Đề ôn thi Tốt nghiệp THPT Toán có đáp án - Đề số 9

Đáp án đúng là C

Phương trình đường thẳng $d$ là: $\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 3}}{{ - 1}} = \frac{{z - 5}}{1}$

Đáp án đúng là B

Ta thấy đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳng $y\; = \;\frac{1}{2}$.

Đáp án đúng là C

Ta có: ${\log _3}\left( {18 - {x^2}} \right) = 2 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}18 - {x^2} > 0\\18 - {x^2} = 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 3\sqrt 2 < x < 3\sqrt 2 \\x = \pm 3\end{array} \right. \Leftrightarrow x = \pm 3$.

Đáp án đúng là C

Mặt phẳng $\left( P \right)$ song song với $\left( Q \right):x - 2y + 3z + 1 = 0$ nên nhận $\vec n = \left( {1\,;\,\, - 2\,;\,\,3} \right)$ làm vectơ pháp tuyến; mặt khác (P) qua $M\left( {1\,;\,\,2\,;\,\,3} \right)$ nên có phương trình:

$1\left( {x - 1} \right) - 2\left( {y - 2} \right) + 3\left( {z - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow x - 2y + 3z - 6 = 0$.

Đáp án đúng là B

Ta có: $\int\limits_1^3 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \int\limits_1^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x} + \int\limits_2^3 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = - 2 + 1 = - 1$.

Đáp án đúng là D

Áp dụng quy thắc hình bình hành ta có: $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {A'C'} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AC} .$

Đáp án đúng là D

Ta có ${u_{10}} = {u_1} + 9d \Rightarrow {u_1} = {u_{10}} - 9d = 25 - 9.3 = - 2$.

Đáp án đúng là D

Ta có: $BC \bot SA$ (do $SA \bot \left( {ABC} \right)$) và $BC \bot AB$ nên $BC \bot \left( {SAB} \right)$.

Đáp án đúng là A

Thể tích vật thể tròn xoay cần tính là: $V = \pi \int\limits_1^2 {{{\left( {\sqrt {{e^x} - x} } \right)}^2}} {\rm{d}}x = \pi \int\limits_1^2 {\left( {{e^x} - x} \right){\rm{d}}x} = \left. {\pi \left( {{e^x} - \frac{1}{2}{x^2}} \right)} \right|_1^2$
$= \pi \left[ {\left( {{e^2} - \frac{1}{2} \cdot {2^2}} \right) - \left( {{e^1} - \frac{1}{2} \cdot {1^2}} \right)} \right] = \pi \left( {{e^2} - e - \frac{3}{2}} \right)$

Đáp án đúng là C

Số phần tử của không gian mẫu là $n\left( \Omega \right) = C_9^2 = 36$.

Gọi $A$ là biến cố: “Tổng hai số ghi trên hai thẻ rút được là một số lẻ lớn hơn hoặc bằng $15$”.

Ta có các cặp số có tổng là số lẻ và lớn hơn hoặc bằng $15$ là $\left( {6;9} \right);\left( {7;8} \right);\left( {9;8} \right)$$\Rightarrow n\left( A \right) = 3$.

Vậy xác suất của biến cố $A$ là $P\left( A \right) = \frac{3}{{36}} = \frac{1}{{12}}$.

Đáp án đúng là D

Tập xác định: $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}$

Đạo hàm : $y' = \frac{{3{x^2} - 12x - 3}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = 0$$\Leftrightarrow x = 2 \pm \sqrt 5$

Đồ thị có hai điểm cực trị và đường thẳng $d$ đi qua hai điểm cực trị đó có phương trình là : $y = \frac{{{{\left( {3{x^2} - x + 5} \right)}^\prime }}}{{\left( {x - 2} \right)}} = 6x - 1$ nên $a + b = 6 + \left( { - 1} \right) = 5.$

Đáp án đúng là A

Giá trị trung bình mẫu số liệu ghép nhóm là $\bar x = \frac{{152{,}5.3 + 157{,}5.7 + ... + 172{,}5.3}}{{30}} = 162{,}5$.

