Đề tham khảo ôn thi tốt nghiệp THPT môn Toán có đáp án (Đề số 47)

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là $M\left( {1; - 3} \right)$.

Lưu ý: Cần phân biệt với điểm cực tiểu của hàm số là $x = 1$. Chọn C.

Trọng tâm của tam giác $ABC$ có tọa độ là

$\left( {\frac{{2 + 1 + 3}}{3};\frac{{ - 3 + 3 + \left( { - 3} \right)}}{3};\frac{{1 + \left( { - 4} \right) + 6}}{3}} \right) = \left( {2; - 1;1} \right).$ Chọn A.

Thay điểm $N\left( {2; - 1; - 3} \right)$ vào phương trình chính tắc của đường thẳng $d$ ta được:

$\frac{{2 - 3}}{2} = \frac{{ - 1 + 2}}{{ - 1}} = \frac{{ - 3 + 1}}{2}\,$(vô lí vì $- \frac{1}{2} \ne - 1)$.

Vậy điểm $N\left( {2; - 1; - 3} \right)$ không thuộc đường thẳng $d$. Chọn B.

Điều kiện: $3x - 1 > 0 \Leftrightarrow x > \frac{1}{3}.$

Ta có: ${\log _2}\left( {3x - 1} \right) < 3 \Leftrightarrow 3x - 1 < 8 \Leftrightarrow x < 3.$

Kết hợp với điều kiện ta được: $\frac{1}{3} < x < 3.$

Suy ra tập nghiệm của BPT đã cho là $T = \left( {\frac{1}{3};3} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{1}{3}\\b = 3\end{array} \right..$

Vậy $S = a + b = \frac{1}{3} + 3 = \frac{{10}}{3}.$ Chọn B.

Gọi $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = 4x + 3$.

Ta có $F\left( x \right) = \int {\left( {4x + 3} \right){\rm{d}}x} = 2{x^2} + 3x + C$. Chọn B.

Cỡ mẫu $n = 180 \Rightarrow \frac{n}{4} = 45$.

Suy ra tứ phân vị thứ nhất là $\frac{1}{2}\left( {{x_{45}} + {x_{46}}} \right)$, do ${x_{45}},{x_{46}} \in \left[ {90;120} \right)$.

Nên nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là nhóm $\left[ {90;120} \right)$.

Vậy $S = a + b = 210$. Chọn A.

Ta có ${\left( {\frac{1}{2}} \right)^{x + 2}} \le 2 \Leftrightarrow {2^{ - x - 2}} \le 2 \Leftrightarrow - x - 2 \le 1 \Leftrightarrow x \ge - 3$.

Vì $x \in \mathbb{Z},x \in \left[ { - 5;5} \right]$ nên $x \in \left\{ { - 3; - 2; - 1;0;1;2;3;4;5} \right\}$. Vậy có 9 giá trị nguyên. Chọn D.

Ta có $\overrightarrow u = \overrightarrow i + 3\overrightarrow j - 2\overrightarrow k \Rightarrow \overrightarrow u = \left( {1;3; - 2} \right)$.

Khi đó, $\overrightarrow u \cdot \overrightarrow v = 1 \cdot 2 + 3 \cdot \left( { - 1} \right) - 2 \cdot 1 = - 3$. Chọn C.

Gọi số đồng xu ở tầng dưới cùng là ${u_1} = 58$.

Số đồng xu ở tầng thứ hai là ${u_2} = {u_1} + \left( { - 7} \right) = 58 - 7 = 51$.

Số đồng xu ở tầng thứ hai là ${u_3} = {u_2} + \left( { - 7} \right) = 51 - 7 = 44$.

…….

Vậy tập hợp số xu ở mỗi tầng tạo thành một cấp số cộng với số hạng đầu và công sai lần lượt là ${u_1} = 58;d = - 7$. Chọn B.

a) Sai. Ta có $f\left( e \right) = \ln \left( {3{e^2}} \right) = 2 + \ln 3$.

b) Sai. Điều kiện: $4ex - {x^2} > 0 \Leftrightarrow 0 < x < 4e$. Tập xác định của hàm số là $\left( {0;4e} \right)$.

c) Đúng. Ta có $f'\left( x \right) = \frac{{4e - 2x}}{{4ex - {x^2}}}$; $f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 4e - 2x = 0 \Leftrightarrow x = 2e$.

d) Đúng. Bảng biến thiên của hàm số $f\left( x \right)$ trên đoạn $\left[ {1;3e} \right]$:

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số đã cho trên đoạn $\left[ {1;3e} \right]$ là $2\ln 2 + 2$.

