Đề tham khảo Tốt nghiệp THPT Toán 2026-2027 (Đề 13)

Hàm số mũ $y = {2^x}$ xác định với mọi $x \in \mathbb{R}$ nên tập xác định là $D = \mathbb{R}.$ Chọn A.

Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh $Ox$ là $V = \pi \;\int\limits_0^1 {{{\left( {{e^{2x}}} \right)}^2}} {\rm{d}}x = \pi \;\int\limits_0^1 {{e^{4x}}} {\rm{d}}x$.

Chọn A.

Ta có $V = B \cdot h$. Mà khối lăng trụ tam giác có thể tích $V = 36{a^3}$ và diện tích đáy $B = 4{a^2}.$

Suy ra $h = \frac{V}{B} = \frac{{36{a^3}}}{{4{a^2}}} = 9a$. Chọn C.

Phương trình đường thẳng vuông góc với mặt phẳng $\left( P \right)$ có dạng $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = {x_0} + 2t}\\{y = {y_0} - 3t\,\,\left( {t \in \mathbb{R}} \right)}\\{z = {z_0} - t}\end{array}} \right.$.

Phương trình đường thẳng này đi qua điểm $\left( { - 1\,;0\,;2} \right)$ nên $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = - 1 + 2t}\\{y = - 3t}\\{z = 2 - t}\end{array}\left( {t \in \mathbb{R}} \right)} \right.$. Chọn B.

Ta có ${\log _{\frac{1}{2}}}x \ge - 3$$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x > 0}\\{x \le {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^{ - 3}}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x > 0}\\{x \le 8}\end{array} \Leftrightarrow 0 < x \le 8.} \right.} \right.$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S = \left( {0\,;8} \right]$. Chọn A.

Do $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} y = \infty \Rightarrow x = 2$ là tiệm cận đứng của hàm số nên loại B, D.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = 1 \Rightarrow y = 1$ là tiệm cận ngang của hàm số nên loại A. Chọn C.

Ta có $\int f \left( x \right){\rm{d}}x = 4x + C \Rightarrow f\left( x \right) = 4$$\Rightarrow \left( {x - 1} \right)f\left( x \right) = 4\left( {x - 1} \right) = 4x - 4$.

Vậy $\int {\left( {x - 1} \right)} f\left( x \right){\rm{d}}x = \int {\left( {4x - 4} \right)} \,{\rm{d}}x = 2{x^2} - 4x + C$. Chọn B.

a) Sai. Do $t = 0$ tại thời điểm 6 giờ sáng nên tại thời điểm 9 giờ sáng thì $t = 3$.

Ta có $f\left( 3 \right) = 100 \cdot 3 = 300$ gallon/giờ.

b) Đúng. Với $t = 3,\,\,100t = - 200t + a \Leftrightarrow - 600 + a = 300$$\Leftrightarrow a = 900$.

c) Sai. Tại 11 giờ trưa (tương đương $t = 5$), tốc độ thay đổi lượng nước trong bể là

$f\left( 5 \right) = - 200 \cdot 5 + 900 = - 100$ gallon/giờ.

Tại 15 giờ chiều (tương đương $t = 9$), tốc độ thay đổi lượng nước trong bể là

$f\left( 9 \right) = 100 \cdot 9 - 900 = 0$ gallon/giờ.

d) Đúng. Từ $3 \le t \le 9$, lượng nước đang giảm về 0.

Lượng nước trong bể bắt đầu tăng trở lại từ $9 \le t \le 12$.

Lượng nước trong bể từ 15 giờ chiều đến 18 giờ chiều là: $250 + \int\limits_9^{12} {\left( {100t - 900} \right)\,} {\rm{d}}t = 700{\rm{ (gallon)}}{\rm{.}}$

a) Đúng. Một vectơ chỉ phương của đường thẳng $d$ là $\overrightarrow {{u_d}} = \left( {1\,; - 1\,;2} \right)$.

b) Sai. Toạ độ của điểm $H$ thuộc đường thẳng $d:\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y - 1}}{{ - 1}} = \frac{{z + 1}}{2}$ theo tham số $t$ là

$\left( {2 + t\,;1 - t\,; - 1 + 2t} \right),\,\,\left( {t \in \mathbb{R}} \right)$.

c) Sai. Ta có $H\left( {2 + t;1 - t; - 1 + 2t} \right),A\left( {0\,;2\,; - 4} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AH} = \left( {2 + t\,; - 1 - t\,;3 + 2t} \right)$.