Độ lệch chuẩn mẫu số liệu ghép nhóm là:

$s = \sqrt {{s^2}} = \sqrt {\frac{{3.{{\left( {152{,}5 - \bar x} \right)}^2} + ... + 3.{{\left( {172{,}5 - \bar x} \right)}^2}}}{{30}}} = \frac{{\sqrt {285} }}{3} \approx 5{,}63$.

a) Đúng: Đạo hàm của hàm số đã cho là $f'\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 2x - 3}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\left( {x \ne - 1} \right)$

b) Sai: $f'\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 2x - 3}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}$

Điều kiện $x \ne - 1$ thì $f'\left( x \right) < 0 \Leftrightarrow \frac{{{x^2} + 2x - 3}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} < 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 2x - 3 < 0\\x \ne - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 3 < x < 1\\x \ne - 1\end{array} \right.$

Suy ra hàm số nghịch biến trên các khoảng $\left( { - 3; - 1} \right)$ và $\left( { - 1;1} \right)$

c) Đúng: $y = f\left( x \right) = \frac{{{x^2} - x + 2}}{{x + 1}} = x - 2 + \frac{4}{{x + 1}} \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f\left( x \right) - \left( {x - 2} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{4}{{x + 1}} = 0$

Suy ra đồ thị $\left( C \right)$ có tiệm cận xiên là $y = x - 2$

d) Sai: Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị $y = \frac{{{{\left( {{x^2} - x + 2} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^\prime }}} = \frac{{2x - 1}}{1} = 2x - 1$

Giao điểm của đường thẳng $\left( d \right)$ với trục$Ox$ là : $2x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}.$

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng $\left( d \right)$và trục$Ox,\,\,Oy$ là: $S = \int\limits_0^{\frac{1}{2}} {\left| {2x - 1} \right|{\rm{d}}x} = \frac{1}{4}$

Xét mệnh đề a)

Đồ thị nhận $O\left( {0;0} \right)$ làm tâm đối xứng nên hàm số phải là hàm số lẻ. Do đó, các hệ số của bậc chẵn phải bằng 0: $b = d = 0 \Rightarrow f\left( x \right) = a{x^3} + cx$

Điểm $M\left( {1; - 2} \right) \in \left( C \right) \Rightarrow f\left( 1 \right) = - 2 \Leftrightarrow a + c = - 2\left( 1 \right)$

Điểm $M\left( {1; - 2} \right)$là điểm cực trị nên $f'\left( 1 \right) = 0 \Leftrightarrow 3a + c = 0\left( 2 \right)$

Từ $\left( 1 \right)$và $\left( 2 \right)$ta có hệ phương trình: $\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{a + c = - 2}\\{3a + c = 0}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{a = 1}\\{c = - 3}\end{array}} \right. \Rightarrow f\left( x \right) = {x^3} - 3x$

Vậy $a + b + c + d = 1 + 0 + \left( { - 3} \right) + 0 = - 2$ nên mệnh đề a) đúng

Xét mệnh đề b)

Phương trình hoành độ giao điểm: ${x^3} - 3x = 2 \Leftrightarrow {x^3} - 3x - 2 = 0 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x = - 1}\\{x = 2}\end{array}} \right.$

Vậy đồ thị $\left( C \right)$cắt đường thẳng $y = 2$tại hai điểm phân biệt (trong đó có 1 điểm tiếp xúc) nên mệnh đề b) sai

Xét mệnh đề c)

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị $\left( C \right)$và trục hoành: ${x^3} - 3x = 0 \Rightarrow x = 0\,;\,x = \pm \sqrt 3$

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $\left( C \right)$, trục hoành và đường thẳng $x = \sqrt 3$:

$S = \int\limits_0^{\sqrt 3 } {\left| {{x^3} - 3x} \right|\,{\rm{d}}x = \frac{9}{4}} = 2{,}25$ nên mệnh đề c) đúng

Xét mệnh đề d)

Phần hình phẳng giới hạn bởi $\left( C \right)$và trục hoành $\left( {x \ge 0} \right)$ là đoạn từ $x = 0$đến $x = \sqrt 3$.

