Đề ôn thi Tốt nghiệp THPT Toán có đáp án - Đề số 22

Đáp án đúng là D

Dựa vào đồ thị ta có đường tiệm cận đứng của đồ thị là đường thẳng $x = - 1$.

Đáp án đúng là A

Áp dụng công thức tính nguyên hàm ta có: $\int {f\left( x \right)\,} {\rm{d}}x = \int {\left( {{e^x} - \sin x} \right){\rm{d}}x} = {e^x} + \cos x + C$.

Đáp án đúng là A

Ta có: ${5^{2{x^2} + 5x + 4}} = 25 \Leftrightarrow {5^{2{x^2} + 5x + 4}} = {5^2} \Leftrightarrow 2{x^2} + 5x + 4 = 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 2\\x = - \frac{1}{2}\end{array} \right.$ nên

Vậy tổng tất cả các nghiệm bằng $- \frac{5}{2}$.

Đáp án đúng là C

Công sai $d = {u_2} - {u_1} = - 6 - 3 = - 9$ nên khi đó ${u_3} = {u_1} + 2d = 3 + 2.\left( { - 9} \right) = - 15$

Đáp án đúng là A

Ta có $\overline x = \frac{{3.35 + 5.46 + 7.57 + 6.68 + 5.79 + 4.90}}{{30}} = 63{,}23$

Suy ra phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm trên là ${s^2} = \frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^m {{n_i}{{\left( {{x_i} - \bar x} \right)}^2}}$

$${s^2} = \frac{{3{{\left( {35 - 63{,}23} \right)}^2} + 5{{\left( {46 - 63{,}23} \right)}^2} + 7{{\left( {57 - 63{,}23} \right)}^2} + 6{{\left( {68 - 63{,}23} \right)}^2} + 5{{\left( {79 - 63{,}23} \right)}^2}}}{{30}}$$

$+ \frac{{4{{\left( {90 - 63{,}23} \right)}^2}}}{{30}}$ nên suy ra phương sai của mẫu số liệu là ${s^2} \approx 279{,}78$.

Đáp án đúng là D

Đường thẳng $d$song song với đường thẳng $BC$nên nhận $\overrightarrow {BC} = \left( {2;1;2} \right)$ làm vectơ chỉ phương.

Phương trình đường thẳng $d$ có dạng $\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x = 1 + 2t}\\{y = - 2 + t}\\{z = 3 + 2t}\end{array}} \right..$

Đáp án đúng là B

Điều kiện $\left\{ \begin{array}{l}2x > 0\\x + 6 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x > 0$

Vì cơ số $a = 10 > 1$ nên bất phương trình $\log \left( {2x} \right) < \log \left( {x + 6} \right)$$\Leftrightarrow 2x < x + 6$$\Leftrightarrow x < 6$.

Kết hợp điều kiện, suy ra $0 < x < 6$ nên tập nghiệm của bất phương trình là $S = \left( {0;6} \right)$.

Đáp án đúng là D

Diện tích hình vuông là $S = {\left( {2\sqrt {9 - {x^2}} } \right)^2} = 4\left( {9 - {x^2}} \right) = 36 - 4{x^2}$

Vậy thể tích vật thể là $V = \int\limits_0^3 {S\left( x \right)} \,{\rm{d}}x = \int\limits_0^3 {\left( {36 - 4{x^2}} \right)} \,{\rm{d}}x = 72$.

Đáp án đúng là D

Mặt phẳng $\left( P \right)$có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left( {1; - 2;1} \right)$.

Mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ song song với $\left( P \right)$nên mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ nhận vectơ $\overrightarrow n = \left( {1; - 2;1} \right)$làm vectơ pháp tuyến và $\left( \alpha \right)$ đi qua $A\left( {1;2; - 3} \right)$.

Đáp án đúng là A

Ta có: ${S_{ABD}} = \frac{{B{D^2}\sqrt 3 }}{4} = {a^2}\sqrt 3 \Rightarrow SB = BD = 2a \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}AD = AB = a\sqrt 2 \\SA = \sqrt {S{B^2} - A{B^2}} = a\sqrt 2 \end{array} \right.$
Mặt khác $\left\{ \begin{array}{l}CD \bot AD\\CD \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {SAD} \right) \Rightarrow CD \bot SD$ và $AD \bot CD$
Khi đó: $\left( {\widehat {\left( {SCD} \right),\left( {ABCD} \right)}} \right) = \left( {\widehat {AD,SD}} \right) = \widehat {SDA}$ và $\tan \widehat {SDA} = \frac{{SA}}{{AD}} = 1 \Rightarrow \widehat {SDA} = 45^\circ .$

Đáp án đúng là C

Ta có: $\{\begin{matrix}\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CB} \\ \overrightarrow{DB}-\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{CB}\end{matrix}$ $\Rightarrow \overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{DB}-\overrightarrow{DC}$

Đáp án đúng là A

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đã cho đạt cực đại tại $x = 0$.

