Đề tham khảo ôn thi tốt nghiệp THPT môn Toán có đáp án (Đề số 21)

Ta có ${\rm{lo}}{{\rm{g}}_{\frac{1}{2}}}\left( {x + 1} \right) > - 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > - 1\\x + 1 < {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{ - 1}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > - 1\\x + 1 < 2\end{array} \right. \Leftrightarrow - 1 < x < 1$.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình ${\rm{lo}}{{\rm{g}}_{\frac{1}{2}}}\left( {x + 1} \right) > - 1$ là $\left( { - 1;1} \right)$. Chọn A.

Ta có ${V_{S.BCD}} = \frac{1}{2} \cdot {V_{S.ABCD}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} \cdot SA \cdot {S_{ABCD}} = \frac{1}{6} \cdot 2a \cdot {a^2} = \frac{{{a^3}}}{3}$. Chọn B.

a) Đúng. Hàm số$y = \frac{{{x^2} + 2x - 1}}{{x - 1}} = x + 3 + \frac{2}{{x - 1}}$.

Tập xác định $D = \left( { - \infty \,;1} \right) \cup \left( {1\,; + \infty } \right)$, đạo hàm $y' = 1 - \frac{2}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1 + \sqrt 2 \\x = 1 - \sqrt 2 \end{array} \right.$.

b) Sai. Vì hàm số không xác định tại $x = 1 \in \left( {0\,;2} \right)$.

c) Đúng. Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {x + 3 + \frac{2}{{x - 1}}} \right) = + \infty$ nên đường thẳng $x = 1$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

d) Đúng. Giả sử $M\left( {{x_0};{x_0} + 3 + \frac{2}{{{x_0} - 1}}} \right)$ với ${x_0} \ne 1$ là điểm bất kỳ thuộc $\left( C \right)$.

+) Khoảng cách từ $M$ tới tiệm cận đứng $x = 1$ là $\left| {{x_0} - 1} \right|$.

+) Khoảng cách từ $M$ tới tiệm cận xiên $y = x + 3 \Leftrightarrow x - y + 3 = 0$ là

$\frac{{\left| {{x_0} - \left( {{x_0} + 3 + \frac{2}{{{x_0} - 1}}} \right) + 3} \right|}}{{\sqrt 2 }} = \frac{{\left| {\frac{2}{{{x_0} - 1}}} \right|}}{{\sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt 2 }}{{\left| {{x_0} - 1} \right|}}$.

Tích khoảng cách từ $M$ tới tiệm cận đứng và tiệm cận xiên là $\left| {{x_0} - 1} \right| \cdot \frac{{\sqrt 2 }}{{\left| {{x_0} - 1} \right|}} = \sqrt 2$.

a) Sai.

+) Parabol $\left( P \right)$ có đỉnh $I\left( {2;3} \right)$ nên phương trình $\left( P \right)$ có dạng: $v = a{\left( {t - 2} \right)^2} + 3$.

+) $\left( P \right)$ đi qua điểm có tọa độ $\left( {0;11} \right)$ nên $11 = 4a + 3 \Leftrightarrow a = 2$.

Vậy phương trình $\left( P \right)$ là $v = 2{\left( {t - 2} \right)^2} + 3$ hay $v\left( t \right) = 2{t^2} - 8t + 11$.

Theo đồ thị, khi $t = 5 \Rightarrow v\left( 5 \right) = 21$.

+) Đường thẳng $d$ có dạng: $v = mt + n$.

+) Đường thẳng $d$ đi qua hai điểm $\left( {5;21} \right)$ và $\left( {10;0} \right)$ nên $\left\{ \begin{array}{l}5m + n = 21\\10m + n = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = - \frac{{21}}{5}\\n = 42\end{array} \right.$.

Vậy phương trình $d:v = - \frac{{21}}{5}t + 42$.

