Đề thi cuối kì 1 Toán 10 năm 2025-2026 THPT Chuyên Hà Nội Amsterdam (Hà Nội) có đáp án

Phủ định của mệnh đề chứa dấu đẳng thức $=$ là mệnh đề chứa dấu khác $\ne$.

Mệnh đề phủ định của $P:"1985+40=2025"$ là $\overline{P}:"1985+40\ne 2025"$.

Chọn D.

Tập hiệu $A\backslash B = \left\{ {x \in \mathbb{R}\mid x \in A{\rm{\;v\`a \;}}x \notin B} \right\}$.

Ta có $x \in A \Rightarrow - 3 \le x < 4$ và $x \notin B \Rightarrow x \le - 1$.

Kết hợp hai điều kiện: $- 3 \le x \le - 1 \Rightarrow A\backslash B = \left[ { - 3; - 1} \right]$.

Chọn D.

Thử tọa độ từng điểm vào vế trái $F\left( {x,y} \right) = 19x - 12y$:

Tại $A\left( {2;0} \right)$: $19 \cdot 2 - 12 \cdot 0 = 38 \ge 25$ (thỏa mãn).

Tại $B\left( { - 1; - 4} \right)$: $19 \cdot \left( { - 1} \right) - 12 \cdot \left( { - 4} \right) = - 19 + 48 = 29 \ge 25$ (thỏa mãn).

Tại $C\left( {0; - 2} \right)$: $19 \cdot 0 - 12 \cdot \left( { - 2} \right) = 24 < 25$ (không thỏa mãn).

Tại $D\left( {1; - 1} \right)$: $19 \cdot 1 - 12 \cdot \left( { - 1} \right) = 19 + 12 = 31 \ge 25$ (thỏa mãn).

Vậy điểm $\left( {0; - 2} \right)$ không thuộc miền nghiệm của bất phương trình.

Chọn C.

Với $0^\circ < \alpha < 90^\circ$, áp dụng công thức hai góc phụ nhau ta có $\tan \left( {90^\circ - \alpha } \right) = \cot \alpha$.

Do đó: $\tan \alpha \cdot \tan \left( {90^\circ - \alpha } \right) = \tan \alpha \cdot \cot \alpha = 1$.

Chọn B.

Theo định nghĩa về hướng của vectơ, tập hợp điểm $M$ sao cho $\overrightarrow {AM}$ cùng hướng với $\overrightarrow {AB}$ là tia $AB$.

Chọn B.

Khẳng định A đúng vì vectơ $\vec 0$ cùng phương với mọi vectơ.

Khẳng định B đúng vì hai vectơ cùng ngược hướng với vectơ thứ ba (khác $\vec 0$) thì cùng hướng với nhau.

Khẳng định C sai vì nếu hai vectơ không cùng phương thì chúng không cùng hướng và cũng không ngược hướng.

Khẳng định D đúng theo tính chất bắc cầu của quan hệ cùng phương.

Chọn C.

Từ đẳng thức $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC}$, ta suy ra đoạn thẳng $AB = CD$ và $AB{\rm{//}}CD$, đồng thời hướng từ $A$ đến $B$ cùng hướng từ $D$ đến $C$. Do đó tứ giác $ABCD$ là hình bình hành.

Trong hình bình hành $ABCD$:

$BA = DC$ (đúng vì $AB = CD$).

$\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AD}$ (đúng).

$\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {BD}$ là sai vì hai đường chéo $AC$ và $BD$ cắt nhau, không cùng hướng và không bằng nhau về độ dài trong hình bình hành tổng quát.

Chọn D.

Theo tính chất trung điểm, điểm $I$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB$ khi và chỉ khi $\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} = \vec 0.$

Chọn A.

Tọa độ của vectơ $\vec u - 2\vec v$ là: $\vec u - 2\vec v = \left( {4 - 2\left( { - 1} \right); - 2 - 2\left( 3 \right)} \right) = \left( {4 + 2; - 2 - 6} \right) = \left( {6; - 8} \right)$.

Chọn A.

Số đo $a = 22^\circ {\rm{C}} \pm 1^\circ {\rm{C}}$ có dạng ${a_0} \pm d$, trong đó độ chính xác của phép đo là $d = 1^\circ {\rm{C}}$.

