Đề ôn thi Tốt nghiệp THPT Toán có đáp án - Đề số 15

Đáp án đúng là D

Ta có $\int {f\left( x \right)} \,{\rm{d}}x = \frac{1}{2}\ln \left| {2x + 3} \right| + C$.

Đáp án đúng là A

Diện tích $S$ của hình phẳng là: $S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx}$

Đáp án đúng là C

Tứ phân vị thứ nhất của dãy số liệu thuộc nhóm $\left[ {50;60} \right)$ nên tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu là: ${Q_1} = 50 + \frac{{\frac{{40}}{4} - 7}}{{12}}\left( {60 - 50} \right) = 52{,}5$

Đáp án đúng là D

Đường thẳng đi qua điểm $A\left( {1;2;\, - 1} \right)$ và có vectơ chỉ phương $\vec u = \left( {1;\,3;\,2} \right)\,$có phương trình là: $\frac{{x - 1}}{1}\, = \,\frac{{y\, - \,2}}{3}\, = \,\frac{{z\, + \,1}}{2}$.

Đáp án đúng là D

Dựa vào đồ thị ta có đường tiệm cận đứng của đồ thị là đường thẳng $x = - 1$.

Đáp án đúng là A

Điều kiện: $x - 2 > 0 \Leftrightarrow x > 2$

Bất phương trình: ${\log _{\frac{1}{2}}}\left( {x - 2} \right) \le 1 \Leftrightarrow x - 2 \ge \frac{1}{2} \Leftrightarrow x \ge \frac{5}{2}$

Kết hợp với điều kiện ta có tập nghiệm $T = \left[ {\frac{5}{2};\,\, + \infty } \right)$

Đáp án đúng là C

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $\left( { - \infty ;\,0\,} \right)$.

Đáp án đúng là B

Mặt phẳng $x + 2y + 3z = 0$ có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left( {1;2;3} \right)$.

Đáp án đúng là A

Phương trình đã cho tương đương ${5^{ - {x^2} + 2x + 3}} = {5^{x + 1}} \Leftrightarrow - {x^2} + x + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = 2.\end{array} \right.$

Vậy phương trình có nghiệm $x = - 1;\,x = 2$.

Đáp án đúng là D

Vì ${u_2} = 6 \Leftrightarrow {u_1} + d = 6 \Leftrightarrow 2 + d = 6 \Leftrightarrow d = 4$.

Đáp án đúng là B

Do $ABC.A'B'C'$ là hình lăng trụ nên $\overrightarrow {A'C'} = \overrightarrow {AC}$ nên ta có:

$\overrightarrow {BC'} = \overrightarrow {AC'} - \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {A'C'} - \overrightarrow {AB} = \overrightarrow a - \overrightarrow b + \overrightarrow c$

Đáp án đúng là A

Ta có: $CD \bot AD$ (Vì $ABCD$ là hình chữ nhật) và $SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot CD$

Mặt khác: $SA \cap AD = A$ và $SA,AD \subset \left( {SAD} \right)$$\Rightarrow CD \bot \left( {SAD} \right)$

Mà $CD \subset \left( {SCD} \right)$ nên $\left( {SCD} \right) \bot \left( {SAD} \right)$

Xét mệnh đề a)

$f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = \cos \left( {2.\frac{\pi }{2}} \right) + 2.\frac{\pi }{2} + 1 = \pi$ nên mệnh đề a) đúng

Xét mệnh đề b)

Đạo hàm $f'\left( x \right) = - 2\sin 2x + 2$ nên mệnh đề b) sai

Xét mệnh đề c)

Phương trình $f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow - 2\sin 2x + 2 = 0 \Leftrightarrow \sin 2x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi ,\,k \in \mathbb{Z}$

Vì $x \in \left[ { - \frac{\pi }{2};\pi } \right]$ nên $x = \frac{\pi }{4}$ nên mệnh đề c) đúng

Xét mệnh đề d)

Ta có $f\left( { - \frac{\pi }{2}} \right) = - \pi$; $f\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = \frac{\pi }{2} + 1$; $f\left( \pi \right) = 2\pi + 2$.

