Đề ôn thi Tốt nghiệp THPT Toán có đáp án - Đề số 21

Đáp án đúng là D

Ta có $\int {{x^3}{\rm{d}}x = \frac{{{x^4}}}{4}} + C.$

Đáp án đúng là D

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị $\left( P \right)$ và trục $Ox$ là: $2x - {x^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.$.

Thể tích khối tròn xoay cần tìm là $V = \pi \int\limits_0^2 {{{\left( {2x - {x^2}} \right)}^2}{\rm{d}}x} = \frac{{16\pi }}{5}$.

Đáp án đúng là A

Giá trị đại diện của nhóm $1$ là ${x_1} = 152{,}5$.
Giá trị đại diện của nhóm $2$ là ${x_1} = 157{,}5$.
Giá trị đại diện của nhóm $3$ là ${x_1} = 162{,}5$.
Giá trị đại diện của nhóm $4$ là ${x_1} = 167{,}5$.
Giá trị đại diện của nhóm $5$ là ${x_1} = 172{,}5$.
Chiều cao trung bình của bảng số liệu ghép nhóm
$\overline x = \frac{{3.152{,}5 + 7.157{,}5 + 10.162{,}5 + 7.167{,}5 + 3.172{,}5}}{{30}} = 162{,}5$.
Phương sai của bảng số liệu ${S^2} = \frac{{3.{{\left( {152{,}5 - 162{,}5} \right)}^2} + 7.{{\left( {157{,}5 - 162{,}5} \right)}^2} + 10.{{\left( {162{,}5 - 162{,}5} \right)}^2}}}{{30}}$
$+ \frac{{7.{{\left( {167{,}5 - 162{,}5} \right)}^2} + 3.{{\left( {172{,}5 - 162{,}5} \right)}^2}}}{{30}} = \frac{{95}}{3}$
Độ lệch chuẩn $s = \sqrt {{S^2}} = \frac{{\sqrt {285} }}{3}$

Đáp án đúng là C

Mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n = \left( {1;\,3; - 1} \right)$, đường thẳng $d$ đi qua điểm $M$ và vuông góc với mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ nên đường thẳng $d$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow u = \overrightarrow n = \left( {1;\,3; - 1} \right)$.

Phương trình đường thẳng $d$ là $\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = - 3 + 3t\\z = 1 - t\end{array} \right.$.

Đáp án đúng là B

Ta có: $y = \frac{{2{x^2} - 3x - 2}}{{{x^2} - 4}} = \frac{{\left( {x - 2} \right).\left( {2x + 1} \right)}}{{\left( {x - 2} \right).\left( {x + 2} \right)}}$ $= \frac{{2x + 1}}{{x + 2}}$

Do $\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{2{x^2} - 3x - 2}}{{{x^2} - 4}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{(x - 2).\left( {2x + 1} \right)}}{{\left( {x - 2} \right).\left( {x + 2} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{2x + 1}}{{x + 2}} = 2$ nên tiệm cận ngang của đồ thi hàm số là đường thẳng $y = 2$. Do $\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} \frac{{2{x^2} - 3x - 2}}{{{x^2} - 4}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} \frac{{(x - 2).\left( {2x + 1} \right)}}{{\left( {x - 2} \right).\left( {x + 2} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} \frac{{2x + 1}}{{x + 2}} = - \infty$ và

$\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} \frac{{2{x^2} - 3x - 2}}{{{x^2} - 4}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} \frac{{(x - 2).\left( {2x + 1} \right)}}{{\left( {x - 2} \right).\left( {x + 2} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} \frac{{2x + 1}}{{x + 2}} = - \infty$ nên tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là đường thẳng $x = - 2$. Vậy đồ thị hàm số có hai tiệm cận.

Đáp án đúng là B

Ta có ${\log _3}\left( {x + 1} \right) = 2 \Leftrightarrow x + 1 = {3^2} \Leftrightarrow x = 8.$

Đáp án đúng là D

Ta có $\left( P \right):\,\frac{x}{2} + \frac{y}{3} + \frac{z}{{ - 2}} = 1$$\Leftrightarrow 3x + 2y - 3z - 6 = 0$.

Mặt phẳng $\left( P \right):\,\frac{x}{2} + \frac{y}{3} + \frac{z}{{ - 2}} = 1$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left( {3;2; - 3} \right)$.

Đáp án đúng là B

Đường thẳng $SA \bot \left( {ABCD} \right)$ suy ra hình chiếu của $SC$ lên mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$ là $AC$.