Chọn C.

Mốt, số trung vị và số trung bình là các đại lượng đo xu thế trung tâm.

Khoảng tứ phân vị (cùng với khoảng biến thiên, phương sai, độ lệch chuẩn) là đại lượng đo độ phân tán của mẫu số liệu.

Chọn B.

Mẫu số liệu ban đầu (sắp xếp tăng dần): $15{,}19{,}22{,}24{,}30$ (${N_1} = 5$).

Số trung bình: ${\bar x_1} = \frac{{15 + 19 + 22 + 24 + 30}}{5} = \frac{{110}}{5} = 22$.

Trung vị: ${M_{e1}} = 22$ (số đứng thứ 3).

Mẫu số liệu sau khi bổ sung $20$ và $23$ (sắp xếp tăng dần): $15{,}19{,}20{,}22{,}23{,}24{,}30$ (${N_2} = 7$).

Số trung bình: ${\bar x_2} = \frac{{110 + 20 + 23}}{7} = \frac{{153}}{7} \approx 21{,}86 \ne 22$ (thay đổi).

Trung vị: ${M_{e2}} = 22$ (số đứng thứ 4, không thay đổi).

Chọn D.

a) Sai. Ta có $A \cup B = \left[ { - 5;3} \right)$.

b) Sai. Ta có $A \cap B = \left( { - 3;2} \right]$ (vì $- 3 \notin B$).

c) Đúng. Ta có $A\backslash B = \left[ { - 5;2} \right]\backslash \left( { - 3;3} \right) = \left[ { - 5; - 3} \right]$.

d) Sai. Ta có $A \cup B = \left[ { - 5;3} \right) \Rightarrow {C_\mathbb{R}}\left( {A \cup B} \right) = \mathbb{R}\backslash \left[ { - 5;3} \right) = \left( { - \infty ; - 5} \right) \cup \left[ {3; + \infty } \right)$.

Đáp án: a) Sai | b) Sai | c) Đúng | d) Sai

Đặt $a = BC = 16$, $c = AB = 10$, $\hat B = 60^\circ$.

b) Đúng. Theo định lý côsin trong tam giác $ABC$:

$A{C^2} = {b^2} = {a^2} + {c^2} - 2ac\cos B = {16^2} + {10^2} - 2 \cdot 16 \cdot 10 \cdot \cos 60^\circ = 196$$\Rightarrow AC = \sqrt {196} = 14$.

a) Đúng. Theo định lý côsin:

$\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}} = \frac{{{{14}^2} + {{10}^2} - {{16}^2}}}{{2 \cdot 14 \cdot 10}} = \frac{{196 + 100 - 256}}{{280}} = \frac{{40}}{{280}} = \frac{1}{7}$.

c) Sai. Ta có: $\cos C = \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}} = \frac{{{{16}^2} + {{14}^2} - {{10}^2}}}{{2 \cdot 16 \cdot 14}} = \frac{{256 + 196 - 100}}{{448}} = \frac{{352}}{{448}} = \frac{{11}}{{14}}$.

Thay các giá trị vào biểu thức $T$:

$T = 3\cos 60^\circ - 2 \cdot \frac{1}{7} + \frac{{11}}{{14}} = 3 \cdot \frac{1}{2} - \frac{2}{7} + \frac{{11}}{{14}} = \frac{{21 - 4 + 11}}{{14}} = \frac{{28}}{{14}} = 2$.

d) Đúng. Theo định lý sin, bán kính đường tròn ngoại tiếp $R$ là:

$R = \frac{b}{{2\sin B}} = \frac{{14}}{{2\sin 60^\circ }} = \frac{{14}}{{2 \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2}}} = \frac{{14}}{{\sqrt 3 }} = \frac{{14\sqrt 3 }}{3}$.