Vậy $\mathop {\max }\limits_{\left[ { - \frac{\pi }{2};\,\pi } \right]} f\left( x \right) = f\left( { - \frac{\pi }{2}} \right) = - \pi$ và $\mathop {\min }\limits_{\left[ { - \frac{\pi }{2};\pi } \right]} f\left( x \right) = f\left( \pi \right) = 2\pi + 2$

Khi đó tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $\left[ { - \frac{\pi }{2};\pi } \right]$ bằng $\pi + 2$ nên mệnh đề d) sai

Xét mệnh đề a)

Ta có $P\left( A \right) = 0{,}6 \Rightarrow P\left( {\bar A} \right) = 0{,}4;\,\,P\left( B \right) = 0{,}5 \Rightarrow P\left( {\bar B} \right) = 0{,}5$ và $P\left( {AB} \right) = 0{,}4$

Vì $P\left( {AB} \right) \ne P\left( A \right).P\left( B \right)$ nên $A,B$ không độc lập nên mệnh đề a) sai

Xét mệnh đề b)

Do $A\overline B$ và $\overline A B$ là hai biến cố xung khắc nên xác suất công ty thắng thầu đúng 1 dự án là:

$P\left( {A\bar B} \right) + P\left( {\bar AB} \right) = P\left( A \right) - P\left( {AB} \right) + P\left( B \right) - P\left( {AB} \right) = 0{,}6 - 0{,}4 + 0{,}5 - 0{,}4 = 0{,}3$ nên mệnh đề b) đúng

Xét mệnh đề c)

Xác suất công ty thắng thầu dự án 2 biết công ty đã thắng thầu dự án 1 là:

$P\left( {B|A} \right) = \frac{{P\left( {BA} \right)}}{{P\left( A \right)}} = \frac{{0{,}4}}{{0{,}6}} = \frac{2}{3}$ nên mệnh đề c) sai

Xét mệnh đề d)

Xác suất công ty thắng thầu dự án 2, biết công ty đã không thắng thầu dự án 1 là:

$$P\left( {B|\bar A} \right) = \frac{{P\left( {B\bar A} \right)}}{{P\left( {\bar A} \right)}} = \frac{{P\left( B \right) - P\left( {AB} \right)}}{{P\left( {\bar A} \right)}} = \frac{{0{,}5 - 0{,}4}}{{0{,}4}} = 0{,}25$$

Vậy xác suất công ty không thắng thầu dự án 2, biết công ty đã không thắng thầu dự án 1 là

$P\left( {\overline B \left| {\overline A } \right.} \right) = 1 - P\left( {B\left| {\overline A } \right.} \right) = 1 - 0{,}25 = 0{,}75$ nên mệnh đề d) sai

Vì $\left( {ABCD} \right)\parallel \left( {A'B'C'D'} \right)$ nên góc giữa $\left( {AC'D'} \right)$ và mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$ bằng góc giữa $\left( {AC'D'} \right)$ và mặt phẳng $\left( {A'B'C'D'} \right)$.

Ta có $\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{\left( {AC'D'} \right) \cap \left( {A'B'C'D'} \right) = C'D'}\\{AD' \bot C'D'}\\{A'D' \bot C'D'}\end{array}} \right.$$\Rightarrow \left( {\left( {AC'D'} \right);\left( {A'B'C'D'} \right)} \right) = \left( {AD';\,A'D'} \right)$$= \widehat {AD'A'} = 30^\circ$.

Trong tam giác vuông $AA'D'$ có $AA' = A'D'.\tan 30^\circ = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}$.

Vì $A'B\parallel CD'$ nên $A'B\parallel \left( {ACD'} \right)$ suy ra $d\left( {A'B;\,AD'} \right) = d\left( {A'B;\,\left( {ACD'} \right)} \right) = d\left( {A';\,\left( {ACD'} \right)} \right)$

Mặt khác $A'B \cap \left( {ACD'} \right) = I$ là trung điểm của $A'D$ nên $d\left( {A';\,\left( {ACD'} \right)} \right) = d\left( {D;\,\left( {ACD'} \right)} \right)$.