$V = \pi \int\limits_0^{\sqrt 3 } {{{\left( {{x^3} - 3x} \right)}^2}\,{\rm{d}}x} = \pi \left. {\left( {\frac{{{x^7}}}{7} - \frac{{6{x^5}}}{5} + 3{x^3}} \right)} \right|_0^{\sqrt 3 } = \frac{{72\sqrt 3 \pi }}{{35}}$ nên mệnh đề d) đúng

Đặt hệ trục tọa độ như hình vẽ: $S\left( {0;0;3} \right)$; $E\left( {4; - 2;0} \right)$; $F\left( {4;2;0} \right)$ ; $G\left( {2;1;\frac{3}{2}} \right)$ ; $H\left( {2; - 1;\frac{3}{2}} \right)$

Xét mệnh đề a)

Ta có: $\overrightarrow {EF} = \left( {0;4;0} \right)$ và $\overrightarrow {EH} = \left( { - 2; - 3;\frac{3}{2}} \right)$ nên $\overrightarrow {{n_{\left( {EFGH} \right)}}} = \left[ {\overrightarrow {EF} ,\overrightarrow {EH} } \right] = \left( {6;0;8} \right) = 2.\left( {3;0;4} \right)$

Phương trình mặt phẳng là $\left( {EFGH} \right):\,3x + 4z - 12 = 0$nên mệnh đề a) đúng

Xét mệnh đề b)

Xét $\Delta SEF$ có $H,G$lần lượt là trung điểm của $SE$ và $SF \Rightarrow HG = \frac{1}{2}EF = 2$

Gọi $K,L$ là hình chiếu của $G$và $H$trên $EF \Rightarrow GK,HL$là chiều cao của hình thang cân $EFGH$

Suy ra $GF = \sqrt {{2^2} + {1^2} + {{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt {29} }}{2}$. Gọi $KF = EL = x \Leftrightarrow 2x + LK = 4 \Leftrightarrow 2x + 2 = 4 \Rightarrow x = 1$.

Áp dụng định lý Pytago vào $\Delta GKF \Rightarrow GK = \sqrt {G{F^2} - K{F^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{\sqrt {29} }}{2}} \right)}^2} - {1^2}} = \frac{5}{2}$

Vậy ${S_{EFGH}} = \frac{{EF + HG}}{2}.GK = \frac{{4 + 2}}{2}.\frac{5}{2} = \frac{{15}}{2} = 7{,}5$(m2) nên mệnh đề b) đúng

Xét mệnh đề c)

Ta có: $I\left( {0;0;2} \right)$ và $H\left( {2; - 1;\frac{3}{2}} \right) \Rightarrow \overrightarrow {IH} = \left( {2; - 1; - \frac{1}{2}} \right)$

Phương trình đường thẳng $IH:\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x = 2t}\\{y = - t}\\{z = 2 - 0{,}5t}\end{array}} \right.\,\left( {t \in \mathbb{R}} \right)$

Theo đề bài $H' \in \left( {Oxy} \right) \Rightarrow z = 0 \Leftrightarrow 2 - 0{,}5t = 0 \Rightarrow t = 4 \Rightarrow H' = \left( {8; - 4;0} \right)$

Tương tự $I\left( {0;0;2} \right)$ và $G\left( {2;1;\frac{3}{2}} \right) \Rightarrow \overrightarrow {IG} = \left( {2;1; - \frac{1}{2}} \right)$ nên PTĐT $IG:\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x = 2h}\\{y = h}\\{z = 2 - 0{,}5h}\end{array}} \right.\,\,\left( {h \in \mathbb{R}} \right)$

Theo đề bài $G' \in \left( {Oxy} \right) \Rightarrow z = 0 \Leftrightarrow 2 - 0{,}5t = 0 \Rightarrow t = 4 \Rightarrow G' = \left( {8;4;0} \right)$

Suy ra $G'H' = \sqrt {{8^2}} = 8$và $FG' = \sqrt {{4^2} + {2^2}} = 2\sqrt 5$. Gọi$M,N$ lần lượt là hình chiếu của$F,E$ trên $G'H'$ thì $FM,EN$là chiều cao của hình than cân$EFG'H'$

