Đề thi cuối kì 1 Toán 10 năm 2025-2026 THPT Trần Phú (Hoàn Kiếm-Hà Nội) có đáp án

Tam thức bậc hai $f\left( x \right) = - {x^2} - \left( {m + 2} \right)x + 5m - 1$ có hệ số $a = - 1$, $b = - \left( {m + 2} \right)$, $c = 5m - 1$.

Để $f\left( x \right) < 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$, điều kiện là: $\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{a < 0}\\{{\rm{\Delta }} < 0}\end{array}} \right.$.

Vì $a = - 1 < 0$ (luôn đúng), ta xét điều kiện biệt thức ${\rm{\Delta }} < 0$:

${\rm{\Delta }} = {\left[ { - \left( {m + 2} \right)} \right]^2} - 4 \cdot \left( { - 1} \right) \cdot \left( {5m - 1} \right) = {m^2} + 4m + 4 + 20m - 4 = {m^2} + 24m$.

${\rm{\Delta }} < 0 \Leftrightarrow {m^2} + 24m < 0 \Leftrightarrow - 24 < m < 0$.

Chọn C.

Áp dụng công thức tính tích vô hướng của hai vectơ:

$\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = AB \cdot AC \cdot \cos \left( {\angle BAC} \right)$$= 5 \cdot 8 \cdot \cos 60^\circ = 40 \cdot \frac{1}{2} = 20$.

Chọn D.

Hàm số xác định khi và chỉ khi: $\left\{ \begin{array}{l}2x - 4 \ge 0\\{x^2} - 9 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 2\\x \ne \pm 3\end{array} \right.$.

Vì $x \ge 2$ nên điều kiện $x \ne - 3$ luôn luôn thỏa mãn. Do đó $x \in \left[ {2; + \infty } \right)\backslash \left\{ 3 \right\}$.

Tập xác định của hàm số là $D = \left[ {2; + \infty } \right)\backslash \left\{ 3 \right\}$.

Chọn D.

Trong hình bình hành $ABCD$, hai đoạn thẳng $CD$ và $BA$ song song và bằng nhau, đồng thời hướng từ $C$ đến $D$ trùng với hướng từ $B$ đến $A$. Do đó, $\overrightarrow {CD} = \overrightarrow {BA}$.

Chọn B.

Quan sát bảng xét dấu, ta thấy $f\left( x \right) < 0$ (mang dấu âm) khi $x$ nằm trong khoảng $\left( {1;2} \right)$.

Chọn A.

Vì $\vec a = k\vec b$ với $k = - 3 < 0$, nên $\vec a$ và $\vec b$ ngược hướng.

Độ dài của $\vec a$ là: $\left| {\vec a} \right| = \left| { - 3} \right| \cdot \left| {\vec b} \right| = 3\left| {\vec b} \right|$.

Chọn D.

Tọa độ đỉnh $I\left( {{x_I};{y_I}} \right)$ của parabol $y = a{x^2} + bx + c$ được xác định theo công thức:

${x_I} = - \frac{b}{{2a}} = - \frac{{ - 2}}{{2 \cdot 3}} = \frac{1}{3}$

${y_I} = 3 \cdot {\left( {\frac{1}{3}} \right)^2} - 2 \cdot \left( {\frac{1}{3}} \right) + 1 = \frac{1}{3} - \frac{2}{3} + 1 = \frac{2}{3}$

Tọa độ đỉnh là $I\left( {\frac{1}{3};\frac{2}{3}} \right)$.

Chọn B.

Điều kiện để các biểu thức dưới căn xác định: $\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{{x^2} - 2x - 1 \ge 0}\\{ - {x^2} + 2x - 1 \ge 0}\end{array}} \right.$.

Xét bất phương trình $- {x^2} + 2x - 1 \ge 0 \Leftrightarrow - {\left( {x - 1} \right)^2} \ge 0 \Leftrightarrow x = 1$.

Thử $x = 1$ vào biểu thức ${x^2} - 2x - 1$ ta được ${1^2} - 2 \cdot 1 - 1 = - 2 < 0\quad \left( {{\rm{kh\^o ng\;th/m\~a n}}} \right)$

Do không có giá trị $x$ nào thỏa mãn điều kiện xác định đồng thời, phương trình đã cho có $0$ nghiệm.

Chọn C.

Xét tam giác $ABD$ có $AB = AD = a$ nên tam giác $ABD$ cân tại $A$.

Lại có $\angle BAD = 60^\circ$ nên tam giác $ABD$ là tam giác đều.

Do đó $BD = a \Rightarrow \left| {\overrightarrow {BD} } \right| = a$.

Chọn B.

Giải phương trình $- {x^2} - 4x + 5 = 0 \Leftrightarrow x = 1$ hoặc $x = - 5$.

Hệ số $a = - 1 < 0$.

