Đề thi cuối kì 1 Toán 10 năm 2025-2026 THPT Bình Hưng Hòa (TP.HCM) có đáp án

Vì $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $AC$ nên $MN$ là đường trung bình của tam giác $ABC$.

Do đó, $MN{\rm{//}}BC$ và $MN = \frac{1}{2}BC$.

Vì $MN{\rm{//}}BC$ và điểm $M,N$ nằm cùng thứ tự phía trên đoạn $BC$ nên hai vectơ $\overrightarrow {MN}$ và $\overrightarrow {BC}$ cùng hướng.

Đáp án: A

Mốt (${M_o}$) của mẫu số liệu là giá trị có tần số xuất hiện lớn nhất.

Nhìn vào bảng thống kê, số đôi giày bán được lớn nhất là $52$, ứng với cỡ giày $40$.

Vậy mốt của mẫu số liệu là $40$.

Đáp án: C

Giá trị lớn nhất của mẫu số liệu là ${x_{{\rm{max}}}} = 10$.

Giá trị nhỏ nhất của mẫu số liệu là ${x_{{\rm{min}}}} = 4$.

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu là: $R = {x_{{\rm{max}}}} - {x_{{\rm{min}}}} = 10 - 4 = 6$.

Đáp án: D

Vì độ chính xác $d = 0{,}1$ ở hàng phần mười, nên ta quy tròn số đúng $\bar a$ đến hàng đơn vị (hàng lớn hơn $d$ một hàng).

Chữ số sau hàng đơn vị của $86{,}60254...$ là $6 \ge 5$, nên ta làm tròn lên thành $87$.

Đáp án: B

Hàm số xác định khi biểu thức trong căn bậc hai không âm: $x - 1 \ge 0 \Rightarrow x \ge 1$.

Mẫu số bằng $2$ luôn khác $0$ với mọi $x$.

Tập xác định của hàm số là $D = \left[ {1; + \infty } \right)$.

Đáp án: A

Vì $M$ thuộc đoạn thẳng $AB$ nên $M$ nằm giữa $A$ và $B$.

Ta có: $AB = AM + MB = 4MB + MB = 5MB$.

Hai vectơ $\overrightarrow {AB}$ và $\overrightarrow {MB}$ cùng hướng, do đó: $\overrightarrow {AB} = 5\overrightarrow {MB}$.

Đáp án: D

Thay $x = - 1$ vào công thức hàm số: $y = - {\left( { - 1} \right)^2} + 2 \cdot \left( { - 1} \right) - 5 = - 1 - 2 - 5 = - 8$.

Vậy điểm $\left( { - 1; - 8} \right)$ thuộc đồ thị hàm số.

Đáp án: B

Tổng số học sinh (cỡ mẫu) $n = 7 + 10 + 5 + 9 + 6 + 8 = 45$.

Vì $n = 45$ là số lẻ, nên trung vị ${M_e}$ là giá trị ở vị trí thứ $\frac{{45 + 1}}{2} = 23$ trong dãy đã sắp xếp.

Số học sinh ủng hộ từ $10$ đến $20$ nghìn đồng: $7 + 10 = 17$ học sinh.

Số học sinh ủng hộ từ $10$ đến $30$ nghìn đồng: $17 + 5 = 22$ học sinh.

Số học sinh ủng hộ từ $10$ đến $40$ nghìn đồng: $22 + 9 = 31$ học sinh.

Do đó, học sinh đứng ở vị trí thứ $23$ ủng hộ số tiền là $40$ nghìn đồng.

Vậy ${M_e} = 40$.

Đáp án: B

Theo quy tắc hình bình hành, với hình bình hành $ABCD$ ta có: $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC}$.

Đáp án: A

Tổng số bó hoa bán được trong ngày là: $N = \frac{{26}}{{32{,}5\% }} = \frac{{26}}{{0{,}325}} = 80{\rm{\;(b\'o )}}$.

Số bó hoa lan bán được trong ngày là: $80 \times 37{,}5\% = 80 \times 0{,}375 = 30{\rm{\;(b\'o )}}$.

