {AK} \bot \overrightarrow {MN}$, tức là $AK \bot MN$.

Vì $90^\circ < \alpha < 180^\circ$ (góc tù) nên $\cos \alpha < 0$.

Áp dụng hệ thức lượng giác cơ bản ${\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1$, suy ra

$\cos \alpha = - \sqrt {1 - {{\sin }^2}\alpha } = - \sqrt {1 - {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^2}} = - \sqrt {\frac{8}{9}} = - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}$.

Thay vào biểu thức $A$: $A = 3\sqrt 2 \cdot \left( { - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}} \right) = - 4$.

Đáp số: $- 4$.

Chiều rộng mảnh đất là $x$ ($x > 0$).

Chiều dài mảnh đất là $x + 10$.

Diện tích mảnh đất là $S = x\left( {x + 10} \right)$.

Theo bài ra, diện tích không nhỏ hơn $200{\rm{\;}}{{\rm{m}}^2}$:

$x\left( {x + 10} \right) \ge 200 \Leftrightarrow {x^2} + 10x - 200 \ge 0$

Giải bất phương trình: ${x^2} + 10x - 200 \ge 0 \Rightarrow x \ge 10$ hoặc $x \le - 20$.

Do $x > 0 \Rightarrow x \ge 10$.

Vậy giá trị nhỏ nhất của $x$ bằng $10$.

Đáp số: $10$.

Vì $M \in BC$ và $MC = 3MB$ nên $BM = \frac{1}{4}BC = \frac{{16}}{4} = 4$, suy ra $\overrightarrow {BM} = \frac{1}{4}\overrightarrow {BC}$.

Phân tích vectơ $\overrightarrow {AM}$: $\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BM} = \overrightarrow {AB} + \frac{1}{4}\overrightarrow {BC}$.

Tính tích vô hướng: $\overrightarrow {BC} \cdot \overrightarrow {AM} = \overrightarrow {BC} \cdot \left( {\overrightarrow {AB} + \frac{1}{4}\overrightarrow {BC} } \right) = \overrightarrow {BC} \cdot \overrightarrow {AB} + \frac{1}{4}{\overrightarrow {BC} ^2}$.

Ta có: $\overrightarrow {BC} \cdot \overrightarrow {AB} = BC \cdot AB \cdot \cos \left( {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {AB} } \right) = 16 \cdot 16 \cdot \cos 120^\circ = 256 \cdot \left( { - \frac{1}{2}} \right) = - 128$;

$\frac{1}{4}{\overrightarrow {BC} ^2} = \frac{1}{4} \cdot {16^2} = 64$.

Do đó: $\overrightarrow {BC} \cdot \overrightarrow {AM} = - 128 + 64 = - 64$.

Đáp số: $- 64$.

Tập hợp $A\backslash B$ gồm các phần tử thuộc $A$ nhưng không thuộc $B$ nên $A\backslash B = \left\{ {4;5} \right\}$.

Số phần tử của $A\backslash B$ là $2$.

Đáp số: $2$.

a) Vẽ đồ thị hàm số $y = {x^2} - 4x + 3$:

Tập xác định: $D = \mathbb{R}$.

Đỉnh $I\left( {2; - 1} \right)$.

Trục đối xứng: Đường thẳng $x = 2$.

Bề lõm quay lên trên do $a = 1 > 0$.

Các điểm đặc biệt thuộc đồ thị:

Cho $x = 0 \Rightarrow y = 3 \Rightarrow \left( {0;3} \right)$.

Cho $y = 0 \Rightarrow {x^2} - 4x + 3 = 0 \Rightarrow x = 1$ hoặc $x = 3 \Rightarrow \left( {1;0} \right),\left( {3;0} \right)$.

Lấy điểm đối xứng với $\left( {0;3} \right)$ qua $x = 2$ ta được $\left( {4;3} \right)$.

b) Bình phương cả hai vế của phương trình đã cho ta được $2x - 1 = {\left( {x - 2} \right)^2}$.

Khai triển và biến đổi ta được ${x^2} - 6x + 5 = 0$.

Giải phương trình bậc hai trên ta được $x = 1$ hoặc $x = 5$.

