Đề thi cuối kì 1 Toán 10 năm 2025-2026 THPT Lương Thế Vinh (TP.HCM) có đáp án

Phủ định của mệnh đề chứa ký hiệu $\forall$ là ký hiệu $\exists$, và phủ định của bất đẳng thức ${x^2} > 2$ là ${x^2} \le 2$.

Do đó, phủ định của mệnh đề là .

$\Rightarrow$ Chọn đáp án A.

Ta có $P = \left[ { - 2;5} \right)$ và $Q = \left( { - 1; + \infty } \right)$.

Giao của hai tập hợp $P$ và $Q$ là tập hợp các phần tử thuộc cả $P$ và $Q$:

$P \cap Q = \left[ { - 2;5} \right) \cap \left( { - 1; + \infty } \right) = \left( { - 1;5} \right)$.

$\Rightarrow$ Chọn đáp án A.

Bất phương trình bậc nhất hai ẩn $x,y$ có dạng tổng quát là $ax + by + c < 0$ (hoặc $> 0, \le 0, \ge 0$), trong đó $a,b$ không đồng thời bằng $0$.

Các phương án A, C, D đều chứa ẩn ở bậc 2 (${y^2}$ hoặc ${x^2}$).

Phương án B: $x - 2y > 0$ có dạng bậc nhất đối với cả $x$ và $y$.

$\Rightarrow$ Chọn đáp án B.

Đường thẳng ${d_1}:x - 2y = 0$ đi qua điểm $\left( {0;0} \right)$ và $\left( {2;1} \right)$. Điểm $\left( {0;1} \right)$ có $0 - 2 \cdot 1 = - 2 \le 0$. Miền nghiệm chứa điểm $\left( {0;1} \right)$ thuộc nửa mặt phẳng phía trên đường thẳng ${d_1}$, ứng với $x - 2y \le 0$.

Đường thẳng ${d_2}:x + 3y + 2 = 0 \Leftrightarrow x + 3y = - 2$. Xét gốc tọa độ $O\left( {0;0} \right)$: $0 + 3 \cdot 0 = 0 \ge - 2$. Miền trắng chứa gốc tọa độ $O\left( {0;0} \right)$ thuộc nửa mặt phẳng $x + 3y \ge - 2$.

Do miền nghiệm tính cả đường bờ nên dấu bất phương trình có chứa dấu bằng $\le$ và $\ge$.

Vậy hệ bất phương trình thỏa mãn là: $\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x - 2y \le 0}\\{x + 3y \ge - 2}\end{array}} \right.$.

$\Rightarrow$ Chọn đáp án C.

Hàm số $y = \sqrt {2 - x}$ xác định khi và chỉ khi: $2 - x \ge 0 \Rightarrow x \le 2$.

Vậy tập xác định của hàm số là $D = \left( { - \infty ;2} \right]$.

$\Rightarrow$ Chọn đáp án C.

Parabol $\left( P \right):y = 3{x^2} - 2x + 1$ với $a = 3,b = - 2,c = 1$ có hoành độ đỉnh: ${x_S} = - \frac{b}{{2a}} = - \frac{{ - 2}}{{2 \cdot 3}} = \frac{1}{3}$.

Tung độ đỉnh: ${y_S} = 3 \cdot {\left( {\frac{1}{3}} \right)^2} - 2 \cdot \left( {\frac{1}{3}} \right) + 1 = 3 \cdot \frac{1}{9} - \frac{2}{3} + 1 = \frac{1}{3} - \frac{2}{3} + 1 = \frac{2}{3}$.

Do đó, tọa độ đỉnh là $S\left( {\frac{1}{3};\frac{2}{3}} \right)$.

$\Rightarrow$ Chọn đáp án C.

Hàm số bậc hai $y = - {x^2} + 4x - 3$ có hệ số $a = - 1 < 0$, nên hàm số đạt giá trị lớn nhất tại đỉnh của parabol.

Hoành độ đỉnh: $x = - \frac{b}{{2a}} = - \frac{4}{{2 \cdot \left( { - 1} \right)}} = 2$.

Giá trị lớn nhất của hàm số là: ${y_{{\rm{max}}}} = - {2^2} + 4 \cdot 2 - 3 = - 4 + 8 - 3 = 1$

$\Rightarrow$ Chọn đáp án A.

Theo công thức lượng giác của hai góc phụ nhau: $\cos \left( {90^\circ - \alpha } \right) = \sin \alpha \quad {\rm{v\`a }}\quad \sin \left( {90^\circ - \alpha } \right) = \cos \alpha$.