Đáp án: D

Quãng đường $30{\rm{\;km}}$ được tính tiền theo 3 chặng:

$1{\rm{\;km}}$ đầu tiên: $20\,000$ đồng.

$24{\rm{\;km}}$ tiếp theo (từ km thứ 2 đến km thứ 25): $24 \times 14\,000 = 336\,000$ đồng.

$5{\rm{\;km}}$ còn lại (từ km thứ 26 đến km thứ 30): $5 \times 12\,000 = 60\,000$ đồng.

Tổng số tiền phải trả là: $T = 20\,000 + 336\,000 + 60\,000 = 416\,000$ (đồng).

Đáp án: C

Công $A$ sinh bởi lực $\vec F$ được tính theo công thức: $A = \vec F \cdot \vec s = \left| {\vec F\left| \cdot \right|\vec s} \right| \cdot \cos \left( {\vec F,\vec s} \right)$.

Vì lực $\vec F$ cùng hướng với độ dịch chuyển $\vec s$ nên góc giữa chúng bằng $0^\circ$.

Vậy $A = 50 \times 30 \times \cos 0^\circ = 1500{\rm{\;(J)}}$.

Đáp án: B

a) Sai. Nhìn vào đồ thị, tại $x = 6$ thì $h\left( 6 \right) = 44{,}6$. Điểm có tung độ $62{,}6$ ứng với thời điểm khác.

b) Đúng. Trong đoạn $\left[ {0;12} \right]$, giá trị nhỏ nhất của $h\left( x \right)$ là $h\left( 0 \right) = 5$ và giá trị lớn nhất là $h\left( {10} \right) = \frac{{265}}{3}$.

c) Sai. Trên khoảng $\left( {10;12} \right)$, đường đồ thị đi xuống từ trái sang phải, nghĩa là hàm số nghịch biến.

d) Đúng. Chiều cao cực đại của cây đạt được là $\frac{{265}}{3} \approx 88{,}33{\rm{\;cm}} < 90{\rm{\;cm}}$.

Sắp xếp dãy số liệu theo thứ tự không giảm:

$200;\,300;\,340;\,340;\,350;\,350;\,360;\,370;\,380;\,400;\,400;\,410;\,410;\,500$.

a) Sai. Cỡ mẫu $n = 14$.

b) Sai. Cân nặng trung bình của các quả xoài trên là

$\bar x = \frac{{200 + 300 + 340 \times 2 + 350 \times 2 + 360 + 370 + 380 + 400 \times 2 + 410 \times 2 + 500}}{{14}} = 365{\rm{\;(gam)}}$.

c) Sai. Phương sai

$$\begin{array}{l}{s^2} = \frac{1}{{14}}\left[ {{{\left( {200 - \overline x } \right)}^2} + {{\left( {300 - \overline x } \right)}^2} + {{\left( {340 - \overline x } \right)}^2} \times 2 + {{\left( {350 - \overline x } \right)}^2} \times 2 + {{\left( {360 - \overline x } \right)}^2}} \right.\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left. { + {{\left( {370 - \overline x } \right)}^2} + {{\left( {380 - \overline x } \right)}^2} + {{\left( {400 - \overline x } \right)}^2} \times 2 + {{\left( {410 - \overline x } \right)}^2} \times 2 + {{\left( {500 - \overline x } \right)}^2}} \right] \approx 4153{,}57.\end{array}$$

Độ lệch chuẩn $s = \sqrt {{s^2}} \approx \sqrt {4153{,}57} \approx 64{,}4{\rm{\;(gam)}}$.

d) Sai. Tính tứ phân vị của mẫu ban đầu ($n = 14$):

${Q_2} = \frac{{360 + 370}}{2} = 365$.

Nửa dưới: $200{,}300{,}340{,}340{,}350{,}350{,}360 \Rightarrow {Q_1} = 340$.

Nửa trên: $370{,}380{,}400{,}400{,}410{,}410{,}500 \Rightarrow {Q_3} = 400$.

Khoảng tứ phân vị $\Delta Q = {Q_3} - {Q_1} = 400 - 340 = 60$.