Thử lại vào phương trình ban đầu ta thấy chỉ có $x = 5$ thỏa mãn.

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \left\{ 5 \right\}$.

a) Ta có $\vec u = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC}$.

Xét tam giác $ABC$ vuông tại $A$, theo định lý Pythagore:

$AC = \sqrt {B{C^2} - A{B^2}} = \sqrt {{{\left( {2a} \right)}^2} - {a^2}} = \sqrt {3{a^2}} = a\sqrt 3$.

Do đó: $\left| {\vec u\left| = \right|\overrightarrow {AC} } \right| = AC = a\sqrt 3$.

b) Biến đổi vế phải: $3\left| {\overrightarrow {MB} - \overrightarrow {MC} \left| { = 3} \right|\overrightarrow {CB} } \right| = 3BC = 3 \cdot 2a = 6a$.

Biến đổi vế trái:

Gọi $G$ là điểm cố định thỏa mãn $\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + 4\overrightarrow {GC} = \vec 0$.

Khi đó, với mọi điểm $M$:

$\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + 4\overrightarrow {MC} = \left( {\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GA} } \right) + \left( {\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GB} } \right) + 4\left( {\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GC} } \right)$

$= 6\overrightarrow {MG} + \left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + 4\overrightarrow {GC} } \right) = 6\overrightarrow {MG}$.

Suy ra: $\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + 4\overrightarrow {MC} \left| = \right|6\overrightarrow {MG} } \right| = 6MG$

Đẳng thức đã cho trở thành: $6MG = 6a \Rightarrow MG = a$.

Vì $G$ là điểm cố định nên tập hợp các điểm $M$ thỏa mãn yêu cầu bài toán là đường tròn tâm $G$ bán kính $R = a$.

Gọi $x$ (phút) là thời lượng quảng cáo trên Radio ($x \ge 0$).

Gọi $y$ (phút) là thời lượng quảng cáo trên Mạng xã hội ($y \ge 0$).

Từ các điều kiện thực tế của bài toán, ta lập hệ bất phương trình: $\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x \ge 2}\\{0 \le y \le 5}\\{x + 2y \le 14}\end{array}} \right.$.

Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$, ta được một tứ giác $ABCD$ với tọa độ các đỉnh:

$A\left( {2;0} \right)$ là giao điểm của $x = 2$ và $y = 0$.

$B\left( {2;5} \right)$ là giao điểm của $x = 2$ và $y = 5$.

$C\left( {4;5} \right)$ là giao điểm của $y = 5$ và $x + 2y = 14$.

$D\left( {14;0} \right)$ là giao điểm của $x + 2y = 14$ và $y = 0$.

Số lượng người tiếp cận thu được là: $N\left( {x;y} \right) = 1000x + 3000y$.

Giá trị của $N\left( {x;y} \right)$ đạt đại số lớn nhất tại một trong các đỉnh của đa giác $ABCD$:

Tại $A\left( {2;0} \right)$: $N\left( {2;0} \right) = 1000 \cdot 2 + 3000 \cdot 0 = 2000$ người.

Tại $B\left( {2;5} \right)$: $N\left( {2;5} \right) = 1000 \cdot 2 + 3000 \cdot 5 = 17000$ người.

Tại $C\left( {4;5} \right)$: $N\left( {4;5} \right) = 1000 \cdot 4 + 3000 \cdot 5 = 19000$ người.

Tại $D\left( {14;0} \right)$: $N\left( {14;0} \right) = 1000 \cdot 14 + 3000 \cdot 0 = 14000$ người.

So sánh các giá trị, $N\left( {x,y} \right)$ đạt giá trị lớn nhất là $19.000$ người tại đỉnh $C\left( {4;5} \right)$, ứng với $x = 4$ phút và $y = 5$ phút.

Tổng thời lượng quảng cáo trên cả hai nền tảng khi đó là: $T = x + y = 4 + 5 = 9{\rm{\;(ph\'u t)}}$.

Kết luận: Công ty cần đặt tổng thời lượng quảng cáo là 9 phút gồm 4 phút trên Radio và 5 phút trên Mạng xã hội để đạt số lượng người tiếp cận lớn nhất.