Đề tham khảo Tốt nghiệp THPT Toán 2026-2027 (Đề 38)

Điều kiện xác định: $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}$.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{4x + 1}}{{x - 1}} = 4,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{4x + 1}}{{x - 1}} = 4$.

Vậy đường thẳng $y = 4$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. Chọn C.

Thay $\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - t\\y = 3 + t\\z = 2t\end{array} \right.$ vào $\left( \alpha \right):x - 2y + z - 4 = 0$, ta được:

$2 - t - 2\left( {3 + t} \right) + 2t - 4 = 0 \Leftrightarrow t = - 8$.

Thay $t = - 8$ vào $\Delta$ ta được $I\left( {10; - 5; - 16} \right)$. Chọn B.

Giả sử hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$có cạnh là $a$. Khi đó: $CC' = a$, $AC' = a\sqrt 3$.

Ta có $CC' \bot \left( {ABCD} \right)$ nên góc giữa đường thẳng $AC'$ và mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$ bằng $\widehat {C'AC}$.

Xét $\Delta ACC'$có $\sin \widehat {C'AC} = \frac{{CC'}}{{AC'}} = \frac{a}{{a\sqrt 3 }} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}$. Chọn C.

Ta có $f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 2\\x = 1\end{array} \right.$.

Ta có bảng biến thiên của hàm số $y = f\left( x \right)$:

Vậy hàm số $y = f\left( x \right)$ nghịch biến trên khoảng $\left( { - \infty ;1} \right)$. Chọn C.

$\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OC'} = \overrightarrow 0$. Chọn B.

${\left( {\frac{1}{3}} \right)^{x - 1}} \le 3 \Leftrightarrow {3^{ - \left( {x - 1} \right)}} \le {3^1} \Leftrightarrow - \left( {x - 1} \right) \le 1 \Leftrightarrow - x + 1 \le 1 \Leftrightarrow x \ge 0.$

Vì $x \in \left[ { - 8;8} \right]$ và $x \in \mathbb{Z}$ nên $x \in \left\{ {0;1;2; \ldots ;8} \right\}$.

Vậy bất phương trình có $9$ nghiệm nguyên trong đoạn $\left[ { - 8;8} \right]$. Chọn B.

Tổng số khách hàng: $n = 20 + 65 + 40 + 25 + 12 + 10 + 8 + 5 = 185$.

Gọi ${x_1};...;{x_{185}}$ là mức giá của 185 khách hàng dự định mua được sắp theo thứ tự không giảm.

Khi đó ${Q_1} = \frac{{{x_{46}} + {x_{47}}}}{2}$ mà ${x_{46}};{x_{47}} \in \left[ {90;120} \right)$. Vậy nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là $\left[ {90;120} \right)$.

Suy ra $a = 90$ và $b = 120$.

Vậy $S = a + b = 90 + 120 = 210$. Chọn A.

Xét hệ số $a$: Ta thấy $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = + \infty \Rightarrow a > 0$.

Xét hệ số $d$: Ta thấy giao điểm của hàm số với trục $Oy$ tại điểm $O$$\Rightarrow d = 0$.

$\Rightarrow a + d > 0$. Chọn C.

Gọi mặt phẳng cần tìm là $\left( P \right)$.

Ta có: $\left( P \right) \bot AB \Rightarrow \vec n = \overrightarrow {AB} = \left( {1\,;\, - 3\,;\, - 2} \right)$

Mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua điểm $A\left( {1;2;3} \right)$ và có vectơ pháp tuyến $\vec n = \left( {1; - 3; - 2} \right)$ có phương trình là:$1\left( {x - 1} \right) - 3\left( {y - 2} \right) - 2\left( {z - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow x - 3y - 2z + 11 = 0$. Chọn B.

a) Đúng. Trong một giây đầu tiên, đồ thị hàm số $v\left( t \right)$ là đường thẳng đi qua gốc tọa độ và điểm $B\left( {1;2} \right)$.

Vậy vận tốc của chất điểm là $v\left( t \right) = 2t$, $0 \le t \le 1$.

b) Đúng. Đồ thị hàm số $v\left( t \right)$ là đường thẳng $v\left( t \right) = 2$, $1 \le t \le 3$.

