Đề thi cuối kì 1 Toán 10 năm 2025-2026 THPT Nguyễn Du (TP.HCM) có đáp án

Xét hàm số $y = f\left( x \right) = - 2{x^2} - x - 5$ trên đoạn $\left[ { - 4; - 1} \right]$.

Hoành độ đỉnh của parabol là: ${x_0} = - \frac{b}{{2a}} = - \frac{{ - 1}}{{2 \cdot \left( { - 2} \right)}} = - \frac{1}{4}$.

Do $- \frac{1}{4} \notin \left[ { - 4; - 1} \right]$ và $a = - 2 < 0$, hàm số $f\left( x \right)$ đồng biến trên đoạn $\left[ { - 4; - 1} \right]$.

Tính giá trị của hàm số tại hai đầu mút:

$f\left( { - 4} \right) = - 2 \cdot {\left( { - 4} \right)^2} - \left( { - 4} \right) - 5 = - 32 + 4 - 5 = - 33$;

$f\left( { - 1} \right) = - 2 \cdot {\left( { - 1} \right)^2} - \left( { - 1} \right) - 5 = - 2 + 1 - 5 = - 6$.

Do đó, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $\left[ { - 4; - 1} \right]$ là $\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 4; - 1} \right]} f\left( x \right) = f\left( { - 4} \right) = - 33$.

Chọn B.

Tổng số học sinh là: $N = 4 + 12 + 31 + 113 + 75 + 2 + 5 = 242$.

Điểm trung bình cộng là: $\bar x = \frac{{4 \cdot 4 + 5 \cdot 12 + 6 \cdot 31 + 7 \cdot 113 + 8 \cdot 75 + 9 \cdot 2 + 10 \cdot 5}}{{242}}$$= \frac{{1721}}{{242}} \approx 7{,}11157$.

Làm tròn đến hàng phần mười ta được $\bar x \approx 7{,}1$.

Chọn D.

Tập hợp $A = \left\{ {x \in \mathbb{R}\mid - 6 \le x < - 3} \right\}$.

Tập hợp $B = \left\{ {x \in \mathbb{R}\mid - 2 < x \le 0} \right\}$.

Vì $- 3 < - 2$ nên hai khoảng $\left[ { - 6; - 3} \right)$ và $\left( { - 2;0} \right]$ không có phần tử chung.

Vậy $A \cap B = \emptyset$.

Chọn B.

Độ chính xác $d = 40000$ có chữ số hàng cao nhất là hàng chục nghìn.

Do đó, ta quy tròn số $a = 136738$ đến hàng trăm nghìn.

Chữ số ở hàng chục nghìn của $a$ là $3 < 5$, nên số quy tròn của $a$ là $100000$.

Chọn B.

Độ dài của vectơ $\overrightarrow {NP}$ chính là độ dài đoạn thẳng $NP$.

Vì $MNPQ$ là hình vuông cạnh $8a$ nên $NP = 8a$.

Do đó, $\left| {\overrightarrow {NP} } \right| = NP = 8a$.

Chọn A.

Số đo góc $\hat C$ là: $\hat C = 180^\circ - \left( {\hat A + \hat B} \right) = 180^\circ - \left( {44^\circ + 46^\circ } \right) = 90^\circ$.

Tam giác $ABC$ vuông tại $C$.

Cạnh $a = BC = 6$, $\hat A = 44^\circ$.

Độ dài cạnh $c = AB$ (cạnh huyền) được tính bằng: $c = \frac{a}{{\sin A}} = \frac{6}{{\sin 44^\circ }} = 8{,}637...$

Làm tròn đến hàng phần mười ta được $c \approx 8{,}6$.

Chọn D.

- Hàm số $y = \sqrt {x + 4}$ xác định khi $x + 4 \ge 0 \Rightarrow x \ge - 4$, tập xác định $D = \left[ { - 4; + \infty } \right)$.
- Hàm số $y = \frac{1}{{\sqrt { - 3x - 4} }}$ xác định khi $- 3x - 4 > 0 \Rightarrow x < - \frac{4}{3}$, tập xác định $D = \left( { - \infty ; - \frac{4}{3}} \right)$.
- Hàm số đa thức $y = {x^4} - 4{x^3} - 3$ xác định với mọi $x \in \mathbb{R}$, tập xác định $D = \mathbb{R}$.
- Hàm số $y = \frac{{ - 3x - 1}}{{3 - 4x}}$ xác định khi $3 - 4x \ne 0 \Rightarrow x \ne \frac{3}{4}$, tập xác định $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{3}{4}} \right\}$.