Tập xác định của hàm số là $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}$

Tiệm cận đứng: $x = 1$ và tiệm cận ngang: $y = 2$

Đạo hàm của hàm số: $f'\left( x \right) = - \frac{6}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} < 0,\forall x \in D$

Xét mệnh đề a)

Tổng số đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là $2$ nên mệnh đề a) đúng

Xét mệnh đề b)

Tâm đối xứng của đồ thị hàm số là $I\left( {1;2} \right)$ nên mệnh đề b) sai

Xét mệnh đề c)

Dựa vào đạo hàm$f'\left( x \right) = - \frac{6}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}$, ta thấy $f'\left( x \right)$ luôn âm và không bao giờ bằng $0$ trên tập xác định.

Hàm số luôn nghịch biến trên từng khoảng xác định và không có cực trị nên mệnh đề c) sai

Xét mệnh đề d)

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số nghịch biến trên $\left[ { - 2;0} \right]$ nên giá trị lớn nhất sẽ đạt tại $x = - 2$

Suy ra: $\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 2;0} \right]} f\left( x \right) = f\left( { - 2} \right) = \frac{{2.\left( { - 2} \right) + 4}}{{ - 2 - 1}} = 0$nên mệnh đề d) đúng

Xét mệnh đề a)

${S_1} = \int\limits_0^3 {\left| { - {x^2} + 4x - x} \right|} {\rm{d}}x = \frac{9}{2} = 4{,}5$nên mệnh đề a) đúng

Xét mệnh đề b)

${S_2} = \int\limits_0^3 {x{\rm{d}}x} + \int\limits_3^4 {\left( { - {x^2} + 4x} \right)} {\rm{d}}x$nên mệnh đề b) sai

Xét mệnh đề c)

Ta có: ${S_1} = \int\limits_0^3 {\left| { - {x^2} + 4x - x} \right|} {\rm{d}}x = \frac{9}{2} = 4{,}5$ và ${S_2} = \int\limits_0^3 {x{\rm{d}}x} + \int\limits_3^4 {\left( { - {x^2} + 4x} \right)} {\rm{d}}x = \frac{{37}}{6}$

Khi đó $\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = \frac{{\frac{9}{2}}}{{\frac{{37}}{6}}} = \frac{{27}}{{37}}$ nên mệnh đề c) đúng

Xét mệnh đề d)

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol và trục hoành là: ${S_{tong}} = \int\limits_0^4 {\left( { - {x^2} + 4x} \right)} {\rm{d}}x = \frac{{32}}{3}$

Phương trình hoành độ giao điểm của parabol và đường thằng $y = ax$ là:

$- {x^2} + 4x = ax \Leftrightarrow {x^2} + \left( {a - 4} \right)x = 0 \Leftrightarrow x\left[ {x - \left( {4 - a} \right)} \right] = 0 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 0}\\{x = 4 - a}\end{array}} \right.$

Suy ra: ${S_1} = \int\limits_0^{4 - a} {\left[ {\left( { - {x^2} + 4x} \right) - ax} \right]{\rm{d}}x} = \int\limits_0^{4 - a} {\left[ { - {x^2} + \left( {4 - a} \right)x} \right]{\rm{d}}x}$

$$= \left| {\left[ { - \frac{{{x^3}}}{3} + \frac{{\left( {4 - a} \right){x^2}}}{2}} \right]} \right|_0^{4 - a} = - \frac{{{{\left( {4 - a} \right)}^3}}}{3} + \frac{{{{\left( {4 - a} \right)}^3}}}{2} = \frac{{{{\left( {4 - a} \right)}^3}}}{6}$$

Để đường thẳng chia hình phẳng ban đầu thành hai phần có diện tích bằng nhau thì phần nằm trên ${S_1}$phải bằng một nửa tổng diện tích $\left( S \right)$:

${S_1} = \frac{1}{2}S \Leftrightarrow \frac{{{{\left( {4 - a} \right)}^3}}}{6} = \frac{1}{2} \cdot \frac{{32}}{3} \Rightarrow a \approx 0{,}8251... \in \left( {0;1} \right)$ nên mệnh đề d) đúng

Gọi $A$ là biến cố người xét nghiệm mắc bệnh.

Ta đó $P\left( A \right) = 0{,}05;\,\,P\left( {\overline A } \right) = 1 - P\left( A \right) = 1 - 0{,}05 = 0{,}95$.