Áp dụng quy tắc xét dấu tam thức bậc hai, $f\left( x \right) \ge 0$ khi $x$ nằm trong đoạn giữa hai nghiệm:

$- 5 \le x \le 1 \Rightarrow x \in \left[ { - 5;1} \right]$.

Chọn A.

Tam thức bậc hai $f\left( x \right) = {x^2} - 2x + 3$ có: ${\rm{\Delta '}} = {\left( { - 1} \right)^2} - 1 \cdot 3 = - 2 < 0$.

Hệ số $a = 1 > 0$.

Vì ${\rm{\Delta '}} < 0$ và $a > 0$ nên $f\left( x \right) > 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $\mathbb{R}$.

Chọn C.

Từ bảng biến thiên, hàm số đồng biến trên khoảng $\left( {3; + \infty } \right)$.

Do $\left( {3;5} \right) \subset \left( {3; + \infty } \right)$ nên hàm số cũng đồng biến trên khoảng $\left( {3;5} \right)$.

Chọn A.

a) SAI: Giao của $\left( P \right)$ với trục $Oy$ ứng với $x = 0 \Rightarrow y = 3$. Tung độ giao điểm bằng 3.

b) ĐÚNG: Tọa độ đỉnh $I$ của $\left( P \right)$: ${x_I} = - \frac{{ - 4}}{{2 \cdot 1}} = 2 \Rightarrow {y_I} = {2^2} - 4 \cdot 2 + 3 = - 1 \Rightarrow I\left( {2; - 1} \right)$.

Giao của $\left( P \right)$ với $Ox$ ($y = 0$): ${x^2} - 4x + 3 = 0 \Leftrightarrow x = 1$ hoặc $x = 3$.

Tọa độ $A\left( {1;0} \right)$ và $B\left( {3;0} \right) \Rightarrow AB = \left| {3 - 1} \right| = 2$.

Chiều cao hạ từ đỉnh $I\left( {2; - 1} \right)$ đến $Ox$ là $h = \left| {{y_I}} \right| = 1$.

Diện tích tam giác $IAB$: ${S_{{\rm{\Delta }}IAB}} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 1 = 1$.

c) ĐÚNG: Trục đối xứng của parabol là đường thẳng $x = {x_I} = 2$.

d) ĐÚNG: Tọa độ đỉnh là $I\left( {2; - 1} \right)$.

a) SAI: $\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {CB} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC} \Rightarrow \left| {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {CB} } \right| = \left| {\overrightarrow {AC} } \right| = a$.

b) SAI: Ta có $\overrightarrow {BG} - \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {CG}$.

Trong tam giác đều $ABC$ cạnh $a$, độ dài đường trung tuyến là $h = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$.

Khoảng cách từ đỉnh đến trọng tâm là: $CG = \frac{2}{3}h = \frac{2}{3} \cdot \frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3} \Rightarrow \left| {\overrightarrow {BG} - \overrightarrow {BC} } \right| = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}$.

c) ĐÚNG: Gọi $M$ là trung điểm của $BC$, ta có $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AM}$.

Suy ra $\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right| = 2\left| {\overrightarrow {AM} } \right| = 2 \cdot \frac{{a\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3$.

d) ĐÚNG: Áp dụng quy tắc ba điểm: $\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {CB}$.

Gọi độ cao của máng nước (chiều rộng đoạn gấp hai bên) là $x{\rm{\;(cm)}}$, với $x > 0$.

Chiều rộng đáy của máng nước là $32 - 2x{\rm{\;(cm)}}$, điều kiện $32 - 2x > 0 \Rightarrow x < 16$.

Diện tích mặt cắt ngang hình chữ nhật của máng nước là:

$S\left( x \right) = x\left( {32 - 2x} \right) = - 2{x^2} + 32x\quad \left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)$.

Theo bài ra, diện tích mặt cắt ngang phải đạt tối thiểu $120{\rm{\;c}}{{\rm{m}}^2}$:

$- 2{x^2} + 32x \ge 120 \Leftrightarrow 2{x^2} - 32x + 120 \le 0 \Leftrightarrow {x^2} - 16x + 60 \le 0$.

Giải bất phương trình: $\left( {x - 6} \right)\left( {x - 10} \right) \le 0 \Leftrightarrow 6 \le x \le 10$.

Vậy máng dẫn nước phải có độ cao ít nhất là $6{\rm{\;cm}}$.

Đáp số: 6.

Hàm số đã cho xác định trên $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi:

$g\left( x \right) = m{x^2} - 2mx + 5m + 2 \ge 0,\quad \forall x \in \mathbb{R}$

TH1: Với $m = 0$ thì $g\left( x \right) = 2 \ge 0,\quad \forall x \in \mathbb{R}\quad \left( {{\rm{th/m\~a n}}} \right)$

TH2: Với $m \ne 0$ thì $g\left( x \right)$ là tam thức bậc hai. Để $g\left( x \right) \ge 0,\forall x \in \mathbb{R}$, điều kiện là: $\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{m > 0}\\{{\rm{\Delta '}} \le 0}\end{array}} \right.$.

