Đề tham khảo Tốt nghiệp THPT Toán 2026-2027 (Đề 28)

Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} \frac{{{x^2} - 2x + 3}}{{x + 1}} = - \infty$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \frac{{{x^2} - 2x + 3}}{{x + 1}} = + \infty$.

Vậy đồ thị hàm số đã cho có 1 tiệm cận đứng là đường thẳng $x = - 1$. Chọn C.

Tập xác định của hàm số là $\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}$. Ta có $y' = \frac{{ - 3}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} < 0,\,\forall x \in \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}$.

Do đó, hàm số đã cho nghịch biến trên từng khoảng xác định.

Có $1 \notin \left[ {2;4} \right]$ nên $\mathop {\max }\limits_{\left[ {2;\,4} \right]} y = y\left( 2 \right) = \frac{{2 + 2}}{{2 - 1}} = 4$. Chọn A.

Ta tính khoảng cách từ điểm $I$ đến các điểm trong các đáp án:

$IA = \sqrt {{{\left( { - 4 + 6} \right)}^2} + {{\left( {0 + 1} \right)}^2} + {{\left( {2 - 4} \right)}^2}} = 3 > 2$;

$IB = \sqrt {{{\left( { - 5 + 6} \right)}^2} + {{\left( { - 2 + 1} \right)}^2} + {{\left( {5 - 4} \right)}^2}} = \sqrt 3 < 2$;

$IC = \sqrt {{{\left( { - 6 + 6} \right)}^2} + {{\left( {2 + 1} \right)}^2} + {{\left( {2 - 4} \right)}^2}} = \sqrt {13} > 2$;

$ID = \sqrt {{{\left( {0 + 6} \right)}^2} + {{\left( { - 1 + 1} \right)}^2} + {{\left( {4 - 4} \right)}^2}} = 6 > 2$.

Vậy người sử dụng điện thoại đứng ở điểm $B\left( { - 5; - 2;5} \right)$ thì sử dụng được dịch vụ của trạm.

Chọn B.

Gọi $A$ là biến cố: “Học sinh làm đúng bài toán đầu tiên”;

$B$ là biến cố: “Học sinh làm đúng bài toán thứ hai”.

Ta có $P\left( A \right) = 60\% = 0{,}6$; $P\left( B \right) = 40\% = 0{,}4$.

Biến cố $AB$: “Học sinh làm đúng cả hai bài toán”. Ta có $P\left( {AB} \right) = 20\% = 0{,}2$.

Xác suất để học sinh làm đúng bài toán thứ hai biết rằng học sinh đã làm đúng bài toán đầu tiên là: $P\left( {B|A} \right) = \frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( A \right)}} = \frac{{0{,}2}}{{0{,}6}} = \frac{1}{3} \approx 0{,}333$. Chọn B.

Tổng số HS tham gia dự thi: $25 + 35 + 37 + 15 + 8 = 120$.

Điểm trung bình của các thí sinh dự thi là: $\overline x = \frac{{25 \cdot 10 + 35 \cdot 30 + 37 \cdot 50 + 15 \cdot 70 + 8 \cdot 90}}{{120}} = 41$.

Chọn A.

Ta có $y = \frac{1}{8}\left( {{x^3} - 3{x^2} - 9x - 5} \right) \Rightarrow y' = \frac{1}{8}\left( {3{x^2} - 6x - 9} \right)$.

a) Sai. Ta có

$y' = \frac{1}{8}\left( {3{x^2} - 6x - 9} \right) = \frac{3}{8}\left[ {{{\left( {x - 1} \right)}^2} - 4} \right] \ge - \frac{3}{2}$

Dấu đẳng thức xảy ra khi ${x_0} = 1 \Rightarrow {y_0} = - 2$.

Vậy tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của đồ thị hàm số $\left( C \right)$ là tiếp tuyến tại điểm $\left( {1; - 2} \right)$ có phương trình là $y = y'\left( 1 \right)\left( {x - 1} \right) - 2 = - \frac{3}{2}\left( {x - 1} \right) - 2 = - \frac{3}{2}x - \frac{1}{2}$ nên tiếp tuyến không đi qua điểm $A\left( {0; - \frac{7}{3}} \right)$.

b) Sai. Hàm số $y = \frac{1}{8}\left( {{x^3} - 3{x^2} - 9x - 5} \right)$ liên tục trên $\left[ {4;8} \right]$.