Do đó $v(t)=\{\begin{matrix}2{t}^{2}-8t+11,\ 0\le t\le 5 \\ -\frac{21}{5}t+42,\text{5}\le \text{t}\le \text{10}\end{matrix}$

b) Đúng. Quãng đường vật di chuyển được trong khoảng thời gian từ $0$giây đến $5$ giây là ${S_1} = \int\limits_0^5 {\left( {2{t^2} - 8t + 11} \right){\rm{d}}t} = \frac{{115}}{3}\,\,{\rm{(m)}}$.

c) Sai. Quãng đường vật di chuyển được trong khoảng thời gian từ giây thứ 5 đến giây thứ 10 là ${S_2} = \int\limits_5^{10} {\left( { - \frac{{21}}{5}t + 42} \right){\rm{d}}t} = 52{,}5\,\,{\rm{(m)}}$.

d) Sai. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $v\left( t \right),$ trục $Ot$, và hai đường thẳng $t = 0,t = 10$ là $S = \int\limits_0^5 {\left( {2{t^2} - 8t + 11} \right){\rm{d}}t} + \int\limits_5^{10} {\left( { - \frac{{21}}{5}t + 42} \right){\rm{d}}t} = \frac{{545}}{6}$(đvdt).

a) Đúng. Gọi $A$ là biến cố: “Chọn được một người là nam”.

Ta có $n\left( A \right) = 500$; $n\left( \Omega \right) = 900$$\Rightarrow P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{500}}{{900}} = \frac{5}{9}$.

b) Đúng. Gọi $B$ là biến cố: “Chọn được một người có việc làm”.

Ta có $n\left( B \right) = 600$; $n\left( \Omega \right) = 900$$\Rightarrow P\left( B \right) = \frac{{n\left( B \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{600}}{{900}} = \frac{2}{3}$.

c) Sai. Xác suất để một người thất nghiệp khi người đó là nữ cao gấp $\frac{{260}}{{40}} = 6{,}5$ lần xác suất để một người thất nghiệp khi người đó là nam.

d) Đúng. Gọi $C$ là biến cố: “Chọn được một người là nữ”. Ta tính $P\left( {C|B} \right)$.

Ta có $P\left( {C|B} \right) = \frac{{P\left( {CB} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{n\left( {BC} \right)}}{{n\left( B \right)}} = \frac{{140}}{{600}} = \frac{7}{{30}}$.

a) Đúng. Ta có $OA = \sqrt {{{300}^2} + {{\left( { - 400} \right)}^2} + {{100}^2}} = \sqrt {260000} = 100\sqrt {26} \approx 509{,}9\, > 250$ nên radar không thể phát hiện UAV khi UAV ở vị trí $A$.

b) Sai. Đường bay của UAV là đường thẳng đi qua hai điểm $A$ và $B$.

Ta có ${z_A} = {z_B} = 100 \ne 0$ không thỏa mãn phương trình đã cho.

c) Sai. Ta có $\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {OA} = \left( {300; - 400;100} \right)\\\overrightarrow {BA} = \left( {600; - 800;0} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {BA} } \right] = \left( {80000;60000;0} \right)$.

Khoảng cách từ vị trí đặt radar đến đường bay của UAV bằng khoảng cách từ gốc tọa độ $O$ đến đường thẳng $AB$ và bằng $d\left( {O,AB} \right) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {BA} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {BA} } \right|}} = \frac{{\sqrt {{{80000}^2} + {{60000}^2}} }}{{\sqrt {{{600}^2} + {{\left( { - 800} \right)}^2}} }} = 100$.

Khoảng cách đó lớn hơn tầm hiệu quả gây nhiễu của UAV nên UAV không thể gây nhiễu radar.

d) Đúng.

Ta có $OA = \sqrt {{{300}^2} + {{\left( { - 400} \right)}^2} + {{100}^2}} = \sqrt {260000} = 100\sqrt {26} \approx 509{,}9\, > 250$;

$OB = \sqrt {{{\left( { - 300} \right)}^2} + {{400}^2} + {{100}^2}} = \sqrt {260000} = 100\sqrt {26} \approx 509{,}9\, > 250$.

Suy ra hai điểm $A$ và $B$ nằm ngoài vùng kiểm soát của radar.