$\Rightarrow$ Chọn đáp án D.

Áp dụng định lý sin trong tam giác $ABC$: $\frac{{BC}}{{\sin A}} = 2R \Rightarrow R = \frac{{BC}}{{2\sin A}} = \frac{{10}}{{2 \cdot \sin 30^\circ }} = 10$.

$\Rightarrow$ Chọn đáp án A.

Trong hình vuông $ABCD$, hai đoạn thẳng $AB$ và $DC$ song song, bằng nhau và vectơ $\overrightarrow {AB}$ cùng hướng với vectơ $\overrightarrow {DC}$. Do đó: $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC}$.

$\Rightarrow$ Chọn đáp án A.

Dựa vào hình vẽ ta thấy số cặp vectơ cùng hướng là $2$, đó là $\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow f } \right)$ và $\left( {\overrightarrow c ,\overrightarrow d } \right)$.

$\Rightarrow$ Chọn đáp án B.

Theo quy tắc hình bình hành, với hình bình hành $ABCD$ ta luôn có: $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC}$.

$\Rightarrow$ Chọn đáp án C.

Theo tính chất trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$, ta có đẳng thức vectơ cơ bản: $\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \vec 0$.

$\Rightarrow$ Chọn đáp án A.

Tích vô hướng của hai vectơ $\vec a$ và $\vec b$ được định nghĩa bằng tích độ dài của chúng nhân với cosin của góc giữa hai vectơ đó: $\vec a \cdot \vec b = \left| {\vec a\left| \cdot \right|\vec b} \right| \cdot \cos \left( {\vec a,\vec b} \right)$.

$\Rightarrow$ Chọn đáp án A.

Áp dụng công thức tính tích vô hướng của hai vectơ:

$\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = AB \cdot AC \cdot \cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = AB \cdot AC \cdot \cos \widehat {BAC}$$= 10 \cdot 12 \cdot \cos 120^\circ = - 60$.

$\Rightarrow$ Chọn đáp án C.

a) ĐÚNG. Với $x \ge 2$, hàm số $f\left( x \right) = - 2x + 1$ xác định trên $\left[ {2; + \infty } \right)$.

Với $x < 2$, hàm số $f\left( x \right) = \frac{1}{{x - 2}}$ xác định với mọi $x < 2$ (vì mẫu $x - 2 \ne 0$ khi $x < 2$).

Do đó tập xác định $D = \left[ {2; + \infty } \right) \cup \left( { - \infty ;2} \right) = \mathbb{R}$.

b) ĐÚNG. Vì $x = 2 \ge 2$, ta tính $f\left( 2 \right)$ theo nhánh trên: $f\left( 2 \right) = - 2 \cdot 2 + 1 = - 3$.

c) SAI. Vì $x = 0 < 2$, ta tính $f\left( 0 \right)$ theo nhánh dưới: $f\left( 0 \right) = \frac{1}{{0 - 2}} = - \frac{1}{2} \ne 1$.

d) ĐÚNG. Trên khoảng $\left( {2; + \infty } \right)$, hàm số có dạng $y = - 2x + 1$. Đây là hàm số bậc nhất với hệ số $a = - 2 < 0$ nên nghịch biến trên $\left( {2; + \infty } \right)$.

a) ĐÚNG. Tọa độ đỉnh $S\left( {{x_S};{y_S}} \right)$ của $\left( P \right)$:

${x_S} = - \frac{b}{{2a}} = - \frac{1}{{2 \cdot \left( { - 2} \right)}} = \frac{1}{4}$; ${y_S} = - 2 \cdot {\left( {\frac{1}{4}} \right)^2} + \frac{1}{4} - 1 = - 2 \cdot \frac{1}{{16}} + \frac{1}{4} - 1 = - \frac{1}{8} + \frac{2}{8} - \frac{8}{8} = - \frac{7}{8}$.

Tọa độ đỉnh $S\left( {\frac{1}{4}; - \frac{7}{8}} \right)$.

b) SAI. Trục đối xứng có phương trình $x = {x_S} = \frac{1}{4}$. Do đó khẳng định $x = \frac{1}{2}$ là Sai.

c) ĐÚNG. Hệ số $a = - 2 < 0$, hàm số đạt giá trị lớn nhất tại tung độ đỉnh ${y_S} = - \frac{7}{8}$.

d) SAI. Giả sử $\left( {P'} \right):y = a{x^2} + bx + c$ có đỉnh $S\left( {\frac{1}{4}; - \frac{7}{8}} \right)$ và đi qua $A\left( {1;2} \right)$.