Suy ra $a = 2;b = 2$. Do đó $a + b = 4$.

a) Sai. Ta có${\rm{ }}1{\rm{ inch}} = {\rm{ }}2{,}54\,\,{\rm{cm}} \Rightarrow 18\,\,{\rm{inch}} = 45{,}72\,\,{\rm{cm}}$.

Bán kính R của chiếc đèn là $18\,\,\left( {{\rm{inch}}} \right)$ nên chu vi $45{,}72 \cdot 2\pi = 91{,}44\pi \,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)$.

b) Đúng. Gọi $I$ là hình chiếu của $O$ lên chiếc đèn ta có:

$\left| {\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_3}} } \right| = \left| {k\overrightarrow {OA} + k\overrightarrow {OB} + k\overrightarrow {OC} } \right| = \left| {k3\overrightarrow {OI} } \right| = \left| {\overrightarrow P } \right| = 24\,\,{\rm{N}}\left( {k \ne 0} \right)$.

c) Sai. Ta có $\left| {\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_3}} } \right| = \left| {k3\overrightarrow {OI} } \right| = 24 \Rightarrow OI = \frac{8}{k}$ .

Tam giác $\Delta OAI$ vuông tại $I$$\Rightarrow OI = \sqrt {O{A^2} - I{A^2}} \Rightarrow k = \frac{8}{{\sqrt {O{A^2} - 324} }}\left( {OA > 18} \right)$.

$F = \left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right| = k\left| {\overrightarrow {OA} } \right| = \frac{8}{{\sqrt {O{A^2} - 324} }} \cdot OA \Rightarrow F' = \frac{{ - 2592}}{{\left( {O{A^2} - 324} \right)\sqrt {O{A^2} - 324} }} < 0$ với $OA > 18$.

Ta có bảng biến thiên:

Khi độ dài $L$ tăng thì thì lực căng sợi dây giảm và không bao giờ vượt quá $8N$.

d) Sai. Ta có $F = 24 \Rightarrow \frac{8}{{\sqrt {O{A^2} - 324} }} \cdot OA = 24 \Leftrightarrow OA = 3\sqrt {O{A^2} - 324} \Leftrightarrow OA = \frac{{27\sqrt 2 }}{2}\,\left( {{\rm{inch}}} \right)$.

a) Đúng. Vì các điểm $E,F$ lần lượt là các điểm chính giữa của các cung nên $E = \left( { - 4\cos 45^\circ ;4\sin 45^\circ } \right) = \left( { - 2\sqrt 2 ;2\sqrt 2 } \right)$, tương tự $F\left( {2\sqrt 2 ; - 2\sqrt 2 } \right)$.

b) Sai. Hàm số bậc ba có dạng $y = f\left( x \right) = a{x^3} + c{x^2} + bx + d\left( {a \ne 0} \right)$.

Ta có $f'\left( x \right) = 3a{x^2} + 2cx + b$; $f''\left( x \right) = 6ax + 2c$.

Đồ thị hàm số đi qua các điểm $C\left( { - 4;0} \right),A\left( {4;0} \right)$ và có tâm đối xứng là gốc tọa độ nên ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}f\left( { - 4} \right) = 0\\f\left( 4 \right) = 0\\f''\left( 0 \right) = 0\\f\left( 0 \right) = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}64a + 4b = 0\\c = 0\\d = 0\end{array} \right. \Rightarrow b = - 16a \Rightarrow f\left( x \right) = a{x^3} - 16ax$.

Đồ thị hàm số $f\left( x \right) = a{x^3} - 16ax$ đi qua các điểm $E\left( { - 2\sqrt 2 ;2\sqrt 2 } \right),F\left( {2\sqrt 2 ; - 2\sqrt 2 } \right)$ nên $a = \frac{1}{8}$; $b = - 16a = - 2$. Suy ra $a + b = - \frac{{15}}{2}$.

c) Đúng. Diện tích phần trồng hoa là $S = \frac{1}{2} \cdot \pi \cdot {4^2} + 2 \cdot \int\limits_{ - 4}^0 {\left( {\frac{1}{8}{x^3} - 2x} \right)} \,{\rm{d}}x = 8\pi + 16\,\,\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)$.

d) Sai. Diện tích phần trồng cỏ là $S = \pi \cdot {4^2} - \left( {8\pi + 16} \right) = 8\pi - 16\,\,\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)$.