Ngưỡng ngoại lệ: $\left[ {{Q_1} - 1{,}5 \times \Delta Q;\,{Q_3} + 1{,}5 \times \Delta Q} \right] = \left[ {340 - 90;\,400 + 90} \right] = \left[ {250;\,490} \right]$.

Các giá trị ngoại lệ bị loại là $200$ và $500$.

Mẫu số liệu sau khi loại ngoại lệ gồm $12$ phần tử:

$300;\,340;\,340;\,350;\,350;\,360;\,370;\,380;\,400;\,400;\,410;\,410$.

Với $12$ quả, $25\%$ tương ứng $3$ quả nặng nhất là $400;\,410;\,410$. Ranh giới tối thiểu để thuộc nhóm này là điểm phân vị ${Q_3}^\prime = \frac{{400 + 400}}{2} = 400{\rm{\;gam}}$.

a) Sai. Do $M$ là trung điểm của $AC$ nên $\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MC} = \vec 0$.

b) Đúng. Theo quy tắc hiệu hai vectơ chung gốc: $\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {CB}$.

c) Đúng. Vì $M$ là trung điểm $AC$ nên $\overrightarrow {BM} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} } \right)$.

Vì $N$ đối xứng với $B$ qua $C$ nên $C$ là trung điểm của $BN \Rightarrow \overrightarrow {BC} = \frac{1}{2}\overrightarrow {BN}$.

Thay vào ta được: $\overrightarrow {BM} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {BA} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BN} } \right) = \frac{1}{2}\overrightarrow {BA} + \frac{1}{4}\overrightarrow {BN}$.

d) Đúng. Giả sử $\overrightarrow {AP} = k\overrightarrow {AN}$ với $0 < k < 1$.

Ta có: $\overrightarrow {BP} = \left( {1 - k} \right)\overrightarrow {BA} + k\overrightarrow {BN}$.

Mặt khác, $\overrightarrow {BM} = \frac{1}{2}\overrightarrow {BA} + \frac{1}{4}\overrightarrow {BN}$.

Vì $B,M,P$ thẳng hàng nên $\overrightarrow {BP} = x\overrightarrow {BM}$, suy ra $\left( {1 - k} \right)\overrightarrow {BA} + k\overrightarrow {BN} = \frac{x}{2}\overrightarrow {BA} + \frac{x}{4}\overrightarrow {BN}$.

Do $\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BN}$ không cùng phương nên: $\left\{ \begin{array}{l}1 - k = \frac{x}{2}\\k = \frac{x}{4}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{4}{3}\\k = \frac{1}{3}\end{array} \right.$.

Do đó $\overrightarrow {BP} = \left( {1 - \frac{1}{3}} \right)\overrightarrow {BA} + \frac{1}{3}\overrightarrow {BN} = \frac{2}{3}\overrightarrow {BA} + \frac{1}{3}\overrightarrow {BN}$.

Tập xác định: $D = \mathbb{R}$.

Tọa độ đỉnh ${x_I} = - \frac{2}{{2 \cdot \left( { - 1} \right)}} = 1 \Rightarrow {y_I} = - {1^2} + 2 \cdot 1 + 2 = 3 \Rightarrow I\left( {1;3} \right)$.

Trục đối xứng: Đường thẳng $x = 1$.

Chiều biến thiên: Vì $a = - 1 < 0$ nên hàm số đồng biến trên khoảng $\left( { - \infty ;1} \right)$ và nghịch biến trên khoảng $\left( {1; + \infty } \right)$.

Bảng biến thiên:

Đồ thị:

Đồ thị là một Parabol có bề lõm quay xuống dưới.

Bảng giá trị đặc biệt:

Đồ thị cắt trục tung tại điểm $\left( {0;2} \right)$ và cắt trục hoành tại các điểm $\left( {1 - \sqrt 3 ;0} \right)$ và $\left( {1 + \sqrt 3 ;0} \right)$.

Xét tam giác $ABC$ vuông tại $A$: $\widehat {ABC} = 90^\circ - \widehat {ACB} = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.

Độ dài cạnh $BA$ là: $BA = BC \cdot \cos \widehat {ABC} = 6a \cdot \cos 60^\circ = 6a \cdot \frac{1}{2} = 3a$.

