Đề tham khảo ôn thi tốt nghiệp THPT môn Toán có đáp án (Đề số 48)

Ta có bảng sau:

Ta có $n = 20$.

Số trung bình: $\overline x = \frac{{3 \cdot 2{,}85 + 6 \cdot 3{,}15 + 5 \cdot 3{,}45 + 4 \cdot 3{,}75 + 2 \cdot 4{,}05}}{{20}} = 3{,}39$.

Độ lệch chuẩn:

$s = \sqrt {\frac{{3 \cdot {{\left( {2{,}85 - \overline x } \right)}^2} + 6 \cdot {{\left( {3{,}15 - \overline x } \right)}^2} + 5 \cdot {{\left( {3{,}45 - \overline x } \right)}^2} + 4 \cdot {{\left( {3{,}75 - \overline x } \right)}^2} + 2 \cdot {{\left( {4{,}05 - \overline x } \right)}^2}}}{{20}}} \approx 0{,}36$.

Chọn D.

Trong khoảng $\left( {0;2\pi } \right)$, $\cos x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{2}\\x = \frac{{3\pi }}{2}\end{array} \right.$ nên phương trình đã cho có 2 nghiệm.

Chọn D.

a) Đúng. Hàm số xác định khi và chỉ khi $x + 2 \ne 0 \Rightarrow x \ne - 2$.

Vậy tập xác định của hàm số là $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 2} \right\}$.

b) Đúng. Ta có $y' = 1 - \frac{9}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}$.

c) Đúng. Ta có $y' = 0 \Leftrightarrow x = - 5$ hoặc $x = 1$.

Bảng biến thiên của hàm số:

Từ bảng biến thiên, ta thấy hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng $\left( { - \infty ; - 5} \right)\,\,{\rm{v\`a }}\,\,\left( {1; + \infty } \right)$.

d) Sai. Từ bảng biến thiên ở trên, ta thấy hàm số có giá trị cực đại là và giá trị cực tiểu là ${y_{CT}} = 3$. Ta có $- 9 < 3$ nên ${y}_{CĐ}<{y}_{CT}$.

a) Sai. Quãng đường xe mô tô đi được sau 10 phút là $S = v \cdot t = 50 \cdot \frac{1}{6} = \frac{{25}}{3}\,\,{\rm{(km)}}$.

b) Sai. Ô tô bắt đầu tăng tốc tại thời điểm vận tốc bằng $30\,{\rm{km/h}} = \frac{{25}}{3}{\rm{m/s}}$ nên $v\left( 0 \right) = \frac{{25}}{3} \Rightarrow b = \frac{{25}}{3}$.

c) Đúng. Ta có $60\,{\rm{km/h}} = \frac{{50}}{3}{\rm{m/s}}$.

Do đó, $v\left( t \right) = \frac{{50}}{3} \Rightarrow \frac{{25}}{9}t + \frac{{25}}{3} = \frac{{50}}{3} \Leftrightarrow t = 3$.

d) Sai. Giả sử ô tô gặp mô tô tại thời điểm $x$ giây sau khi ô tô tăng tốc. Khi đó:

+ Quãng đường mô tô di chuyển được là: ${S_1} = 6 \cdot 60 \cdot \frac{{125}}{9} + x \cdot \frac{{125}}{9} = 5000 + \frac{{125}}{9}x\,\,\left( {\rm{m}} \right)$.

+ Quãng đường ô tô di chuyển được là:

${S_2} = 6 \cdot 60 \cdot \frac{{25}}{3} + \int\limits_0^x {\left( {\frac{{25}}{9}t + \frac{{25}}{3}} \right){\rm{d}}t} = 3000 + \frac{{25}}{{18}}{x^2} + \frac{{25}}{3}x\,\,\left( {\rm{m}} \right)$.

Ô tô và mô tô gặp nhau $\Leftrightarrow {S_1} + {S_2} = 60000 \Leftrightarrow \frac{{25}}{{18}}{x^2} + \frac{{200}}{9}x - 52000\, = 0 \Rightarrow x = 185{,}6595$.

Suy ra ${S_2} \approx 52\,421\,\,{\rm{(m)}}\,\, \approx 52\,\,{\rm{(km)}}$.