Gọi $MG' = NH' = y \Leftrightarrow 2y + 4 = 8 \Rightarrow y = 2$

Áp dụng định lý Pytago vào $\Delta FMG' \Rightarrow FM = \sqrt {F{{G'}^2} - M{{G'}^2}} = \sqrt {{{\left( {2\sqrt 5 } \right)}^2} - {2^2}} = 4$

Vậy ${S_{EFG'H'}} = \frac{{4 + 8}}{2}.4 = 24$(m2) nên mệnh đề c) đúng

Xét mệnh đề d)

Tấm thảm là hình chữ nhật có $4 \times 8$(m) và đặt tấm thảm sao cho trùng khít với $EF$, tức là vùng phủ đi từ $x = 4$ đến $x = 12$. Jgi đí $I\left( {0;0;a} \right)$và $G\left( {2;1;\frac{3}{2}} \right) \Rightarrow \overrightarrow {IG} = \left( {2;1;\frac{3}{2} - a} \right)$

Phương trình đường thẳng $IG:\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x = 2u}\\{\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{y = u}\\{z = a + \left( {1{,}5 - a} \right)u}\end{array}}\end{array}\,\,\left( {u \in \mathbb{R}} \right)} \right.$

Theo đề bài $G' \in \left( {Oxy} \right) \Rightarrow z = 0 \Leftrightarrow a + \left( {1{,}5 - a} \right)u = 0 \Rightarrow u = \frac{a}{{a - 1{,}5}}$

Mặt khác: $x = 2u = \frac{{2a}}{{a - 1{,}5}} \ge 12 \Leftrightarrow 2a \ge 12a - 18 \Rightarrow a \le 1{,}8$(m)

Vậy nguồn sáng tối đa cao $1{,}8$(m) nên mệnh đề d) đúng

Đổi 40 phút bằng $\frac{2}{3}$ giờ.
Theo giả thiết: $\frac{2}{3} = - \frac{2}{3}\ln \left( {1 - \frac{Q}{{{Q_0}}}} \right) \Leftrightarrow \ln \left( {1 - \frac{Q}{{{Q_0}}}} \right) = - 1 \Leftrightarrow 1 - \frac{Q}{{{Q_0}}} = {e^{ - 1}} \Leftrightarrow \frac{Q}{{{Q_0}}} = 1 - {e^{ - 1}}$

$$\Rightarrow \frac{Q}{{{Q_0}}}.100\% = \left( {1 - {e^{ - 1}}} \right)100\% \approx 63{,}2\% {\rm{ }}$$

Vậy số $\%$ dung lượng pin của xe khi đã nạp được thời gian $40$phút là $63{,}2\%$.

Gọi $r$ là mức hoa hồng $\left( \% \right)$ công ty đưa ra. Thu nhập của đội ngũ kinh doanh là hiệu số giữa tiền hoa hồng nhận được và chi phí hoạt động:

$I\left( x \right) = \frac{r}{{100}}.S\left( x \right) - C\left( x \right) = \frac{r}{{100}}.8000\sqrt x - 0{,}5{x^2} = 80r\sqrt x - 0{,}5{x^2}\,\left( {x > 0} \right)$

Giá trị $x$làm cho $I{\left( x \right)_{\max }}$là : $I'\left( x \right) = \frac{{40r}}{{\sqrt x }} - x = 0 \Rightarrow x\left( r \right) = \sqrt[3]{{{{\left( {40r} \right)}^2}}}$

Công ty hưởng phần : $\left( {1 - r} \right).S\left( x \right)$

Thay $x = x\left( r \right)$vào $\Rightarrow L\left( r \right) = \left( {1 - r\% } \right).8000\sqrt {\sqrt[3]{{{{\left( {40r} \right)}^2}}}}$

Dùng

Bản biến thiên:

Để tối đa hóa lợi nhuận thì công ty cần đặt ra mức hoa hồng là $25\%$

Gọi $d$ là đường thẳng đi qua $O$ và cắt $\left( C \right):y = \sqrt {196 - {x^2}}$ tại điểm đặc biệt $M$

Khi ấy ${k_d} = \tan 30^\circ \Rightarrow d:y = \frac{x}{{\sqrt 3 }}$với ta có phương trình hoành độ điểm $M$ là: ${\left( {\frac{x}{{\sqrt 3 }}} \right)^2} + {x^2} = 196$