Chọn C.

Tích vô hướng của hai vectơ $\vec a$ và $\vec v$ là:

$\vec a \cdot \vec v = \left| {\vec a\left| \cdot \right|\vec v} \right| \cdot \cos \left( {\vec a,\vec v} \right)$$= 5 \cdot 10 \cdot \cos 120^\circ = 50 \cdot \left( { - \frac{1}{2}} \right) = - 25$.

Chọn B.

Ta có $\sin 60^\circ = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$.

Chọn C.

Vì $x = 5 \ge - 4$ nên ta áp dụng công thức $f\left( x \right) = - 4{x^2} - 2x - 7$.

Ta có $f\left( 5 \right) = - 4 \cdot {5^2} - 2 \cdot 5 - 7 = - 4 \cdot 25 - 10 - 7 = - 100 - 10 - 7 = - 117$.

Chọn B.

Phủ định của ký hiệu $\forall$ là $\exists$, và phủ định của bất đẳng thức $<$ là $\ge$.

Do đó, mệnh đề phủ định của "$\forall x \in \mathbb{N}: - 10{x^2} + 7x < 7x - 5$" là: "$\exists x \in \mathbb{N}: - 10{x^2} + 7x \ge 7x - 5$".

Chọn A.

Tọa độ đỉnh $I\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ của hàm số bậc hai $y = a{x^2} + bx + c$ với $a = - 4$, $b = - 4$, $c = 2$:

${x_0} = - \frac{b}{{2a}} = - \frac{{ - 4}}{{2 \cdot \left( { - 4} \right)}} = - \frac{1}{2}$

${y_0} = - 4 \cdot {\left( { - \frac{1}{2}} \right)^2} - 4 \cdot \left( { - \frac{1}{2}} \right) + 2 = - 4 \cdot \frac{1}{4} + 2 + 2 = - 1 + 4 = 3$.

Vậy đỉnh $I$ có tọa độ là $I\left( { - \frac{1}{2};3} \right)$.

Chọn D.

a) Sai. Từ bảng biến thiên, đỉnh của parabol có hoành độ ${x_0} = - 1$ và tung độ ${y_0} = - 7$.

b) Đúng. Hàm số nghịch biến trên $\left( { - \infty ; - 1} \right)$ và đồng biến trên khoảng $\left( { - 1; + \infty } \right)$.

Vì $\left( {2; + \infty } \right) \subset \left( { - 1; + \infty } \right)$ nên hàm số đồng biến trên khoảng $\left( {2; + \infty } \right)$.

c) Đúng. Trục đối xứng của parabol $y = a{x^2} + bx + c$ luôn là đường thẳng đi qua đỉnh $x = {x_0} = - 1$.

d) Sai. Do bề lõm hướng lên trên nên hệ số $a > 0$.

Kết luận:

a) Sai b) Đúng c) Đúng d) Sai

Ký hiệu $c = AB = 8$, $b = AC = 9$, $a = BC = 10$.

a) Đúng. Nửa chu vi $p = \frac{{a + b + c}}{2} = \frac{{10 + 9 + 8}}{2} = \frac{{27}}{2} = 13{,}5{\rm{\;cm}}$.

b) Đúng. Theo định lý côsin trong tam giác $ABC$, ta có $\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}} = \frac{{{9^2} + {8^2} - {{10}^2}}}{{2 \cdot 9 \cdot 8}} = \frac{5}{{16}}$.

Suy ra $\hat A \approx 71{,}79^\circ \approx 72^\circ$.

c) Sai. Tính diện tích $S$ bằng công thức Heron:

$S = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} = \sqrt {13{,}5 \cdot \left( {13{,}5 - 10} \right) \cdot \left( {13{,}5 - 9} \right) \cdot \left( {13{,}5 - 8} \right)}$$\approx 34{,}197{\rm{\;c}}{{\rm{m}}^2} \approx 34{,}40{\rm{\;c}}{{\rm{m}}^2}$.

