Đề ôn thi Tốt nghiệp THPT Toán có đáp án - Đề số 12

Đáp án đúng là D

Điều kiện xác định: $\left| x \right| > 0 \Leftrightarrow x \ne 0$

Đáp án đúng là B

Từ bảng biến thiên ta suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( { - 1;1} \right)$.

Đáp án đúng là B

Ta có ${u_2} = {u_1}.q \Leftrightarrow - 12 = 6.q \Leftrightarrow q = - 2$.

Đáp án đúng là D

Tọa độ của vectơ $\overrightarrow {BA}$ là: $\overrightarrow {BA} = \left( {{x_A} - {x_B};\,\,{y_A} - {y_B}\,;\,\,{z_A} - {z_B}} \right) = \left( { - 2\,;\,2\,;\, - 4} \right)$.

Đáp án đúng là A

Hàm số $y = \sqrt {{e^x} - x}$ liên tục và không âm trên đoạn $\left[ {1;\,\,2} \right]$ nên thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = \sqrt {{e^x} - x} ,$$y = 0,\,\,x = 1,\,\,x = 2$ xung quanh trục Ox là:

$V = \pi \int\limits_1^2 {{{\left( {\sqrt {{e^x} - x} } \right)}^2}} dx = \pi \int\limits_1^2 {\left( {{e^x} - x} \right)dx} = \left. {\pi \left( {{e^x} - \frac{1}{2}{x^2}} \right)} \right|_1^2$$= \pi \left[ {\left( {{e^2} - \frac{1}{2}{{.2}^2}} \right) - \left( {{e^1} - \frac{1}{2}{{.1}^2}} \right)} \right] = \pi \left( {{e^2} - e - \frac{3}{2}} \right)$.

Đáp án đúng là C

Ta có: ${\log _3}\left( {27a} \right) - {\log _3}a = {\log _3}27 + {\log _3}a - {\log _3}a = 3$.

Đáp án đúng là C

Phương trình đường thẳng $d:\frac{{x - 1}}{4} = \frac{{ - y}}{2} = \frac{{z + 2}}{{ - 6}}$ được viết lại $\frac{{x - 1}}{4} = \frac{y}{{ - 2}} = \frac{{z + 2}}{{ - 6}}$

Suy ra một vectơ chỉ phương của $d$ là $\;\overrightarrow {{u_3}} = \left( { - 2\,;1\,;\,3} \right)$.

Đáp án đúng là C

Tập xác định: $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}$ thì ta có $\mathop {\lim y}\limits_{x \to + \infty } = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2x - 3}}{{x + 1}} = 2\,\,;\,\,\mathop {\lim y}\limits_{x \to - \infty } = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{2x - 3}}{{x + 1}} = 2\,$.

Suy ra $y = 2$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Đáp án đúng là A

Mặt cầu tâm $I\left( {a\,;\,b\,;\,c} \right)$ và bán kính $R$ có phương trình là ${\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}$.

Đáp án đúng là D

Công thức tính thể tích khối trụ là: $V = \pi {R^2}h$

Đáp án đúng là A

Hình phẳng gạch sọc trong hình vẽ được giới hạn bởi các đường $y = {2^x},y = 2,x = 1$ và $x = 3$.

Do đó diện tích hình phẳng gạch sọc trong hình vẽ bằng $\int\limits_1^3 {\left| {{2^x} - 2} \right|} \,{\rm{d}}x = \int\limits_1^3 {\left( {{2^x} - 2} \right)\,{\rm{d}}x}$.

Đáp án đúng là D

Cỡ mẫu $n = 8 + 10 + 16 + 24 + 13 + 7 + 4 = 82$.

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là

$\bar x = \frac{{8.6{,}75 + 10.7{,}25 + 16.7{,}75 + 24.8{,}25 + 13.8{,}75 + 7.9{,}25 + 4.9{,}75}}{{82}} = \frac{{333}}{{41}}$.

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là:

${S^2} = \frac{1}{{82}}\left( {{{8.6{,}75}^2} + {{10.7{,}25}^2} + {{16.7{,}75}^2} + {{24.8{,}25}^2} + {{13.8{,}75}^2} + {{7.9{,}25}^2} + {{4.9{,}75}^2}} \right) - {\left( {\frac{{333}}{{41}}} \right)^2}$

$\simeq 0{,}609$.

Xét mệnh đề a)

Số phần tử của không gian mẫu là $n\left( \Omega \right) = 200$ nên mệnh đề a) đúng

Xét mệnh đề b)

Gọi ${K_1}$ là biến cố lấy được phế phẩm của nhà máy I.

Gọi ${K_2}$ là biến cố lấy được phế phẩm của nhà máy II.

Gọi B là biến cố lấy được sản phẩm tốt: $P\left( {{K_1}} \right) = 0{,}04 \Rightarrow P\left( {{{\overline K }_1}} \right) = 0{,}96$.

