Đề tham khảo Tốt nghiệp THPT Toán 2026-2027 (Đề 29)

Từ đồ thị suy ra đồ thị hàm số đã cho có đường tiệm cận ngang là đường thẳng $y = - 1$.

Chọn D.

Phương trình tổng quát của mặt phẳng có dạng:

$Ax + By + Cz + D = 0$ với ${A^2} + {B^2} + {C^2} > 0$.

Do đó, trong các phương trình đã cho chỉ có phương trình $2x + y + z + 3 = 0$ là phương trình tổng quát của đường thẳng. Chọn C.

Phương trình chính tắc của đường thẳng có dạng: $\frac{{x - {x_0}}}{a} = \frac{{y - {y_0}}}{b} = \frac{{z - {z_0}}}{c}$ với $abc \ne 0$.

Do đó, trong các đáp án đã cho chỉ có phương trình $\frac{{x - 9}}{7} = \frac{{y - 8}}{{ - 1}} = \frac{{z - 6}}{{ - 2}}$ là phương trình chính tắc của đường thẳng. Chọn B.

Phương trình mặt cầu tâm $I\left( {a;b;c} \right)$ bán kính $R$ có dạng:

${\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}$.

Do đó, trong các đáp án đã cho chỉ có phương trình ${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = {5^2}$ là phương trình mặt cầu. Chọn D.

Công thức tính xác suất của biến cố $A$ khi biết biến cố $B$ đã xảy ra$\left( {P\left( B \right) > 0} \right)$ là:

$P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( B \right)}}$. Chọn B.

Mặt phẳng $\left( P \right):\frac{x}{1} + \frac{y}{{ - 2}} + \frac{z}{3} = 1 \Leftrightarrow 6x - 3y + 2z - 6 = 0 \Rightarrow \overrightarrow n = \left( {6; - 3;2} \right)$

$d\left( {M,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {6 \cdot 2 - 3 \cdot 1 - 2 \cdot 1 - 6} \right|}}{{\sqrt {{6^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2} + {2^2}} }} = \frac{1}{7}$. Chọn A.

a) Đúng. Ta có: $f\left( 0 \right) = 0;\,f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 2 + \frac{\pi }{2}$.

b) Sai. $f'\left( x \right) = 2\cos x + 1$.

c) Đúng. $f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 2\cos x + 1 = 0 \Leftrightarrow \cos x = - \frac{1}{2} \Leftrightarrow x = \pm \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi ,\,k \in \mathbb{Z}.$

Suy ra trên đoạn $\left[ {\frac{\pi }{2};\pi } \right]$, phương trình $f'\left( x \right) = 0$ có một nghiệm $x = \frac{{2\pi }}{3}.$

d) Sai. Ta có $f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 2 + \frac{\pi }{2};\,f\left( {\frac{{2\pi }}{3}} \right) = \sqrt 3 + \frac{{2\pi }}{3};\,f\left( \pi \right) = \pi$$\Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ {\frac{\pi }{2};\pi } \right]} f\left( x \right) = \pi$.

a) Đúng. Ta có phương trình đường thẳng $OA$ là $v = 2t$, đường thẳng $AB$ là $v = 2$.

Do đó ta có công thức hàm vận tốc là: $v\left( t \right) = \left\{ \begin{array}{l}2t\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\,0 \le t \le 1\\2\,\,\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\,t > 1\end{array} \right.$.

b) Đúng. Quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian từ a giây đến b giây được xác định bởi công thức $s\left( t \right) = \int\limits_a^b {v\left( t \right)\,{\rm{d}}t}$.

Do đó quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian từ 0 giây đến 1 giây được xác định bởi công thức $s\left( t \right) = \int\limits_0^1 {v\left( t \right)\,{\rm{d}}t}$.

c) Sai. Quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian từ 1 giây đến 2 giây được xác định bởi công thức $s\left( t \right) = \int\limits_1^2 {v\left( t \right)\,{\rm{d}}t}$.

d) Đúng. Quãng đường mà vật đi được trong 2 giây đầu tiên là:

$s\left( t \right) = \int\limits_0^2 {v\left( t \right)\,{\rm{d}}t} = \int\limits_0^1 {2t{\rm{d}}t} + \int\limits_1^2 {2\,{\rm{d}}t} = \left. {{t^2}} \right|_0^1 + \left. {2t} \right|_1^2 = 1 + 2$$= 3\,{\rm{m}}$.

a) Đúng. Từ biểu đồ, ta có bảng thống kê sau:

b) Sai. Số trung bình của mẫu số liệu ngân hàng A là:

${\bar x_{\rm{A}}} = \frac{{6 \cdot 1{,}5 + 7 \cdot 2{,}5 + 9 \cdot 3{,}5 + 10 \cdot 4{,}5 + 5 \cdot 5{,}5 + 1 \cdot 6{,}5}}{{38}} = \frac{{137}}{{38}}$.