Quãng đường chất điểm đi được trong hai giây đầu tiên là $\int\limits_0^1 {2t{\rm{d}}t} + \int\limits_1^2 {2{\rm{d}}t} = 3$ (m).

c) Sai. Parabol $v\left( t \right) = a{t^2} + bt + c$ có đỉnh $C\left( {3;2} \right)$ và đi qua điểm $D\left( {5;0} \right)$

$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} - \frac{b}{{2a}} = 3\\9a + 3b + c = 2\\25a + 5b + c = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - \frac{1}{2}\\b = 3\\c = - \frac{5}{2}\end{array} \right. \Rightarrow v\left( t \right) = - \frac{{{t^2}}}{2} + 3t - \frac{5}{2}$, $3 \le t \le 5$.

d) Sai. Quãng đường chất điểm đi được trong bốn giây đầu tiên là

$\int\limits_0^1 {2t{\rm{d}}t} + \int\limits_1^3 {{\rm{2d}}t} + \int\limits_3^4 {\left( { - \frac{{{t^2}}}{2} + 3t - \frac{5}{2}} \right){\rm{d}}t} \approx 6{,}8$ (m).

Gọi các biến cố khi chuyển 2 bi từ hộp X sang hộp Y:

${A_1}$: Chuyển 2 bi đen. $P\left( {{A_1}} \right) = \frac{{C_5^2}}{{C_{10}^2}} = \frac{{10}}{{45}} = \frac{2}{9}$;

${A_2}$: Chuyển 1 bi đen, 1 bi trắng. $P\left( {{A_2}} \right) = \frac{{C_5^1 \cdot C_5^1}}{{C_{10}^2}} = \frac{{25}}{{45}} = \frac{5}{9}$;

${A_3}$: Chuyển 2 bi trắng. $P\left( {{A_3}} \right) = \frac{{C_5^2}}{{C_{10}^2}} = \frac{{10}}{{45}} = \frac{2}{9}$.

Sau khi chuyển, hộp Y có tổng cộng 14 + 2 = 16 viên bi.

a) Sai. Xác suất lấy được 2 viên bi trắng từ hộp X là: $P\left( {{A_3}} \right) = \frac{{C_5^2}}{{C_{10}^2}} = \frac{{10}}{{45}} = \frac{2}{9}$.

b) Đúng. Gọi B là biến cố lấy được 3 bi đen từ hộp Y.

Nếu ${A_1}$ xảy ra: Hộp Y có 8 đen, 8 trắng. $P\left( {B|{A_1}} \right) = \frac{{C_8^3}}{{C_{16}^3}} = \frac{{56}}{{560}} = \frac{1}{{10}}$;

Nếu ${A_2}$ xảy ra: Hộp Y có 7 đen, 9 trắng. $P\left( {B|{A_2}} \right) = \frac{{C_7^3}}{{C_{16}^3}} = \frac{{35}}{{560}} = \frac{1}{{16}}$;

Nếu ${A_3}$ xảy ra: Hộp Y có 6 đen, 10 trắng. $P\left( {B|{A_3}} \right) = \frac{{C_6^3}}{{C_{16}^3}} = \frac{{20}}{{560}} = \frac{1}{{28}}$.

$P\left( B \right) = \frac{2}{9} \cdot \frac{1}{{10}} + \frac{5}{9} \cdot \frac{1}{{16}} + \frac{2}{9} \cdot \frac{1}{{28}} = \frac{1}{{45}} + \frac{5}{{144}} + \frac{1}{{126}} = \frac{{109}}{{1680}}$.

c) Đúng. Gọi C là biến cố lấy được 2 bi đen, 1 bi trắng từ hộp Y.

Nếu ${A_1}$ xảy ra: Hộp Y có 8 đen, 8 trắng. $P\left( {C|{A_1}} \right) = \frac{{C_8^2 \cdot C_8^1}}{{C_{16}^3}} = \frac{{28 \cdot 8}}{{560}} = \frac{{224}}{{560}} = \frac{2}{5}$;

Nếu ${A_2}$ xảy ra: Hộp Y có 7 đen, 9 trắng. $P(C|{A_2}) = \frac{{C_7^2 \cdot C_9^1}}{{C_{16}^3}} = \frac{{21 \cdot 9}}{{560}} = \frac{{189}}{{560}}$;