Phương trình dạng đỉnh: $y = a{\left( {x - \frac{1}{4}} \right)^2} - \frac{7}{8}$.

Do $A\left( {1;2} \right) \in \left( {P'} \right)$ nên $2 = a{\left( {1 - \frac{1}{4}} \right)^2} - \frac{7}{8} \Rightarrow a = \frac{{46}}{9}$.

Dạng tổng quát của $\left( {P'} \right)$: $y = \frac{{46}}{9}\left( {{x^2} - \frac{1}{2}x + \frac{1}{{16}}} \right) - \frac{7}{8} = \frac{{46}}{9}{x^2} - \frac{{23}}{9}x - \frac{{41}}{{72}}$.

Ngoài ra ta nhận thấy phương trình $y = - 2{x^2} + x + 3$ không nhận $S\left( {\frac{1}{4}; - \frac{7}{8}} \right)$ làm đỉnh nên kết luận ngay ý d) là sai.

a) SAI. $\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = AB \cdot AC \cdot \cos {45^ \circ } = 4\sqrt 2 \cdot 6 \cdot \frac{{\sqrt 2 }}{2} = 24 \ne 20$.

b) ĐÚNG. Vì $D$ là trung điểm $BC$, theo công thức trung điểm ta có: $\overrightarrow {AD} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right) = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC}$.

c) SAI. Chèn điểm $A$ vào $\overrightarrow {BE}$: $\overrightarrow {BE} = \overrightarrow {AE} - \overrightarrow {AB} = \frac{5}{6}\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} = - \overrightarrow {AB} + \frac{5}{6}\overrightarrow {AC}$.

Đề bài ghi $\overrightarrow {BE} = \overrightarrow {AB} + \frac{5}{6}\overrightarrow {AC}$ (thiếu dấu trừ ở $\overrightarrow {AB}$) nên khẳng định này Sai.

d) SAI. Tính tích vô hướng $\overrightarrow {AD} \cdot \overrightarrow {BE}$:

$\overrightarrow {AD} \cdot \overrightarrow {BE} = \left( {\frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} } \right) \cdot \left( { - \overrightarrow {AB} + \frac{5}{6}\overrightarrow {AC} } \right)$$= - \frac{1}{2}A{B^2} + \frac{5}{{12}}\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} + \frac{5}{{12}}A{C^2}$

$= - \frac{1}{2}A{B^2} - \frac{1}{{12}}\left( {\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} } \right) + \frac{5}{{12}}A{C^2}$.

Thay $AB = 4\sqrt 2 \Rightarrow A{B^2} = 32$, $AC = 6 \Rightarrow A{C^2} = 36$, và $\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = 24$ ta được:

$\overrightarrow {AD} \cdot \overrightarrow {BE} = - \frac{1}{2} \cdot 32 - \frac{1}{{12}} \cdot 24 + \frac{5}{{12}} \cdot 36 = - 16 - 2 + 15 = - 3 \ne 0$.

Do $\overrightarrow {AD} \cdot \overrightarrow {BE} \ne 0$ nên $AD$ không vuông góc với $BE$.

Tập xác định: $D = \mathbb{R}$.

Tọa độ đỉnh: ${x_S} = - \frac{b}{{2a}} = - \frac{2}{{2 \cdot 1}} = - 1;{y_S} = {\left( { - 1} \right)^2} + 2 \cdot \left( { - 1} \right) - 3 = - 4 \Rightarrow S\left( { - 1; - 4} \right)$.

Trục đối xứng: Đường thẳng $x = - 1$.

Bề lõm: Hệ số $a = 1 > 0$ nên bề lõm quay lên trên.

Bảng giá trị:

Đồ thị:

Parabol cắt trục tung tại $\left( {0; - 3} \right)$.

Parabol cắt trục hoành tại hai điểm $\left( { - 3;0} \right)$ và $\left( {1;0} \right)$.

Đồ thị nhận đường thẳng $x = - 1$ làm trục đối xứng và đi qua các điểm $\left( { - 2; - 3} \right),\left( { - 1; - 4} \right)$.

Gắn hệ trục tọa độ $Oxy$ sao cho:

Gốc tọa độ $O\left( {0;0} \right)$ nằm trên mặt đất tại vị trí chính giữa của cổng.

Trục tung $Oy$ đi qua đỉnh $G$ của cổng Parabol $\Rightarrow G\left( {0;3} \right)$.

Trục hoành $Ox$ trùng với mặt đất $AB$.

Phương trình cổng Parabol $\left( P \right)$ có dạng: $y = a{x^2} + bx + c\quad \left( {a < 0} \right)$.