Phương sai của mẫu số liệu ngân hàng A là:

$s_{\rm{A}}^2 = \frac{{6 \cdot {{1{,}5}^2} + 7 \cdot {{2{,}5}^2} + 9 \cdot {{3{,}5}^2} + 10 \cdot {{4{,}5}^2} + 5 \cdot {{5{,}5}^2} + 1 \cdot {{6{,}5}^2}}}{{38}} - {\left( {\frac{{137}}{{38}}} \right)^2} = \frac{{661}}{{361}}$.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ngân hàng A là: ${s_{\rm{A}}} = \sqrt {s_{\rm{A}}^2} = \frac{{\sqrt {661} }}{{19}}$.

c) Sai. Số trung bình của mẫu số liệu ngân hàng B là:

${\bar x_{\rm{B}}} = \frac{{8 \cdot 1{,}5 + 6 \cdot 2{,}5 + 8 \cdot 3{,}5 + 9 \cdot 4{,}5 + 5 \cdot 5{,}5 + 2 \cdot 6{,}5}}{{38}} =$$\frac{{68}}{{19}}$.

Phương sai của mẫu số liệu ngân hàng B là:

$s_{\rm{B}}^2 = \frac{{8 \cdot {{1{,}5}^2} + 6 \cdot {{2{,}5}^2} + 8 \cdot {{3{,}5}^2} + 9 \cdot {{4{,}5}^2} + 5 \cdot {{5{,}5}^2} + 2 \cdot {{6{,}5}^2}}}{{38}} - {\left( {\frac{{68}}{{19}}} \right)^2} = \frac{{3221}}{{1444}}$.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ngân hàng B là: ${s_{\rm{B}}} = \sqrt {s_{\rm{B}}^2} = \sqrt {\frac{{3221}}{{1444}}}$.

d) Sai. Vì ${s_{\rm{A}}} < {s_{\rm{B}}}$ nên rủi ro của ngân hàng A thấp hơn rủi ro của ngân hàng B khi cho khách hàng vay nợ.

Gắn hệ trục tọa độ $Oxyz$.

a) Đúng. Phương trình tham số của đường cáp là: $\left\{ \begin{array}{l}x = 10 + 2t\\y = 3 - 2t\\z = t\end{array} \right.,t \in \mathbb{R}$.

b) Đúng. Do tốc độ di chuyển của cabin là $4{,}5\,\,{\rm{m/s}}$ nên độ dài $AM = 4{,}5t\,\,\left( {\rm{m}} \right)$.

Vì vậy $\left| {\overrightarrow {AM} } \right| = 4{,}5t$ với $t \ge 0$.

Ta có $\overrightarrow {AM}$ và $\vec u$ cùng hướng nên $\overrightarrow {AM} = k\vec u$ với $k > 0$.

Suy ra $\left| {\overrightarrow {AM} } \right| = k\left| {\vec u} \right| = k \cdot \sqrt {{2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + 1} = 3k$

$\Rightarrow 3k = 4{,}5t \Rightarrow k = \frac{{3t}}{2} \Rightarrow \overrightarrow {AM} = \frac{{3t}}{2}\vec u = \left( {3t; - 3t;\frac{{3t}}{2}} \right)$.

Gọi tọa độ điểm $M$ là $M\left( {{x_M};{y_M};{z_M}} \right)$.

Vì $\overrightarrow {AM} = \left( {3t; - 3t;\frac{{3t}}{2}} \right)$ nên $\,\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}\begin{array}{l}{x_M} = 3t + {x_A}\\{y_M} = - 3t + {y_A}\end{array}\\{{z_M} = \frac{{3t}}{2} + {z_A}\,\,\,\,}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}\begin{array}{l}{x_M} = 3t + 10\\{y_M} = - 3t + 3\end{array}\\{{z_M} = \frac{{3t}}{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.$.

Vậy điểm $M$ có tọa độ là $M\left( {3t + 10; - 3t + 3;\frac{{3t}}{2}} \right)$.

c) Sai. Do ${x_B} = 550$ nên $3t + 10 = 550 \Rightarrow t = 180\left( {\rm{s}} \right)$.

Do đó điểm $B\left( {550; - 537;270} \right)$.