Nếu ${A_3}$ xảy ra: Hộp Y có 6 đen, 10 trắng. $P\left( {C|{A_3}} \right) = \frac{{C_6^2 \cdot C_{10}^1}}{{C_{16}^3}} = \frac{{15 \cdot 10}}{{560}} = \frac{{150}}{{560}} = \frac{{15}}{{56}}$;

$P\left( C \right) = \frac{2}{9} \cdot \frac{{224}}{{560}} + \frac{5}{9} \cdot \frac{{189}}{{560}} + \frac{2}{9} \cdot \frac{{150}}{{560}} = \frac{{448 + 945 + 300}}{{9 \cdot 560}} = \frac{{1693}}{{5040}}$.

d) Sai. Gọi D là biến cố: “H lấy được 2 viên bi đen trong hộp Y là 2 bi đen từ hộp X chuyển qua”.

$$P\left( {CD} \right) = P\left( {{A_1}} \right).P\left( {BC|{A_1}} \right) = \frac{2}{9}.\frac{{C_2^2 \cdot C_8^1}}{{C_{16}^3}} = \frac{1}{{315}}$$

$P\left( {D|C} \right) = \frac{{P\left( {CD} \right)}}{{P\left( C \right)}} = \frac{{\frac{1}{{315}}}}{{\frac{{1693}}{{5040}}}} = \frac{{16}}{{1693}}$.

a) Đúng. $f'\left( x \right) = 3{x^2} - 6x$.

b) Đúng. $f'\left( x \right) = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.$. Ta có bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên, hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( {0;2} \right)$.

c) Sai. Ta có $A\left( {0;4} \right)$, $B\left( {2;0} \right)$ là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số.

$\overrightarrow {AB} = \left( {2; - 4} \right) \Rightarrow AB = \sqrt {{2^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} = 2\sqrt 5$.

d) Đúng. Ta có $f\left( x \right) - 4 = {x^3} - 3{x^2}$.

Khi đó $y = \frac{{{x^4} - 2{x^3}}}{{f\left( x \right) - 4}} = \frac{{{x^3}\left( {x - 2} \right)}}{{{x^2}\left( {x - 3} \right)}} = \frac{{x\left( {x - 2} \right)}}{{x - 3}} = x + 1 + \frac{3}{{x - 3}}$.

Khi đó $x = 3$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số và $y = x + 1$ là tiện cận xiên của đồ thị hàm số.

a) Đúng. Ta có $A\left( {0;0;0{,}1} \right)$ và ${R_1} = 6$; $B\left( {10;0;0{,}1} \right)$ và ${R_2} = 8$.

Gọi $O,\,B'$ lần lượt là chân của trạm phát sóng A và B.

Phương trình biểu thị vùng phát sóng của trạm A là phương trình mặt cầu $\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {\left( {z - 0{,}1} \right)^2} = 36$.

b) Sai. Gọi $H;\,\,K$ là hình chiếu vuông góc của C lên trục hoành và trục tung

Điểm C (nút giao đường) nằm trên mặt đất $(Oxy)$, có tung độ dương nên tọa độ $C(x;y;0)$.

Tọa độ điểm C là nghiệm của hệ $\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} = {6^2}\\{\left( {x - 10} \right)^2} + {y^2} = {8^2}\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3{,}6\\y = 4{,}8\end{array} \right.$. Vậy $C(3{,}6;4{,}8;0)$.

Một vecto chỉ phương của đường thẳng AC là $\overrightarrow n = \left( {36;48; - 1} \right)$

Vậy phương trình đường thẳng AC là $\frac{x}{{36}} = \frac{y}{{48}} = \frac{{z - 0{,}1}}{{ - 1}}$.

c) Đúng. Ta có $OC = 6\;{\rm{km}};\,CD = 60\;{\rm{m}} = 0{,}06\;{\rm{km}}$$\Rightarrow OD = OC - CD = 6 - 0{,}06 = 5{,}94$

Có $\frac{{OE}}{{OH}} = \frac{{OD}}{{OC}} \Rightarrow OE = \frac{{OH \cdot OD}}{{OC}} = 3{,}564$

Có $\frac{{OF}}{{OK}} = \frac{{OD}}{{OC}} \Rightarrow OF = \frac{{OK \cdot OD}}{{OC}} = 4{,}752$, vậy $D\left( {3{,}564;\,4752;\,0} \right)$

$\Rightarrow BD = \sqrt {{{\left( {10 - 3{,}564} \right)}^2} + {{\left( {4{,}752} \right)}^2} + {{0{,}1}^2}} = 8{,}00085 > 8$.

d) Đúng.

