Đề thi cuối kì 1 Toán 10 năm 2025-2026 THPT Lương Thế Vinh (Hà Nội) có đáp án

Hàm số $y = \frac{{x - 2}}{{{x^2} - 4x + 3}}$ xác định khi và chỉ khi mẫu thức khác $0$: ${x^2} - 4x + 3 \ne 0 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x \ne 1}\\{x \ne 3}\end{array}} \right.$.

Vậy tập xác định của hàm số là $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {1;3} \right\}$.

Đáp án chọn:C.

Theo tính chất trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$, ta luôn có đẳng thức vectơ:

$\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \vec 0$.

Đáp án chọn:D.

Ta có vectơ $\vec u = 2\vec j - 3\vec i = - 3\vec i + 2\vec j$.

Do đó, tọa độ của vectơ $\vec u$ trong hệ trục $Oxy$ là $\vec u = \left( { - 3;2} \right)$.

Đáp án chọn: C.

Xét tam thức bậc hai $f\left( x \right) = - {x^2} + 5x + 14$.

Giải phương trình $f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow - {x^2} + 5x + 14 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x = - 2}\\{x = 7}\end{array}} \right.$.

Vì hệ số $a = - 1 < 0$, tam thức $f\left( x \right) > 0$ khi $x \in \left( { - 2;7} \right)$.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S = \left( { - 2;7} \right)$.

Đáp án chọn: B.

Độ dài đoạn thẳng $OM$ với $M\left( {3; - 4} \right)$ và gốc tọa độ $O\left( {0;0} \right)$ là:

$OM = \sqrt {x_M^2 + y_M^2} = \sqrt {{3^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} = \sqrt {9 + 16} = 5$.

Đáp án chọn: D.

Tâm $O$ của hình bình hành $ABCD$ là trung điểm của đường chéo $BD$.

Tọa độ điểm $O$ được tính theo công thức trung điểm: $\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{{x_O} = \frac{{{x_B} + {x_D}}}{2} = \frac{{1 + \left( { - 3} \right)}}{2} = - 1}\\{{y_O} = \frac{{{y_B} + {y_D}}}{2} = \frac{{3 + 5}}{2} = 4}\end{array}} \right.$.

Vậy tọa độ tâm là $O\left( { - 1;4} \right)$.

Đáp án chọn: B.

Sử dụng máy tính cầm tay, ta có: $\sqrt {14} = 3{,}74165738...$.

Làm tròn đến hàng phần trăm (chữ số thập phân thứ hai), do chữ số ngay sau hàng phần trăm là $1 < 5$ nên giữ nguyên: $\sqrt {14} \approx 3{,}74$.

Đáp án chọn: B.

Hàm số bậc hai $f\left( x \right) = 2{x^2} - 4x + 3$ có các hệ số $a = 2$, $b = - 4$, $c = 3$.

Trục đối xứng của đồ thị hàm số bậc hai là đường thẳng: $x = - \frac{b}{{2a}} = - \frac{{ - 4}}{{2 \cdot 2}} = 1$.

Đáp án chọn: A.

Tọa độ của vectơ $\overrightarrow {AB}$ được tính bằng tọa độ điểm sau trừ tọa độ điểm trước:

$\overrightarrow {AB} = \left( {{x_B} - {x_A};{y_B} - {y_A}} \right) = \left( {2 - \left( { - 1} \right);5 - 3} \right) = \left( {3;2} \right)$.

Đáp án chọn: C.

Tích vô hướng của hai vectơ $\vec u$ và $\vec v$ được tính theo công thức: $\vec u \cdot \vec v = \left| {\vec u\left| \cdot \right|\vec v} \right| \cdot \cos \left( {\vec u,\vec v} \right)$.

Thay số: $\vec u \cdot \vec v = 3 \cdot 4 \cdot \cos 30^\circ = 12 \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2} = 6\sqrt 3$.

Đáp án chọn: D.

Dựa vào bảng xét dấu của tam thức bậc hai $f\left( x \right)$:

$f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = - 1$ hoặc $x = 5$.

$f\left( x \right) > 0$ khi $x \in \left( { - 1;5} \right)$.

$f\left( x \right) < 0$ khi $x \in \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {5; + \infty } \right)$.

Vậy khẳng định đúng là $f\left( x \right) > 0$ khi $x \in \left( { - 1;5} \right)$.

Đáp án chọn: B.