Ta có ${\rm{\Delta '}} = {\left( { - m} \right)^2} - m\left( {5m + 2} \right) = {m^2} - 5{m^2} - 2m = - 4{m^2} - 2m = - 2m\left( {2m + 1} \right)$.

Vì $m > 0$ nên $- 2m < 0$ và $2m + 1 > 0 \Rightarrow {\rm{\Delta '}} = - 2m\left( {2m + 1} \right) < 0 \le 0$ (luôn đúng).

Do đó $m > 0$ thỏa mãn.

Kết hợp cả hai trường hợp ta được $m \ge 0$.

Do $m$ nguyên và $m \le 2025$, các giá trị thỏa mãn là $m \in \left\{ {0;1;2; \ldots ;2025} \right\}$.

Số giá trị nguyên là $2025 - 0 + 1 = 2026$.

Đáp số: 2026.

Hàm số tốc độ truyền bệnh $f\left( t \right) = - 3{t^2} + 90t + 10$ là một hàm số bậc hai với $a = - 3 < 0$.

Hàm số đạt giá trị lớn nhất tại hoành độ đỉnh của parabol: $t = - \frac{b}{{2a}} = - \frac{{90}}{{2 \cdot \left( { - 3} \right)}} = 15$.

Vậy tốc độ truyền bệnh đạt giá trị lớn nhất vào ngày thứ 15.

Đáp số: 15.

Vì $M$ nằm trên đoạn $BC$ và $MB = 2MC$, hai vectơ $\overrightarrow {MB}$ và $\overrightarrow {MC}$ ngược hướng nhau, suy ra:

$\overrightarrow {MB} = - 2\overrightarrow {MC} \Rightarrow \overrightarrow {MB} + 2\overrightarrow {MC} = \vec 0$.

Biến đổi qua điểm đầu $A$:

$\left( {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AM} } \right) + 2\left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AM} } \right) = \vec 0$$\Leftrightarrow \overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {AC} - 3\overrightarrow {AM} = \vec 0$$\Leftrightarrow \overrightarrow {AM} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow {AC}$.

Suy ra $m = \frac{1}{3}$ và $n = \frac{2}{3}$.

Tổng $m + n = \frac{1}{3} + \frac{2}{3} = 1$.

Đáp số: 1.

Hàm số $y = \frac{{3x + 4}}{{\sqrt {x - 1} }}$ xác định khi và chỉ khi biểu thức trong căn dưới mẫu thức dương:

$x - 1 > 0\,{\rm{hay}}\,x > 1$.

Vậy tập xác định của hàm số là $D = \left( {1; + \infty } \right)$.

Ta có: $- 36{x^2} + 12x - 1 = - \left( {36{x^2} - 12x + 1} \right) = - {\left( {6x - 1} \right)^2}$.

Vì ${\left( {6x - 1} \right)^2} \ge 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$ nên $- {\left( {6x - 1} \right)^2} \le 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$.

Do đó bất phương trình chỉ thỏa mãn khi dấu bằng xảy ra: $- {\left( {6x - 1} \right)^2} = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{6}$.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S = \left\{ {\frac{1}{6}} \right\}$.

Cách 1: Sử dụng tích vô hướng vectơ

Ta có $\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD}$ và $\overrightarrow {DM} = \overrightarrow {AM} - \overrightarrow {AD} = k\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AD}$.

Vì $ABCD$ là hình chữ nhật nên $AB \bot AD \Rightarrow \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AD} = 0$.

Để $AC \bot DM$, điều kiện cần và đủ là:

$\overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {DM} = 0$

$\Leftrightarrow \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right) \cdot \left( {k\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AD} } \right) = 0$

$\Leftrightarrow k{\overrightarrow {AB} ^2} - \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AD} + k\overrightarrow {AD} \cdot \overrightarrow {AB} - {\overrightarrow {AD} ^2} = 0$

$\Leftrightarrow k \cdot A{B^2} - A{D^2} = 0$

$\Leftrightarrow k \cdot {3^2} - {4^2} = 0 \Leftrightarrow 9k - 16 = 0 \Leftrightarrow k = \frac{{16}}{9}$.

Cách 2: Sử dụng hệ trục tọa độ

Chọn hệ trục tọa độ $Oxy$ với gốc $A\left( {0;0} \right)$, tia $Ax$ chứa $B$, tia $Ay$ chứa $D$.

Tọa độ các đỉnh là $A\left( {0;0} \right)$, $B\left( {3;0} \right)$, $D\left( {0;4} \right)$, $C\left( {3;4} \right)$.

