Đề tham khảo Tốt nghiệp THPT Toán 2026-2027 (Đề 26)

Đường thẳng đi qua $A$ và song song $BC$ nhận $\overrightarrow {BC} = \left( { - 2; - 2;4} \right)$ làm vectơ chỉ phương, suy ra $\overrightarrow {u\,} = \left( {1;1; - 2} \right)$ cũng là vectơ chỉ phương.

Phương trình đường thẳng cần tìm: $\frac{x}{1} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z - 3}}{{ - 2}}$. Chọn C.

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy:

Đồ thị hàm số nhận đường thẳng $x = - 3$ là tiệm cận đứng và đường thẳng $y = 2$ là tiệm cận ngang (loại đáp án A và B).

Hàm số đã cho đồng biến trên mỗi khoảng xác định.

Xét hàm số $y = \frac{{2x + 7}}{{x + 3}} \Rightarrow y' = \frac{{ - 1}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}} < 0\,\,\left( {\forall x \ne - 3} \right) \Rightarrow$Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định nên ta loại đáp án C. Chọn D.

Ta có: $\log \left( {x - 1} \right) < 2 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 1 > 0\\x - 1 < {10^2} = 100\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 1\\x < 101\end{array} \right. \Leftrightarrow 1 < x < 101$.

Tập nghiệm của bất phương trình đã cho là $\left( {1;101} \right)$. Chọn A.

Ta có $\frac{x}{{ - 2}} + \frac{y}{{ - 1}} + \frac{z}{3} = 1 \Leftrightarrow 3x + 6y - 2z + 6 = 0$.

Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng đã cho là $\overrightarrow n = \left( {3;6; - 2} \right)$. Chọn A.

Tam giác $SAC$ cân tại $S$ (vì $SA = SC$) có $SO$ là đường trung tuyến nên $SO \bot AC$.

Tương tự, ta có $SO \bot BD$.

Mà $AC \cap BD = O;AC,BD \subset \left( {ABCD} \right)$.

Vậy $SO \bot \left( {ABCD} \right)$. Chọn B.

Ta có $\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SC} = \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {SD} + \overrightarrow {DC}$

$= \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SD} + \left( {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {DC} } \right) = \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SD}$.

Chọn B.

a) Đúng. Hàm số có tập xác định là $\mathbb{R}$.

b) Sai. Ta có $y' = f'\left( x \right) = 3{x^2} - 6x - 9 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = - 1}\\{x = 3}\end{array}} \right.$.

Bảng biến thiên:

Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng $\left( { - \infty ; - 1} \right)$ và $\left( {3; + \infty } \right)$.

c) Đúng. Từ bảng biến thiên ta thấy giá trị cực tiểu của hàm số bằng 8.

d) Sai. Ta có $f\left( { - 1} \right) = 40$; $f\left( 3 \right) = 8$; $f\left( { - 4} \right) = - 41$; $f\left( 4 \right) = 15$.

Vậy $\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 4;4} \right]} f\left( x \right) = - 41$ đạt được khi $x = - 4$.

a) Đúng. Gọi Parabol $\left( P \right):v = a{t^2} + bt + c$ khi $0 \le t \le 5\left( {\rm{s}} \right)$

Do $\left( P \right):v = a{t^2} + bt + c$ đi qua $I\left( {2;3} \right);A\left( {0;11} \right)$ nên $\left\{ \begin{array}{l}4a + 2b + c = 3\\c = 11\\4a + b = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = - 8\\c = 11\end{array} \right..$

Vậy $\left( P \right):y = 2{t^2} - 8t + 11$.

b) Sai. Quãng đường chất điểm di chuyển trong khoảng thời gian từ $0$ đến $5$ giây là:

${S_1} = \int\limits_0^5 {\left( {2{t^2} - 8t + 11} \right){\rm{d}}t = \frac{{115}}{3}} \left( {\rm{m}} \right)$.

c) Đúng. Với $t = 5$ thì $v\left( 5 \right) = 2 \cdot {5^2} - 8 \cdot 5 + 11 = 21$.

Gọi $d:v = at + b$ khi $5 \le t \le 10\left( {\rm{s}} \right)$. Do $d$ đi qua điểm $B\left( {5;21} \right)$ và $C\left( {10;0} \right)$ nên:

$\left\{ \begin{array}{l}5a + b = 21\\10a + b = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - \frac{{21}}{5}\\b = 42\end{array} \right..$ Khi đó, $d:v = - \frac{{21}}{5}t + 42$.

Vậy quãng đường chất điểm di chuyển trong khoảng thời gian từ $5$ đến $10$ giây là:

${S_2} = \int\limits_5^{10} {\left( { - \frac{{21}}{5}t + 42} \right){\rm{d}}t = \frac{{105}}{2}} \left( {\rm{m}} \right)$.

d) Đúng. Quãng đường đi được của chất điểm trong thời gian từ $0$ đến $10$ giây là:

$$S = {S_1} + {S_2} = \frac{{115}}{3} + \frac{{105}}{2} = \frac{{545}}{6}\left( {\rm{m}} \right).$$

a) Sai. Một vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$ là $\vec a = \left( {0; - 3;4} \right)$.

b) Đúng. Mặt phẳng $\left( P \right)$ có một vectơ pháp tuyến là $\vec n = \left( {1;3; - 2} \right)$.