Tại $D$ ta có ba tia $DA,\,DC,\,DD'$ đôi một vuông góc nên:

$\frac{1}{{{d^2}\left( {D;\,\left( {ACD'} \right)} \right)}} = \frac{1}{{D{A^2}}} + \frac{1}{{D{C^2}}} + \frac{1}{{D{{D'}^2}}}$$= \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = \frac{5}{4}$

Suy ra $d\left( {D;\,\left( {ACD'} \right)} \right) = \frac{{2\sqrt 5 }}{5}$ hay $d\left( {A'B;\,AD'} \right) = \frac{{2\sqrt 5 }}{5} \approx 0{,}89$

Với hệ trục toạ độ $\left( {Oxy} \right)$ như hình vẽ, điểm thấp nhất mà mực nước tiếp xúc với đường tròn tại điểm có toạ độ $\left( {0; - 10} \right)$

Xét tam giác vuông $OKA$ vuông tại $K$ có $\sin \alpha = \frac{{AK}}{{OA}} \Rightarrow AK = OA.\sin \alpha = 10.\sin \alpha$

Mặt khác, vì guồng nước dao động điều hoà nên $AK = 10.\sin \left( {\omega t + \phi } \right)$

Với $\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{\omega = \frac{{2\pi }}{T} = \frac{{2\pi }}{{24}} = \frac{\pi }{{12}}\,\left( {rad/s} \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{\phi = 0\,\left( {t = 0,A \equiv M} \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right. \Rightarrow AK = 10.\sin \left( {\frac{\pi }{{12}}\,t} \right).$

Khi đó khoảng cách từ từ điểm $M$ đến mặt nước bằng $15$m thì:

$$\begin{array}{l}AK - \left( { - 10} \right) = 10.\sin \left( {\frac{\pi }{{12}}\,t} \right) + 10 = 15 \Leftrightarrow \sin \left( {\frac{\pi }{{12}}\,t} \right) = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \sin \left( {\frac{\pi }{{12}}\,t} \right) = \sin \left( {\frac{1}{2}} \right)\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{\frac{\pi }{{12}}\,t = \frac{\pi }{6} + k2\pi \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{\frac{\pi }{{12}}\,t = \left( {\pi - \frac{\pi }{6}} \right) + k2\pi }\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{\frac{\pi }{{12}}\,t = \frac{\pi }{6} + k2\pi \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{\frac{\pi }{{12}}\,t = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{t = 2 + 24k\,\,}\\{t = 10 + 24k}\end{array}} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right.\end{array}$$

Khi đó, 4 thời điểm đầu tiên tương ứng là:

$\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{{t_1} = 2\,\,}\\{{t_2} = 10}\\{{t_3} = 26}\\{{t_4} = 34}\end{array}} \right.\,\,\left( s \right)$ với ${t_1},{t_2}:k = 0;{t_3},{t_4}:k = 1 \Rightarrow {t_1} + {t_2} + {t_3} + {t_4} = 72$

Toạ độ điểm $B\left( {{x_B};{y_B};{z_B}} \right)$ theo thứ tự lập thành cấp số cộng với công sai $d = 2$ nên ta suy ra:

$\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{{x_B} = {u_1}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{{y_B} = {u_1} + 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{{z_B} = {u_1} + 2 + 2 = {u_1} + 4\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.$

Mặt khác: $B \in \left( P \right) \Leftrightarrow {u_1} + \left( {{u_1} + 2} \right) - \left( {{u_1} + 4} \right) - 3 = 0 \Leftrightarrow {u_1} = 5 \Rightarrow B\left( {5;7;9} \right)$

Vì $AM,\,MN,\,NB$ lập thành một cấp số cộng và $MN$ dài hơn đoạn $AM$ một khoảng đúng bằng $\frac{1}{3}$ độ dài đoạn $AM$

Suy ra $\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{AM = {v_1}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{MN = {v_1} + \frac{1}{3}{v_1}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{NB = {v_1} + \frac{1}{3}{v_1} + \frac{1}{3}{v_1}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{AM = {v_1}\,\,\,}\\{MN = \frac{4}{3}{v_1}}\\{NB = \frac{5}{3}{v_1}\,\,}\end{array}} \right.$

Mặt khác: $AB = AM + MN + NB = {v_1} + \frac{4}{3}{v_1} + \frac{5}{3}{v_1} = 4{v_1} = 4AM \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} = 4\overrightarrow {AM}$.