Do đó, khi gặp nhau, ô tô đã đi được quãng đường xấp xỉ $52\,{\rm{km}}$, nên chỉ còn di chuyển thêm khoảng $8\,{\rm{km}}$ nữa là đến Cần Thơ.

a) Đúng. Theo giả thiết, ta có: $P\left( A \right) = 1\% = 0{,}01 \Rightarrow P\left( {\overline A } \right) = 1 - P\left( A \right) = 1 - 0{,}01 = 0{,}99$;

$P\left( {B|A} \right) = 98\% = 0{,}98$; $P\left( {B|\overline A } \right) = 3\% = 0{,}03$.

b) Đúng. Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có:

$P\left( B \right)$$= P\left( {B|A} \right) \cdot P\left( A \right) + P\left( {B|\overline A } \right) \cdot P\left( {\overline A } \right) = 0{,}98 \cdot 0{,}01 + 0{,}03 \cdot 0{,}99 = 0{,}0395$.

c) Sai. Ta có $P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{0{,}01 \cdot 0{,}98}}{{0{,}0395}} \approx 0{,}25$.

d) Đúng. Ta có $P\left( {\overline A B} \right) = 0{,}99 \cdot 0{,}03 = 0{,}0297$.

Xác suất bài viết là chính chủ trong số các bài viết bị phần mềm cảnh báo là đạo văn là:

$P\left( {\overline A |B} \right) = \frac{{P\left( {\overline A B} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{0{,}0297}}{{0{,}0395}} = \frac{{297}}{{395}} \approx 0{,}75$.

Xác suất bài viết là đạo văn bị phần mềm cảnh báo là đạo văn là: $P\left( {A|B} \right) \approx 0{,}25$.

Vậy $P\left( {\overline A |B} \right)$ > $P\left( {A|B} \right)$. Hay trong số các bài viết bị phần mềm cảnh báo là đạo văn, có nhiều khả năng là bài viết chính chủ hơn là đạo văn.

a) Đúng. Vì thay toạ độ điểm $A\left( {2;3; - 1} \right)$ vào đường thẳng $d$ ta thấy không thoả mãn nên điểm $A$ không thuộc đường thẳng $d$.

b) Sai. Vì $\left( P \right) \bot d$

Do đó $\left( P \right):2\left( {x - 2} \right) + 1\left( {y - 3} \right) + 3\left( {z + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + y + 3z - 4 = 0$.

c) Đúng. Ta có phương trình tham số của $d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = - 2 + t\\z = 3 + 3t\end{array} \right.$.

Gọi $K = d \cap \left( P \right)$.

Xét phương trình $2\left( {1 + 2t} \right) + \left( { - 2 + t} \right) + 3\left( {3 + 3t} \right) - 4 = 0$$\Rightarrow t = - \frac{5}{{14}}$.

Do đó $K\left( {\frac{2}{7}; - \frac{{33}}{{14}};\frac{{27}}{{14}}} \right)$.

d) Đúng. Gọi $H,M$ lần lượt là hình chiếu $A$ lên $d$ và $\left( Q \right)$.

Khi đó $AM \le AH \Rightarrow d{\left( {A,\left( Q \right)} \right)_{max}} = AH \Leftrightarrow M \equiv H$.

Do đó $\left( Q \right)$ là mặt phẳng đi qua $N\left( {1; - 2;3} \right) \in d$ và vuông góc đường thẳng $AH$.

Vì $H \in d$ nên $H\left( {1 + 2t; - 2 + t;3 + 3t} \right)$ và $\overrightarrow {AH} = \left( { - 1 + 2t; - 5 + t;4 + 3t} \right)$.

Vì $AH \bot d$ nên $2\left( { - 1 + 2t} \right) + 1\left( { - 5 + t} \right) + 3\left( {4 + 3t} \right) = 0 \Leftrightarrow t = - \frac{5}{{14}}$.

Do đó $\overrightarrow {AH} = \left( {\frac{{ - 12}}{7}; - \frac{{75}}{{14}};\frac{{41}}{{14}}} \right)$.

Vậy $\left( Q \right): - \frac{{12}}{7}\left( {x - 1} \right) - \frac{{75}}{{14}}\left( {y + 2} \right) + \frac{{41}}{{14}}\left( {y - 3} \right) = 0$$\Leftrightarrow 24x + 75y - 41z + 249 = 0$.

Đáp án: 150.

Gọi $x$ (nghìn đồng), $0 < x < 200$ là số tiền giảm đi của mỗi suất ăn để doanh thu là lớn nhất.

Giảm 10 nghìn đồng thì tăng thêm 10 suất nên giảm $x$ nghìn đồng thì tăng thêm $x$ suất.

