Đề thi cuối kì 1 Toán 10 năm 2025-2026 THPT Bình Chiểu (TP.HCM) có đáp án

Theo định lý côsin trong tam giác $ABC$, ta có $B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2AB \cdot AC\cos A$.

Do đó, phương án B là mệnh đề đúng.

Chọn B.

Công thức tính diện tích tam giác theo bán kính đường tròn nội tiếp $r$ và nửa chu vi $p$ là: $S = p \cdot r$.

Do đó, phương án B là mệnh đề đúng.

Chọn B.

Trong hình bình hành $ABCD$:

Hai đoạn thẳng $AC$ và $BD$ là hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường, do đó hai vectơ $\overrightarrow {AC}$ và $\overrightarrow {BD}$ không cùng phương và không cùng hướng, nên $\overrightarrow {AC} \ne \overrightarrow {BD}$.

Các cặp vectơ cùng hướng và cùng độ dài: $\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC}$, $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC}$, $\overrightarrow {CD} = \overrightarrow {BA}$.

Do đó, khẳng định $\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {BD}$ là sai.

Chọn A.

Tích vô hướng của hai vectơ $\vec a$ và $\vec b$ được tính theo công thức: $\vec a \cdot \vec b = \left| {\vec a} \right| \cdot \left| {\vec b} \right| \cdot \cos \left( {\vec a,\vec b} \right)$.

Thay số ta có $\vec a \cdot \vec b = 6 \cdot 7 \cdot \cos 45^\circ = 42 \cdot \frac{{\sqrt 2 }}{2} = 21\sqrt 2$.

Chọn B.

Độ dài của vectơ $\overrightarrow {BD}$ chính bằng độ dài đoạn thẳng $BD$: $\left| {\overrightarrow {BD} } \right| = BD$.

Vì $ABCD$ là hình chữ nhật nên tam giác $ABD$ vuông tại $A$. Áp dụng định lý Định lý Pythagorae trong tam giác vuông $ABD$ ta được $BD = \sqrt {A{B^2} + A{D^2}} = \sqrt {{5^2} + {{12}^2}} = \sqrt {25 + 144} = \sqrt {169} = 13$.

Do đó $\left| {\overrightarrow {BD} } \right| = 13$.

Chọn D.

Cỡ mẫu $N$ là tổng số lượng các giá trị quan sát được trong mẫu số liệu:

$N = 6 + 8 + 10 + 6 + 7 = 37$.

Chọn C.

a) Đúng. Vì $O$ là tâm của hình vuông $ABCD$ nên $O$ là trung điểm của đoạn thẳng $AC$. Do đó $\overrightarrow {OA}$ và $\overrightarrow {OC}$ là hai vectơ đối nhau, suy ra $\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OC} = \vec 0$.

b) Đúng. Áp dụng quy tắc ba điểm đối với cộng vectơ, ta có: $\overrightarrow {DA} + \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {DC}$.

c) Sai. Vì $ABCD$ là hình vuông nên $\widehat {ABC} = 90^\circ$. Hai vectơ $\overrightarrow {BA}$ và $\overrightarrow {BC}$ có chung điểm đầu $B$, do đó góc giữa hai vectơ là $\left( {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BC} } \right) = \widehat {ABC} = 90^\circ \ne 30^\circ$.

d) Đúng. Áp dụng quy tắc hình bình hành cho hình vuông $ABCD$, ta có: $\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AC}$.

Độ dài đường chéo của hình vuông cạnh $a$ là $AC = a\sqrt 2$. Do đó: $\left| {\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AB} \left| = \right|\overrightarrow {AC} } \right| = AC = a\sqrt 2$.

a) Sai. Giá trị trung bình của mẫu số liệu là:

$\bar x = \frac{{10 + 10 + 11 + 12 + 12 + 13 + 14{,}5 + 15 + 18 + 20 + 20 + 21 + 28}}{{13}} = \frac{{204{,}5}}{{13}} \approx 15{,}7$.

b) Sai. Mẫu số liệu đã sắp xếp gồm $n = 13$ giá trị (số lẻ).