Do đó $\widehat {\left( {SC,\left( {ABCD} \right)} \right)} = \widehat {\left( {SC,AC\,} \right)} = \widehat {SCA}$

Xét tam giác vuông $SAC$ có $\tan \widehat {SCA} = \frac{{SA}}{{AC}}$ $= \frac{{a\sqrt 2 }}{{a\sqrt 6 }} = \frac{1}{{\sqrt 3 }}$ $\Rightarrow \widehat {SCA} = 30^\circ$.

Đáp án đúng là A

Ta có ${3^{2x}} < 27 \Leftrightarrow {3^{2x}} < {3^3} \Leftrightarrow 2x < 3 \Leftrightarrow x < \frac{3}{2}$.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $\left( { - \infty ;\frac{3}{2}} \right)$.

Đáp án đúng là C

Ta có $\left( {{u_n}} \right)$ là cấp số nhân có số hạng đầu ${u_1} = 2$, công bội $q = 3$.
Vậy ${u_3} = {u_1}.{q^2} = {2.3^2} = 18$.

Đáp án đúng là B

Ta có: $\overrightarrow u = \overrightarrow {BB'} + \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {BB'} + \left( {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} } \right) = \overrightarrow {BB'} + \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {BD'}$.

Đáp án đúng là A

Tập xác định: $D = \left[ {0\,;\,2} \right]$ và có đạo hàm $y' = \frac{{ - x + 1}}{{\sqrt { - {x^2} + 2x} }}$.

Khi đó $y' \ge 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - x + 1 \ge 0\\ - {x^2} + 2x > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 1\\0 < x < 2\end{array} \right. \Leftrightarrow 0 < x \le 1$.

Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng $\left( {0\,;\,1} \right)$.

Ta có thể thực hiện phép chia đa thức để viết lại hàm số dưới dạng:$f\left( x \right) = x - 1 + \frac{4}{{x - 2}}$

Xét mệnh đề a)

Ta có:$f\left( x \right) - x + 1 = \left( {x - 1 + \frac{4}{{x - 2}}} \right) - x + 1 = \frac{4}{{x - 2}}$ suy ra $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{4}{{x - 2}} = 0$ nên mệnh đề a) đúng

Xét mệnh đề b)

Tiệm cận đứng: $x = 2$và tiệm cận xiên:$y = x - 1$.

Giao điểm $I$của hai tiệm cận là nghiệm của hệ: $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 2}\\{y = 2 - 1 = 1}\end{array}} \right. \Rightarrow I\left( {2;1} \right)$

Tâm đối xứng $I\left( {2;1} \right)$ không nằm trên trục tung nên mệnh đề b) sai

Xét mệnh đề c)

Tính đạo hàm: $f'\left( x \right) = 1 - \frac{4}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} - 4x}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = 0 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x = 0}\\{x = 4}\end{array}} \right.$

Bảng xét dấu

Từ bảng xét dấu ta thấy $\left( {0;2} \right)$ đạo hàm mang dấu trừ nên hàm số nghịch biến nên mệnh đề c) đúng

Xét mệnh đề d)

Để$x,y \in \mathbb{Z}$ thì $\frac{4}{{x - 2}}$ phải là số nguyên.

Điều này xảy ra khi $\left( {x - 2} \right)$ là ước của 4. Ước của 4 gồm: $\pm 1; \pm 2; \pm 4$

Với $x - 2 = 1 \Rightarrow x = 3 \Rightarrow y = 6 \Rightarrow \left( {3;6} \right)$

Với$x - 2 = - 1 \Rightarrow x = 1 \Rightarrow y = - 4 \Rightarrow \left( {1; - 4} \right)$

Với$x - 2 = 2 \Rightarrow x = 4 \Rightarrow y = 5 \Rightarrow \left( {4;5} \right)$

Với$x - 2 = - 2 \Rightarrow x = 0 \Rightarrow y = - 3 \Rightarrow \left( {0; - 3} \right)$

Với$x - 2 = 4 \Rightarrow x = 6 \Rightarrow y = 6 \Rightarrow \left( {6;6} \right)$

Với$x - 2 = - 4 \Rightarrow x = - 2 \Rightarrow y = - 4 \Rightarrow \left( { - 2; - 4} \right)$

Như vậy, có tất cả 6 điểm có tọa độ nguyên nên mệnh đề d) sai

Hàm số có dạng: $v\left( t \right) = m\cos \left( {\pi t} \right) + n$

Dựa vào đồ thị, ta có các điểm đặc biệt:

Tại $t = 0$ thì $v\left( 0 \right) = 10 \Rightarrow m\cos \left( 0 \right) + n = 10 \Rightarrow m + n = 10$

Tại $t = 1$ thì $v\left( 1 \right) = 0 \Rightarrow m\cos \left( \pi \right) + n = 0 \Rightarrow - m + n = 0$

Giải hệ phương trình:$\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{m + n = 10}\\{ - m + n = 0}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{m = 5}\\{n = 5}\end{array}} \right.$

Vậy phương trình vận tốc là: $v\left( t \right) = 5\cos \left( {\pi t} \right) + 5$(m/s)

Xét mệnh đề a)

Chất điểm đổi chiều khi vận tốc $v\left( t \right)$đổi dấu (đi xuyên qua trục hoành).

Ta có $v\left( t \right) = 5\left( {\cos \left( {\pi t} \right) + 1} \right)$ mà $\cos \left( {\pi t} \right) \ge - 1$ nên $v\left( t \right) \ge 0$ với mọi $t$.

Vận tốc bằng $0$ tại $t = 1$và $t = 3$, nhưng không đổi dấu (luôn dương hoặc bằng $0$).

Do đó chất điểm dừng lại rồi tiếp tục đi tiếp chứ không đổi chiều nên mệnh đề a) sai

Xét mệnh đề b)

Gia tốc là đạo hàm của vận tốc:$a\left( t \right) = v'\left( t \right) = {\left[ {5\cos \left( {\pi t} \right) + 5} \right]^\prime } = - 5\pi \sin \left( {\pi t} \right)$

Giá trị lớn nhất của $a\left( t \right)$là: $\left| { - 5\pi } \right| = 5\pi$(khi$\sin \left( {\pi t} \right) = - 1$).

Tại$t = 1{,}5$:$a\left( {1{,}5} \right) = - 5\pi \sin \left( {1{,}5\pi } \right) = - 5\pi .\left( { - 1} \right) = 5\pi$ nnên mệnh đề b) đúng

Xét mệnh đề c)

Quãng đường trong giây đầu tiên $\left( {t \in \left[ {0;1} \right]} \right)$ là:${S_1} = \int\limits_0^1 {\left( {5\cos \left( {\pi t} \right) + 5} \right)dt} = 5$(m)

Quãng đường trong giây thứ hai $\left( {t \in \left[ {1;2} \right]} \right)$ là:${S_2} = \int\limits_1^2 {\left( {5\cos \left( {\pi t} \right) + 5} \right)dt} = 5$(m)

Vì ${S_1} = {S_2}$ nên mệnh đề c) sai

Xét mệnh đề d)

Vận tốc trung bình: ${v_{tb}} = \frac{1}{3}\int\limits_0^3 {v\left( t \right)} \,{\rm{d}}t = \frac{1}{3}\int\limits_0^3 {\left( {5\cos \left( {\pi t} \right) + 5} \right)} \,{\rm{d}}t = 5$(m/s) nên mệnh đề d) đúng

Gọi $A$ là biến cố ‘An chăm chỉ làm bài tập về nhà môn Toán” và $B$ là biến cố ‘An đạt điểm tốt kiểm tra cuối kì”. Ta có: $P\left( A \right) = 0{,}75$, $P\left( {\overline A } \right) = 1 - 0{,}75 = 0{,}25$.

Xét mệnh đề a)

Vì theo giả thiết, nếu bạn An chăm chỉ làm bài tập về nhà môn Toán thì xác suất đạt điểm tốt kiểm tra cuối kì là $0{,}9$. Vậy, nếu An chăm chỉ làm bài tập về nhà môn Toán thì xác suất An được điểm không tốt kiểm tra cuối kì là $P\left( {\overline B |A} \right) = 1 - 0{,}9 = 0{,}1$ nên mệnh đề a) đúng

Xét mệnh đề b)

Vì theo giả thiết, nếu bạn An không chăm chỉ làm bài tập về nhà môn Toán thì xác suất đạt điểm không tốt kiểm tra cuối kì là $0{,}85$. Vậy, nếu An không chăm chỉ làm bài tập về nhà môn Toán thì xác suất An được điểm tốt kiểm tra cuối kì là $P\left( {B|\overline A } \right) = 1 - 0{,}85 = 0{,}15$nên mệnh đề b) sai

Xét mệnh đề c)

Theo công thức tính xác suất toàn phần, xác suất để An đạt điểm không tốt kiểm tra cuối kì là: $P\left( {\overline B } \right) = P\left( A \right).P\left( {\overline B |A} \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( {\overline B |\overline A } \right) = 0{,}75.0{,}1 + 0{,}25.0{,}85 = 0{,}2875$nên mệnh đề c) sai

Xét mệnh đề d)

Theo công thức tính xác suất toàn phần, xác suất để An đạt điểm tốt kiểm tra cuối kì là:

$P\left( B \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( {B|\overline A } \right) = 0{,}75.0{,}9 + 0{,}25.0{,}15 = 0{,}7125$.