Kết quả: $34{,}20{\rm{\;c}}{{\rm{m}}^2} \ne 35{,}08{\rm{\;c}}{{\rm{m}}^2}$.

d) Sai. Bán kính đường tròn ngoại tiếp $R = \frac{{a \cdot b \cdot c}}{{4S}} \approx 5{,}26{\rm{\;cm}}$.

Do $5{,}26{\rm{\;cm}} \ne 6{,}13{\rm{\;cm}}$ nên ý d) sai.

Kết luận:

a) Đúng b) Đúng c) Sai d) Sai

a) Sai. Theo quy tắc hình bình hành: $\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AC}$.

Do đó $\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {BD}$ là Sai.

b) Đúng. Ta có $\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IC} = \vec 0$ vì $I$ là trung điểm của $AC$.

Do đó: $\overrightarrow {IA} - \overrightarrow {DI} + \overrightarrow {IC} = \left( {\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IC} } \right) - \overrightarrow {DI} = \vec 0 - \overrightarrow {DI} = \overrightarrow {ID}$.

c) Đúng. Vì $Q$ là trung điểm $AB$ và $P$ là trung điểm $CD$, ta có $\overrightarrow {AQ} = \overrightarrow {PC} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB}$.

Ta có: $\overrightarrow {QC} - \overrightarrow {CP} = \overrightarrow {QC} + \overrightarrow {PC} = \overrightarrow {QC} + \overrightarrow {AQ} = \overrightarrow {AQ} + \overrightarrow {QC} = \overrightarrow {AC}$.

Mặt khác $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC}$.

Do đó $\overrightarrow {QC} - \overrightarrow {CP} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD}$.

d) Đúng. Độ dài $\left| {\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AB} \left| = \right|\overrightarrow {AC} } \right| = AC$.

Áp dụng định lý côsin trong tam giác $ADC$:

Ta có $AB = DC = 34$, $\widehat {ADC} = 180^\circ - \widehat {DAB} = 120^\circ$.

$A{C^2} = A{D^2} + D{C^2} - 2 \cdot AD \cdot DC \cdot \cos \widehat {ADC}$$= {17^2} + {34^2} - 2 \cdot 17 \cdot 34 \cdot \cos 120^\circ$$= 2023$.

Suy ra $AC = \sqrt {2023} = \sqrt {289 \cdot 7} = 17\sqrt 7$.

Kết luận:

a) Sai b) Đúng c) Đúng d) Đúng

Gọi $x \ge 0,y \ge 0$ lần lượt là số áo sơ mi nam và quần tây nữ cần sản xuất ($x,y \in \mathbb{N}$).

a) Đúng. Thời gian sử dụng máy cắt CNC: $3x + y \le 9 \Rightarrow 3x + y - 9 \le 0$.

b) Đúng. Thời gian sử dụng máy may công nghiệp: $2x + y \le 8 \Rightarrow 2x + y - 8 \le 0$.

c) Sai. Cặp $\left( {x;y} \right) = \left( {1;10} \right)$ có $3 \cdot 1 + 10 = 13 > 9$, không thỏa mãn hệ bất phương trình miền nghiệm.

d) Sai. Hàm lợi nhuận: $F\left( {x;y} \right) = 97x + 107y$ (đơn vị: ngàn đồng).

Hệ bất phương trình $\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x \ge 0}\\{y \ge 0}\\{3x + y \le 9}\\{2x + y \le 8}\end{array}} \right.$.

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền tứ giác $OABC$ với $O\left( {0;0} \right),A\left( {3;0} \right),B\left( {1;6} \right),C\left( {0;8} \right)$.

Ta có $F\left( {0;0} \right) = 0$; $F\left( {3;0} \right) = 97 \cdot 3 = 291$; $F\left( {1;6} \right) = 97 \cdot 1 + 107 \cdot 6 = 739$; $F\left( {0;8} \right) = 107 \cdot 8 = 856$.