Trung vị ${M_e}$ là giá trị ở vị trí thứ $\frac{{13 + 1}}{2} = 7$, tức là: ${M_e} = {Q_2} = 14{,}5$.

c) Đúng. Tứ phân vị thứ hai: ${Q_2} = 14{,}5$.

Nửa số liệu phía dưới ${Q_2}$ gồm 6 giá trị: $10{,}10{,}11{,}12{,}12{,}13$. Tứ phân vị thứ nhất ${Q_1}$ là trung bình cộng của 2 giá trị ở giữa (vị trí thứ 3 và 4): ${Q_1} = \frac{{11 + 12}}{2} = 11{,}5$.

Nửa số liệu phía trên ${Q_2}$ gồm 6 giá trị: $15{,}18{,}20{,}20{,}21{,}28$. Tứ phân vị thứ ba ${Q_3}$ là trung bình cộng của 2 giá trị ở giữa (vị trí thứ 3 và 4): ${Q_3} = \frac{{20 + 20}}{2} = 20$.

Khoảng tứ phân vị: ${{\rm{\Delta }}_Q} = {Q_3} - {Q_1} = 20 - 11{,}5 = 8{,}5$.

d) Đúng. Phương sai của mẫu số liệu là:

${s^2} = \frac{1}{{13}}\left( {{{10}^2} + {{10}^2} + {{11}^2} + {{12}^2} + {{12}^2} + {{13}^2} + {{14{,}5}^2} + {{15}^2} + {{18}^2} + {{20}^2} + {{20}^2} + {{21}^2} + {{28}^2}} \right) - {\overline x ^2} = \frac{{4489}}{{169}}$.

Độ lệch chuẩn là: $S = \sqrt {{s^2}} = \sqrt {\frac{{4489}}{{169}}} = \frac{{67}}{{13}} \approx 5{,}15$.

Ta có $\widehat C = 180^\circ - \left( {\widehat A + \widehat B} \right) = 180^\circ - \left( {60^\circ + 45^\circ } \right) = 75^\circ$.

Áp dụng định lý sin trong tam giác $ABC$, ta có: $\frac{{AB}}{{\sin C}} = \frac{{AC}}{{\sin B}}$.

Suy ra $AB = \frac{{AC \cdot \sin C}}{{\sin B}} = \frac{{6 \cdot \sin 75^\circ }}{{\sin 45^\circ }}$$= \frac{{6 \cdot \frac{{\sqrt 6 + \sqrt 2 }}{4}}}{{\frac{{\sqrt 2 }}{2}}} = 3 \cdot \left( {\sqrt 3 + 1} \right) \approx 8{,}196{\rm{\;}}\left( {{\rm{cm}}} \right)$.

Làm tròn đến hàng phần mười thu được $8{,}2{\rm{\;cm}}$.

Đáp số: $8{,}2$.

Nửa chu vi tam giác $MNP$ là: $p = \frac{{MN + NP + MP}}{2} = \frac{{10 + 17 + 21}}{2} = 24\,\left( {\rm{m}} \right)$.

Áp dụng công thức Heron để tính diện tích tam giác $MNP$:

$S = \sqrt {p\left( {p - MN} \right)\left( {p - NP} \right)\left( {p - MP} \right)} = \sqrt {24 \cdot \left( {24 - 10} \right) \cdot \left( {24 - 17} \right) \cdot \left( {24 - 21} \right)} = 84\,\,\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)$.

Đáp số: $84$.

Ta có $VT = \overrightarrow {GH} + \overrightarrow {EF}$$= \left( {\overrightarrow {GE} + \overrightarrow {EH} } \right) + \overrightarrow {EF} = \left( {\overrightarrow {GE} + \overrightarrow {EF} } \right) + \overrightarrow {EH}$$= \overrightarrow {GF} + \overrightarrow {EH} = \overrightarrow {EH} + \overrightarrow {GF} = VP$.