Phương trình mặt phẳng đi qua điểm $B$ và vuông góc với đường cáp là:

$2\left( {x - 550} \right) - 2\left( {y + 537} \right) + \left( {z - 270} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x - 2y + z - 2444 = 0$.

d) Sai. Đường thẳng $AB$ có một vectơ chỉ phương $\vec u = \left( {2; - 2;1} \right)$ và $\left( {Oxy} \right)$ có một vectơ pháp tuyến $\vec k = \left( {0;0;1} \right)$. Do đó ta có $\sin \left( {AB,\left( {Oxy} \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\vec u,\vec k} \right)} \right| = \frac{{\left| {\vec u \cdot \vec k} \right|}}{{\left| {\vec u} \right| \cdot \left| {\vec k} \right|}} = \frac{1}{{3 \cdot 1}} = \frac{1}{3}$.

Vậy $\left( {AB,\left( {Oxy} \right)} \right) \approx 19^\circ$.

Đáp án: 95.

Gọi $p$ (nghìn đồng) là giá của mỗi vé; $x$ là số khán giả mua vé. Ta cần xác định hàm cầu $p = p\left( x \right)$. Theo giả thiết, tốc độ thay đổi của $x$ tỉ lệ với tốc độ thay đổi của $p$ nên hàm số $p = p\left( x \right)$ là hàm số bậc nhất.

Giá vé ${p_1} = 100$ ứng với ${x_1} = 27000$ và giá vé ${p_2} = 90$ ứng với ${x_2} = 27000 + 3000 = 30000$.

Do đó, phương trình đường thẳng $p = ax + b$ đi qua hai điểm $\left( {27000;100} \right)$ và $\left( {30000;90} \right)$ là $p - 100 = \frac{{100 - 90}}{{27000 - 30000}}\left( {x - 27000} \right)$

hay $p - 100 = - \frac{1}{{300}}\left( {x - 27000} \right)$, tức là $x = - 300p + 57000$.

Hàm doanh thu từ tiền bán vé là $R\left( p \right) = px = p\left( { - 300p + 57000} \right) = - 300{p^2} + 57000p.$

Ta cần tìm $p$ sao cho $R$ đạt giá trị lớn nhất. Ta có:

$R'\left( p \right) = - 600p + 57000;\,\,R'\left( p \right) = 0 \Leftrightarrow p = 95.$

Bảng biến thiên:

Vậy với giá vé là 95 nghìn đồng một vé thì doanh thu bán vé là lớn nhất.

Đáp án: $753$.

Kí hiệu ${u_n}$ là mức lương của quý thứ $n$ làm việc cho công ty.

Khi đó ${u_1} = 60$ và ${u_{n + 1}} = {u_n} + 0{,}5,\,\,n \ge 1$.

Dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ lập thành cấp số cộng có số hạng đầu ${u_1} = 60$ và công sai $d = 0{,}5$.

Một năm có 4 quý nên 3 năm có tổng 12 quý.

Số tiền lương sau 3 năm bằng tổng số tiền lương của 12 quý và bằng tổng 12 số hạng đầu tiên của cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$. Vậy, tổng số tiền lương nhận được sau 3 năm làm việc cho công ty của kỹ sư là ${S_{12}} = \frac{{12 \cdot \left[ {2 \cdot 60 + 11 \cdot 0{,}5} \right]}}{2} = 753$ (triệu đồng).

Đáp án: 0,33.

Gọi $H$ là trung điểm của $AB$, $G$ là giao điểm của $SH$ và $BM$.

Do $\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right)$ nên $SH \bot \left( {ABCD} \right)$.

Trong mặt phẳng $\left( {SHN} \right)$, kẻ đường thẳng đi qua $G$ và song song với $SN$, cắt $HN$ tại $E$.

Ta có $SN{\rm{//}}\left( {BGE} \right)$ nên

$d\left( {BM,SN} \right) = d\left( {SN,\left( {BGE} \right)} \right) = d\left( {S,\left( {BGE} \right)} \right)$.

Do $G$ là trọng tâm của tam giác $SAB$ nên $\frac{{d\left( {S,\left( {BGE} \right)} \right)}}{{d\left( {H,\left( {BGE} \right)} \right)}} = \frac{{SG}}{{HG}} = 2$

$\Rightarrow d\left( {S,\left( {BGE} \right)} \right) = 2d\left( {H,\left( {BGE} \right)} \right)$.

Ta có $HE = \frac{1}{3}HN = \frac{1}{3}$ nên ${S_{\Delta BHE}} = \frac{1}{2}BH \cdot HE \cdot \sin 120^\circ = \frac{{\sqrt 3 }}{{24}}$.

Thể tích của tứ diện $GBHE$ là ${V_{GBHE}} = \frac{1}{3}GH \cdot {S_{\Delta BHE}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{6} \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{{24}} = \frac{1}{{144}}$.