Gọi $J$ là hình chiếu vuông góc của ${F_2}$ lên $BB'$

$\Rightarrow {F_2}B = 3;\,\,BJ = 0{,}05;\,\,{F_2}J = \sqrt {{3^2} - {{0{,}05}^2}} = 2{,}999583304$

Gọi G là hình chiếu vuông góc của ${F_2}$ lên mặt phẳng $Oxy$

${F_2}D = \sqrt {{F_2}{G^2} + D{G^2}}$, nên ${F_2}D$ đạt lớn nhất khi $DG$ lớn nhất, khi đó $D,\,\,B',\,\,G$thẳng hàng

$\Rightarrow DG = DB' + B'G$ $= \sqrt {{{\left( {10 - 3{,}564} \right)}^2} + {{4{,}752}^2}} + 2{,}999583304 \approx 10{,}9998083$.

$\Rightarrow D{F_2} = \sqrt {{{0{,}05}^2} + D{G^2}} = 10{,}99992194$

Lại có $D{F_1}$ lớn nhất khi $D,\,\,A,\,\,{F_1}$ thẳng hàng$\Rightarrow D{F_1} = {R_1} + AD = 4 + 5{,}94 = 9{,}94$

Tổng khoảng cách lớn nhất $D{F_1} + D{F_2} = 20{,}93992194 \approx 21$ km.

Đáp án: 50.

Chiều dài tuyến là $100$ km, vận tốc khai thác là $v$ km/h, nên thời gian một chuyến là:

$t = \frac{{100}}{v}$ (giờ).

Doanh thu

Số khách: $N\left( v \right) = \frac{v}{5} + 20$.

Giá vé bình quân $500000$ đồng/khách nên doanh thu:

$R\left( v \right) = 500000\left( {\frac{v}{5} + 20} \right) = 100000v + 10000000$.

Chi phí điện

Công suất: $P\left( v \right) = 10{v^3}$ (W) $= 0{,}01{v^3}$ (kW).

Điện lượng tiêu thụ: $A = P\left( v \right) \cdot t = 0{,}01{v^3} \cdot \frac{{100}}{v} = {v^2}$ (kWh).

Tiền điện: ${C_1}\left( v \right) = 2000{v^2}$.

Chi phí vận hành cố định: ${C_2}\left( v \right) = 2500000 \cdot \frac{{100}}{v} = \frac{{250000000}}{v}$.

Lợi nhuận ròng: $L\left( v \right) = R\left( v \right) - {C_1}\left( v \right) - {C_2}\left( v \right)$$= 100000v + 10000000 - 2000{v^2} - \frac{{250000000}}{v}$.

Xét đạo hàm: $L'\left( v \right) = 100000 - 4000v + \frac{{250000000}}{{{v^2}}}$.

Giải $L'\left( v \right) = 0$, hay $100000 - 4000v + \frac{{250000000}}{{{v^2}}} = 0$$\Leftrightarrow {v^3} - 25{v^2} - 62500 = 0$$\Leftrightarrow v = 50$.

Lại có $L'\left( v \right) > 0$ khi $v < 50$ và $L'\left( v \right) < 0$ khi $v > 50$, nên lợi nhuận lớn nhất tại $v = 50{\rm{ km/h}}$.

Đáp án: 13.

Gọi $A$ là biến cố: “Số ghế của Tâm, Vy, Tuệ theo thứ tự lập thành một cấp số cộng”.

Ta có $n\left( \Omega \right) = 27!$.

Gọi số ghế của Tâm, Vy, Tuệ là $a,\,b,\,c$. Vì $a,\,b,\,c$ theo thứ tự lập thành một cấp số cộng nên $a + c = 2b$ nên $a,\,c$ cùng chẵn hoặc cùng lẻ.

Chọn $a,\,c$ có $C_{13}^2 + C_{14}^2$ cách. Khi đó $b$ có $1$ cách chọn.

$24$ bạn còn lại có $24!$ cách chọn. Khi đó $P\left( A \right) = \frac{{\left( {C_{13}^2 + C_{14}^2} \right) \cdot 24!}}{{27!}} \cdot 2 = \frac{{13}}{{675}}$.