Khi đó ta thiết lập được hàm doanh thu của nhà hàng là

$f\left( x \right) = \left( {200 - x} \right)\left( {100 + x} \right) = - {x^2} + 100x + 20000$.

Khảo sát sự biến thiên của hàm số $f\left( x \right)$ trên khoảng $\left( {0\,;\,200} \right)$:

Ta có $f'\left( x \right) = - 2x + 100 = 0 \Rightarrow x = 50$.

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta thấy doanh thu của cửa hàng lớn nhất khi $x = 50$.

Vậy giá bán mới của cửa hàng để doanh thu lớn nhất là 150 nghìn đồng.

Đáp án: 28,8.

Gọi $E\left( {x;\,y;\,z} \right)$ là điểm va chạm của hai viên đạn.

Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( {1;\,2;\,2} \right) \Rightarrow AB = \sqrt {{1^2} + {2^2} + {2^2}} = 3$.

Theo bài ra, ta có: $AE = 150$; $\overrightarrow {AB}$ và $\overrightarrow {AE}$ cùng hướng.

Do đó $\overrightarrow {AE} = \frac{{150}}{3}\overrightarrow {AB} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x - 5 = 50 \cdot 1}\\{y - 7 = 50 \cdot 2}\end{array}}\\{z - 10 = 50 \cdot 2}\end{array}} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x = 55}\\{y = 107}\end{array}}\\{z = 110}\end{array}} \right.$$\Rightarrow E\left( {55;\,107;\,110} \right)$.

Ta có $\overrightarrow {CE} = \left( {40;\,90;105} \right)$$\Rightarrow \vec u = \left( {8;\,18;21} \right)$ là vectơ chỉ phương của đường thẳng $CE$.

Phương trình đường thẳng $CE$ là: $\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x = 15 + 8t}\\{y = 17 + 18t}\end{array}}\\{z = 5 + 21t}\end{array}} \right.$.

Theo bài ra ta có $D\left( {a;\,b;\,26} \right)$$\in CE$, nên: $\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{a = 15 + 8t}\\{b = 17 + 18t}\end{array}}\\{26 = 5 + 21t}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{a = 23}\\{b = 35}\end{array}}\\{t = 1}\end{array}} \right.$$\Rightarrow D\left( {23;\,35;\,26} \right)$.

Vậy $CD = \sqrt {{{\left( {23 - 15} \right)}^2} + {{\left( {35 - 17} \right)}^2} + {{\left( {26 - 5} \right)}^2}} = \sqrt {829} \approx 28{,}8$.

Đáp án: 0,4.

Tham khảo hình vẽ ${H_1}$.

${H_1}$ ${H_2}$

Thể tích lập phương: $V = {10^3} = 1000\,\,{\rm{(c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}{\rm{)}}$.

Bán kính quả cầu pha lê lớn: $R = \frac{{10}}{2} = 5\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)$.

Thể tích quả cầu pha lê lớn: ${V_1} = \frac{4}{3}\pi {R^3} = \frac{{500\pi }}{3}\,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}} \right)$.

Để tính bán kính quả cầu nhỏ, ta xét mặt cắt là hình chữ nhật $BB'D'D$ tâm $I$ (tham khảo hình vẽ ${H_2}$), ta có:

$BD' = B'D = 10\sqrt 3$ (đường chéo hình lập phương). Nên $ID' = 5\sqrt 3 \,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)$.

$BD = B'D' = 10\sqrt 2$ (đường chéo hình vuông). Nên $FD' = 5\sqrt 2 \,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)$.

$\tan \widehat {FD'I} = \frac{5}{{5\sqrt 2 }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }} \Rightarrow \sin \widehat {FD'I} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}$.

Tam giác $HD'J$ vuông tại $H$ có: $JD' = \frac{{HJ}}{{\sin \widehat {FD'I}}} = r\sqrt 3$.

Ta có $ID' = 5\sqrt 3 \Leftrightarrow 5 + r + r\sqrt 3 = 5\sqrt 3 \Rightarrow r = \frac{{5\sqrt 3 - 5}}{{1 + \sqrt 3 }} = 10 - 5\sqrt 3$.

Thể tích $8$quả cầu nhỏ: ${V_2} = 8 \cdot \frac{4}{3}\pi \cdot {r^3} \approx 80{,}6\,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}} \right)$.

Thể tích phần keo cần đổ: ${V_{keo}} = V - {V_1} - {V_2} \approx 395{,}8\,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}} \right) \approx 0{,}4\,\,\left( {{\rm{l\'i t}}} \right)$.

Đáp án: 50.