Do $H$ là hình chiếu của $A$ lên $d$ nên $\overrightarrow {{u_d}} \bot \overrightarrow {AH} \Leftrightarrow \overrightarrow {{u_d}} \cdot \overrightarrow {AH} = 0$

$\Leftrightarrow 1 \cdot \left( {2 + t} \right) + \left( { - 1} \right) \cdot \left( { - 1 - t} \right) + 2 \cdot \left( {3 + 2t} \right) = 0 \Leftrightarrow t = - \frac{3}{2} \Rightarrow H\left( {\frac{1}{2};\frac{5}{2}\,; - 4} \right)$.

d) Sai. Ta có $\overrightarrow {AH} = \left( {\frac{1}{2};\frac{1}{2};0} \right)$.

Vì với $a,b,c \in \mathbb{Z}$ nên đường thẳng $AH$ có vô số vectơ chỉ phương và kết quả thay đổi nên không xác định được tổng đó. Nên kết luận trên sai.

a) Sai. Tỉ lệ học sinh tiêm vắc xin phòng bệnh Thủy Đậu trong một trường $M$ là $70\%$ nên $P\left( B \right) = 0{,}7 \Rightarrow P\left( {\bar B} \right) = 1 - P\left( B \right) = 1 - 0{,}7 = 0{,}3$.

b) Đúng. Trong số những học sinh đã tiêm phòng, tỉ lệ mắc bệnh Thủy Đậu là 4% còn trong số học sinh chưa tiêm, tỉ lệ mắc bệnh là 20% nên $P\left( {A\mid B} \right) = 0{,}04$ và $P\left( {A\mid \bar B} \right) = 0{,}2$.

c) Sai. Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có xác suất gặp học sinh bị bệnh Thủy Đậu là

$P\left( A \right) = P\left( B \right)P\left( {A\mid B} \right) + P\left( {\bar B} \right)P\left( {A\mid \bar B} \right)$$= 0{,}7 \cdot 0{,}04 + 0{,}3 \cdot 0{,}2 = 0{,}088 = 8{,}8$.

d) Đúng. Xác suất học sinh đó không tiêm vắc xin phòng bệnh Thủy Đậu là

$P\left( {\bar B\mid A} \right) = \frac{{P\left( {\bar B} \right)P\left( {A\mid \bar B} \right)}}{{P\left( A \right)}} = \frac{{0{,}3 \cdot 0{,}2}}{{0{,}088}} = \frac{{15}}{{22}} \approx 0{,}68$.

a) Đúng. Vì cứ tăng giá thêm một nghìn đồng thì số khăn bán ra giảm 100 chiếc nên tăng $x$ nghìn đồng thì số khăn bán ra giảm $100x$ chiếc.

Do đó, tổng số khăn bán ra mỗi tháng là $3000 - 100x$ chiếc.

b) Sai. Sau khi tăng giá $x$ (nghìn đồng) mỗi chiếc thì giá mỗi chiếc khăn là $30 + x$ (nghìn đồng) và vốn sản xuất một chiếc khăn không thay đổi là 18 nghìn đồng nên mỗi chiếc khăn thu được số lãi là $30 + x - 18 = 12 + x$ (nghìn đồng).

c) Đúng. Sau khi tăng giá $x$ (nghìn đồng) thì mỗi tháng bán được $3000 - 100x$ chiếc và mỗi chiếc khăn thu được số lãi là $30 + x - 18 = 12 + x$ (nghìn đồng) nên tổng lợi nhuận một tháng là:

$f\left( x \right) = \left( {12 + x} \right)\left( {3\,000 - 100x} \right) = - 100{x^2} + 1\,800x + 36\,000$ (nghìn đồng).

d) Đúng. Xét hàm số $f\left( x \right) = - 100{x^2} + 1\,800x + 36\,000$ trên $\left( {0\,;30} \right)$.

Ta có $f'\left( x \right) = - 200x + 1\,800 = 0 \Leftrightarrow x = 9$.

Lập bảng biến thiên của hàm số ta có $\mathop {\max }\limits_{\left( {0\,;\,30} \right)} f\left( x \right) = f\left( 9 \right).$

Vậy để lợi nhuận lớn nhất thì mỗi chiếc khăn có giá là $30 + 9 = 39$ (nghìn đồng).

Đáp án: 36,1.

Kẻ $B'H \bot BC.$

Mà $\left( {BCC'B'} \right) \bot \left( {ABC} \right),\,\,BC \subset \left( {ABC} \right)$$\Rightarrow B'H \bot \left( {ABC} \right)$.

Xét $\Delta B'BH$ vuông tại $H$ có:

$B'H = \sin \widehat {B'BC} \cdot BB' = \sin 30^\circ \cdot 20 = 10$.