Quan sát đồ thị hàm số trên khoảng $\left( { - 1;1} \right)$, ta thấy từ trái sang phải đồ thị có hướng đi xuống từ điểm $\left( { - 1;4} \right)$ đến điểm $\left( {1;0} \right)$.

Do đó, hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( { - 1;1} \right)$.

Đáp án chọn: B.

a) Đúng. Sau $2$s, quả bóng đạt vị trí cao nhất là $3$m nên đỉnh của Parabol là $I\left( {2;3} \right)$.

b) Sai. Quỹ đạo là Parabol $\left( P \right):h\left( t \right) = a{t^2} + bt + c$ ($a \ne 0$).

Sau $1$s, độ cao là $2$m, tức là $h\left( 1 \right) = 2 \Rightarrow a + b + c = 2$.

Vì đỉnh của Parabol là $I\left( {2;3} \right)$ nên $h\left( 2 \right) = 3 \Rightarrow 4a + 2b + c = 3$ và hoành độ đỉnh

$- \frac{b}{{2a}} = 2 \Rightarrow 4a + b = 0$.

Từ đó, ta có hệ phương trình đúng là: $\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{4a + b = 0}\\{4a + 2b + c = 3}\\{a + b + c = 2}\end{array}} \right.$.

c) Đúng. Giải hệ phương trình trên ta suy ra $a = - 1,b = 4,c = - 1$.

Công thức độ cao: $h\left( t \right) = - {t^2} + 4t - 1$.

Tại $t = 3\left( {\rm{s}} \right)$ ta có $h\left( 3 \right) = - {3^2} + 4 \cdot 3 - 1 = - 9 + 12 - 1 = 2\left( {\rm{m}} \right)$.

d) Đúng. Quả bóng đạt độ cao trên $2\left( {\rm{m}} \right)$ khi và chỉ khi:

$h\left( t \right) > 2 \Leftrightarrow - {t^2} + 4t - 1 > 2 \Leftrightarrow - {t^2} + 4t - 3 > 0 \Leftrightarrow 1 < t < 3$.

Khoảng thời gian này kéo dài $3 - 1 = 2$ giây.

Kết luận: a) Đúng | b) Sai | c) Đúng | d) Đúng

a) Sai. Giá bán điện từ $51$ đến $100$ kWh (Bậc 2) là $1956$ đồng/kWh.

b) Sai. Tiêu thụ ở bậc càng cao thì giá bán điện càng tăng.

c) Đúng. Với mức tiêu thụ $x \in \left[ {51;100} \right]$ kWh:

Tiền điện Bậc 1 ($50$ kWh đầu): $50 \times 1893 = 94650$ (đồng).

Tiền điện Bậc 2 ($\left( {x - 50} \right)$ kWh tiếp theo): $\left( {x - 50} \right) \times 1956 = 1956x - 97800$ (đồng).

Tổng số tiền phải trả: $y = 94650 + 1956x - 97800 = 1956x - 3150$ (đồng).

d) Đúng. Với $x = 80$ kWh (thuộc Bậc 2) thì

$y = 1956 \times 80 - 3150 = 156480 - 3150 = 153330$ (đồng).

Kết luận: a) Sai | b) Sai | c) Đúng | d) Đúng

Số liệu điểm số khảo sát của hai lớp (mỗi lớp có $N = 25$ học sinh):

Lớp A được sắp xếp tăng dần: $2{,}2{,}3{,}3{,}4{,}4{,}5{,}5{,}5{,}5{,}5{,}6{,}6{,}7{,}7{,}7{,}7{,}7{,}7{,}8{,}8{,}8{,}9{,}9{,}9$.

Lớp B được sắp xếp tăng dần: $3{,}3{,}4{,}4{,}5{,}5{,}5{,}5{,}6{,}6{,}6{,}6{,}6{,}7{,}7{,}7{,}7{,}7{,}7{,}7{,}8{,}8{,}9{,}9{,}10$.

a) Sai. Số trung bình: ${\bar x_A} = \frac{{148}}{{25}} = 5{,}92$; ${\bar x_B} = \frac{{157}}{{25}} = 6{,}28$. Vậy ${\bar x_A} = 5{,}92 < {\bar x_B} = 6{,}28$.

b) Sai. Số trung vị (giá trị thứ 13 trong dãy đã sắp xếp): ${M_{eA}} = 6,\quad {M_{eB}} = 6$.

c) Đúng. Phương sai:

$s_A^2 = \frac{1}{{25}}\sum x_{Ai}^2 - {\left( {{{\bar x}_A}} \right)^2} = \frac{{984}}{{25}} - {\left( {5{,}92} \right)^2} = 39{,}36 - 35{,}0464 = 4{,}3136$.