Đáp án: a) Đúng | b) Đúng | c) Sai | d) Đúng

a) Sai. Do $I$ nằm trên cạnh $BC$ (nằm giữa $B$ và $C$) nên hai vectơ $\overrightarrow {IB}$ và $\overrightarrow {IC}$ ngược hướng nhau.

b) Đúng. Vì $\overrightarrow {IB}$ và $\overrightarrow {IC}$ ngược hướng và độ dài $IB = 4IC$ nên $\overrightarrow {IB} = - 4\overrightarrow {IC}$.

c) Sai. Ta có $\overrightarrow {AI} - \overrightarrow {CI} = \overrightarrow {AI} + \overrightarrow {IC} = \overrightarrow {AC} \ne \overrightarrow {CA}$.

d) Đúng. Từ $\overrightarrow {IB} = - 4\overrightarrow {IC} \Rightarrow \overrightarrow {IB} + 4\overrightarrow {IC} = \vec 0$. Chèn điểm $A$:

$\left( {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AI} } \right) + 4\left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AI} } \right) = \vec 0 \Rightarrow \overrightarrow {AB} + 4\overrightarrow {AC} - 5\overrightarrow {AI} = \vec 0 \Rightarrow \overrightarrow {AI} = \frac{1}{5}\overrightarrow {AB} + \frac{4}{5}\overrightarrow {AC}$.

Đáp án: a) Sai | b) Đúng | c) Sai | d) Đúng

a) Sai. $\overrightarrow {AB} = \left( {2 - 4; - 3 - 1} \right) = \left( { - 2; - 4} \right) \Rightarrow 3\overrightarrow {AB} = \left( { - 6; - 12} \right) \ne \left( {6;12} \right)$.

b) Đúng. $\overrightarrow {BA} = \left( {2;4} \right)$ và $\overrightarrow {BC} = \left( {8 - 2;9 - \left( { - 3} \right)} \right) = \left( {6;12} \right)$.

Nhận thấy $\overrightarrow {BC} = 3\overrightarrow {BA}$ với $3 > 0$, nên $\overrightarrow {BA}$ cùng hướng với $\overrightarrow {BC}$.

c) Sai. $\overrightarrow {AC} = \left( {8 - 4;9 - 1} \right) = \left( {4;8} \right)$ và $\overrightarrow {CB} = \left( {2 - 8; - 3 - 9} \right) = \left( { - 6; - 12} \right)$.

Tích vô hướng: $\overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {CB} = 4 \cdot \left( { - 6} \right) + 8 \cdot \left( { - 12} \right) = - 24 - 96 = - 120 \ne 120$.

d) Sai. Biến đổi đẳng thức vectơ tìm điểm $D$:

$30\overrightarrow {OD} + 19\left( {\overrightarrow {OB} - \overrightarrow {OD} } \right) - 3\left( {\overrightarrow {OC} - \overrightarrow {OD} } \right) = \vec 0 \Leftrightarrow 14\overrightarrow {OD} = - 19\overrightarrow {OB} + 3\overrightarrow {OC}$.

Tọa độ điểm $D$: $\left\{ \begin{array}{l}{x_D} = \frac{{ - 19 \cdot 2 + 3 \cdot 8}}{{14}} = - 1\\{y_D} = \frac{{ - 19 \cdot \left( { - 3} \right) + 3 \cdot 9}}{{14}} = 6\end{array} \right. \Rightarrow D\left( { - 1;6} \right)$.

Xét hai vectơ $\overrightarrow {AB} = \left( { - 2; - 4} \right)$ và $\overrightarrow {BD} = \left( { - 1 - 2;6 - \left( { - 3} \right)} \right) = \left( { - 3;9} \right)$:

$\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BD} } \right) = \frac{{\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {BD} }}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {BD} } \right|}} = \frac{{\left( { - 2} \right) \cdot \left( { - 3} \right) + \left( { - 4} \right) \cdot 9}}{{\sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} \cdot \sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2} + {9^2}} }} = \frac{{ - 30}}{{\sqrt {20} \cdot \sqrt {90} }} = \frac{{ - 30}}{{30\sqrt 2 }} = - \frac{1}{{\sqrt 2 }}$.

$\Rightarrow \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BD} } \right) = 135^\circ \ne 45^\circ$.

Đáp án: a) Sai | b) Đúng | c) Sai | d) Sai

Gọi $A$ là tập hợp các học sinh giỏi Toán, $B$ là tập hợp các học sinh giỏi Văn của lớp 10A.

Số học sinh giỏi ít nhất một trong hai môn Toán và Văn chính là số phần tử của tập hợp $A \cup B$.

Ta có $n\left( {A \cup B} \right) = n\left( A \right) + n\left( B \right) - n\left( {A \cap B} \right) = 28 + 15 - 7 = 36$.