Thể tích hình chóp $B'.ABC$ là:

${V_{B'.ABC}} = \frac{1}{3} \cdot B'H \cdot {S_{ABC}} = \frac{1}{3} \cdot 10 \cdot \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 5 \cdot \sin 60^\circ$$\approx 36{,}1$.

Vì $C'B \cap \left( {AB'C} \right)$ tại trung điểm của $B'C$ nên $d\left( {B,\left( {ACB'} \right)} \right) = d\left( {C',\left( {ACB'} \right)} \right)$

Vậy ${V_{A.CC'B'}} = {V_{B'.ABC}} = 36{,}1$.

Đáp án: 500.

Gọi $H$ là chân đường vuông góc kẻ từ $O$ đến đường thẳng $\Delta .$

Do $\Delta OAB$ đều có đường cao $OH$ nên

$OH = OA \cdot \sin 60^\circ = \sqrt 3$.

Ta có $\overrightarrow {OE} = \left( {1\,;1\,;1} \right),\,\,\overrightarrow {{u_\Delta }} = \left( {a\,;b\,;10} \right)$

$\Rightarrow \left[ {\overrightarrow {OE} ,\overrightarrow {{u_\Delta }} } \right] = \left( {10 - b\,;a - 10\,;b - a} \right)$
$\Rightarrow OH = d\left( {O,\Delta } \right) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {OE} ,\overrightarrow {{u_\Delta }} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_\Delta }} } \right|}}$$= \frac{{\sqrt {{{\left( {10 - b} \right)}^2} + {{\left( {a - 10} \right)}^2} + {{\left( {b - a} \right)}^2}} }}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + 100} }} = \sqrt 3$ (1).

Ta có $\Delta \subset (P) \Rightarrow \overrightarrow {{u_\Delta }} \cdot \overrightarrow {{n_P}} = 0 \Rightarrow a - 3b + 50 = 0 \Rightarrow a = 3b - 50.$

Thay $a = 3b - 50$ vào (1) ta được: $\frac{{\sqrt {{{\left( {10 - b} \right)}^2} + {{\left( {3b - 50 - 10} \right)}^2} + {{\left[ {b - \left( {3b - 50} \right)} \right]}^2}} }}{{\sqrt {{{\left( {3b - 50} \right)}^2} + {b^2} + 100} }} = \sqrt 3$

$\Rightarrow \sqrt {{{\left( {10 - b} \right)}^2} + {{\left( {3b - 60} \right)}^2} + {{\left( {2b - 50} \right)}^2}} = \sqrt 3 \cdot \sqrt {{{\left( {3b - 50} \right)}^2} + {b^2} + 100}$

$\Rightarrow 14{b^2} - 580b + 6200 = 3\left( {10{b^2} - 300b + 2600} \right) \Rightarrow 16{b^2} - 320b + 1600 = 0$

$\Rightarrow b = 10 \Rightarrow a = - 20 \Rightarrow {a^2} + {b^2} = 500$.

Đáp án: 17.

Để mất ít thời gian nhất ta sẽ cho 4 người đi theo lộ trình sau:

Tổng thời gian để tất cả đều qua được sông là: $2 + 1 + 10 + 2 + 2 = 17$ phút.

Đáp án: 80.

Gọi A là biến cố: “Khẳng định có bệnh”; $\bar A$ là biến cố: “Khẳng định không bệnh”;

B là biến cố: “Chẩn đoán đúng”; $\bar B$ là biến cố: “Chẩn đoán sai”.

Theo bài ra, ta có $P\left( {B\mid A} \right) = 0{,}9 \Rightarrow P\left( {\bar B\mid A} \right) = 1 - P\left( {B\mid A} \right) = 0{,}1$;$P\left( {B\mid \bar A} \right) = P\left( {\bar B\mid \bar A} \right) = 0{,}5$.

Giả sử $P\left( A \right) = x \Rightarrow P\left( {\bar A} \right) = 1 - x.$

Từ đó, ta có sơ đồ cây sau:

Theo công thức xác suất toàn phần, xác suất người đến khám có bệnh bằng

$P\left( A \right) \cdot P\left( {B\mid A} \right) + P\left( {\bar A} \right) \cdot P\left( {\bar B\mid \bar A} \right) = 0{,}9x + \left( {1 - x} \right) \cdot 0{,}5 = 0{,}8$$\Leftrightarrow 0{,}4x = 0{,}3 \Leftrightarrow x = 0{,}75.$

Suy ra xác suất chẩn đoán đúng bằng

$P\left( A \right) \cdot P\left( {B\mid A} \right) + P\left( {\bar A} \right) \cdot P\left( {B\mid \bar A} \right)$ $= 0{,}75 \cdot 0{,}9 + 0{,}25 \cdot 0{,}5 = 80\%$.

