Đề tham khảo Tốt nghiệp THPT Toán 2026-2027 (Đề 43)

$f\left( x \right) = {\left( {\sin \frac{x}{2} - \cos \frac{x}{2}} \right)^2} = {\sin ^2}\frac{x}{2} + {\cos ^2}\frac{x}{2} - 2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2} = 1 - \sin x$.

$\int f \left( x \right){\rm{d}}x = \int {\left( {1 - \sin x} \right){\rm{d}}x} = x + \cos x + C$. Chọn C.

Điểm $M$ thuộc đoạn $AB$ sao cho $MA = 2MB$,

nên $\overrightarrow {MA} = - 2\overrightarrow {MB}$$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x - 3 = - 2\left( {x - 2} \right)}\\{y - 1 = - 2\left( {y + 3} \right)}\\{z + 2 = - 2\left( {z - 5} \right)}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{3x = 7}\\{3y = - 5}\\{3z = 8}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x = \frac{7}{3}}\\{y = \frac{{ - 5}}{3}}\\{z = \frac{8}{3}}\end{array}} \right.} \right.$. Chọn B.

Ta có $y = \frac{{2{x^2} + 7x - 5}}{{4x - 2}} = \frac{1}{2}x + 2 - \frac{1}{{4x - 2}}$

Khi đó $\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left[ {y - \left( {\frac{1}{2}x + 2} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left[ {\frac{1}{2}x + 2 - \frac{1}{{4x - 2}} - \left( {\frac{1}{2}x + 2} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{ - 1}}{{4x - 2}} = 0$.

Suy ra $y = \frac{1}{2}x + 2$ là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y = \frac{{2{x^2} + 7x - 5}}{{4x - 2}}$. Chọn B.

+ Vì $SA \bot \left( {ABCD} \right)$, mà $SA \subset \left( {SAC} \right)\, \Rightarrow \,\left( {SAC} \right)\, \bot \left( {BAC} \right) \Rightarrow$$\left[ {S,AC,B} \right] = 90^\circ$, suy ra A đúng.

+ Ta có $\left\{ \begin{array}{l}SO \bot BD,\,\,SO \subset \left( {SBD} \right)\\AO \bot BD,\,\,AO \subset \left( {ABD} \right)\\\left( {ABD} \right) \cap \left( {SBD} \right) = BD\end{array} \right.$$\Rightarrow$$\left[ {S,BD,A} \right] = \widehat {SOA}$. Suy ra B đúng.

+ Ta có $\left\{ \begin{array}{l}SO \bot BD,\,\,SO \subset \left( {SBD} \right)\\CO \bot BD,\,\,CO \subset \left( {CBD} \right)\\\left( {CBD} \right) \cap \left( {SBD} \right) = BD\end{array} \right.$$\Rightarrow$$\left[ {S,BD,C} \right] = \widehat {SOC}$. Suy ra C sai.

+ Ta có $\left\{ \begin{array}{l}AC \bot BD\\SA \bot BD\end{array} \right. \Rightarrow BD \bot \left( {SAC} \right)$, mà $BD \subset \left( {SBD} \right) \Rightarrow \left( {SAC} \right) \bot \left( {SBD} \right)$. Suy ra D đúng. Chọn C.

Ta có: $\int\limits_{ - 1}^1 {\left| {{e^x} - 1} \right|} \,{\rm{d}}x = \int\limits_{ - 1}^0 {\left( {1 - {e^x}} \right)} \,{\rm{d}}x + \,\int\limits_0^1 {\left( {{e^x} - 1} \right)} \,{\rm{d}}x = \left. {\left( {x - {e^x}} \right)} \right|_{ - 1}^0 + \left. {\left( {{e^x} - x} \right)} \right|_0^1$

$= - 1 - \left( { - 1 - {e^{ - 1}}} \right) + \left( {e - 1} \right) - 1$$= e + {e^{ - 1}} - 2$.

Theo bài có $\int\limits_{ - 1}^1 {\left| {{e^x} - 1} \right|} \,dx = ae + b{e^{ - 1}} + c$.

Suy ra:$\left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 1\\c = - 2\end{array} \right.\,\, \Rightarrow \,a + b + c = 0$. Chọn C.

Véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ là $\overrightarrow n = \left( {2;\, - 3\,;\,4} \right)$. Ta có: $\left[ {\vec i\,,\,\,{{\vec n}_\alpha }} \right] = \left( {0\,;\, - 4\,;\, - 3} \right)$.

Mặt phẳng $\left( P \right)$ chứa trục $Ox$và vuông góc với mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ có véc tơ pháp tuyến là:

${\vec n_P} = - \left[ {\vec i\,,\,\,{{\vec n}_\alpha }} \right] = \left( {0\,;\,4\,;\,3} \right)$.

Vậy phương trình của mặt phẳng $\left( P \right):\,\,4y + 3z = 0$. Chọn A.

Từ phương trình mặt phẳng $\left( P \right):\,\,2x + y - z - 1 = 0\, \Rightarrow \,$Véc tơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left( {2\,;\,1\,;\, - 1} \right).$

Từ phương án C, véc tơ chỉ phương của đường thẳng $d$: $\frac{{x + 1}}{{ - 1}} = \frac{{y - 2}}{3} = \frac{z}{1}$ là $\overrightarrow u = \left( { - 1\,;\,3\,;\,1} \right)$.

Ta có: $\overrightarrow n \cdot \overrightarrow u = - 2 + 3 - 1 = 0.$ Vậy đường thẳng $d{\rm{//}}\left( P \right)$. Chọn C.

Ta có đồ thị hàm số trong hình vẽ là đồ thị hàm bậc ba có hệ số $a < 0$.

Mặt khác $y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.$ và đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng $- 4$ nên nó là đồ thị hàm số $y = - {x^3} + 3{x^2} - 4$. Chọn C.

Ta có $\overrightarrow {{u_1}} = \left( {1; - 2; - 3} \right)$ là một vectơ chỉ phương của ${d_1},$

$\overrightarrow {{u_2}} = \left( { - 4;1;5} \right)$ là một vectơ chỉ phương của ${d_2}.$

Gọi $\alpha$ là góc giữa ${d_1},$${d_2}.$ Khi đó: $\cos \alpha = \frac{{\left| {\overrightarrow {{u_1}} \cdot \overrightarrow {{u_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_1}} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {{u_2}} } \right|}} = \frac{{\left| {1 \cdot \left( { - 4} \right) + \left( { - 2} \right) \cdot 1 + \left( { - 3} \right) \cdot 5} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} \cdot \sqrt {{{\left( { - 4} \right)}^2} + {1^2} + {5^2}} }}$$= \frac{{| - 4 - 2 - 15|}}{{\sqrt {14} \cdot \sqrt {42} }} = \frac{{21}}{{\sqrt {14 \cdot 14 \cdot 3} }} = \frac{{21}}{{14\sqrt 3 }} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$.

Vì $0^\circ \le \alpha \le 90^\circ$ nên $\alpha = 30^\circ .$Chọn A.

Ta có hai mặt phẳng $\left( {ABA'} \right)$ và $\left( {B'D'C} \right)$ có chung nhau điểm $B'$ nên chúng không song song. Chọn B.

a) Đúng. Ta có: $d\left( {J,\left( {Oxy} \right)} \right) = \left| {{z_J}} \right| = \left| 3 \right| = 3$.

Khi đó, ${R_2} = \sqrt {{d^2}\left( {J,\left( {Oxy} \right)} \right) + r_2^2} = \sqrt {{3^2} + {4^2}} = 5$.

b) Sai.

$\overrightarrow {IM} = \left( {5;5;10} \right) \Rightarrow IM = \sqrt {{5^2} + {5^2} + {{10}^2}} = 5\sqrt 6 > 4$: Điểm $M$ nằm ngoài mặt cầu $\left( {{S_1}} \right)$.

Do đó, quãng đường tối thiểu điểm $C$ di chuyển từ $M$ đến bề mặt khối cầu $\left( {{S_1}} \right)$ là

$s_1^{\min } = IM - {R_1} = 5\sqrt 6 - 4 \Rightarrow E_1^{\min } = \frac{{{{\left( {5\sqrt 6 - 4} \right)}^2}}}{{12}} = \frac{{166 - 40\sqrt 6 }}{{12}}$ (đơn vị năng lượng).

c) Đúng.

$\overrightarrow {IJ} = \left( {10;13;3} \right) \Rightarrow IJ = \sqrt {{{10}^2} + {{13}^2} + {3^2}} = \sqrt {278} > {R_1} + {R_2} = 4 + 5 = 9$.