Đáp số: $36$.

Gọi $x$ (gam) là khối lượng thịt bò và $y$ (gam) là khối lượng thịt lợn gia đình mua mỗi ngày (điều kiện $x,y \ge 0$).

Theo bài ra ta có các điều kiện ràng buộc:

Lượng thịt tối đa: $0 \le x \le 1600$ và $0 \le y \le 1100$.

Lượng protein thu được: $0{,}8x + 0{,}6y \ge 900 \Rightarrow 4x + 3y \ge 4500$.

Lượng lipit thu được: $0{,}2x + 0{,}4y \ge 400 \Rightarrow x + 2y \ge 2000$.

Tổng chi phí mua thịt mỗi ngày (tính theo đơn vị nghìn đồng) là:

$T\left( {x,y} \right) = \frac{{45}}{{1000}}x + \frac{{35}}{{1000}}y = 0{,}045x + 0{,}035y$.

Hệ bất phương trình mô tả miền nghiệm $S$: $\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{0 \le x \le 1600}\\{0 \le y \le 1100}\\{4x + 3y \ge 4500}\\{x + 2y \ge 2000}\end{array}} \right.$.

Xác định các đỉnh của đa giác miền nghiệm $S$:

$M\left( {600;700} \right)$ là giao điểm của $4x + 3y = 4500$ và $x + 2y = 2000$.

$N\left( {1600;200} \right)$ là giao điểm của $x = 1600$ và $x + 2y = 2000$.

$P\left( {1600;1100} \right)$ là giao điểm của $x = 1600$ và $y = 1100$.

$Q\left( {300;1100} \right)$ là giao điểm của $y = 1100$ và $4x + 3y = 4500$.

Tính giá trị biểu thức $T\left( {x,y} \right)$ tại các đỉnh:

$T\left( M \right) = 0{,}045 \cdot 600 + 0{,}035 \cdot 700 = 27 + 24{,}5 = 51{,}5$ (nghìn đồng).

$T\left( N \right) = 0{,}045 \cdot 1600 + 0{,}035 \cdot 200 = 72 + 7 = 79$ (nghìn đồng).

$T\left( P \right) = 0{,}045 \cdot 1600 + 0{,}035 \cdot 1100 = 72 + 38{,}5 = 110{,}5$ (nghìn đồng).

$T\left( Q \right) = 0{,}045 \cdot 300 + 0{,}035 \cdot 1100 = 13{,}5 + 38{,}5 = 52$ (nghìn đồng).

Do đó, số tiền nhỏ nhất gia đình cần chi trả là $51{,}5$ nghìn đồng.

Đáp số: $51{,}5$.

Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm ($N = 10$):

$22,\quad 24,\quad 37,\quad 38,\quad 38,\quad 43,\quad 47,\quad 48,\quad 48,\quad 70$

Xác định các tứ phân vị:

Tứ phân vị thứ hai (trung vị): ${Q_2} = \frac{{38 + 43}}{2} = 40{,}5$.

Tứ phân vị thứ nhất: ${Q_1} = 37$ (trung vị của nửa dưới gồm $22{,}24{,}37{,}38{,}38$).

Tứ phân vị thứ ba: ${Q_3} = 48$ (trung vị của nửa trên gồm $43{,}47{,}48{,}48{,}70$).

Khoảng tứ phân vị: ${{\rm{\Delta }}_Q} = {Q_3} - {Q_1} = 48 - 37 = 11$.

Một giá trị $x$ được xem là giá trị bất thường nếu $\left[ \begin{array}{l}x < {Q_1} - 1{,}5 \cdot \Delta Q\\x > {Q_3} + 1{,}5 \cdot \Delta Q\end{array} \right.$.

Tính ngưỡng giá trị bất thường:

Ranh giới dưới: $37 - 1{,}5 \cdot 11 = 20{,}5$.

Ranh giới trên: $48 + 1{,}5 \cdot 11 = 64{,}5$.

So sánh các số liệu trong mẫu:

Không có giá trị nào nhỏ hơn $20{,}5$.

Có $1$ giá trị lớn hơn $64{,}5$ là $70$.

Vậy mẫu số liệu có đúng $1$ giá trị bất thường.