Vậy $P = 13$.

Đáp án: 379.

Gọi số tiền anh An vay ngân hàng là $A = 1$tỷ với lãi suất $r = 10{,}5\% /$năm.

Số tiền nợ sau một năm: ${A_1} = A + Ar = A\left( {1 + r} \right)$

Số tiền nợ sau hai năm: ${A_2} = {A_1} + {A_1}r = {A_1}\left( {1 + r} \right) = A{\left( {1 + r} \right)^2} = 1221{,}025$ triệu đồng.

Anh An dùng 2 tỷ mua căn hộ với giá 40 triệu đồng/${{\rm{m}}^{\rm{2}}}$. Nên căn hộ có diện tích $50\;{{\rm{m}}^{\rm{2}}}$.

Sau 2 năm, anh An bán với giá 52 triệu đồng/${{\rm{m}}^{\rm{2}}}$$\Rightarrow$số tiền anh thu được là $52 \cdot 50 = 2600$ triệu đồng.

Số tiền lãi của anh An sau 2 năm: $2600 - 1000 - 1221{,}025 = 378{,}975 \approx 379$ triệu đồng.

Đáp án: 0,7.

Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ như hình vẽ.

$H \equiv O(0;0;0)$, tia $HB$ trùng với tia $Ox$, tia $HA\prime$ trùng với tia $Oz$, và trục $Oy$ song song với $AD$.

$d\left( {D,\,\left( {A'BC} \right)} \right) = d\left( {AD,\,\left( {A'BC} \right)} \right) = d\left( {A,\,\left( {A'BC} \right)} \right) = 2d\left( {H,\,\left( {A'BC} \right)} \right)$.

Kẻ $HI \bot A'B$ suy ra $d\left( {H,\left( {A'BC} \right)} \right) = HI$.

Theo giả thiết: $d\left( {D,\,\left( {A'BC} \right)} \right) = \frac{3}{4}$ hay $2HI = \frac{3}{4} \Leftrightarrow$$HI = \frac{3}{8}$.

$\frac{1}{{A'{H^2}}} + \frac{1}{{H{B^2}}} = \frac{1}{{H{I^2}}} \Rightarrow H{A'^2} = \frac{9}{{28}} = {h^2}$.

Ta có: $A\left( { - \frac{1}{2};\,{\mkern 1mu} 0\,;{\mkern 1mu} \,0} \right)$; $B\left( {\frac{1}{2};{\mkern 1mu} \,0\,;{\mkern 1mu} \,0} \right)$; $C\left( {\frac{1}{2};{\mkern 1mu} \,2\,;{\mkern 1mu} \,0} \right)$;$D\left( { - \frac{1}{2};\,{\mkern 1mu} 2\,;{\mkern 1mu} \,0} \right)$; $A\prime \left( {0\,;\,{\mkern 1mu} 0\,;\,h} \right)$.

Đường thẳng $A\prime B$ đi qua $B$ có vectơ chỉ phương ${\vec u_1} = \overrightarrow {BA\prime } = \left( { - \frac{1}{2};\,{\mkern 1mu} 0\,;{\mkern 1mu} \,h} \right)$.

Đường thẳng $AC$ đi qua $A$ có vectơ chỉ phương ${\vec u_2} = \overrightarrow {AC} = \left( {1\,;\,{\mkern 1mu} 2\,;\,{\mkern 1mu} 0} \right)$.

Ta có: $\left[ {{{\vec u}_1},{{\vec u}_2}} \right] = \left( { - 2h\,;{\mkern 1mu} \,h\,;{\mkern 1mu} - 1} \right)$ và $\overrightarrow {AB} = \left( {1\,;\,{\mkern 1mu} 0\,;\,{\mkern 1mu} 0} \right)$.

Khoảng cách giữa $A\prime B$ và $AC$ là:

$$d\left( {A\prime B,AC} \right) = \frac{{\left| {\left[ {{{\vec u}_1},{{\vec u}_2}} \right] \cdot \overrightarrow {AB} } \right|}}{{\left| {\left[ {{{\vec u}_1},{{\vec u}_2}} \right]} \right|}} = \frac{{| - 2h|}}{{\sqrt {4{h^2} + {h^2} + 1} }} = \frac{{2h}}{{\sqrt {5{h^2} + 1} }}$$

Thay ${h^2} = \frac{9}{{28}}$ vào ta được:

$d = \sqrt {\frac{{4{h^2}}}{{5{h^2} + 1}}} = \sqrt {\frac{{4 \cdot \frac{9}{{28}}}}{{5 \cdot \frac{9}{{28}} + 1}}} = \sqrt {\frac{{\frac{9}{7}}}{{\frac{{45 + 28}}{{28}}}}} = \sqrt {\frac{9}{{73}}} = \frac{3}{{\sqrt {73} }} \approx 0{,}7$.