Khi đó, $A{B_{\max }} = IJ + {R_1} + {R_2} = \sqrt {278} + 9 \approx 25{,}6733 > 25$.

d) Đúng. $\overrightarrow {JM} = \left( { - 5; - 8;7} \right) \Rightarrow JM = \sqrt {{{\left( { - 5} \right)}^2} + {{\left( { - 8} \right)}^2} + {3^2}} = \sqrt {138} > 5$: Điểm $M$ nằm ngoài mặt cầu $\left( {{S_2}} \right)$.

Do đó, quãng đường tối thiểu điểm $C$ di chuyển từ $M$ đến bề mặt khối cầu $\left( {{S_2}} \right)$ là

$s_2^{\min } = JM - {R_2} = \sqrt {138} - 5 \Rightarrow E_2^{\min } = \frac{{{{\left( {\sqrt {138} - 5} \right)}^2}}}{{12}} = \frac{{163 - 10\sqrt {138} }}{{12}} < E_1^{\min }$.

Vậy năng lượng tối thiểu để điểm $C$ di chuyển vào bên trong khối cầu $\left( {{S_2}} \right)$ nhỏ hơn năng lượng tối thiểu để điểm $C$ di chuyển vào bên trong khối cầu $\left( {{S_1}} \right)$.

Gọi $X$ là biến cố: “bệnh nhân chọn thuốc A”; $Y$ là biến cố: “bệnh nhân bị tác dụng phụ”.

Theo giả thiết, ta có: $P\left( X \right) = 0{,}5;\,P\left( {Y|X} \right) = 0{,}2$.

a) Đúng. Xác suất để bệnh nhân bị tác dụng phụ khi dùng thuốc A là $P\left( {Y|X} \right) = 0{,}2$.

b) Đúng. Xác suất để bệnh nhân bị tác dụng phụ khi được chọn ngẫu nhiên dùng một trong hai loại thuốc là $P\left( Y \right) = P\left( X \right) \cdot P\left( {Y|X} \right) + P\left( {\overline X } \right) \cdot P\left( {Y|\overline X } \right) = 0{,}5 \cdot 0{,}2 + 0{,}5 \cdot 0{,}1 = 0{,}15$.

c) Sai. Nếu biết bệnh nhân không bị tác dụng phụ, xác suất để bệnh nhân đó dùng thuốc B là

$P\left( {\overline X |\overline Y } \right) = \frac{{P\left( {\overline X } \right) \cdot P\left( {\overline Y |\overline X } \right)}}{{P\left( {\overline Y } \right)}} = \frac{{0{,}5 \cdot 0{,}9}}{{1 - 0{,}15}} = \frac{9}{{17}}$.

d) Sai. Xác suất để bệnh nhân dùng thuốc A và không bị tác dụng phụ là$P\left( {X\overline Y } \right) = 0{,}5 \cdot \left( {1 - 0{,}2} \right) = 0{,}4$.

a) Đúng.Tập xác định của hàm số là $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}$. Ta có $y = \frac{{{x^2} + x - 6}}{{x + 1}} = x - \frac{6}{{x + 1}}$.

nên $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {y - x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( { - \frac{6}{{x + 1}}} \right) = 0$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {y - x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( { - \frac{6}{{x + 1}}} \right) = 0$.

Suy ra tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là đường thẳng $y = x$.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \frac{{{x^2} + x - 6}}{{x + 1}} = - \infty$ nên tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là đường thẳng $x = - 1$.

Tâm đối xứng của đồ thị $\left( C \right)$ là giao điểm hai đường tiệm cận, nên $I\left( { - 1; - 1} \right)$.

b) Sai. Ta có: $y'\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 2x + 7}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}$. Gọi $M\left( {{x_0};{y_0}} \right),\,\,\left( {{x_0} \ne - 1} \right)$ là tiếp điểm.