Đường thẳng ${d_1}$ vuông góc với $\left( P \right)$ nên có một vectơ chỉ phương là $\vec u = \vec n = \left( {1;3; - 2} \right)$.

c) Sai. Ta có $\,1 + 3\left( {2 - 3t} \right) - 2\left( {3 + 4t} \right) + 16 = 0 \Leftrightarrow t = 1$.

Vậy đường thẳng $\Delta$ cắt mặt phẳng $\left( P \right)$ tại điểm $M\left( {1; - 1;7} \right)$.

d) Sai. Một vectơ chỉ phương của đường thẳng ${d_2}$ là $\vec u' = \left[ {\vec a,\vec n} \right] = \left( { - 6;4; - 3} \right)$.

Đường thẳng ${d_2}$ đi qua $A\left( {1; - 1;2} \right)$ nên có phương trình là $\frac{{x - 1}}{{ - 6}} = \frac{{y + 1}}{4} = \frac{{z - 2}}{{ - 3}}$.

a) Đúng. Kho hàng có $85\%$ sản phẩm loại I nên $P\left( A \right) = 0{,}85.$

b) Đúng. Trong kho hàng có $1\%$ sản phẩm loại I bị hỏng nên $P\left( {\bar B|A} \right) = 0{,}99.$

Khi đó, $P\left( {B|A} \right) = 1 - P\left( {\bar B|A} \right) = 1 - 0{,}01 = 0{,}99$.

c) Đúng. Ta có $P\left( {\bar A} \right) = 0{,}15$; $P\left( {B|\bar A} \right) = 1 - 0{,}04 = 0{,}96$.

Theo công thức xác suất toàn phần, ta có:

$P\left( B \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( {B|A} \right) + P\left( {\bar A} \right) \cdot P\left( {B|\bar A} \right) = 0{,}85 \cdot 0{,}99 + 0{,}15 \cdot 0{,}96 = 0{,}9855$.

d) Sai. Theo công thức Bayes, ta có: $P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( A \right) \cdot P\left( {B|A} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{0{,}85 \cdot 0{,}99}}{{0{,}9855}} \approx 0{,}854$.

Đáp án: 450.

Gọi $x$ (nghìn đồng) là giá phòng khách sạn cần đặt ra, $x > 400$ (đơn vị: nghìn đồng).

Giá chênh lệch sau khi tăng $x - 400$ (nghìn đồng).

Số phòng cho thuê giảm nếu giá là $x$ nghìn đồng là: $\frac{{\left( {x - 400} \right) \cdot 2}}{{20}} = \frac{{x - 400}}{{10}}$.

Số phòng cho thuê với giá $x$ nghìn đồng là: $50 - \frac{{x - 400}}{{10}} = 90 - \frac{x}{{10}}$.

Tổng doanh thu trong ngày là: $f\left( x \right) = x\left( {90 - \frac{x}{{10}}} \right) = - \frac{{{x^2}}}{{10}} + 90x$.

Ta có: $f'\left( x \right) = - \frac{x}{5} + 90$. $f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 450$.

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy $f\left( x \right)$ đạt giá trị lớn nhất khi $x = 450$.

Vậy nếu cho thuê với giá 450 nghìn đồng thì sẽ có doanh thu cao nhất trong ngày.

Đáp án: 2.

Giả sử cạnh bên $AA' = BB' = CC' = h$.

Ta có: $\overrightarrow {BM} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BA'} } \right) = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BB'} } \right) = \overrightarrow {BA} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BB'}$

$\overrightarrow {AC'} = \overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {A'C'}$

$\overrightarrow {BM} \cdot \overrightarrow {AC'} = \left( {\overrightarrow {BA} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BB'} } \right)\left( {\overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {A'C'} } \right)$

$= \overrightarrow {BA} \cdot \overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {BA} \cdot \overrightarrow {A'C'} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BB'} \cdot \overrightarrow {AA'} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BB'} \cdot \overrightarrow {A'C'}$

$= 0 + BA \cdot AC \cdot \cos 120^\circ + \frac{1}{2}BB' \cdot AA' \cdot \cos 0^\circ + 0$

$= a \cdot a \cdot \left( { - \frac{1}{2}} \right) + \frac{1}{2}h \cdot h = - \frac{1}{2}{a^2} + \frac{1}{2}{h^2}$.

Theo giả thiết: $BM \bot AC' \Rightarrow \overrightarrow {BM} \cdot \overrightarrow {AC'} = 0 \Leftrightarrow \frac{1}{2}{h^2} = \frac{1}{2}{a^2} \Leftrightarrow h = a$.

Diện tích tam giác $ABC$ là: ${S_{ABC}} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}$.

Vì $AM\,{\rm{//}}\,\left( {BCC'} \right)$ nên ${V_{M.BCC'}} = {V_{A.BCC'}}$ hay ${V_{M.BCC'}} = \frac{{\sqrt 3 }}{{12}}{a^3}$.