$s_B^2 = \frac{1}{{25}}\sum x_{Bi}^2 - {\left( {{{\bar x}_B}} \right)^2} = \frac{{1063}}{{25}} - {\left( {6{,}28} \right)^2} = 42{,}52 - 39{,}4384 = 3{,}0816$.

d) Đúng. $s_B^2 = 3{,}0816 < s_A^2 = 4{,}3136$ nên điểm số lớp B đồng đều hơn lớp A.

Kết luận: a) Sai | b) Sai | c) Đúng | d) Đúng

a) Sai. Trọng tâm $G$ của ${\rm{\Delta }}ABC$: $\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{1 + 1 + 4}}{3} = 2\\{y_G} = \frac{{3 + 6 + 3}}{3} = 4\end{array} \right. \Rightarrow G\left( {2;4} \right)$.

b) Đúng. Ta có $\overrightarrow {AG} = \left( {2 - 1;4 - 3} \right) = \left( {1;1} \right)$.

Giả sử $D\left( {{x_D};{y_D}} \right)$, khi đó $\overrightarrow {AD} = \left( {{x_D} - 1;{y_D} - 3} \right)$.

Ta có $\overrightarrow {AD} = 3\overrightarrow {AG} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{{x_D} - 1 = 3 \cdot 1}\\{{y_D} - 3 = 3 \cdot 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{{x_D} = 4}\\{{y_D} = 6}\end{array}} \right. \Rightarrow D\left( {4;6} \right)$.

c) Đúng. Xét các vectơ: $\overrightarrow {AB} = \left( {0;3} \right),\quad \overrightarrow {CD} = \left( {0;3} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {CD} \Rightarrow ABDC{\rm{\;l\`a \;h\`i nh\;b\`i nh\;h\`a nh}}{\rm{.}}$

Mặt khác $\overrightarrow {AC} = \left( {3;0} \right)$, ta có: $\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = 0 \cdot 3 + 3 \cdot 0 = 0 \Rightarrow AB \bot AC$;

$AB = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = 3,\quad AC = \left| {\overrightarrow {AC} } \right| = 3 \Rightarrow AB = AC$.

Hình bình hành $ABDC$ có một góc vuông và hai cạnh kề bằng nhau nên $ABDC$ là hình vuông.

d) Sai. Ta có $\overrightarrow {BD} = \left( {4 - 1;6 - 6} \right) = \left( {3;0} \right)$. Như vậy $\overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {BD} = 3 \cdot 3 + 0 \cdot 0 = 9 \ne 0$.

Kết luận: a) Sai | b) Đúng | c) Đúng | d) Sai

Hàm số độ cao của nước có dạng $h\left( t \right) = a{t^2} + bt + c$.

Tại thời điểm ban đầu $t = 0\left( s \right)$, trực thăng ở độ cao $200\left( {\rm{m}} \right)$ so với mặt đất và bắt đầu phun nước (đỉnh đồ thị Parabol nằm trên trục $Oh$ tại $t = 0$), do đó: $c = 200,b = 0 \Rightarrow h\left( t \right) = a{t^2} + 200$.

Tại thời điểm $t = 5\left( {\rm{s}} \right)$, nước ở độ cao $75\left( {\rm{m}} \right)$ nên

$h\left( 5 \right) = a \cdot {5^2} + 200 = 75 \Rightarrow 25a = - 125 \Rightarrow a = - 5$.

Suy ra hàm số độ cao là $h\left( t \right) = - 5{t^2} + 200$.

Nước chạm chân đám cháy dưới mặt đất khi $h\left( t \right) = 0$:

$- 5{t^2} + 200 = 0 \Rightarrow {t^2} = 40 \Rightarrow t = \sqrt {40} = 6{,}3245...\left( {\rm{s}} \right)$.

Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm thu được $t \approx 6{,}32$.

Đáp án điền: 6,32.

Quãng đường bạn Bình đi là $d = 50$ km. Số tiền được tính theo từng định mức như sau:

Mức 1: Giá mở cửa cho $0{,}5$ km đầu tiên: $11$ nghìn đồng.

Mức 2: Quãng đường tiếp theo từ km $0{,}5$ đến km $30$ (dài $30 - 0{,}5 = 29{,}5$ km) có giá $17{,}6$ nghìn đồng/km: $29{,}5 \times 17{,}6 = 519{,}2$ (nghìn đồng).