Vì tiếp tuyến của đồ thị $\left( C \right)$ tại $M$ song song với đường thẳng $d:\,y = 7x + 18$ nên

$y'\left( {{x_0}} \right) = 7 \Leftrightarrow \frac{{{x_0}^2 + 2{x_0} + 7}}{{{{\left( {{x_0} + 1} \right)}^2}}} = 7 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = 0\\{x_0} = - 2\end{array} \right.$, suy ra $\left[ \begin{array}{l}M\left( {0; - 6} \right)\\M\left( { - 2;4} \right)\end{array} \right.$

TH1: $M\left( {0; - 6} \right)$, ta có phương trình tiếp tuyến là ${d_1}:y = 7x - 6$. (Thỏa)

TH2: $M\left( { - 2;4} \right)$, ta có phương trình tiếp tuyến là ${d_2}:y = 7x + 18$ (Loại)

c) Sai. Gọi $A\left( {{x_1};{y_1}} \right);\,\,B\left( {{x_2};{y_2}} \right)$ là hai điểm thuộc hai nhánh khác nhau của đồ thị $\left( C \right)$, ${x_1} < - 1 < \,\,{x_2}$

Vì $AB$ song song với trục hoành nên ${y_1} = {y_2} = {y_0}$ và ${x_1};\,\,{x_2}$ là hai nghiệm của phương trình ${y_0} = \frac{{{x^2} + x - 6}}{{x + 1}} \Leftrightarrow {x^2} + \left( {1 - {y_0}} \right)x - 6 - {y_0} = 0\,\,\left( 1 \right)\,\,$(với $x \ne - 1$).

Ta có ${x_1} < - 1 < \,\,{x_2}$$\Leftrightarrow {x_1} + 1 < 0 < {x_2} + 1 \Leftrightarrow \left( {{x_1} + 1} \right)\left( {{x_2} + 1} \right) < 0$

$\Leftrightarrow {x_1}{x_2} + \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 1 < 0 \Leftrightarrow - {y_0} - 6 + \left( {{y_0} - 1} \right) + 1 < 0 \Leftrightarrow - 6 < 0$.

Hiển nhiên đúng nên phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt.

$AB = \left| {{x_1} - {x_2}} \right| = \sqrt {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 4{x_1}{x_2}} = \sqrt {{{\left( {{y_0} - 1} \right)}^2} - 4\left( { - 6 - {y_0}} \right)} = \sqrt {{{\left( {{y_0} + 1} \right)}^2} + 24} \ge 2\sqrt 6$

Dấu “bằng” xảy ra khi chỉ khi ${y_0} = - 1$và giá trị nhỏ nhất của đoạn thẳng $AB$ bằng $2\sqrt 6$.

d) Đúng. Ta có $y = \frac{{{x^2} + x - 6}}{{x + 1}} - x = \frac{{ - 6}}{{x + 1}}$. Thể tích cần tìm là $V = \pi {\int\limits_0^m {\left( {\frac{{ - 6}}{{x + 1}}} \right)} ^2}dx = 36\pi \cdot \frac{m}{{m + 1}}$.

$\mathop {\lim }\limits_{m \to + \infty } V = \mathop {\lim }\limits_{m \to + \infty } \left( {36\pi \cdot \frac{m}{{m + 1}}} \right) = 36\pi$.

Từ $C$ kẻ $CH \bot AB$

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}AB \bot CH\\AB \bot CC'\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {CHC'} \right) \Rightarrow AB \bot C'H$.

Nên góc nhị diện $\left[ {C,AB,C'} \right]$ là $\widehat {C'HC} \Rightarrow \widehat {C'HC} = 60^\circ$.

a) Đúng. Áp dụng công thức tính diện tích tam giác$ABC$ ta có

${S_{ABC}} = \frac{1}{2}AC \cdot BC \cdot \sin \widehat {ACB} = \frac{1}{2}a \cdot 2a \cdot \sin 120^\circ = \frac{1}{2}a \cdot 2a \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}$.

b) Sai. Áp dụng định lý côsin trong $\Delta ABC:A{B^2} = {a^2} + {\left( {2a} \right)^2} - 2a \cdot 2a \cdot \cos 120^\circ = 7{a^2}$

$\Rightarrow AB = a\sqrt 7$.

Mà ${S_{ABC}} = \frac{1}{2}CH \cdot AB \Rightarrow CH = \frac{{2{S_{ABC}}}}{{AB}} = \frac{{a\sqrt {21} }}{7}$.

Trong $\Delta CHC'$ vuông tại $C \Rightarrow CC' = CH \cdot \tan 60^\circ = \frac{{a\sqrt {21} }}{7}.\sqrt 3 = \frac{{3a\sqrt 7 }}{7}$.

c) Đúng. Trong $\Delta CHC'$vuông, kẻ $CK \bot C'H$ tại $K$.