Suy ra tọa độ $M\left( {7\sqrt 3 ;7} \right)$ gọi parabol đề cho có phương trình $\left( P \right):y = - a{x^2} + c,\left( {a < 0 < c} \right)$

Do $M\left( {7\sqrt 3 ;7} \right) \in \left( P \right)$ nên ta có phương trình: $7 = - 147a + c \Rightarrow \left( P \right):y = - a{x^2} + 7 + 147a\left( 1 \right)$

Gọi $d'$ là pháp tuyến của $d$ tại $M$ thì dễ dàng có được $d':y = - x\sqrt 3 + 28$

Khi đó với $d'$ là tiếp tuyến của $\left( P \right)$ tại tiếp điểm $M$ ta có phương trình tiếp xúc như sau:

$\left\{ \begin{array}{l} - a{x^2} + c = - \sqrt 3 x + 28\\ - 2ax = - \sqrt 3 \end{array} \right.$. Suy ra:

Tiếp đến gọi $\Delta$ là tiếp tuyến của $\left( P \right)$ tại tiếp điểm $x = m$ sao cho $\widehat {\left( {\Delta ;Oy} \right)} = 60^\circ$.

Suy ra $\Delta :y = - \frac{m}{7}\left( {x - m} \right) - \frac{{{m^2}}}{{14}} + \frac{{35}}{2} \Rightarrow \left( \Delta \right) \cap Oy = E\left( {0;\frac{{{m^2}}}{{14}} + \frac{{35}}{2}} \right)$

Hệ số góc: ${k_\Delta } = \tan \left( {\overrightarrow {OE} ;\overrightarrow {O{x^ + }} } \right) = \tan 150^\circ$

Suy ra: $- \frac{m}{7} = \tan 150^\circ \Rightarrow m = \frac{7}{{\sqrt 3 }} \Rightarrow OE = \frac{{56}}{3}\left( {cm} \right) \Rightarrow {S_{lucgiac}} = 6.\frac{{O{E^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{1568}}{{\sqrt 3 }}$(cm2)

Gọi ${S_0}$ là diện tích hình giới hạn bởi cong $\left( P \right)$ và $\left( C \right)$, vậy diện tích cần tìm là:

$S = {S_{lucigac}} - \left( {3{S_0} + {S_{tron}}} \right) = \frac{{1568}}{{\sqrt 3 }} - \left( {3\int\limits_{ - 7\sqrt 3 }^{7\sqrt 3 } {\left( { - \frac{1}{{14}}{x^2} + \frac{{35}}{2}} \right) - \sqrt {196 - {x^2}} {\rm{d}}x} + \pi {{14}^2}} \right) \approx 141$(cm$^{2}$)

Từ hình trái, sau khi trải phẳng ta thu được hình phải.
Vì mặt phẳng $\left( {Oxy} \right) \equiv \left( {OBCD} \right);\,\left( {Oxz} \right) \equiv \left( {OBB'O'} \right);\left( {Ozy} \right) \equiv \left( {OO'D'D} \right)$các điểm trên các mặt phẳng trên không thỏa mãn yêu cầu có hoành độ, tung độ và cao độ là các số nguyên dương.
Cho nên ta chỉ đếm các điểm có hoành độ dương trên các đoạn thẳng: ${M_1}{M_2};\,{M_3}{M_4};\,{M_5}M$.
Ta có tọa độ các điểm: $M\left( {3;0;9} \right);\,{M_1}\left( {9{,}0{,}3} \right);\,{M_2}\left( {9{,}3{,}0} \right);\,{M_3}\left( {3{,}9{,}0} \right);\,{M_4}\left( {0{,}9{,}3} \right);\,{M_5}\left( {0{,}3{,}9} \right)$.
Khi đó phương trình đường thẳng ${M_1}{M_2}$là: $\left\{ \begin{array}{l}x = 9\\y = t\\z = 3 - t\end{array} \right.$vì các điểm nằm trên đoạn ${M_1}{M_2}$nên $0 < t < 3$ . Suy ra $t = 1$ hoặc $t = 2$.
Khi đó phương trình đường thẳng ${M_3}{M_4}$là: $\left\{ \begin{array}{l}x = 3 - t\\y = 9\\z = t\end{array} \right.$vì các điểm nằm trên đoạn ${M_3}{M_4}$nên $0 < t < 3$ . Suy ra $t = 1$ hoặc $t = 2$.
Khi đó phương trình đường thẳng ${M_5}{M_0}$là: $\left\{ \begin{array}{l}x = 3 - t\\y = t\\z = 9\end{array} \right.$vì các điểm nằm trên đoạn${M_5}{M_0}$ nên $0 < t < 3$ . Suy ra $t = 1$ hoặc $t = 2$.
Khi đó có 6 điểm thỏa mãn yêu cầu của đề bài.