Đáp số: $1$.

Mô hình hóa bài toán với tam giác $ABC$:

$A$: Thành phố Hồ Chí Minh.

$B$: Đà Nẵng ($AB = 605{\rm{\;km}}$).

$C$: Vị trí máy bay sau 15 phút bay lệch hướng.

Góc lệch hướng ban đầu $\widehat {CAB} = 10^\circ$.

Đoạn đường $AC$ máy bay bay được sau $15{\rm{\;ph\'u t}} = 0{,}25$ giờ là: $AC = 820 \cdot 0{,}25 = 205{\rm{\;km}}$.

Áp dụng định lý côsin trong tam giác $ABC$ tính khoảng cách $BC$:

$B{C^2} = A{C^2} + A{B^2} - 2 \cdot AC \cdot AB \cdot \cos \widehat {CAB}$

$B{C^2} = {205^2} + {605^2} - 2 \cdot 205 \cdot 605 \cdot \cos 10^\circ \approx 42025 + 366025 - 248050 \cdot 0{,}9848 \approx 163768{,}44$.

$\Rightarrow BC \approx \sqrt {163768{,}44} \approx 404{,}7{\rm{\;km}}$.

Áp dụng định lý sin trong tam giác $ABC$ để tính $\sin \widehat {ACB}$:

$\frac{{BC}}{{\sin \widehat {CAB}}} = \frac{{AB}}{{\sin \widehat {ACB}}} \Rightarrow \sin \widehat {ACB} = \frac{{AB \cdot \sin 10^\circ }}{{BC}} \approx 0{,}2596$.

Vì góc $\alpha$ (góc chếch lên) là góc ngoài của tam giác $ABC$ tại đỉnh $C$, ta có

$\sin \alpha = \sin \left( {180^\circ - \widehat {ACB}} \right) = \sin \widehat {ACB} \approx 0{,}2596$.

Suy ra $\alpha \approx 15^\circ$.

Đáp số: $15$.

Độ chính xác $d = 1945$ có chữ số ở hàng cao nhất là hàng nghìn ($1000 \le 1945 < 10000$).

Do đó, theo quy tắc làm tròn số gần đúng, ta làm tròn số $a$ đến hàng chục nghìn.

Xét số $a = 30041975$:

Chữ số ở hàng chục nghìn là $4$.

Chữ số ngay sau nó (hàng nghìn) là $1 < 5$.

Nên khi quy tròn đến hàng chục nghìn, ta giữ nguyên chữ số hàng chục nghìn và thay toàn bộ các chữ số sau nó bằng số $0$ ta được $\bar a \approx 30040000$.

Đối chiếu với dạng $30mnpq00$, ta nhận được: $m = 0,\quad n = 4,\quad p = 0,\quad q = 0$.

Tổng cần tính là: $m + n + p + q = 0 + 4 + 0 + 0 = 4$.

Đáp số: $4$.

Xét tam giác $ABC$:

$AM$ là đường trung tuyến của tam giác $ABC$.

$BD$ đi qua trung điểm của $AC$ nên đường trung tuyến của tam giác $ABC$ hạ từ đỉnh $B$ nằm trên đường thẳng $BD$.

Như vậy, giao điểm $N$ của $AM$ và $BD$ chính là trọng tâm của tam giác $ABC$.

Tọa độ trọng tâm $N\left( {3;2} \right)$ thỏa mãn: $\left\{ \begin{array}{l}3 = \frac{{3 + {x_B} + 5}}{3}\\2 = \frac{{0 + {y_B} + 8}}{3}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_B} = 1\\{y_B} = - 2\end{array} \right. \Rightarrow B\left( {1; - 2} \right)$.

Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow {DC} = \overrightarrow {AB}$.

Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( {1 - 3; - 2 - 0} \right) = \left( { - 2; - 2} \right)$.

Với $D\left( {a;b} \right) \Rightarrow \overrightarrow {DC} = \left( {5 - a;8 - b} \right)$.

Đồng nhất tọa độ: $\left\{ \begin{array}{l}5 - a = - 2\\8 - b = - 2\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 7\\b = 10\end{array} \right.$.

Giá trị của $a - b$ là: $a - b = 7 - 10 = - 3$.

Đáp số: $- 3$.