Đáp án: 12.

Ta có: $\overrightarrow {AB} = \left( {2;1; - 2} \right) \Rightarrow AB = 3$. Vì $\overrightarrow {AB}$ cùng phương với $\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}}$ nên $AB \bot \left( P \right)$.

Ta tính được $d\left( {A,\left( P \right)} \right) = 4$ và $d\left( {B,\left( P \right)} \right) = 7$. Gọi $I$ là hình chiếu của $A$ lên $\left( P \right)$.

Do $I \in AB:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 2t\\y = 5 + t\\z = - 1 - 2t\end{array} \right. \Rightarrow I\left( {2 + 2t;5 + t; - 1 - 2t} \right) \in \left( P \right):2x + y - 2z + 1 = 0$

$\Rightarrow 2\left( {2 + 2t} \right) + 5 + t - 2\left( { - 1 - 2t} \right) + 1 = 0 \Leftrightarrow t = - \frac{4}{3} \Rightarrow I\left( { - \frac{2}{3};\frac{{11}}{3};\frac{5}{3}} \right)$.

Gọi $E$ là tâm mặt cầu và $M$ là trung điểm $AB$, ta có: $MA = MB = \frac{{AB}}{2} = \frac{3}{2}$.

Với $C$ là tiếp điểm của mặt cầu và $\left( P \right)$, ${R_{mc}} = EC = MA + d\left( {A,\left( P \right)} \right) = \frac{3}{2} + 4 = \frac{{11}}{2}$

$\Rightarrow CI = \sqrt {R_{mc}^2 - M{B^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{11}}{2}} \right)}^2} - {{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^2}} = 2\sqrt 7$.

Vậy tiếp điểm $C$ chuyển động trên đường tròn tâm $I\left( { - \frac{2}{3};\frac{{11}}{3};\frac{5}{3}} \right)$, bán kính $2\sqrt 7$.

Gọi $H$ là hình chiếu của $O$ lên $\left( P \right)$, suy ra $OH = d\left( {O,\left( P \right)} \right) = \frac{1}{3}$.

Lại có: $OI = \frac{{5\sqrt 6 }}{3} \Rightarrow IH = \sqrt {O{I^2} - O{H^2}} = \frac{{\sqrt {149} }}{3} < 2\sqrt 7$.

Do đó, $O{C_{\min }} = O{C_1} = \sqrt {O{H^2} + {C_1}{H^2}}$ với ${C_1}H = CI - IH = 2\sqrt 7 - \frac{{\sqrt {149} }}{3} = \frac{{ - \sqrt {149} + 6\sqrt 7 }}{3}$

$\Rightarrow O{C_{\min }} = \sqrt {{{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{ - \sqrt {149} + 6\sqrt 7 }}{3}} \right)}^2}} \approx 1{,}2673$ (chục mét).

Khoảng cách thực tế ngắn nhất từ $O$ tới $C$ là $L = 1{,}2673 \cdot 10 = 12{,}673$.

Tổng chi phí thấp nhất là $T = 12{,}673 \cdot 950000 = 12039350$ đồng ≈ 12 triệu đồng.

Đáp án: 446.

Ta có lợi nhuận của doanh nghiệp là

$R\left( x \right) = F\left( x \right) - xG\left( x \right) = - 0{,}03{x^2} + 800x - 450x - 50000$$= - 0{,}03{x^2} + 350x - 50000$

Để lợi nhuận lớn hơn $100$ triệu đồng ta có

$- 0{,}03{x^2} + 350x - 50000 > 100000$$\Leftrightarrow - 0{,}03{x^2} + 350x - 150000 > 0$

$\Leftrightarrow$$445{,}59 < x < 11221{,}07$, $x \in {\mathbb{N}^*}$

Vậy doanh nghiệp cần sản xuất ít nhất $446$ sản phẩm.