Khi đó $CK \bot \left( {ABC'} \right) \Rightarrow d\left( {C,\left( {ABC'} \right)} \right) = CK$

Suy ra $CK = \frac{{CC' \cdot CH}}{{\sqrt {C{{C'}^2} + C{H^2}} }} = \frac{{\frac{{3a\sqrt 7 }}{7} \cdot \frac{{a\sqrt {21} }}{7}}}{{\sqrt {{{\left( {\frac{{3a\sqrt 7 }}{7}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{a\sqrt {21} }}{7}} \right)}^2}} }} = \frac{{3a\sqrt 7 }}{{14}}$.

d) Đúng.

Trong mp $\left( {ABC} \right)$ dựng hình bình hành $ABCD$

$\Rightarrow BC//AD \Rightarrow BC//\left( {ADC'} \right) \Rightarrow d\left( {BC,AC'} \right) = d\left( {BC,\left( {ADC'} \right)} \right) = d\left( {C,\left( {ADC'} \right)} \right)$

Kẻ $CM \bot AD$ tại$M$. Vì $BC//AD \Rightarrow \widehat {CAM} = 180^\circ - \widehat {ACB} = 60^\circ$

$CM = AC \cdot \sin 60^\circ = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$

Kẻ $CI \bot C'M$tại $I \Rightarrow CI \bot \left( {ADC'} \right) \Rightarrow d\left( {C,\left( {ADC'} \right)} \right) = CI$.

Áp dụng hệ thức lượng trong $\Delta CMC'$ vuông ta có

$\frac{1}{{C{I^2}}} = \frac{1}{{C{{C'}^2}}} + \frac{1}{{C{M^2}}} = \frac{1}{{{{\left( {\frac{{3a\sqrt 7 }}{7}} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}}} = \frac{{19}}{{9{a^2}}} \Rightarrow CI = \frac{{3a\sqrt {19} }}{{19}}$.

Đáp án: 0,59

Gọi biến cố $A:$ “Xã A mưa”; $B:$ “Xã B mưa”

$\Rightarrow A \cup B:$” Có ít nhất một trong hai xã mưa”

Theo bài ra ta có: $P\left( {\bar A|\overline B } \right) = 0{,}65;\,P\left( {\bar B|\bar A} \right) = 0{,}6$, $P\left( {AB} \right) = 0{,}1$.

Đặt $x = P\left( {A \cup B} \right) \Rightarrow P\left( {\bar A\bar B} \right) = 1 - x$.

Ta có: $P\left( {\bar A} \right) = \frac{{P\left( {\bar A\bar B} \right)}}{{P\left( {\bar B|\bar A} \right)}} = \frac{{1 - x}}{{0{,}6}} \Rightarrow P\left( A \right) = 1 - \frac{{1 - x}}{{0{,}6}} = \frac{{x - 0{,}4}}{{0{,}6}}$.

Tương tự: $P\left( {\bar B} \right) = \frac{{P\left( {\bar A\bar B} \right)}}{{P\left( {\bar A|\bar B} \right)}} = \frac{{1 - x}}{{0{,}65}} \Rightarrow P\left( B \right) = 1 - \frac{{1 - x}}{{0{,}65}} = \frac{{x - 0{,}35}}{{0{,}65}}$.

Ta có: $P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) - P\left( {AB} \right)$

$x = \frac{{x - 0{,}4}}{{0{,}6}} + \frac{{x - 0{,}35}}{{0{,}65}} - 0{,}1 \Leftrightarrow 0{,}86x = 0{,}509$.

$\Rightarrow x \approx 0{,}59$.

Đáp án: 6

Ta có: $f'\left( t \right) = \frac{{ - 12000 \cdot \left( { - 11{,}5{e^{ - 0{,}5t}}} \right)}}{{{{\left( {1 + 23{e^{ - 0{,}5t}}} \right)}^2}}} = \frac{{138000{e^{ - 0{,}5t}}}}{{{{\left( {1 + 23{e^{ - 0{,}5t}}} \right)}^2}}}$.