Mặt khác ${V_{GBHE}} = \frac{1}{3} \cdot d\left( {H,\left( {BGE} \right)} \right) \cdot {S_{\Delta BGE}}$.

Ta có $B{E^2} = B{H^2} + H{E^2} - 2BH \cdot HE \cdot \cos 120^\circ = \frac{{19}}{{36}}$, $BG = \frac{{\sqrt 3 }}{3}$,

$GE = \frac{1}{3}SN = \frac{1}{3}\sqrt {S{H^2} + H{N^2}} = \frac{1}{3}\sqrt {\frac{3}{4} + 1} = \frac{{\sqrt 7 }}{6}$.

Vì $B{E^2} = B{G^2} + G{E^2}$ nên tam giác $BGE$ vuông tại $G$, ${S_{\Delta BGE}} = \frac{1}{2}BG \cdot GE = \frac{{\sqrt {21} }}{{36}}$.

Do đó $d\left( {H,\left( {BGE} \right)} \right) = \frac{{3{V_{GBHE}}}}{{{S_{\Delta BGE}}}} = \frac{3}{{4\sqrt {21} }}$. Vậy $d\left( {BM,SN} \right) = 2 \cdot \frac{3}{{4\sqrt {21} }} = \frac{{\sqrt {21} }}{{14}} \approx 0{,}33$.

Đáp án: $0{,}48$.

Gọi $A$ là biến cố: “Vận động viên thuộc đội I”, $\bar A$ là biến cố: “Vận động viên thuộc đội II”.

Gọi $B$ là biến cố: “Vận động viên đạt huy chương vàng”.

Theo bài ra ta có: $P\left( A \right) = \frac{6}{{14}} = \frac{3}{7}$, $P\left( {\bar A} \right) = 1 - P\left( A \right) = \frac{4}{7}$;

$P\left( {B|A} \right)$ là xác suất đạt huy chương vàng của vận động viên thuộc đội I nên $P\left( {B|A} \right) = 0{,}75$;

$P\left( {B|\overline A } \right)$ là xác suất đạt huy chương vàng của vận động viên thuộc đội II nên $P\left( {B|\overline A } \right) = 0{,}6$.

$P\left( {A|B} \right)$ là xác suất để vận động viên thuộc đội I biết vận động viên đạt huy chương vàng.

Theo công thức Bayes ta có:

$P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( A \right) \cdot P\left( {B|A} \right)}}{{P\left( A \right) \cdot P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right) \cdot P\left( {B|\overline A } \right)}} = \frac{{\frac{3}{7} \cdot 0{,}75}}{{\frac{3}{7} \cdot 0{,}75 + \frac{4}{7} \cdot 0{,}6}} \approx 0{,}48$.

Đáp án: $403$.

Chọn hệ tọa độ như hình vẽ (đơn vị trên mỗi trục tọa độ tính bằng decimét). Khi đó, ta xác định được các cánh hoa tạo bởi các đường parabol có phương trình $y = \frac{{{x^2}}}{2}$, $y = - \frac{{{x^2}}}{2}$,$x = - \frac{{{y^2}}}{2}$,$x = \frac{{{y^2}}}{2}$.

Ta có $x = \frac{{{y^2}}}{2} \Leftrightarrow {y^2} = 2x \Leftrightarrow y = \pm \sqrt {2x}$.

Diện tích một cánh hoa (nằm trong góc phần tư thứ nhất) bằng diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số$y = \frac{{{x^2}}}{2}$,$y = \sqrt {2x}$ và hai đường thẳng $x = 0;x = 2$.

Do đó diện tích một cánh hoa bằng $\int\limits_0^2 {\left( {\sqrt {2x} - \frac{{{x^2}}}{2}} \right){\rm{d}}x}$$= \frac{4}{3}\left( {{\rm{d}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right) = \frac{{400}}{3}\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)$.

Suy ra $a = 400,\,b = 3$. Vậy $a + b = 400 + 3 = 403$.

Đáp án: 1555.

Do chiếc máy bay di duyển với tốc độ và hướng không đổi từ $A$ đến $B$ trong 10 phút và từ $B$ đến $C$ trong 10 phút.

Nên suy ra $AB = BC$ và $A,\,B,\,C$ thẳng hàng.

Suy ra $B$ là trung điểm của $AC$$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_B} = \frac{{{x_A} + {x_C}}}{2}\\{y_B} = \frac{{{y_A} + {y_C}}}{2}\\{z_B} = \frac{{{z_A} + {z_C}}}{2}\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}950 = \frac{{812 + x}}{2}\\530 = \frac{{600 + y}}{2}\\6 = \frac{{5 + z}}{2}\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1088\\y = 460\\z = 7\end{array} \right.$.

Vậy $x + y + z = 1555$.