Mức 3: Quãng đường còn lại từ km thứ $31$ đến km $50$ (dài $50 - 30 = 20$ km) có giá $14{,}5$ nghìn đồng/km: $20 \times 14{,}5 = 290$(nghìn đồng).

Tổng số tiền bạn Bình phải trả là: $T = 11 + 519{,}2 + 290 = 820{,}2$ (nghìn đồng).

Đáp án điền: 820.

Phân tích lực $\vec F = \overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}}$, trong đó $\overrightarrow {{F_2}}$ là thành phần lực theo phương nằm ngang và $\overrightarrow {{F_1}}$ theo phương thẳng đứng.

Độ lớn của thành phần lực $\overrightarrow {{F_2}}$ nằm ngang là: ${F_2} = F \cdot \cos 30^\circ = 50 \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2} = 25\sqrt 3 {\rm{\;(N)}}$.

Theo đề bài, ${F_2}$ có dạng $a\sqrt b$ với $a,b \in \mathbb{N},b \le 3$.

Suy ra $a = 25$ và $b = 3$.

Giá trị của biểu thức $a + b$ là: $a + b = 25 + 3 = 28$.

Đáp án điền: 28.

Gọi chiều rộng ban đầu của vườn rau là $x$ (m, $x > 0$).

Chiều dài ban đầu của vườn rau là $3x$ (m).

Sau khi mở rộng thêm $5$m cho cả hai kích thước:

Chiều rộng mới là $x + 5$ (m).

Chiều dài mới là $3x + 5$ (m).

Diện tích mảnh vườn sau khi mở rộng không vượt quá $153{\rm{\;}}{{\rm{m}}^2}$:

$\left( {x + 5} \right)\left( {3x + 5} \right) \le 153 \Leftrightarrow 3{x^2} + 20x + 25 \le 153 \Leftrightarrow 3{x^2} + 20x - 128 \le 0$.

Giải bất phương trình bậc hai $3{x^2} + 20x - 128 \le 0$:

Tam thức có nghiệm $x = 4$ và $x = - \frac{{32}}{3}$.

Do $x > 0$ nên ta được $0 < x \le 4$.

Chiều dài lớn nhất của vườn rau sau khi mở rộng đạt được khi $x = 4$. Khi đó chiều dài lớn nhất của vườn rau là $3 \cdot 4 + 5 = 17{\rm{\;(m)}}$.

Đáp án điền: 17.

Tổng số ngày khảo sát là $N = 10$.

Nhiệt độ trung bình: $\bar x = \frac{{14 + 16 + 17 + 18 \cdot 2 + 19 + 20 \cdot 2 + 21 + 22}}{{10}} = \frac{{185}}{{10}} = 18{,}5^\circ {\rm{C}}$.

Phương sai ${s^2}$: ${s^2} = \frac{1}{{10}}\left( {{{14}^2} + {{16}^2} + {{17}^2} + {{18}^2} + {{19}^2} + {{20}^2} \cdot 2 + {{21}^2} + {{22}^2}} \right) - {18{,}5^2} = 5{,}25$.

Đáp án điền: 5,25.

Hình thang $ABCD$ có hai đáy $AB{\rm{//}}CD$ và $CD = 2AB$.

Giao điểm $E$ của hai đường chéo $AC$ và $BD$ chia các đường chéo theo tỉ lệ cạnh đáy:

$\frac{{EC}}{{EA}} = \frac{{CD}}{{AB}} = 2 \Rightarrow \overrightarrow {EC} = - 2\overrightarrow {EA} \Rightarrow \overrightarrow {AE} = \frac{1}{2}\overrightarrow {EC}$.

Biết $C\left( {4;7} \right)$ và $E\left( {8;3} \right)$, suy ra $\overrightarrow {EC} = \left( {4 - 8;7 - 3} \right) = \left( { - 4;4} \right)$.

Do đó: $\overrightarrow {AE} = \frac{1}{2}\left( { - 4;4} \right) = \left( { - 2;2} \right)$.

Với điểm $A\left( {a;b} \right)$, ta có $\overrightarrow {AE} = \left( {8 - a;3 - b} \right)$. Khi đó: $\left\{ \begin{array}{l}8 - a = - 2\\3 - b = 2\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 10\\b = 1\end{array} \right.$.

Thỏa mãn $a,b \in \mathbb{N}$.

Tính giá trị biểu thức: $T = {10^2} + {1^2} = 100 + 1 = 101$.

Đáp án điền: 101.