Ta có diện tích rừng của thành phố $X$ bằng $S = \frac{{140600}}{{39{,}8\% }}$.

Gọi diện tích rừng trồng mới của thành phố $X$ sau $1$ năm là

${u_1} = 1000 + 1000 \cdot 6\% = 1000\left( {1 + 6\% } \right)$.

Diện tích rừng trồng mới sau $2$ năm là ${u_2} = 1000{\left( {1 + 6\% } \right)^2}$

….

Diện tích rừng trồng mới sau $n$ năm là ${u_n} = 1000{\left( {1 + 6\% } \right)^n}$.

Khi diện tích rừng đạt tỷ lệ $45\%$ thì diện tích rừng khi đó phải bằng $\frac{{S \cdot 45\% }}{{100\% }}$.

Như vậy tính từ năm $2022$ đến năm diện tích rừng đạt tỷ lệ $45\%$ thì diện tích rừng phải tăng bằng $\frac{{S \cdot 45\% }}{{100\% }} - 140600$.

Khi đó ta có ${u_n} = \frac{{S \cdot 45\% }}{{100\% }} - 140600$$\Leftrightarrow 1000{\left( {1 + 6\% } \right)^n} = \frac{{S \cdot 45\% }}{{100\% }} - 140600$.

Ta tìm được $n \approx 49{,}95$.

Vậy sau $50$ năm tỉnh có diện tích rừng đạt tỷ lệ che phủ $45\%$.

Đáp án: 0,3.

Gọi biến cố $A:$ “Bé An được mẹ dẫn theo khi đi mua sắm”.

$B:$ “Bé An được mẹ mua đồ chơi”.

Ta cần tính $P\left( {B|\bar A} \right)$.

Theo đề bài, ta có: $P\left( A \right) = \frac{2}{5};P\left( {\bar A} \right) = \frac{3}{5};P\left( {B|A} \right) = 70\% = \frac{7}{{10}};P\left( {A|B} \right) = \frac{{14}}{{23}}.$

Ta có $P\left( B \right) \cdot P\left( {A|B} \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( {B|A} \right) \Rightarrow P\left( B \right) = \frac{2}{5} \cdot \frac{7}{{10}} \cdot \frac{{23}}{{14}} = \frac{{23}}{{50}}$.

Mặt khác, theo công thức xác suất toàn phần:

$P\left( B \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( {B|A} \right) + P\left( {\bar A} \right) \cdot P\left( {B|\bar A} \right) \Leftrightarrow \frac{{23}}{{50}} = \frac{2}{5} \cdot \frac{7}{{10}} + \frac{3}{5} \cdot P\left( {B|\bar A} \right)$$\Leftrightarrow P\left( {B|\bar A} \right) = \frac{3}{{10}} = 0{,}3$.

Đáp án: 0,26.

Vì $f\left( x \right)$ và $g\left( x \right)$ cắt nhau tại ba điểm có hoành độ lần lượt là $- 4;{\rm{ }} - 1;{\rm{ }}4$.

Nên ta đặt hàm $f\left( x \right) - g\left( x \right) = k\left( {x + 4} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {x - 4} \right)$ (*).

Ta có $f\left( 2 \right) = 2,{\rm{ }}g\left( 2 \right) = - 3$.

Thay $x = 2$ vào (*) ta được $f\left( 2 \right) - g\left( 2 \right) = k \cdot 6 \cdot 3 \cdot \left( { - 2} \right)$$\Leftrightarrow 2 - \left( { - 3} \right) = k \cdot \left( { - 36} \right) \Leftrightarrow k = \frac{{ - 5}}{{36}}$.

Suy ra $f\left( x \right) - g\left( x \right) = - \frac{5}{{36}}\left( {x + 4} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {x - 4} \right)$.

Khi đó, ${S_1} = \int\limits_{ - 4}^{ - 1} {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|{\rm{d}}x} = \int\limits_{ - 4}^{ - 1} {\left| { - \frac{5}{{36}}\left( {x + 4} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {x - 4} \right)} \right|{\rm{d}}x} = \frac{{65}}{{16}}$;

${S_2} = \int\limits_{ - 1}^4 {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|{\rm{d}}x} = \int\limits_{ - 1}^4 {\left| { - \frac{5}{{36}}\left( {x + 4} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {x - 4} \right)} \right|{\rm{d}}x} = \frac{{6875}}{{432}}$.

Vậy tỉ số $\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = \frac{{351}}{{1375}} \approx 0{,}26$.