Để tính tốc độ tăng trưởng người dùng của ứng dụng đạt giá trị lớn nhất ta xét:

$$\begin{array}{l}f''\left( t \right) = 138000 \cdot \frac{{ - 0{,}5{e^{ - 0{,}5t}}{{\left( {1 + 23{e^{ - 0{,}5t}}} \right)}^2} - {e^{ - 0{,}5t}} \cdot 2\left( {1 + 23{e^{ - 0{,}5t}}} \right)\left( { - 11{,}5{e^{ - 0{,}5t}}} \right)}}{{{{\left( {1 + 23{e^{ - 0{,}5t}}} \right)}^4}}} = 0\\ \Leftrightarrow - 0{,}5{e^{ - 0{,}5t}}\left( {1 + 23{e^{ - 0{,}5t}}} \right) + 23{e^{ - t}} = 0 \Leftrightarrow - 0{,}5{e^{ - 0{,}5t}} - 11{,}5{e^{ - t}} + 23{e^{ - t}} = 0\\ \Leftrightarrow - 0{,}5{e^{ - 0{,}5t}} + 11{,}5{e^{ - t}} = 0 \Leftrightarrow - 1 + 23{e^{ - 0{,}5t}} = 0 \Leftrightarrow {e^{ - 0{,}5t}} = \frac{1}{{23}} \Leftrightarrow t = \frac{{\ln 23}}{{0{,}5}} \approx 6{,}271\end{array}$$

Làm tròn đến hàng đơn vị theo yêu cầu của đề bài: $t \approx 6$.

Đáp án: 170

Gọi x là số lô linh kiện loại A được sản xuất trong một tuần $x \in \mathbb{N}$.

Gọi y là số lô linh kiện loại B được sản xuất trong một tuần $y \in \mathbb{N}$.

Thời gian máy Phay CNC: Để sản xuất x lô A và y lô B cần $2x + 3y$ giờ.

Vì máy hoạt động tối đa 120 giờ nên ta có: $2x + 3y \le 120$.

Thời gian máy Tiện CNC: Để sản xuất x lô A và y lô B cần $4x + 2y$ giờ.

Vì máy hoạt động tối đa 160 giờ nên ta có: $4x + 2y \le 160$, rút gọn thành: $2x + y \le 80$.

Hàm mục tiêu lợi nhuận cần đạt giá trị lớn nhất là $F\left( {x;y} \right) = 3x + 4y$(triệu đồng)

Ta có hệ bất phương trình $\left\{ \begin{array}{l}2x + 3y \le 120\\2x + y \le 80\\x;y \in \mathbb{N}\end{array} \right.$

Tại $O\left( {0;0} \right)$có $F = 0$; Tại $C\left( {0;40} \right)$ có $F = 160$;

Tại $A\left( {40;0} \right)$có $F = 120$; Tại $B\left( {30;20} \right)$có $F = 170$.

Kết luận: Giá trị lớn nhất của $F\left( {x,y} \right)$ là 170, đạt được tại $x = 30$và $y = 20$.

Đáp án: 66,9

Chọn hệ trục tọa độ $Oxy$ sao cho $O \equiv A$, điểm $B$ thuộc tia $Ox$, điểm $D$ thuộc tia $Oy$.

Ta có: $I\left( {2;0} \right)$, bán kính $R = \sqrt {A{M^2} + A{I^2}} = \frac{5}{2}$.

Phương trình của đường tròn chứa cung $MN$: ${\left( {x - 2} \right)^2} + {y^2} = \frac{{25}}{4}$$\Rightarrow {y^2} = \frac{{25}}{4} - {\left( {x - 2} \right)^2}$.

Phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại điểm $N\left( {4;1{,}5} \right)$ nhận $\overrightarrow {IN}$ là VTPT: $y = - \frac{4}{3}x + \frac{{41}}{6}$.

Giả sử phương trình của cung parabol $NP$: $y = a{x^2} + bx + c$.

Parabol đi qua hai điểm $N\left( {4;1{,}5} \right),P\left( {5;1{,}5} \right)$ và $y'\left( 4 \right) = - \frac{4}{3}$

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}16a + 4b + c = 1{,}5\\25a + 5b + c = 1{,}5\\8a + b = - \frac{4}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{4}{3}\\b = - 12\\c = \frac{{169}}{6}\end{array} \right.$.