Gọi $M$, $N$ lần lượt là điểm bắt đầu và điểm kết thúc mà radar phát hiện được UAV.

Ta có $MN = 2MH = 2\sqrt {{{250}^2} - {{100}^2}} = 100\sqrt {21}$ ${\rm{(km)}}$ (với $H$ là trung điểm của $MN$).

Vậy thời gian radar có thể theo dõi UAV là $t = \frac{{100\sqrt {21} }}{{900}} \approx 0{,}51$ giờ $\approx 30$ phút.

Đáp án: 1191.

Hàm số bậc ba $y = f\left( x \right)$ có dạng $y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d$, $\left( {a \ne 0} \right)$.

Ta có $ON = OM + MN = 2 + 3{,}5 = 5{,}5\,\,\left( {{\rm{km}}} \right)$.

Dựa vào hình vẽ đã cho, ta thấy đồ thị hàm số cắt trục hoành tại các điểm $O\left( {0;0} \right)$, $M\left( {2;0} \right)$ và $N\left( {5{,}5;0} \right)$.

Khi đó, phương trình $f\left( x \right) = 0$ có ba nghiệm phân biệt là $x = 0;x = 2;x = 5{,}5$.

$\Rightarrow f\left( x \right) = kx\left( {x - 2} \right)\left( {x - 5{,}5} \right)$$= k\left( {{x^3} - 7{,}5{x^2} + 11x} \right)$ và từ đồ thị, ta thấy $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } = - \infty$ nên $k < 0$.

Ta có $f'\left( x \right) = k\left( {3{x^2} - 15x + 11} \right)$.

Xét $f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow k\left( {3{x^2} - 15x + 11} \right) = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 15x + 11 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{15 \pm \sqrt {93} }}{6}$.

Độ sâu của hồ nước là $450\,\,{\rm{m}} = 0{,}45\,\,{\rm{km}}$ nên ta có giá trị cực tiểu của đồ thị hàm số trên là${y_{CT}} = - 0{,}45$.

Suy ra, $f\left( {\frac{{15 - \sqrt {93} }}{6}} \right) = - 0{,}45 \Leftrightarrow k \cdot \frac{{ - 135 + 31\sqrt {93} }}{{36}} = - 0{,}45 \Leftrightarrow k = \frac{{ - 16{,}2}}{{ - 135 + 31\sqrt {93} }}$.

Chiều cao của ngọn núi tương ứng với .

Vậy ngọn núi cao khoảng $1191\,\,{\rm{m}}$.

Đáp án: 0,71.

Gọi $I$ là trung điểm của $BC.$ Kẻ đường cao $AH$ của tam giác $SAC.$

Ta có $\Delta ABC$ đều nên $BC \bot AI$. Mà $SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow BC \bot SA$.

Suy ra $BC \bot \left( {SAI} \right) \Rightarrow BC \bot AI.$

Mặt khác $AH \bot SI \subset \left( {SBC} \right) \Rightarrow AH \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right) = AH$.

Xét tam giác vuông $SAI$ có:

$AI = \frac{{a\sqrt 3 }}{2},SA = \frac{{a\sqrt 6 }}{2} \Rightarrow A{H^2} = \frac{{A{I^2} \cdot S{A^2}}}{{A{I^2} + S{A^2}}} = \frac{{{a^2}}}{2} \Rightarrow AH = \frac{{\sqrt 2 }}{2}a \Rightarrow m \approx 0{,}71$.

Đáp án: 463.

Gọi bán kính của đường tròn tâm I là R, khi đó:

Diện tích hình quạt NIM là $\frac{{\pi {R^2}}}{4}$.

Diện tích tam giác vuông NIM là $\frac{1}{2}{R^2}$.

Diện tích hình viên phân giới hạn bởi cung nhỏ và đường tròn là ${R^2}\left( {\frac{\pi }{4} - \frac{1}{2}} \right)$.

Mà tam giác NIM vuông nên $\Rightarrow R = \frac{{NM}}{{\sqrt 2 }}$.