Do Parabol nhận trục $Oy$ làm trục đối xứng nên ${x_S} = - \frac{b}{{2a}} = 0 \Rightarrow b = 0$.

Đỉnh $G\left( {0;3} \right) \in \left( P \right) \Rightarrow c = 3$.

Do đó phương trình Parabol có dạng: $y = a{x^2} + 3$.

Vì mép cửa hình chữ nhật rộng $3{\rm{\;m}}$, cao $2{\rm{\;m}}$ và nằm cân đối hai bên trục $Oy$, nên mép trên góc phải của cửa có tọa độ là: $E\left( {\frac{3}{2};2} \right)$.

Do điểm $E\left( {\frac{3}{2};2} \right) \in \left( P \right)$ nên ta có: $2 = a{\left( {\frac{3}{2}} \right)^2} + 3 \Rightarrow a = - \frac{4}{9}$.

Vậy phương trình của Parabol là: $\left( P \right):y = - \frac{4}{9}{x^2} + 3$.

Tọa độ hai chân cổng $A$ và $B$ là giao điểm của $\left( P \right)$ với trục hoành $Ox$ ($y = 0$):

$- \frac{4}{9}{x^2} + 3 = 0 \Leftrightarrow \frac{4}{9}{x^2} = 3 \Leftrightarrow {x^2} = \frac{{27}}{4} \Leftrightarrow x = \pm \frac{{3\sqrt 3 }}{2}$.

Do đó hoành độ của $A$ và $B$ lần lượt là ${x_A} = - \frac{{3\sqrt 3 }}{2}$ và ${x_B} = \frac{{3\sqrt 3 }}{2}$.

Khoảng cách giữa hai chân cổng là độ dài đoạn $AB$:

$AB = {x_B} - {x_A} = \frac{{3\sqrt 3 }}{2} - \left( { - \frac{{3\sqrt 3 }}{2}} \right) = 3\sqrt 3 \approx 5{,}196{\rm{\;m}}$.

Làm tròn đến hàng phần mười, ta được khoảng cách giữa hai chân cổng là $5{,}2{\rm{\;m}}$.

a) Áp dụng quy tắc ba điểm đối với phép cộng vectơ: $\vec a = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {BC}$.

Độ dài của vectơ $\vec a$ là: $\left| {\vec a} \right| = \left| {\overrightarrow {BC} } \right| = BC = 2a$.

b) Từ giả thiết $\overrightarrow {BC} = 5\overrightarrow {BH} \Rightarrow \overrightarrow {BH} = \frac{1}{5}\overrightarrow {BC}$$\Leftrightarrow \overrightarrow {AH} - \overrightarrow {AB} = \frac{1}{5}\left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right)$

$\Leftrightarrow \overrightarrow {AH} = \overrightarrow {AB} + \frac{1}{5}\overrightarrow {AC} - \frac{1}{5}\overrightarrow {AB}$$\Leftrightarrow \overrightarrow {AH} = \frac{4}{5}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{5}\overrightarrow {AC} \quad \left( 1 \right)$.

Vì $K$ là trung điểm của $AC$ nên $\overrightarrow {AK} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AC}$.

Từ giả thiết $\overrightarrow {BK} = 3\overrightarrow {BI} \Rightarrow \overrightarrow {BI} = \frac{1}{3}\overrightarrow {BK}$$\Leftrightarrow \overrightarrow {AI} - \overrightarrow {AB} = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AK} - \overrightarrow {AB} } \right)$

$\Leftrightarrow \overrightarrow {AI} = \overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AK} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB}$$\Leftrightarrow \overrightarrow {AI} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3} \cdot \left( {\frac{1}{2}\overrightarrow {AC} } \right)$$\Leftrightarrow \overrightarrow {AI} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{6}\overrightarrow {AC} \quad \left( 2 \right)$.

Từ $\left( 2 \right)$, ta đặt hệ số $\frac{5}{6}$ ra ngoài: $\overrightarrow {AI} = \frac{5}{6}\left( {\frac{4}{5}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{5}\overrightarrow {AC} } \right)$.

Thay $\left( 1 \right)$ vào biểu thức trên, ta suy ra: $\overrightarrow {AI} = \frac{5}{6}\overrightarrow {AH}$.

Vì $\overrightarrow {AI} = \frac{5}{6}\overrightarrow {AH}$ nên hai vectơ $\overrightarrow {AI}$ và $\overrightarrow {AH}$ cùng phương, lại có chung điểm gốc $A$.

Vậy ba điểm $A,I,H$ thẳng hàng (đpcm).