Lợi nhuận lớn nhất đạt được là $856$ ngàn đồng (tại $x = 0,y = 8$).

Kết luận:

a) Đúng b) Đúng c) Sai d) Sai

Mẫu số liệu gồm $n = 12$ giá trị đã được sắp xếp theo thứ tự không giảm:

${x_1} = 38,{x_2} = 39,{x_3} = 39,{x_4} = 40,{x_5} = 40,{x_6} = 41,{x_7} = 42,{x_8} = 42,{x_9} = 42,{x_{10}} = 43,{x_{11}} = 43,{x_{12}} = 44.$

Trung vị ${Q_2}$ là trung bình cộng của 2 giá trị chính giữa (${x_6}$ và ${x_7}$): ${Q_2} = \frac{{{x_6} + {x_7}}}{2} = \frac{{41 + 42}}{2} = 41{,}5$.

Nửa số liệu dưới gồm 6 giá trị: $38{,}39{,}39{,}40{,}40{,}41$.

Tứ phân vị thứ nhất ${Q_1}$ là trung vị của nửa dưới: ${Q_1} = \frac{{39 + 40}}{2} = 39{,}5$.

Nửa số liệu trên gồm 6 giá trị: $42{,}42{,}42{,}43{,}43{,}44$.

Tứ phân vị thứ ba ${Q_3}$ là trung vị của nửa trên: ${Q_3} = \frac{{42 + 43}}{2} = 42{,}5$.

Khoảng tứ phân vị ${{\rm{\Delta }}_Q}$: ${{\rm{\Delta }}_Q} = {Q_3} - {Q_1} = 42{,}5 - 39{,}5 = 3$.

Đáp số: $3$.

Gọi $A$ là tập hợp các học sinh tham gia câu lạc bộ thể thao $\Rightarrow n\left( A \right) = 29$.

Gọi $B$ là tập hợp các học sinh tham gia câu lạc bộ âm nhạc $\Rightarrow n\left( B \right) = 9$.

Số học sinh tham gia cả hai câu lạc bộ là $n\left( {A \cap B} \right) = 6$.

Số học sinh tham gia câu lạc bộ thể thao mà không tham gia câu lạc bộ âm nhạc chính là số phần tử thuộc tập $A\backslash B$. Ta có $n\left( {A\backslash B} \right) = n\left( A \right) - n\left( {A \cap B} \right) = 29 - 6 = 23$.

Đáp số: $23$.

Số tiền đã chi tiêu tính đến thời điểm hiện tại: (nghìn đồng).

Số tiền còn lại trong hạn mức chi tiêu: ${T_{{\rm{c\`o n\;}}}} = 210 - 94{,}8 = 115{,}2$ (nghìn đồng).

Gọi $y$ là số phút gọi ngoại mạng tối đa có thể gọi thêm ($y \ge 0$).

Vì không gọi nội mạng thêm nữa, cước phí phát sinh chỉ từ gọi ngoại mạng:

$2{,}4 \cdot y \le 115{,}2 \Rightarrow y \le \frac{{115{,}2}}{{2{,}4}} = 48$.

Do đó, người đó có thể gọi ngoại mạng tối đa thêm 48 phút.

Đáp số: $48$.

Gọi $r = 13$ là bán kính của mỗi đường tròn nhỏ.

Dựa vào lưới sắp xếp của các đường tròn tiếp xúc nhau:

- Điểm $B$ và $C$ nằm trên cùng một hàng ngang. Đoạn $BC$ nối từ tâm $B$ đến tâm $C$ đi qua 3 khoảng cách giữa các tâm tiếp xúc, tương ứng với $3 \times 2r = 6r = 6 \cdot 13 = 78$.
- Khoảng cách theo phương ngang giữa $B$ và $A$ là $1 \times 2r = 2r = 26$.
- Khoảng cách theo phương đứng (chiều cao) giữa $A$ và đường thẳng $BC$ là $2 \times 2r = 4r = 52$.

Xét hệ tọa độ vuông góc với $B\left( {0;0} \right)$:

- Tọa độ $B = \left( {0;0} \right)$.
- Tọa độ $C = \left( {78;0} \right) \Rightarrow BC = 78$.
- Tọa độ $A = \left( {26;52} \right)$.