Ta có $MB = MC' = \frac{{a\sqrt 5 }}{2},\,\,BC' = a\sqrt 2$. Theo công thức Heron suy ra ${S_{MBC'}} = \frac{{{a^2}\sqrt 6 }}{4}$.

Vậy khoảng cách cần tìm là $d\left( {C,\left( {BMC'} \right)} \right) = \frac{{3{V_{CBMC'}}}}{{{S_{MBC'}}}} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}a$.

Do $a = 2\sqrt 2$ nên $d\left( {C,\left( {BMC'} \right)} \right) = 2$.

Đáp án: 0,49.

Xét các biến cố A: “Chọn được học sinh thuộc câu lạc bộ bóng chuyền”;

B: “Chọn được học sinh nữ”.

Theo giả thiết, ta có: $P\left( A \right) = 0{,}6\,;P\left( {\overline A } \right) = 0{,}4;\,P\left( {B|A} \right) = 0{,}65;P\left( {B|\overline A } \right) = 0{,}25$.

Theo công thức xác suất toàn phần, xác suất chọn được học sinh nữ là:

$P\left( B \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right) \cdot \,P\left( {B|\overline A } \right) = 0{,}6 \cdot \,0{,}65 + 0{,}4\, \cdot 0{,}25 = 0{,}49$.

Đáp án: 6,75.

Gọi phương trình parabol $\left( P \right):y = a{x^2} + bx + c$. Do tính đối xứng của parabol nên ta có thể chọn hệ trục tọa độ $Oxy$ sao cho $\left( P \right)$ có đỉnh $I \in Oy$ (như hình vẽ dưới).

Ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}\frac{9}{4} = c,\left( {I \in \left( P \right)} \right)\\\frac{9}{4}a - \frac{3}{2}b + c = 0\left( {A \in \left( P \right)} \right)\\\frac{9}{4}a + \frac{3}{2}b + c = 0\left( {B \in \left( P \right)} \right)\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}c = \frac{9}{4}\\a = - 1\\b = 0\end{array} \right.$. Vậy $\left( P \right):y = - {x^2} + \frac{9}{4}$.

Dựa vào đồ thị, diện tích cửa parabol là:

$S = \int\limits_{\frac{{ - 3}}{2}}^{\frac{3}{2}} {\left( { - {x^2} + \frac{9}{4}} \right){\rm{d}}x}$$= 2\int\limits_0^{\frac{3}{2}} {\left( { - {x^2} + \frac{9}{4}} \right){\rm{d}}x}$$= \left. {2\left( {\frac{{ - {x^3}}}{3} + \frac{9}{4}x} \right)} \right|_0^{\frac{3}{2}}$$= \frac{9}{2}{{\rm{m}}^2}$.

Số tiền phải trả là: $\frac{9}{2} \cdot 1{,}5 = 6{,}75$ (triệu đồng).

Đáp án: 15.

Ta có: $\overrightarrow {AB} = k\overrightarrow u ,\,$$k \ne 0$ (do $\overrightarrow {AB}$ và $\overrightarrow u$ cùng phương)

$\Leftrightarrow \left( {540\,;\,{y_B} - 3\,;{z_B}} \right) = k\left( {2\,; - 2\,;\,1} \right)$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}540 = 2k\\{y_B} - 3 = - 2k\\{z_B} = k\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k = 270\\{y_B} = - 537\\{z_B} = 270\end{array} \right.$.

Suy ra $B\left( {550\,;\, - 537\,;\,270} \right)$.

$\Rightarrow AB = \sqrt {{{\left( {550 - 10} \right)}^2} + {{\left( { - 537 - 3} \right)}^2} + {{\left( {270 - 0} \right)}^2}} = 810$ (m).

Khi đó, $\frac{{AD}}{{AB}} = \frac{{4050}}{{810}} = 5$ hay $AD = 5AB$.

Mà vận tốc không đổi chuyển động đều theo cáp thẳng đến $D$ và thời gian di chuyển từ $A$ đến $B$ là 3 phút.

Nên thời gian di chuyển của cabin trên quãng đường $AD$ là $5 \cdot 3 = 15$ (phút).

Đáp án: 6,7.

Theo bài ta có $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{k \cdot {a^2} = 3}\\{k \cdot {a^5} = 10}\end{array}(1)} \right.$. Ta cần tìm $t$ sao cho $k \cdot {a^t} = 20$.

Từ $(1) \Rightarrow k = \frac{3}{{{a^2}}}$ và ${a^3} = \frac{{10}}{3} \Rightarrow a = \sqrt[3]{{\frac{{10}}{3}}}$.

$\Rightarrow \frac{3}{{{a^2}}} \cdot {a^t} = 20 \Leftrightarrow {a^{t - 2}} = \frac{{20}}{3} \Leftrightarrow t - 2 = {\log _a}\frac{{20}}{3} \Rightarrow t = 2 + {\log _{\sqrt[3]{{\frac{{10}}{3}}}}}\frac{{20}}{3} \approx 6{,}7.{\rm{ }}$