Chi phí để hoàn thành công trình trên là $\left( {8\pi + 16} \right) \cdot 180 + \left( {8\pi - 16} \right) \cdot 100 \approx 8317$ (nghìn đồng).

a) Theo bài ra, ta có bảng sau:

a) Đúng. Xác suất cả ba lần bắn trúng vòng $10$ là: ${\left( {{P_1}} \right)^3} = 0{,}003375 \Rightarrow {P_1} = \sqrt[3]{{0{,}003375}} = 0{,}15$.

b) Sai. Ta có ${P_1} + {P_2} + 0{,}25 + 0{,}4 = 1 \Rightarrow {P_2} = 1 - \left( {{P_1} + 0{,}25 + 0{,}4} \right) = 1 - \left( {0{,}15 + 0{,}25 + 0{,}4} \right) = 0{,}2$.

c) Sai. Ta có $29 = 9 + 10 + 10$. Xảy ra các trường hợp như sau:

Do đó, xác suất bắn $3$ lần đạt $29$ điểm là $3 \times 0{,}2 \times {\left( {0{,}15} \right)^2} = 0{,}0135$.

d) Đúng. Xác suất đạt ít nhất $28$ điểm sau $3$ lần bắn.

TH1: Xác suất đạt $30$ điểm là $P\left( {{d_1}} \right) = {\left( {0{,}15} \right)^3} = 0{,}003375$.

TH2: Xác suất đạt $29$ điểm là $P\left( {{d_2}} \right) = 3 \cdot {\left( {0{,}15} \right)^2} \cdot 0{,}2 = 0{,}0135$.

TH3: Xác suất đạt $28$ điểm.

Ta có $28 = 10 + 10 + 8 = 9 + 9 + 10$.

Þ Xác suất đạt $28$ điểm là $P\left( {{d_3}} \right) = 3 \times 0{,}25 \times {\left( {0{,}15} \right)^2} + 3 \times 0{,}15 \times {\left( {0{,}2} \right)^2} = 0{,}034875$

Do đó, xác suất đạt ít nhất 28 điểm sau $3$ lần bắn là

$P = P\left( {{d_1}} \right) + P\left( {{d_2}} \right) + P\left( {{d_3}} \right) = 0{,}003375 + 0{,}0135 + 0{,}034875 = 0{,}05175$.

Đáp án: $22{,}5$.

Gọi $x\,\,{\rm{(km/h)}}$ là tốc độ của tàu.

Thời gian tàu chạy quãng đường 1 km là $\frac{1}{x}$ (giờ).

Chi phí tiền nhiên liệu phần thứ nhất cho quãng đường 1 km là: $\frac{1}{x} \cdot 480$ (nghìn đồng).

Gọi $y$ (nghìn đồng) là chi phí nhiên liệu phần thứ hai cho quãng đường 1 km ứng với tốc độ $x$. Ta có $y$ tỉ lệ thuận với lập phương tốc độ nên $y = k{x^3}$ với $k > 0$.

Khi tốc độ $x = 20\,\,{\rm{(km/h)}}$ thì thời gian tàu chạy 1 km là $\frac{1}{{20}}$ (giờ) nên chi phí phần thứ 2 cho quãng đường 1 km là $\frac{1}{{20}} \cdot 100 = 5$ (nghìn đồng).

Suy ra $5 = k \cdot {20^3}$ nên $k = \frac{5}{{{{20}^3}}} = \frac{1}{{1600}}$, do đó $y = \frac{{{x^3}}}{{1600}}$.

Vậy tổng chi phí tiền nhiên liệu cho 1 km đường là: $P\left( x \right) = \frac{{480}}{x} + \frac{{{x^3}}}{{1600}}$.

Bài toán trở thành tìm $x$ để $P\left( x \right)$ nhỏ nhất.

Có $P'\left( x \right) = - \frac{{480}}{{{x^2}}} + \frac{{3{x^2}}}{{1600}};\,\,P'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{{3{x^2}}}{{1600}} = \frac{{480}}{{{x^2}}} \Rightarrow x = 4\sqrt[4]{{1000}}$.

Lập bảng biến thiên suy ra $P\left( x \right)$ đạt GTNN tại $x = 4\sqrt[4]{{1000}}$.

Vậy để tổng chi phí trên 1 km đường nhỏ nhất thì vận tốc của tàu là $x = 4\sqrt[4]{{1000}} \approx 22{,}5\,{\rm{(km/h)}}$.

Đáp án: 6480.

Thời gian sản xuất:

+ Một chiếc mũ kiểu thứ nhất: $t$ phút.