Giải $y' = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 6x - 9 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1 \notin \left[ {4;8} \right]\\x = 3 \notin \left[ {4;\,8} \right]\end{array} \right.$.

Ta có $y\left( 4 \right) = - \frac{{25}}{8};\,\,y\left( 8 \right) = \frac{{243}}{8} \Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left[ {4;\,8} \right]} y = y\left( 8 \right) = \frac{{243}}{8}$.

c) Đúng. Ta có: $y'' = \frac{1}{8}\left( {6x - 6} \right)$. Giải $y'' = 0 \Leftrightarrow \frac{1}{8}\left( {6x - 6} \right) = 0 \Leftrightarrow x = 1 \Rightarrow y = - 2$ nên tọa độ tâm đối xứng của đồ thị hàm số đã cho là $\left( {1; - 2} \right)$ .

d) Đúng. Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị là $A\left( { - 1;0} \right);\;B\left( {3; - 4} \right)$.

a) Đúng. Ta có $\overrightarrow {MA} = - \overrightarrow {AM} = - \frac{1}{5}\overrightarrow {AD} = - \frac{1}{5}\overrightarrow b$.

b) Sai. $\overrightarrow {EN} = \frac{2}{5}\overrightarrow {EC} = \frac{2}{5}\left( {\overrightarrow {EF} + \overrightarrow {EH} + \overrightarrow {EA} } \right) = \frac{2}{5}\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b - \overrightarrow c } \right)$.

c) Đúng. ${\left( {m \cdot \overrightarrow a + n \cdot \overrightarrow b + p \cdot \overrightarrow c } \right)^2} = {m^2} \cdot {\overrightarrow a ^2} + {n^2} \cdot {\overrightarrow b ^2} + {p^2} \cdot {\overrightarrow c ^2} + 2mn \cdot \overrightarrow a \cdot \overrightarrow b + 2np \cdot \overrightarrow b \cdot \overrightarrow c + 2mp \cdot \overrightarrow a \cdot \overrightarrow c$

$= {m^2} \cdot {\overrightarrow a ^2} + {n^2} \cdot {\overrightarrow b ^2} + {p^2} \cdot {\overrightarrow c ^2}$. (vì $\overrightarrow a ,\,\overrightarrow b ,\,\overrightarrow c$ đôi một vuông góc nên $\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = \overrightarrow b \cdot \overrightarrow c = \overrightarrow a \cdot \overrightarrow c = 0$).

d) Đúng. Ta có $\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AE} + \overrightarrow {EN} = - \frac{1}{5}\overrightarrow b + \overrightarrow c + \frac{2}{5}\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b - \overrightarrow c } \right) = \frac{2}{5}\overrightarrow a + \frac{1}{5}\overrightarrow b + \frac{3}{5}\overrightarrow c$.

$M{N^2} = {\overrightarrow {MN} ^2} = {\left( {\frac{2}{5}\overrightarrow a + \frac{1}{5}\overrightarrow b + \frac{3}{5}\overrightarrow c } \right)^2} = \frac{4}{{25}}{\overrightarrow a ^2} + \frac{1}{{25}}{\overrightarrow b ^2} + \frac{9}{{25}}{\overrightarrow c ^2} = \frac{4}{{25}} \cdot 4 + \frac{1}{{25}} \cdot 9 + \frac{9}{{25}} \cdot 4 = \frac{{61}}{{25}}$.

Suy ra $MN = \frac{{\sqrt {61} }}{5}$.

a) Đúng. Vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$ là $\vec u = \left( {2;1;3} \right).$

b) Sai. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( P \right)$ là $\vec n = \left( {1;\;\; - 1;1} \right).$

c) Đúng. $\left( Q \right) \bot \Delta \Rightarrow {\rm{VTPT}}\,\;{\vec n_{\left( Q \right)}} = \left( {2;1;3} \right)$.