Đáp án: 236.

Chọn hệ trục tọa độ $Oxy$ sao cho $Ox \equiv MC,Oy \equiv MA$ như hình vẽ dưới đây.

Từ dữ kiện bài ra, ta xác định được: $M\left( {0\,;\,0} \right),\,A\left( {0\,;\,6} \right),\,G\left( {0\,;\,2} \right),\,B\left( { - 2\sqrt 3 \,;\,0} \right),\,C\left( {2\sqrt 3 \,;\,0} \right)$.

Ta có $P,\,N$ lần lượt là trung điểm của $AB,\,AC$ nên $P\left( { - \sqrt 3 \,;\,3} \right),\,N\left( {\sqrt 3 \,;\,3} \right)$.

Đường tròn đi qua $A,B,G:\,\,{\left( {x + 2\sqrt 3 } \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = 16$$\Rightarrow x = - 2\sqrt 3 \pm \sqrt {16 - {{\left( {y - 4} \right)}^2}}$.

Đường tròn đi qua $P,G,M:\,\,{\left( {x + \sqrt 3 } \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 4$$\Rightarrow x = - \sqrt 3 \pm \sqrt {4 - {{\left( {y - 1} \right)}^2}}$.

Đường tròn đi qua $P,G,N:\,\,{x^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = 4 \Rightarrow x = \pm \sqrt {4 - {{\left( {y - 4} \right)}^2}}$.

Thể tích của đèn ngủ là

$$V = \pi \int\limits_2^6 {{{\left( { - 2\sqrt 3 + \sqrt {16 - {{\left( {y - 4} \right)}^2}} } \right)}^2}} {\rm{d}}y + \,\pi \int\limits_2^3 {\left[ {\left( {4 - {{\left( {y - 4} \right)}^2}} \right) - {{\left( { - \sqrt 3 + \sqrt {4 - {{\left( {y - 1} \right)}^2}} } \right)}^2}} \right]} \;{\rm{d}}y$$

$$\approx 5{,}907\,\,({\rm{d}}{{\rm{m}}^3}).$$

Chi phí để sản xuất đèn ngủ là $V \cdot 40 \approx 236$ (nghìn đồng).

Đáp án: 253.

Chọn hệ trục toạ độ như hình vẽ $\left( {B \equiv O} \right)$.

Khi đó $B\left( {0\,;0} \right),A\left( {0\,;20} \right),M\left( {0\,;10} \right),N\left( {10\,;0} \right),C\left( {25\,;0} \right),D\left( {25\,;20} \right)$.

Phương trình đường thẳng $CD$ là: $x = 25.$

Phương trình đường thẳng $AD$ là: $y = 20.$

Gọi $P\left( {25\,;a} \right) \in CD,\,\,Q\left( {b\,;20} \right) \in AD\,\,\,\left( {0 < a < 20,\,\,0 < b < 25} \right)$.

Khi đó $PQ\,{\rm{//}}\,MN \Leftrightarrow \overrightarrow {PQ} = k\overrightarrow {MN} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{b - 25 = k \cdot 10}\\{20 - a = k \cdot \left( { - 10} \right)}\end{array} \Rightarrow b - 25 = a - 20} \right.$$\Rightarrow b = a + 5$.

Do đó, $P\left( {25\,;a} \right),\,\,Q\left( {a + 5\,;20} \right)$.

Diện tích sân chơi MNPQ là:

${S_{MNPQ}} = {S_{ABCD}} - {S_{BMN}} - {S_{CPN}} - {S_{PQD}} - {S_{AMQ}}$

$= 20 \cdot 25 - \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 10 - \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot a - \frac{1}{2} \cdot \left( {20 - a} \right) \cdot \left( {20 - a} \right) - \frac{1}{2} \cdot \left( {a + 5} \right) \cdot 10$

$= 500 - 50 - \frac{{15}}{2}a - \frac{1}{2} \cdot {\left( {20 - a} \right)^2} - 5\left( {a + 5} \right)$

$= 500 - 50 - \frac{{15}}{2}a - \frac{1}{2} \cdot \left( {{a^2} - 40a + 400} \right) - 5\left( {a + 5} \right)$

$= 500 - 50 - \frac{{15}}{2}a - \frac{1}{2}{a^2} + 20a - 200 - 5a - 25 = 225 + \frac{{15}}{2}a - \frac{1}{2}{a^2}$

$= \frac{{2025}}{8} - \frac{1}{2}{\left( {a - \frac{{15}}{2}} \right)^2} \le \frac{{2025}}{8} \approx 253\,\,\forall a.$

Dấu bằng xảy ra khi: $a = \frac{{15}}{2}.$