Độ dài các cạnh của tam giác $ABC$:

$a = BC = 78$; $c = AB = \sqrt {{{26}^2} + {{52}^2}} = 26\sqrt 5$; $b = AC = \sqrt {{{\left( {78 - 26} \right)}^2} + {{52}^2}} = 52\sqrt 2$.

Diện tích tam giác $ABC$: $S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot {h_A} = \frac{1}{2} \cdot 78 \cdot 52 = 2028$.

Bán kính $R$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ là

$R = \frac{{a \cdot b \cdot c}}{{4S}} = \frac{{78 \cdot 52\sqrt 2 \cdot 26\sqrt 5 }}{{4 \cdot 2028}}$$= 13\sqrt {10} = 41{,}1096...$.

Làm tròn đến hàng phần mười: $R \approx 41{,}1$.

Đáp số: $41{,}1$.

Gọi $x$ là số lần tăng giá $4$ nghìn đồng/kg ($x \ge 0$).

- Giá bán cá cho thương lái là: $p = 50 + 4x$ (nghìn đồng/kg).
- Số cá thừa không bán được cho thương lái là: $20x{\rm{\;(kg)}}$
- Số cá bán được cho thương lái với giá $p$ là: $2000 - 20x{\rm{\;(kg)}}$.
- Số cá thừa được bán làm thức ăn động vật với giá $12$ nghìn đồng/kg là: $20x{\rm{\;(kg)}}$.

Tổng doanh thu thu được mỗi ngày là $T\left( x \right)$:

$T\left( x \right) = \left( {2000 - 20x} \right)\left( {50 + 4x} \right) + 20x \cdot 12$$= - 80{x^2} + 7240x + 100000$ (nghìn đồng).

Đây là một hàm số bậc hai dạng $y = a{x^2} + bx + c$ với $a = - 80 < 0$, do đó hàm số đạt giá trị lớn nhất tại đỉnh:

${x_0} = - \frac{b}{{2a}} = - \frac{{7240}}{{2 \cdot \left( { - 80} \right)}} = \frac{{7240}}{{160}} = 45{,}25$.

Giá bán cá tương ứng cho thương lái để đạt doanh thu lớn nhất là:

$p = 50 + 4 \cdot \left( {45{,}25} \right) = 50 + 181 = 231$ (nghìn đồng/kg).

Đáp số: $231$.

Độ lớn của trọng lực tác dụng lên bóng đèn: $P = m \cdot g = 0{,}4 \cdot 10 = 4{\rm{\;N}}$.

Gọi ${\vec T_1}$ và ${\vec T_2}$ là lực căng của hai sợi dây.

Do tính đối xứng của hai sợi dây có cùng chiều dài, độ lớn của hai lực căng dây bằng nhau: ${T_1} = {T_2} = T$.

Khi bóng đèn cân bằng, hợp lực của hai lực căng dây phải cân bằng với trọng lực $\vec P$:

${\vec T_1} + {\vec T_2} + \vec P = \vec 0 \Rightarrow {\vec T_1} + {\vec T_2} = - \vec P$.

Độ lớn của hợp lực của hai lực căng dây là: $\left| {{{\vec T}_1} + {{\vec T}_2}} \right| = P = 4{\rm{\;N}}$.

Góc giữa hai sợi dây là $\alpha = 46^\circ$.

Ta có ${\left| {{{\vec T}_1} + {{\vec T}_2}} \right|^2} = {\left( {{{\vec T}_1} + {{\vec T}_2}} \right)^2} = {\vec T_1}^2 + {\vec T_2}^2 + 2{\vec T_1} \cdot {\vec T_2} = 2{T^2} + 2{T^2}\cos \alpha = 2{T^2} + 2{T^2}\cos 46^\circ = {4^2}$.

Suy ra $T = \sqrt {\frac{8}{{1 + \cos 46^\circ }}} \approx 2{,}17\,\,{\rm{(N)}}$.

Vậy độ lớn lực căng $T$ của mỗi sợi dây là $T \approx 2{,}17{\rm{\;N}}$.

Đáp số: $2{,}17$.