Hoặc $P\left( B \right) = 1 - P\left( {\overline B } \right) = 1 - 0{,}2875 = 0{,}7125$ nên mệnh đề d) đúng

Xét mệnh đề a)

Để kiểm tra vị trí tương đối, ta thay tọa độ $A$ và $B$vào vế trái phương trình mặt phẳng$\left( P \right)$:

${L_A} = 2.40 + 2.\left( { - 40} \right) - 12 - 12 = - 24$; ${L_B} = 2.\left( { - 40} \right) + 2.50 - 38 - 12 = - 30$

Vì${L_A}.{L_B} = \left( { - 24} \right).\left( { - 30} \right) > 0$, nên $A$ và $B$nằm cùng phía so với mặt phẳng $\left( P \right)$ nên mệnh đề a) đúng

Xét mệnh đề b)

Gọi $H,K$lần lượt là hình chiếu của $A,B$lên $\left( P \right)$.

Ta có: ${h_A} = AH = d\left( {A,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| { - 24} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = 8$(m); ${h_B} = BK = d\left( {B,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| { - 30} \right|}}{3} = 10$(m).

Góc giữa đường thẳng $MA$ và $\left( P \right)$là$\widehat {AMH}$, góc giữa $MB$ và $\left( P \right)$ là $\widehat {BMK}$.

Khi đó:$\widehat {AMH} = \widehat {BMK} \Rightarrow \sin \widehat {AMH} = \sin \widehat {BMK} \Leftrightarrow \frac{{AH}}{{AM}} = \frac{{BK}}{{BM}} \Leftrightarrow \frac{8}{{AM}} = \frac{{10}}{{BM}} \Rightarrow \frac{{MA}}{{MB}} = \frac{8}{{10}} = 0{,}8$

Vì $0{,}8$ là hằng số nên tỉ số khoảng cách không đổi nên mệnh đề b) đúng

Xét mệnh đề c)

Độ dài đoạn thẳng$AB$:$AB = \sqrt {{{\left( { - 40 - 40} \right)}^2} + {{\left( {50 + 40} \right)}^2} + {{\left( {38 - 12} \right)}^2}} = \sqrt {15176}$

Độ dài hình chiếu $A'B'$của $AB$ lên $\left( P \right)$được tính theo công thức (khi $A,B$cùng phía):

$A'B' = \sqrt {A{B^2} - {{\left( {{h_B} - {h_A}} \right)}^2}} = \sqrt {15176 - {{\left( {10 - 8} \right)}^2}} = \sqrt {15172} \approx 123$(m) nên mệnh đề c) đúng

Xét mệnh đề d)

Quỹ tích $M$là giao tuyến của mặt phẳng $\left( P \right)$ và mặt cầu $\left( S \right)$có phương trình:

$\left( S \right):{\left( {x - \frac{{1640}}{9}} \right)^2} + {\left( {y + 200} \right)^2} + {\left( {z + \frac{{308}}{9}} \right)^2} = \frac{{6070400}}{{81}}$

Bán kính mặt cầu $R = \sqrt {\frac{{6070400}}{{81}}}$(m).

Khoảng cách từ tâm mặt cầu $I\left( {\frac{{1640}}{9}; - 200; - \frac{{308}}{9}} \right)$đến mặt phẳng $\left( P \right)$:

$d\left( {I,P} \right) = \frac{{\left| {2.\left( {\frac{{1640}}{9}} \right) + 2.\left( { - 200} \right) - \left( { - \frac{{308}}{9}} \right) - 12} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + {1^2}} }} = \frac{{112}}{{27}}$(m)

Bán kính đường tròn quỹ tích là:

$r=\sqrt{{R}^{2}-{d}^{2}(I,((P))}=\sqrt{{(\sqrt{\frac{6070400}{81}})}^{2}-{(\frac{112}{27})}^{2}}\approx 273{,}72...\overset{STO}{\rightarrow }A$ (m).