Khi đó phương trình mặt phẳng $\left( Q \right):2x + y + 3z = 0$.

d) Đúng. Góc giữa đường thẳng $\Delta$ và mặt phẳng $\left( P \right)$:

$$\sin \left( {\Delta ,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2 \cdot 1 + 1 \cdot \left( { - 1} \right) + 3 \cdot 1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {3^2}} \cdot \sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {1^2}} }} = \frac{4}{{\sqrt {42} }} \Rightarrow \left( {\Delta ,\left( P \right)} \right) \approx 38^\circ .$$

Gọi biến cố $A$ là: “Có mưa vào thứ hai”; biến cố $B$ là: “Có mưa vào thứ ba”.

Từ giả thiết có $P\left( A \right) = {x^2} \Rightarrow P\left( {\overline A } \right) = 1 - {x^2}$; $P\left( {B|A} \right) = \frac{1}{4}x$ và $P\left( {B|\overline A } \right) = x$.

a) Sai. Ta có $P\left( {B|A} \right) = \frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( A \right)}}$. Suy ra $P\left( {A \cap B} \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( {B|A} \right)$.

Xác suất để mưa sẽ rơi vào cả thứ hai và thứ ba là $P\left( A \right) \cdot P\left( {B|A} \right) = {x^2} \cdot \frac{1}{4}x = \frac{{{x^3}}}{4}$.

b) Sai. Để khả năng trời sẽ có mưa vào cả thứ hai và thứ ba là $25\%$ thì $\frac{{{x^3}}}{4} = 25\% \Leftrightarrow x = 1$.

c) Sai. Xác suất để trời sẽ mưa vào thứ ba là

$P\left( B \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right) \cdot P\left( {B|\overline A } \right)$$= {x^2} \cdot \frac{1}{4}x + \left( {1 - {x^2}} \right) \cdot x$$= x - \frac{{3{x^3}}}{4}$.

d) Đúng. Điều kiện của biến $0 \le x \le 1$.

Xét hàm số $y = x - \frac{3}{4}{x^3}$ trên đoạn $\left[ {0;1} \right]$. Ta có ${y^\prime } = 1 - \frac{9}{4}{x^2};{\rm{ }}{y^\prime } = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{2}{3}\\x = - \frac{2}{3}(l)\end{array} \right.$.

$y\left( 0 \right) = 0;{\rm{ }}y\left( {\frac{2}{3}} \right) = \frac{4}{9};{\rm{ }}y\left( 1 \right) = \frac{1}{4}.$ Suy ra $\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;1} \right]} y = y\left( {\frac{2}{3}} \right)$.

Như vậy, khi $x = \frac{2}{3}$ thì xác suất trời sẽ mưa vào thứ ba là lớn nhất.

Theo công thức Bayes, xác suất để có mưa vào thứ hai biết trời mưa vào thứ ba là

$P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( A \right) \cdot P\left( {B|A} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{{x^2} \cdot \frac{1}{4}x}}{{x - \frac{3}{4}{x^3}}} = \frac{{{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^2} \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3}}}{{\frac{2}{3} - \frac{3}{4} \cdot {{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^3}}} = \frac{1}{6}$.

Đáp án: $14$.

Ta có $IM = \sqrt {{{\left( {7 - 3} \right)}^2} + {{\left( {10 - 4} \right)}^2} + {{\left( {17 - 5} \right)}^2}} = \sqrt {{4^2} + {6^2} + {{12}^2}} = \sqrt {196} = 14$ (m).

Đáp án: $9{,}8$.

Gọi parabol $y = f\left( x \right)$ có dạng $f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c$. Parabol $y = f\left( x \right)$ nhận $Oy$ làm trục đối xứng nên ta có $\frac{{ - b}}{{2a}} = 0 \Leftrightarrow b = 0$. Lại có đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ đi qua điểm $\left( {0; - 1} \right)$ và điểm $\left( {2;0} \right)$ nên $a = \frac{1}{4}$ và $c = - 1$. Vậy parabol $y = f\left( x \right) = \frac{1}{4}{x^2} - 1$.

Tương tự, ta cũng có parabol $y = g\left( x \right) = - \frac{1}{4}{x^2} + 2$.