+ Một chiếc mũ kiểu thứ hai: $t' = \frac{t}{2}$ phút.

Trong 1 giờ sản xuất được 60 chiếc mũ kiểu thứ hai: $t' = \frac{{60}}{{60}} = 1$ (phút/mũ).

Suy ra $t = 2$ (phút/mũ).

Gọi $x$, $y$ lần lượt là số lượng mũ kiểu thứ nhất và kiểu thứ hai sản xuất được mỗi ngày.

Phân xưởng làm việc không quá 8 tiếng $= 480$ phút mỗi ngày và thị trường tiêu thụ tối đa trong một ngày là 200 chiếc mũ kiểu thứ nhất và 240 chiếc mũ kiểu thứ hai nên $\left\{ \begin{array}{l}2x + y \le 480\\0 \le x \le 200\\0 \le y \le 240\end{array} \right.$ $\left( I \right)$.

Tiền lãi:

+ Một chiếc mũ kiểu thứ nhất: 24 nghìn đồng.

+ Một chiếc mũ kiểu thứ hai là 15 nghìn đồng.

Do đó tổng tiền lãi là $P = 24x + 15y$.

Ta xét bài toán tìm $x$, $y$ để $P = 24x + 15y$ đạt giá trị lớn nhất, với các điều kiện $\left( I \right)$.

Biểu diễn các ràng buộc trên mặt phẳng $\left( {Oxy} \right)$: $2x + y = 480$; $x = 200$; $y = 240$.

Miền nghiệm của $\left( I \right)$ là miền ngũ giác $OHIJK$ như hình vẽ dưới đây.

Tọa độ các đỉnh của ngũ giác $OHIJK$ và tính giá trị tiền lãi:

+ $O\left( {0;0} \right)$. Ta có $P = 24 \cdot 0 + 15 \cdot 0 = 0$.

+ $H\left( {200;0} \right)$. Ta có $P = 24 \cdot 200 + 15 \cdot 0 = 4800$.

+ $I$ là giao điểm của các đường $2x + y = 480$ và $x = 200$ nên $I = \left( {200;80} \right)$.

$\Rightarrow P = 24 \cdot 200 + 15 \cdot 80 = 6000$.

+ $J$ là giao điểm của các đường $2x + y = 480$ và $y = 240$ nên $J = \left( {120;240} \right)$.

$\Rightarrow P = 24 \cdot 120 + 15 \cdot 240 = 6480$.

+ $K\left( {0;240} \right)$. Ta có $P = 24 \cdot 0 + 15 \cdot 240 = 3600$.

Vậy số tiền lãi lớn nhất mà phân xưởng thu được trong một ngày là: 6480 nghìn đồng.

Đáp án: $9$.

Gọi $O$ là tâm của hình vuông $ABCD$.

Trong mặt phẳng $\left( {SAC} \right)$ kẻ $OI \bot SC$ tại $I$; $AH \bot SC$ tại $H$.

Ta có $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{BD \bot SA}\\{BD \bot AC}\end{array} \Rightarrow BD \bot \left( {SAC} \right)} \right.$, $OI \subset \left( {SAC} \right) \Rightarrow OI \bot BD$ và $BD \bot SC$.

Vậy $SC \bot \left( {BID} \right) \Rightarrow SC \bot BI;\,SC \bot DI$ nên góc phẳng nhị diện $\left[ {B,SC,D} \right]$ bằng $\widehat {BID}$.

$\Rightarrow \widehat {BID} = 120^\circ$. Suy ra $\widehat {BIO} = 60^\circ$.

Khi đó, $\tan \widehat {BIO} = \frac{{BO}}{{OI}} \Rightarrow \tan 60^\circ = \frac{{\frac{{\sqrt 2 }}{2} \cdot 3}}{{OI}} \Leftrightarrow OI = \frac{{\sqrt 6 }}{2} \Rightarrow AH = \sqrt 6$.

Tam giác vuông $SAC$ có đường cao $AH \Rightarrow \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}} = \frac{1}{{A{H^2}}} \Rightarrow SA = 3.$

Vậy thể tích khối chóp $S.ABCD$ là $V = \frac{1}{3}SA \cdot {S_{ABCD}} = \frac{1}{3} \cdot 3 \cdot 9 = 9$.

Đáp án: 2,07.

Chọn hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ dưới đây:

Gọi dạng của parabol là $\left( P \right):{y^2} = 2px$.