Đẳng thức đã được chứng minh.

Mẫu số liệu nhiệt độ trong 10 ngày: $23\quad 24\quad 24\quad 32\quad 29\quad 25\quad 24\quad 23\quad 25\quad 26$.

Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm: $23\quad 23\quad 24\quad 24\quad 24\quad 25\quad 25\quad 26\quad 29\quad 32$.

Cỡ mẫu $n = 10$ (số chẵn).

Tứ phân vị thứ hai (Trung vị ${Q_2}$) là trung bình cộng của giá trị thứ 5 và thứ 6: ${Q_2} = \frac{{24 + 25}}{2} = 24{,}5$.

Nửa số liệu phía dưới ${Q_2}$ gồm 5 giá trị: $23{,}23{,}24{,}24{,}24$.

Tứ phân vị thứ nhất ${Q_1}$ là giá trị ở giữa (vị trí thứ 3): ${Q_1} = 24$.

Nửa số liệu phía trên ${Q_2}$ gồm 5 giá trị: $25{,}25{,}26{,}29{,}32$.

Tứ phân vị thứ ba ${Q_3}$ là giá trị ở giữa (vị trí thứ 3 trong nhóm trên): ${Q_3} = 26$.

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu là: ${{\rm{\Delta }}_Q} = {Q_3} - {Q_1} = 26 - 24 = 2$.

Sau thời gian $t \ge 0$ (giây):

Quãng đường $AM$ chất điểm $X$ đi được: $AM = 3\sqrt 2 t{\rm{\;(cm)}}$.

Quãng đường $BN$ chất điểm $Y$ đi được: $BN = 4t{\rm{\;(cm)}}$.

Gọi $Ax \cap By = C$.

Tam giác $ABC$ vuông tại $B$ có $\widehat A = 45^\circ ,AB = 100$ nên tam giác $ABC$ vuông cân tại $B$.

Do đó $BC = AB = 100$; $AC = \frac{{AB}}{{\cos A}} = \frac{{100}}{{\cos 45^\circ }} = 100\sqrt 2$ và $\widehat {ACB} = 45^\circ$.

Khi đó $CM = AC - AM = 100\sqrt 2 - 3\sqrt 2 t$ và $CN = BC - BN = 100 - 4t$.

Áp dụng định lí côsin trong tam giác $CMN$ có $\widehat {MCN} = \widehat {ACB} = 45^\circ$ ta có:

$M{N^2} = C{M^2} + C{N^2} - 2CM \cdot CN \cdot \cos 45^\circ$

$= {\left( {100\sqrt 2 - 3\sqrt 2 t} \right)^2} + {\left( {100 - 4t} \right)^2} - 2\left( {100\sqrt 2 - 3\sqrt 2 t} \right) \cdot \left( {100 - 4t} \right) \cdot \frac{{\sqrt 2 }}{2}$

$= 10{t^2} - 600t + 10000$.

Xét hàm số $f\left( t \right) = 10{t^2} - 600t + 10000$ với $t \ge 0$:

Đây là một tam thức bậc hai có hệ số $a = 10 > 0$, đạt giá trị nhỏ nhất tại đỉnh: $t = - \frac{b}{{2a}} = - \frac{{ - 600}}{{2 \cdot 10}} = 30$.

Giá trị nhỏ nhất của $M{N^2}$ là: $f\left( {30} \right) = 10 \cdot {30^2} - 600 \cdot 30 + 10000 = 1000$.

Do đó, giá trị nhỏ nhất của $MN$ là: $M{N_{{\rm{min}}}} = \sqrt {1000} = 10\sqrt {10} \approx 32{\rm{\;cm}}$ khi $t = 30$ giây.