Chu vi đường ray :$C = 2\pi r = 2.\pi .A \approx 1720$(m) nên mệnh đề d) sai

Gọi $D$ là điểm đối xứng với $A$ qua $B$ thì khi đó $A'B\parallel B'D$

Suy ra $d\left( {A'B;B'C} \right) = d\left( {A'B;\left( {B'D} \right)} \right) = d\left( {B;\left( {B'CD} \right)} \right)$

Kẻ $BK \bot CD\left( {K \in CD} \right)$ thì ta có $BA = BC = BD$ nên $\Delta ACD$ vuông tại $C$ mà $BK\parallel AC$

Mặt khác: $B$ là trung điểm của $AD$ nên $K$ là trung điểm của $CD$ và $BK = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}$

Kẻ $BH \bot B'K$ tại $H$ thì ta suy ra được $d\left( {B;\left( {B'CD} \right)} \right) = BH$

Ta có: $\frac{1}{{B{H^2}}} = \frac{1}{{B{K^2}}} + \frac{1}{{B{{B'}^2}}} = \frac{4}{{{1^2}}} + \frac{1}{{{{2.1}^2}}} = \frac{9}{{{{2.1}^2}}} \Rightarrow BH = \frac{{\sqrt 2 }}{3}$

Vậy $d(B;({B}^{'}CD))=\frac{\sqrt{2}}{3}\approx \boxed{0{,}47}$.

Chọn hệ trục tọa độ $Oxy$ với gốc tọa độ $O$ trùng với tâm của elip

Elip có trục lớn $2a = 7{,}6 \Rightarrow a = 3{,}8$ và trục bé $2b = 4 \Rightarrow b = 2$

Phương trình của đường elip là $\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{{{3{,}8}^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{2^2}}} = 1 \Leftrightarrow y = 2\sqrt {1 - \frac{{{x^2}}}{{{{3{,}8}^2}}}}$

Tổng công suất làm lạnh tối thiểu cần thiết là:

$P=V.20=20.15.{S}_{(E)}=20.15.(2.\int _{-3{,}4}^{3{,}8}2\sqrt{1-\frac{{x}^{2}}{{3{,}8}^{2}}}dx)\approx \boxed{7018}$ (W)

Gọi $x$là sản lượng hóa chất sản xuất($x > 0$, đơn vị: tấn)

Lợi nhuận thực tế $P\left( x \right)$được tính theo công thức:$P\left( x \right) = [R\left( x \right) - C\left( x \right) - {T_{mt}}\left( x \right)].\left( {1 - 20\% } \right)$

Ta xét hai trường hợp của sản lượng$x$:

Trường hợp 1:$0 < x \le 40$ (không đóng thuế môi trường)

Khi đó${T_{mt}}\left( x \right) = 0$. Hàm lợi nhuận trước thuế thu nhập là:

${f_1}\left( x \right) = \left( {200x - {x^2}} \right) - \left( {80x + 1000} \right) = - {x^2} + 120x - 1000$

Đây là hàm số parabol bề lõm hướng xuống nên đạt giá trị cực đại tại $x = - \frac{{120}}{{2.\left( { - 1} \right)}} = 60 > 40\left( l \right)$

Trên khoảng$\left( {0;40} \right]$, hàm số ${f_1}\left( x \right)$đồng biến. Do đó, giá trị lớn nhất đạt được tại$x = 40$:

${f_1}\left( {40} \right) = - {\left( {40} \right)^2} + 120.40 - 1000 = 2200$(triệu đồng)

Trường hợp 2: $x > 40$(phải đóng thuế môi trường)

Thuế môi trường là $10\left( {x - 40} \right)$ triệu đồng thì hàm lợi nhuận trước thuế thu nhập là:

${f_2}\left( x \right) = \left( {200x - {x^2}} \right) - \left( {80x + 1000} \right) - 10\left( {x - 40} \right) = - {x^2} + 110x - 600$

Đây là hàm số parabol bề lõm hướng xuống nên đạt giá trị cực đại tại $x = - \frac{{110}}{{2.\left( { - 1} \right)}} = 55 > 40\left( n \right)$

${f_2}\left( {55} \right) = - {\left( {55} \right)^2} + 110.55 - 600 = 2425$(triệu đồng)

Vì$2425 > 2200$, nên lợi nhuận thực tế sẽ đạt giá trị lớn nhất khi nhà máy sản xuất tấn hóa chất.