Mỗi câu hỏi sẽ gồm $04$ ý trắc nghiệm đúng sai a), b), c), d) và mỗi ý chỉ gồm hai lựa chọn là đúng hoặc sai

Tổng số cách trả lời cho mỗi câu hỏi là: ${2^4} = 16$(cách)

Số cách để đạt các mức điểm như sau:

Được $1$ điểm khi đúng cả 4 ý có $C_4^4 = 1$(cách)

Được $0{,}5$ điểm khi đúng 3 ý có $C_4^3 = 4$(cách)

Được $0{,}25$ điểm khi đúng 2 ý có $C_4^2 = 6$(cách)

Được $0{,}1$ điểm khi đúng 1 ý có $C_4^1 = 4$(cách)

Được $0$điểm khi không làm đúng ý nào có $C_4^0 = 1$(cách)

Các trường hợp đạt tổng $2{,}5$điểm

Gọi ${x_1},{x_2},{x_3},{x_4}$là điểm số của 4 câu hỏi thì khi đó ${x_1} + {x_2} + {x_3} + {x_4} = 2{,}5$

Trường hợp 1: Bộ điểm $\left\{ {1;1;0{,}5;0} \right\}$

Số cách chọn vị trí câu hỏi: Ta có 4 câu, chọn 2 câu 1 điểm, 1 câu 0,5 điểm và 1 câu 0 điểm:

Số cách xếp bộ điểm này là: $\frac{{4!}}{{2!.1!.1!}} = 12$(cách)

Số cách chọn đáp án: 2 câu được 1 điểm mỗi câu có 1 cách; 1 câu được 0,5 điểm có 4 cách; 1 câu được 0 điểm có 1 cách

Tổng số cách ở tròng trường hợp này là $12.\left( {{1^2}{{.4}^1}{{.1}^1}} \right) = 48$(cách)

Trường hợp 2: Bộ điểm $\left\{ {1;1;0{,}25;0{,}25} \right\}$

Số cách chọn vị trí câu hỏi: Chọn 2 câu 1 điểm và 2 câu 0,25 điểm nên số cách chọn là$C_4^2 = 6$

Số cách chọn đáp án: 2 câu được 1 điểm mỗi câu có 1 cách ; 2 câu được 0,25 điểm mỗi câu có 6 cách

Tổng số cách ở trường hợp này là $6.\left( {{1^2}{{.6}^2}} \right) = 216$(cách)

Trường hợp 3: Bộ điểm $\left\{ {1;0{,}5;0{,}5;0{,}5} \right\}$

Số cách chọn vị trí câu hỏi: Chọn 1 câu 1 điểm và 3 câu 0,5 điểm có số cách chọn là $C_4^1 = 4$.

Số cách khoanh đáp án: 1 câu được 1 điểm có 1 cách; 3 câu được 0,5 điểm mỗi câu có 4 cách

Tổng số cách ở trường hợp này là $4.\left( {{1^1}{{.4}^3}} \right) = 256$ (cách)

Vậy không gian mẫu là $n\left( \Omega \right) = 48 + 216 + 256 = 520$(cách)

Gọi $A$ là biến cố “Có đúng 2 câu đạt 1 điểm” nên $n\left( A \right) = 48 + 216 = 264$

Vậy xác suất cần tìm là: $P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{264}}{{520}} \approx 0{,}51$