Gọi $B$ là biến cố người xét nghiệm RT-PCR cho kết quả dương tính

Tỉ lệ dương tính giả là $P\left( {B\mid \overline A } \right) = 0{,}05$ và tỉ lệ âm tính giả là $P\left( {\overline B \mid A} \right) = 0{,}13$

Xét mệnh đề a)

Tỉ lệ dương tính thật là: $P\left( {B\mid A} \right) = 1 - P\left( {\overline B \mid A} \right) = 1 - 0{,}13 = 0{,}87 = 87\%$ nên mệnh đề a) sai

Xét mệnh đề b)

Tỉ lệ xét nghiệm RT-PCR có kết quả dương tính là:

$P\left( B \right) = P\left( A \right).P\left( {B\mid A} \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( {B\mid \overline A } \right) = 0{,}05.0{,}87 + 0{,}95.0{,}05 = 0{,}091 = 9{,}1{\rm{\% }}$ nên mệnh đề b) đúng

Xét mệnh đề c)

Tỉ lệ người nhiễm virus trong những người có kết quả xét nghiệm RT-PCR dương tính là:

$P\left( {A\mid B} \right) = \frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{P\left( A \right).P\left( {B\mid A} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{0{,}05.0{,}87}}{{0{,}091}} \approx 47{,}8{\rm{\% }}$ nên mệnh đề c) sai

Xét mệnh đề d)

Tỉ lệ người không nhiễm virus trong những người có kết quả xét nghiệm RT-PCR âm tính là: $P\left( {\overline A |B} \right) = \frac{{P\left( {\overline {AB} } \right)}}{{P\left( {\overline B } \right)}} = \frac{{P\left( {\overline A } \right).P\left( {\overline B \mid \overline A } \right)}}{{P\left( {\overline B } \right)}} = \frac{{0{,}95.0{,}95}}{{1 - 0{,}091}} \approx 99{,}28{\rm{\% }}$

$P\left( {\overline B } \right) = 1 - P\left( B \right) = 1 - 0{,}091;\,\,P\left( {\overline B \mid \overline A } \right) = 1 - P\left( {B\mid \overline A } \right) = 1 - 0{,}05 = 0{,}95$ nên mệnh đề d) sai

Gọi $H$ là trung điểm của $AD \Rightarrow MH\parallel SA \Rightarrow MH \bot \left( {ABCD} \right)$.

Gọi $O = AC \cap BD \Rightarrow$ $OM\parallel SB \Rightarrow SB\parallel \left( {AMC} \right) \Rightarrow d\left( {SB,CM} \right) = d\left( {SB,\left( {MAC} \right)} \right)$

$= d\left( {B,\left( {MAC} \right)} \right) = d\left( {D,\left( {MAC} \right)} \right) = 2d\left( {H,\left( {MAC} \right)} \right) = 2d$ và $MH = \frac{{SA}}{2} = \frac{1}{2};\,AH = HO = 1$.

Khi đó ta có: $\frac{1}{{d}^{2}}=\frac{1}{H{M}^{2}}+\frac{1}{H{O}^{2}}+\frac{1}{H{A}^{2}}=\frac{6}{{1}^{2}}\Rightarrow d=\frac{\sqrt{6}}{6}\Rightarrow d(SB,MC)=\frac{\sqrt{6}}{3}\approx \boxed{0{,}82}$.

Tốc độ thay đổi chi phí: $C'\left( x \right) = {x^2} - 8x + 50$

Vì đây là hàm số của parabol bề lõm hướng lên, nên giá trị nhỏ nhất đạt tại $x = - \frac{b}{{2a}} = - \frac{{ - 8}}{{2.1}} = 4$

Để tốc độ thay đổi chi phí sản xuất mỗi ngày đạt giá trị nhỏ nhất, xưởng mộc cần sản xuất: $4$bộ bàn ghế mỗi ngày.

Chọn hệ trục tọa độ sao cho gốc $O \equiv A\left( {0;0;0} \right)$
Vì tam giác $ABC$vuông cân tại $A$và$AB = 60 \Rightarrow AC = 60$
Ta có tọa độ các chân cọc:$A\left( {0;0;0} \right)$, $B\left( {60;0;0} \right)$, $C\left( {0;60;0} \right)$
Tọa độ các đỉnh cọc tương ứng với độ cao đề bài cho:$A'\left( {0;0;50} \right)$; $B'\left( {60;0;50} \right)$; $C'\left( {0;60;120} \right)$
Để quả cầu có kích thước nhỏ nhất và chạm vào cả 3 đỉnh cọc (không bị lọt) thì mặt cầu phải chứa đường tròn đi qua 3 điểm$A',B',C'$
Bán kính $R$nhỏ nhất của mặt cầu chính bằng bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác$A'B'C'$
$A'{B'^2} = {\left( {60 - 0} \right)^2} + {\left( {0 - 0} \right)^2} + {\left( {50 - 50} \right)^2} = 3600$
$A'C' = {\left( {0 - 0} \right)^2} + {\left( {60 - 0} \right)^2} + {\left( {120 - 50} \right)^2} = 8500$

$$B'{C'^2} = {\left( {0 - 60} \right)^2} + {\left( {60 - 0} \right)^2} + {\left( {120 - 50} \right)^2} = 12100$$

Ta dễ dàng nhận thấy:$A'{B'^2} + A'{C'^2} = 3600 + 8500 = 12100 = B'{C'^2}$
Theo định lý Pytago đảo thì $\Delta A'B'C'$là tam giác vuông tại $A'$.
Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông bằng một nửa cạnh huyền:
${R}^{'}=\frac{{B}^{'}{C}^{'}}{2}=\frac{\sqrt{12100}}{2}=\boxed{55}$ cm