Ta có $x = 10,y = 4 \Rightarrow p = \frac{4}{5} \Rightarrow \left( P \right):{y^2} = \frac{8}{5}x$.

Thể tích ly nước nếu đổ đầy: $V = \pi \int\limits_0^{10} {{y^2}{\rm{d}}x} = \pi \int\limits_0^{10} {\frac{8}{5}x{\rm{d}}x} = \left. {\frac{{4\pi {x^2}}}{5}} \right|_0^{10} = 80\pi .$

Thể tích của nước trong ly lúc mới đổ lần đầu là: $\pi \int\limits_0^{{h_1}} {\frac{8}{5}x{\rm{d}}x} = \frac{1}{4} \cdot 80\pi \Leftrightarrow \frac{{4h_1^2}}{5} = 20 \Rightarrow {h_1} = 5$.

Khi đó, chiều cao của nước ban đầu là ${h_1} = 5\,\left( {{\rm{cm}}} \right)$.

Thể tích của nước trong ly sau khi đổ thêm là: $\pi \int\limits_0^{{h_2}} {\frac{8}{5}x{\rm{d}}x} = 2 \cdot \frac{1}{4} \cdot 80\pi \Leftrightarrow \frac{{4h_2^2}}{5} = 40 \Rightarrow {h_2} = 5\sqrt 2$.

Chiều cao của mực nước sau khi đổ thêm là ${h_2} = 5\sqrt 2 \,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)$.

Chiều cao của mực nước tăng thêm so với ban đầu: $h = {h_2} - {h_1} = 5\sqrt 2 - 5 \approx 2{,}07{\rm{ (cm)}}{\rm{.}}$

Đáp án: $43{,}3$.

Phương trình đường thẳng chứa đường trượt zipline là đường thẳng$AB$.

Ta có $A\left( {3;2{,}5;15} \right)$, $B\left( {21;27{,}5;10} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AB} = \left( {18;25; - 5} \right)$.

Phương trình đường thẳng chứa đường trượt zipline là $\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + 18t\\y = 2{,}5 + 25t\\z = 15 - 5t\end{array} \right.{\rm{ }}\left( {t \in \mathbb{R}} \right)$.

Khi du khách khi ở độ cao 12 mét $\Rightarrow z = 12 \Rightarrow 15 - 5t = 12 \Rightarrow t = \frac{3}{5}$.

Thay $t = \frac{3}{5}$ vào phương trình đường thẳng $AB$ ta được $\left\{ \begin{array}{l}x = 13{,}8\\y = 17{,}5\\z = 12\end{array} \right.{\rm{ }} \Rightarrow M\left( {13{,}8;17{,}5;12} \right)$.

Vậy $T = a + b + c = 13{,}8 + 17{,}5 + 12 = 43{,}3.$

Đáp án: $0{,}5$.

Gọi $A$ là biến cố: “Trong 3 viên bi lấy ra từ hộp hai có 2 viên bi từ hộp thứ nhất chuyển sang”.

Gọi $B$ là biến cố: “Ba viên bi lấy ra từ hộp hai là màu trắng”.

Trường hợp 1: 2 viên bi từ hộp thứ nhất chuyển sang là 2 viên bi trắng. Khi đó:

${P_1}\left( B \right) = \frac{{C_7^2}}{{C_{12}^2}} \cdot \frac{{C_6^3}}{{C_{12}^3}} = \frac{7}{{242}}$.

Trường hợp 2: 2 viên bi từ hộp thứ nhất chuyển sang là 2 viên bi đỏ. Khi đó:

${P_2}\left( B \right) = \frac{{C_5^2}}{{C_{12}^2}} \cdot \frac{{C_4^3}}{{C_{12}^3}} = \frac{1}{{363}}$.

Trường hợp 3: 2 viên bi từ hộp thứ nhất chuyển sang là 1 viên bi trắng và 1 viên bi đỏ. Khi đó:

${P_3}\left( B \right) = \frac{{C_7^1.C_5^1}}{{C_{12}^2}} \cdot \frac{{C_5^3}}{{C_{12}^3}} = \frac{{35}}{{1452}}$.

Suy ra $P\left( B \right) = {P_1}\left( B \right) + {P_2}\left( B \right) + {P_3}\left( B \right) = \frac{{27}}{{284}}$ và $P\left( {AB} \right) = {P_1}\left( B \right) = \frac{7}{{242}}$.

Do đó, $P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{\frac{7}{{242}}}}{{\frac{{27}}{{484}}}} = \frac{{14}}{{27}} \approx 0{,}5$.