Thể tích của bình là: $V = \pi \int\limits_0^4 {\left[ {\frac{{25}}{4} - {{\left( {x - 2} \right)}^2}} \right]{\rm{d}}x} + \pi \int\limits_4^5 {{{\left( {\frac{4}{3}{x^2} - 12x + \frac{{169}}{6}} \right)}^2}{\rm{d}}x} \approx 66{,}9$ (lít).

Đáp án: 0,58

Ta có $SB = \sqrt {S{A^2} + A{B^2}} = \sqrt {12 + 4} = 4\left( {{\rm{cm}}} \right)$

$\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{B^2}}} = \frac{1}{{12}} + \frac{1}{4} = \frac{1}{3} \Rightarrow AH = \sqrt 3 \left( {{\rm{cm}}} \right)$

Þ $HB = \sqrt {A{B^2} - A{H^2}} = \sqrt {4 - 3} = 1\left( {{\rm{cm}}} \right)$.

Ta có $\frac{{d\left( {H,\left( {ABC} \right)} \right)}}{{d\left( {S,\left( {ABC} \right)} \right)}} = \frac{{HB}}{{SB}} = \frac{1}{4} \Rightarrow d\left( {H,\left( {ABC} \right)} \right) = \frac{1}{4}d\left( {S,\left( {ABC} \right)} \right) = \frac{1}{4}SA = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\left( {{\rm{cm}}} \right)$.

${S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AB \cdot BC = 2\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)$.

Thể tích khối chóp $B.AHC$bằng: $V = \frac{1}{3}{S_{\Delta ABC}} \cdot d\left( {H,\left( {ABC} \right)} \right) = \frac{1}{3} \cdot 2 \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{\sqrt 3 }}{3} \approx 0{,}58\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}} \right)$.

Đáp án: 1

Đường thẳng $d$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow {{u_d}} = \left( {1;2;2} \right)$ và đi qua điểm $M\left( {2;1; - 1} \right)$.

Đường thẳng $\Delta$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow {{u_\Delta }} = \left( {1;1;0} \right)$.

Mặt phẳng $\left( P \right)$ chứa $d$ nên vectơ pháp tuyến $\overrightarrow {{n_P}} \bot \overrightarrow {{u_d}}$.

Gọi $\alpha$ là góc giữa đường thẳng $\Delta$ và mặt phẳng $\left( P \right)$.

Ta có công thức: $\sin \alpha = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_P}} \cdot \overrightarrow {{u_\Delta }} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_P}} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {{u_\Delta }} } \right|}} = \cos \left( {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{u_\Delta }} } \right)$

Để góc $\alpha$ lớn nhất thì góc giữa $\overrightarrow {{n_P}}$ và $\overrightarrow {{u_\Delta }}$ phải nhỏ nhất. Điều này xảy ra khi $\overrightarrow {{n_P}}$ là hình chiếu của $\overrightarrow {{u_\Delta }}$ lên mặt phẳng vuông góc với đường thẳng $d$.

Khi đó, vectơ pháp tuyến $\overrightarrow {{n_P}}$ được xác định bởi: $\overrightarrow {{n_P}} = \left[ {\overrightarrow {{u_d}} ,\left[ {\overrightarrow {{u_\Delta }} ,\overrightarrow {{u_d}} } \right]} \right]$.

Có $\left[ {\overrightarrow {{u_\Delta }} ,\overrightarrow {{u_d}} } \right] = \left( {2; - 2;1} \right)$; $\overrightarrow {{n_P}} = \left[ {\overrightarrow {{u_d}} ,\left[ {\overrightarrow {{u_\Delta }} ,\overrightarrow {{u_d}} } \right]} \right] = \left( {6;3; - 6} \right)$

Chọn VTPT tối giản: $\overrightarrow {{n_P}} = \left( {2;1; - 2} \right)$.

Mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua $M\left( {2;1; - 1} \right)$ và có VTPT $\overrightarrow {{n_P}} = \left( {2;1; - 2} \right)$:

$2\left( {x - 2} \right) + 1\left( {y - 1} \right) - 2\left( {z + 1} \right) = 0$$\Leftrightarrow 2x + y - 2z - 7 = 0$

Đối chiếu với phương trình $ax + by + cz - 7 = 0$, ta được: $a = 2$,$b = 1$,$c = - 2$

Giá trị của biểu thức $T = 2 + 1 + \left( { - 2} \right) = 1$.