Suy ra diện tích hình viên phân là $\frac{{N{M^2}}}{2}\left( {\frac{\pi }{4} - \frac{1}{2}} \right)$ (1).

Phương trình elip có dạng $\frac{{{x^2}}}{{{{75}^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{{45}^2}}} = 1$ $\Rightarrow y = 45\sqrt {1 - \frac{{{x^2}}}{{{{75}^2}}}}$, mà $M \in \left( E \right)$.

$\Rightarrow MN = 2y = 90\sqrt {1 - \frac{{{x^2}}}{{{{75}^2}}}}$ thay vào (1), ta được $S = \frac{1}{2} \cdot {90^2}\left( {1 - \frac{{{x^2}}}{{{{75}^2}}}} \right)\left( {\frac{\pi }{4} - \frac{1}{2}} \right)$.

$\Rightarrow V = \int\limits_{ - 75}^{75} {\left[ {\frac{1}{2} \cdot {{90}^2}\left( {1 - \frac{{{x^2}}}{{{{75}^2}}}} \right)\left( {\frac{\pi }{4} - \frac{1}{2}} \right)} \right]{\rm{d}}x}$ $\approx 115\,\,586$.

Số BTU cần dùng là $\approx 200 \cdot 115\,\,586 \approx 23\,\,117\,\,251$.

Số máy điều hòa cần dùng là $\approx \frac{{23\,\,117\,\,251}}{{50\,\,000}} \approx 463$.

Đáp án: $6{,}4$.

Số tiền cả vốn và lãi ông An phải trả cho ngân hàng sau 1 năm là $200\left( {1 + 8\% } \right) = 216$ (triệu đồng).

Số cổ phiếu ông An mua là: $200\,000\,000:50\,000 = 4\,000$ (cổ phiếu).

Số tiền ông An bán cổ phiếu là $4\,000 \cdot 55\,600 = 222\,400\,000$ (đồng) $= 222{,}4$ (triệu đồng).

Số tiền còn lại của ông An là $222{,}4 - 216 = 6{,}4$ (triệu đồng).

Đáp án: 126.

Mặt phẳng $\left( P \right)$ có cặp VTCP là $\overrightarrow k = \left( {0;0;1} \right)$ và $\overrightarrow {CD} = \left( {20; - 40;0} \right)$.

Ta có $\left[ {\overrightarrow k ,\overrightarrow {CD} } \right] = \left( {{\rm{40;20;0}}} \right){\rm{//}}\left( {{\rm{2;1;0}}} \right) \Rightarrow \left( P \right):2\left( {x - 10} \right) + y - 50 = 0 \Leftrightarrow 2x + y - 70 = 0$.

Phương trình đường thẳng đi qua $A$, vuông góc với $\left( P \right)$ là $\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 30 + 2t\\y = 40 + t\\z = 120\end{array} \right.$.

Ta có $B \in \Delta \Rightarrow B\left( {30 + 2t;40 + t;120} \right)$.

Mặt khác $B \in \left( P \right) \Rightarrow 2\left( {30 + 2t} \right) + 40 + t - 70 = 0 \Leftrightarrow t = - 6$.

Suy ra $B\left( {18;34;120} \right)$. Khi đó $OB = \sqrt {{{18}^2} + {{34}^2} + {{120}^2}} \approx 126$.

Đáp án: 0,92.

Xét các biến cố A: “Chọn được học sinh thật sự bị nhiễm virus”;

B: “Có kết quả xét nghiệm dương tính”.

Ta có $P\left( A \right) = \frac{{80}}{{200}} = 0{,}4$; $P\left( {\overline A } \right) = 0{,}6$; $P\left( {B|A} \right) = 0{,}9\,;\,\,P\left( {B|\overline A } \right) = 0{,}05$.

Xác suất chọn được học sinh có xét nghiệm dương tính:

$P\left( B \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right) \cdot \left( {B|\overline A } \right) = 0{,}39$.

Xác suất để bạn đó thật sự bị nhiễm virus $P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( A \right) \cdot P\left( {B|A} \right)}}{{P\left( B \right)}} \approx 0{,}92$.