Phương trình hoành độ giao điểm của $f\left( x \right)$ và $g\left( x \right)$ là:

$\frac{1}{4}{x^2} - 1 = - \frac{1}{4}{x^2} + 2 \Leftrightarrow x = \sqrt 6$ hoặc $x = - \sqrt 6$.

Khi đó, diện tích của logo là:

$S = \int\limits_{ - \sqrt 6 }^{\sqrt 6 } {\left[ {\left( { - \frac{1}{4}{x^2} + 2} \right) - \left( {\frac{1}{4}{x^2} - 1} \right)} \right]{\rm{d}}x} = \int\limits_{ - \sqrt 6 }^{\sqrt 6 } {\left( {3 - \frac{1}{2}{x^2}} \right){\rm{d}}x = } \left. {\left( {3x - \frac{{{x^3}}}{6}} \right)} \right|_{ - \sqrt 6 }^{\sqrt 6 } = 4\sqrt 6 \approx 9{,}8\,\,\left( {{\rm{d}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)$.

Đáp án: $18$.

Gọi ${u_n}$ (nghìn đồng) là số tiền mà mỗi người lao động có được sau ngày đi làm thứ $n\,\left( {n \in {\mathbb{N}^*}} \right)$, có ${u_1} = 110$ và ${u_{n + 1}} = {u_n} + 20$ với $n$ là số nguyên dương nên tổng số tiền mà mỗi người lao động có được sau $n$ ngày đi làm là:

${S_n} = \frac{{\left( {{u_1} + {u_n}} \right)n}}{2} = \frac{{\left[ {110 + 110 + \left( {n - 1} \right) \cdot 20} \right] \cdot n}}{2} = 10\left( {{n^2} + 10n} \right)$.

Suy ra ${S_n} > 5\,000 \Leftrightarrow 10\left( {{n^2} + 10n} \right) > 5\,000 \Leftrightarrow {n^2} + 10n - 500 > 0 \Leftrightarrow n > - 5 + 5\sqrt {21} \approx 17{,}9.$

Vì $n \in {\mathbb{N}^*}$ nên mỗi lao động phải làm cho công ty ít nhất $18$ ngày để có được nhiều hơn $5$ triệu đồng.

Đáp án: $0{,}02$.

Có 10 chữ số là: $0,\,1,\,2,\,3,\,4,\,5,\,6,\,7,\,8,\,9$. Khi đó, dãy kí tự $\overline {abcd}$ với mỗi kí tự là một chữ số và chữ số 0 có thể đứng đầu nên mỗi thứ tự $a,\,b,\,c,\,d$ đều có 10 cách chọn. Số phần tử của không gian mẫu là ${10^4} = 10\,000.$

Số các bộ bốn chữ số $\overline {abcd}$ thỏa mãn $a < b < c < d$ bằng số tập con gồm 4 phần tử của tập hợp 10 chữ số và bằng $C_{10}^4 = 210$. Vậy xác suất cần tìm là $\frac{{210}}{{10000}} \approx 0{,}02$.

Đáp án: $1\,000$.

Số tiền hãng thu được khi đại lí nhập $x$ chiếc điện thoại là $f\left( x \right) = x\left( {6\,\,000 - 3x} \right)$.

Ta có: $f'\left( x \right) = - \,6x + 6\,000$. Khi đó, $f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 1\,000$.

Bảng biến thiên của hàm số $f\left( x \right)$ là:

Vậy đại lí nhập cùng lúc $1\,000$ chiếc điện thoại thì hãng có thể thu nhiều tiền nhất từ đại lí đó.

Đáp án: $0{,}49$.

Xét các biến cố A: “Chọn được học sinh thuộc câu lạc bộ bóng chuyền”;

B: “Chọn được học sinh nữ”.

Theo giả thiết, ta có: $P\left( A \right) = 0{,}6\,;P\left( {\overline A } \right) = 0{,}4;\,P\left( {B|A} \right) = 0{,}65;P\left( {B|\overline A } \right) = 0{,}25$.

Theo công thức xác suất toàn phần, xác suất chọn được học sinh nữ là:

$P\left( B \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right) \cdot P\left( {B|\overline A } \right) = 0{,}6\, \cdot \,0{,}65 + 0{,}4\, \cdot 0{,}25 = 0{,}49$.