Từ đó, $\left( {12; - 12;24} \right) = 4\left( {a + 7;b - 19;c + 15} \right) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{4\left( {a + 7} \right) = 12\,\,\,\,\,\,}\\{4\left( {b - 19} \right) = - 1\,2}\\{4\left( {c + 15} \right) = 24\,\,\,\,}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{a = - 4}\\{b = 16\,}\\{c = - 9}\end{array}} \right. \Rightarrow a + b + c = 3$.

Theo giả thiết, $x \in \left( {0;10} \right]$.

Khi đó lợi nhuận của siêu thị được xác định bởi :

${L_1}\left( x \right) = x\left( {150 - x} \right) - \left( {{x^2} + 10x + 100} \right) - mx = - 2{x^2} + \left( {140 - m} \right)x - 100$

Với $x\left( {150 - x} \right)$ là doanh thu tính cho $x$ sản phẩm, ${x^2} + 10x + 100$ là chi phí tính cho $x$ sản phẩm và $mx$ là chi phí nhập hàng tính cho $x$ sản phẩm.

Khảo sát hàm số: ${L_1}^\prime \left( x \right) = - 4x + 140 - m = 0 \Rightarrow x = \frac{{140 - m}}{4}$ với $x \in \left( {0;10} \right]$.

Mặt khác, lợi nhuận của nông trại được xác định bởi :

${L_2}\left( m \right) = mx - 20x = x\left( {m - 20} \right) = \left( {\frac{{140 - m}}{4}} \right)\left( {m - 20} \right)$

Với $mx$ là doanh thu của nông trại tính cho $x$ sản phẩm và $20x$ là chi phí gốc để trồng và thu hoạch dâu tây tính cho $x$ sản phẩm.

Khảo sát hàm số ta được $m = 80 \Rightarrow x = 15 \notin \left( {0;10} \right]$.

Với $x = 10 \Rightarrow m = 100 \Rightarrow L\left( m \right) = 800$ (triệu đồng)

Vậy với $m = 100$ triệu đồng/tạ thì nông trại đạt lợi nhuận lớn nhất.

Gọi $A$ là biến cố : cuộn thép ấy bị lỗi $\Rightarrow P\left( A \right) = 10\% = 0{,}1 \Rightarrow P\left( {\overline A } \right) = 1 - 0{,}1 = 0{,}9$.

Gọi ${S_1},{S_2}$ lần lượt là biến cố: Cảm biến 1 báo lỗi và cảm biến 2 báo lỗi.

Gọi $B$ là biến cố: Cuộn thép ấy bị loại

Do đó: $\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{P\left( {{S_1}|A} \right) = 0{,}9}\\{P\left( {{S_2}|A} \right) = 0{,}8\,}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{P\left( {{S_1}|\overline A } \right) = 0{,}1\,\,}\\{P\left( {{S_2}|\overline A } \right) = 0{,}05}\end{array}} \right.$.

Vì ${S_1},{S_2}$ độc lập với điều kiện $L$ nên xác suất để cuộn thép bị loại trong điều kiện nó bị lỗi là:
$P\left( {B|A} \right) = P\left( {{S_1}|A} \right).P\left( {{S_2}|A} \right) = 0{,}9.0{,}8 = 0{,}72$

Từ đó, xác suất để cuộn thép bị loại trong điều kiện nó không bị lỗi là :

$P\left( {B|\overline A } \right) = P\left( {{S_1}|\overline A } \right).P\left( {{S_2}|\overline A } \right) = 0{,}1.0{,}05 = 0{,}005$

Xác suất cuộn thép ấy bị loại:

$P\left( B \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( A \right).P\left( {B|\overline A } \right) = 0{,}1.0{,}72 + 0{,}9.0{,}05 = 0{,}0765$

Theo định lý Bayes, ta được:

$P\left( {\overline A |B} \right) = \frac{{P\left( {\overline A } \right).P\left( {B|\overline A } \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{0{,}9.0{,}005}}{{0{,}0765}} \approx 0{,}06$