Do $\overrightarrow {AM} = k\overrightarrow {AB} = \left( {3k;0} \right) \Rightarrow M\left( {3k;0} \right)$.

Ta có $\overrightarrow {AC} = \left( {3;4} \right)$ và $\overrightarrow {DM} = \left( {3k; - 4} \right)$.

$AC \bot DM \Leftrightarrow \overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {DM} = 0 \Leftrightarrow 3 \cdot \left( {3k} \right) + 4 \cdot \left( { - 4} \right) = 0 \Leftrightarrow 9k - 16 = 0 \Leftrightarrow k = \frac{{16}}{9}$.

Vậy $k = \frac{{16}}{9}$.

Điều kiện: $3x + 2 \ge 0$, tức là $x \ge - \frac{2}{3}$.

Bình phương hai vế của phương trình đã cho, ta được $3{x^2} - 4x + 4 = {\left( {3x + 2} \right)^2}$.

Biến đổi và rút gọn phương trình trên ta được $6{x^2} + 16x = 0$.

Giải phương trình ta được $x = 0$ hoặc $x = - \frac{8}{3}$.

Thử điều kiện $x \ge - \frac{2}{3}$:

$x = 0$ thỏa mãn điều kiện.

$x = - \frac{8}{3} < - \frac{2}{3}$ (loại).

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x = 0$.

Do vật đứng yên tại $M$, tổng hợp lực tác dụng lên vật bằng vectơ $\vec 0$:

$\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_3}} = \vec 0 \Rightarrow \overrightarrow {{F_3}} = - \left( {\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} } \right)$.

Cường độ lực $\overrightarrow {{F_3}}$ là: $\left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right| = \left| {\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} } \right|$.

Ta có: ${\left| {\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} } \right|^2} = {\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right|^2} + 2\overrightarrow {{F_1}} \cdot \overrightarrow {{F_2}}$$= {\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right|^2} + 2\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right| \cdot \cos \left( {\angle AMB} \right)$.

Thay $\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right| = 100{\rm{\;N}}$, $\left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right| = 100{\rm{\;N}}$ và $\angle AMB = 60^\circ$:

${\left| {\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} } \right|^2} = {100^2} + {100^2} + 2 \cdot 100 \cdot 100 \cdot \cos 60^\circ$$= 10000 + 10000 + 20000 \cdot \frac{1}{2} = 30000$.

$\Rightarrow \left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right| = \sqrt {30000} = 100\sqrt 3 {\rm{\;N}}$.

Vậy cường độ của lực $\overrightarrow {{F_3}}$ là $100\sqrt 3 {\rm{\;N}}$.

Chọn hệ trục tọa độ $Oxy$ với:

Trục $Ox$ trùng với mặt đất.

Gốc tọa độ $O\left( {0;0} \right)$ là trung điểm của khoảng cách giữa hai chân cổng.

Trục đối xứng $Oy$ đi qua đỉnh của cổng parabol.

Khi đó:

Khoảng cách giữa hai chân cổng là $8{\rm{\;m}}$ nên tọa độ hai chân cổng là $A\left( { - 4;0} \right)$ và $B\left( {4;0} \right)$.

Phương trình parabol $\left( P \right)$ có dạng: $y = a{x^2} + c$ (với $a < 0$, $c$ là chiều cao đỉnh cổng).

Vì $\left( P \right)$ đi qua chân cổng $B\left( {4;0} \right)$ nên $a \cdot {4^2} + c = 0 \Rightarrow 16a + c = 0 \Rightarrow c = - 16a$.

Một điểm $C$ trên mặt đất cách chân cổng $A\left( { - 4;0} \right)$ một khoảng $0{,}5{\rm{\;m}}$ có hoành độ là:

${x_C} = - \left( {4 - 0{,}5} \right) = - 3{,}5$.

Do đó điểm $D\left( { - 3{,}5;2{,}93} \right) \in \left( P \right)$ nên $a \cdot {\left( { - 3{,}5} \right)^2} + c = 2{,}93 \Rightarrow 12{,}25a + c = 2{,}93$.

Thay $c = - 16a$ vào phương trình trên:

$12{,}25a - 16a = 2{,}93 \Rightarrow - 3{,}75a = 2{,}93 \Rightarrow a = - \frac{{2{,}93}}{{3{,}75}} = - \frac{{293}}{{375}}$.

Từ đó tính chiều cao $c$ của cổng: $c = - 16 \cdot \left( { - \frac{{293}}{{375}}} \right) = \frac{{4688}}{{375}} \approx 12{,}5013{\rm{\;m}}$.

Làm tròn kết quả đến hàng phần chục, chiều cao của cổng parabol xấp xỉ $12{,}5{\rm{\;m}}$.