Tích vô hướng $\overrightarrow {BA} \cdot \overrightarrow {BC}$ được tính theo công thức:

$\overrightarrow {BA} \cdot \overrightarrow {BC} = \left| {\overrightarrow {BA} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {BC} } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BC} } \right)$$= BA \cdot BC \cdot \cos \widehat {ABC}$$= 3a \cdot 6a \cdot \cos 60^\circ = 18{a^2} \cdot \frac{1}{2} = 9{a^2}$.

Chọn hệ trục tọa độ $Oxy$ sao cho gốc tọa độ $O \equiv C$ nằm trên mặt đất (đơn vị trên mỗi trục tính theo mét):

Trục $Ox$ trùng với đường mặt đất $AI$.

Trục $Oy$ đi qua đỉnh $D$ của parabol $\left( {{P_1}} \right)$.

Tọa độ các điểm liên quan trên mặt đất và đỉnh: $C\left( {0;0} \right),D\left( {0;5{,}8} \right)$.

Điểm $E$ cách $C$ một khoảng $4{\rm{\;m}} \Rightarrow E\left( {4;0} \right)$.

Điểm $G$ cách $E$ một khoảng $2{\rm{\;m}} \Rightarrow G\left( {6;0} \right)$.

Điểm $I$ cách $G$ một khoảng $2{\rm{\;m}} \Rightarrow I\left( {8;0} \right)$.

Điểm $A$ cách $C$ một khoảng $3{\rm{\;m}} \Rightarrow A\left( { - 3;0} \right)$.

Điểm $B$ thuộc đường thẳng đứng đi qua $A$ và cách $A$ một khoảng $4{\rm{\;m}} \Rightarrow B\left( { - 3;4} \right)$.

Vì $\left( {{P_1}} \right)$ có đỉnh $D\left( {0;5{,}8} \right)$ nằm trên $Oy$, nên phương trình có dạng $\left( {{P_1}} \right):y = {a_1}{x^2} + 5{,}8\quad \left( {{a_1} < 0} \right)$.

Lại có $\left( {{P_1}} \right)$ đi qua $B$ nên $4 = 9{a_1} + 5{,}8 \Rightarrow {a_1} = - 0{,}2$ (thỏa mãn).

Vậy $\left( {{P_1}} \right):y = - 0{,}2{x^2} + 5{,}8$.

Điểm $F$ thuộc đường thẳng thẳng đứng qua $E\left( {4;0} \right)$, nên ${x_F} = 4$, suy ra ${y_F} = - 0{,}2 \cdot {4^2} + 5{,}8 = 2{,}6$.

Tọa độ điểm $F$ là $F\left( {4;2{,}6} \right)$.

Vì $\left( {{P_2}} \right)$ có đỉnh $H$ nằm trên đường thẳng thẳng đứng qua $G\left( {6;0} \right)$, nên ${x_H} = 6$.

Phương trình $\left( {{P_2}} \right)$ có dạng $y = {a_2}{x^2} + bx + c\quad \left( {{a_2} > 0} \right)$.

Vì ${x_H} = 6$ nên $- \frac{b}{{2{a_2}}} = 6 \Rightarrow b = - 12{a_2}$.

Hai parabol nối nhau trơn tru tại $F\left( {4;2{,}6} \right)$ nên $F \in \left( {{P_2}} \right)$, suy ra $16{a_2} + 4b + c = 2{,}6$. Thay $b = - 12{a_2}$ vào ta được $- 32{a_2} + c = 2{,}6$.

Điểm $K$ thuộc đường thẳng thẳng đứng qua $I\left( {8;0} \right)$, nên ${x_K} = 8$ và $K \in \left( {{P_2}} \right)$, suy ra

${y_K} = 64{a_2} + 8b + c = 64{a_2} + 8 \cdot \left( { - 12{a_2}} \right) + c = - 32{a_2} + c = 2{,}6$.

Vậy khoảng cách từ điểm $K$ đến mặt đất là $2{,}6{\rm{\;m\'e t}}$.