$P\left( {{K_2}} \right) = 0{,}03 \Rightarrow P\left( {{{\overline K }_2}} \right) = 0{,}97$.

Xác suất để lấy được sản phẩm tốt là $P\left( B \right) = \frac{{C_{80}^1}}{{C_{200}^1}}.0{,}96 + \frac{{C_{120}^1}}{{C_{200}^1}}.0{,}97 = \frac{{483}}{{500}} = 0{,}966$ nên mệnh đề b) đúng

Xét mệnh đề c)

Xác suất để lấy được sản phẩm không tốt là $P\left( {\overline B } \right) = 1 - \frac{{483}}{{500}} = \frac{{17}}{{500}} = 0{,}034$.

Xác suất để lấy được sản phẩm không tốt ở máy I là

$\Rightarrow P\left( {{K_1}|\overline B } \right) = \,\frac{{P\left( {{K_1}} \right)P\left( {\left. {\overline B } \right|{K_1}} \right)}}{{P\left( {\overline B } \right)}} = \frac{{C_{80}^1.0{,}04}}{{C_{200}^1.0{,}034}} = \frac{8}{{17}} = 0{,}47$ nên mệnh đề c) sai

Xét mệnh đề d)

Xác suất để lấy được sản phẩm không tốt ở máy II là

$\Rightarrow P\left( {\left. {{K_2}} \right|\overline B } \right) = \,\frac{{P\left( {{K_2}} \right)P\left( {\left. {\overline B } \right|{K_2}} \right)}}{{P\left( {\overline B } \right)}} = \frac{{C_{120}^1.0{,}03}}{{C_{200}^1.0{,}034}} = \frac{9}{{17}} \approx 0{,}53$ nên mệnh đề d) sai

Vậy khả năng lấy được sản phẩm không tốt ở máy II cao hơn máy I.

Ta có: ${V_{S.ABCD}} = 2.{V_{S.ADB}} = 2.\frac{1}{3}.SH.{S_{ADB}}$
Tứ giác $ABCD$ có đáy là hình thoi cạnh bằng $2$ và góc $\widehat {ABC} = 120^\circ$ nên tam giác $ADB$ là tam giác đều cạnh bằng 2
Xét khối chóp $B.DSA$ có $BA = BS = BD = 2$ suy ra khối chóp $B.DSA$ là khối chóp có các cạnh bên bằng nhau nên chân đường cao kẻ từ $B$ là điểm $K$ trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta DSA$.
Mà $\left( {BAD} \right) \bot \left( {DSA} \right)$ và $\Delta BDA$ đều nên $BK \bot AD$ tại điểm $K$là trung điểm của $AD$.
Từ đó ta thấy rằng $K$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $\Delta DSA$ và là trung điểm của $AD$ nên tam giác $\Delta DSA$ vuông tại $S$.
Suy ra $SA = \cos \widehat {SAD}.AD = \cos 60^\circ .2 = 1$ và $SH = \sin \widehat {SAH}.SA = \sin 60^\circ .1 = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$
Vậy ${V_{S.ABCD}} = 2.{V_{S.ADB}} = 2.\frac{1}{3}.SH.{S_{ADB}} = 2.\frac{1}{3}.\frac{{\sqrt 3 }}{2}.{\left( 2 \right)^2}.\frac{{\sqrt 3 }}{4} = 1$

Cách 1: Sử dụng tích phân

Hình chiếu vuông góc của $\overrightarrow v$lên mặt phẳng đáy $\left( {Oxy} \right)$ là ${\overrightarrow v _{xy}} = \left( {1;\sqrt 2 ;0} \right)$.
Độ dài $\left| {{{\overrightarrow v }_{xy}}} \right| = \sqrt {{1^2} + {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2}} = \sqrt 3$
Ta thực hiện phép xoay trục: Giữ nguyên trục $Oz$, ta xoay hệ trục $Oxy$ quanh $O$ thành hệ trục $OXY$sao cho trục $OX$ mới trùng với hướng của ${\overrightarrow v _{xy}}$.
Trong hệ tọa độ $OXYZ$mới:
Khối bán cầu là khối tròn xoay quanh $Oz$nên phương trình không đổi: ${X^2} + {Y^2} + {Z^2} \le 4$
Vectơ chỉ phương của tia sáng lúc này chỉ còn thành phần trên trục $OX$và $OZ$ tọa độ mới của nó là: ${\overrightarrow {v'} _{xy}} = \left( {\left| {{{\overrightarrow v }_{xy}}} \right|;0;{v_z}} \right) = \left( {\sqrt 3 ;0; - 1} \right)$
Bóng của chính mặt đáy bán cầu: Do đáy bán cầu đã nằm sẵn trên mặt đất, bóng của nó chính là hình tròn tâm $O$, bán kính $R = 2$ có phương trình $\left( C \right):{X^2} + {Y^2} \le 4$
Bóng của phần mặt cong bán cầu: Gọi $M\left( {{X_0};{Y_0};{Z_0}} \right)$là điểm tiếp xúc thì vectơ pháp tuyến tại điểm $M$ là $\vec n = \left( {{X_0};{Y_0};{Z_0}} \right)$
Điều kiện tiếp xúc (tia sáng vuông góc với pháp tuyến): $\overrightarrow n .\overrightarrow v = 0 \Leftrightarrow \sqrt 3 {X_0} - {Z_0} = 0 \Rightarrow {Z_0} = \sqrt 3 {X_0}$
Thay ${Z_0}$vào phương trình mặt cầu, ta được phương trình đường cong tiếp xúc:

$$X_0^2 + Y_0^2 + Z_0^2 = 4 \Leftrightarrow 4X_0^2 + Y_0^2 = 4$$

Một tia sáng đi qua $M$có phương trình tham số:$\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{X = x + t}\\{Y = y + \sqrt 2 t}\\{Z = z - t}\end{array}} \right.$ và tia sáng qua $M$chạm đất khi $Z = 0 \Rightarrow t = {Z_0} = \sqrt 3 {X_0}$
Tọa độ điểm bóng trên mặt đất là:$\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{X = {X_0} + \left( {\sqrt 3 {X_0}} \right)\sqrt 3 = 4{X_0} \Rightarrow {X_0} = \frac{X}{4}}\\{Y = {Y_0}}\end{array}} \right.$
Thế vào phương trình trên, ta được đường viền của bóng cong là một nửa Elip
$\left( E \right):\frac{{{X^2}}}{{16}} + \frac{{{Y^2}}}{4} = 1\left( {X \ge 0} \right)$
Bóng trên mặt đất là sự hợp nhất của hình tròn $\left( C \right)$và nửa Elip $\left( E \right)$. Do nửa Elip bao trùm hoàn toàn nửa phải của hình tròn, nên hình phẳng tạo thành bóng được giới hạn bởi:
Nửa trái là đường tròn ${X^2} + {Y^2} = 4 \Rightarrow Y = \pm \sqrt {4 - {X^2}}$(với $X \in \left[ { - 2;0} \right]$)
Nửa phải là Elip $\frac{{{X^2}}}{{16}} + \frac{{{Y^2}}}{4} = 1 \Rightarrow Y = \pm \frac{1}{2}\sqrt {16 - {X^2}}$
Gọi $S$ là diện tích toàn bộ bóng. Do tính đối xứng qua trục $OX$, ta tính phần diện tích phía trên trục $OX$rồi nhân đôi
Vậy diện tích bóng cần tìm là: $S = 2.\left( {\int\limits_{ - 2}^0 {\sqrt {4 - {X^2}} {\rm{d}}X + \int\limits_0^4 {\frac{1}{2}} \sqrt {16 - {X^2}} {\rm{d}}X} } \right) \approx 18{,}8$
Cách 2: Dựa vào tính chất
Gọi $\alpha$ là góc giữa các tia sáng và mặt phẳng $\left( {Oxy} \right)$: $\sin \alpha = \frac{{\left| {\vec v.\vec k} \right|}}{{\left| {\vec v} \right|.\left| {\vec k} \right|}} = \frac{{\left| { - 1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} .1}} = \frac{1}{2}$
Suy ra $\alpha = 30^\circ$
Bóng của khối bán cầu trên mặt phẳng$\left( {Oxy} \right)$ được hợp thành bởi hai phần:
Một nửa hình tròn đáy: Phần này nằm sẵn trên mặt phẳng$\left( {Oxy} \right)$ có diện tích ${S_1} = \frac{1}{2}\pi {R^2}.$
Một nửa hình elip: Đây là hình chiếu của mặt cong bán cầu xuống mặt phẳng $\left( {Oxy} \right)$ theo phương của tia sáng.
Hình chiếu của một hình tròn bán kính $R$ xuống mặt phẳng nghiêng một góc $\alpha$(hoặc hình chiếu của mặt cầu) là một hình elip có các bán trục là $R$ và $\frac{R}{{\sin \alpha }}$.
Diện tích nửa hình elip tạo ra bóng là ${S_2} = \frac{1}{2}\frac{{\pi {R^2}}}{{\sin \alpha }}.$
Vậy tổng diện tích bóng $S$là: $S = {S_1} + {S_2} = \frac{{\pi {R^2}}}{2}\left( {1 + \frac{1}{{\sin \alpha }}} \right) = 6\pi \approx 18{,}8$

Không gian mẫu là: $n\left( \Omega \right) = \left( {10 - 1} \right)! = 9!$

Xếp 6 bạn nữ vào bàn tròn thì số cách xếp là $\left( {6 - 1} \right)! = 5!$ cách

Lúc này, giữa $6$ bạn nữ sẽ có $6$ khoảng trống nên ta chọn $4$ vị trí cho $4$ bạn nam

Để mỗi bạn nam ngồi giữa hai bạn nữ, mỗi khoảng trống chỉ được xếp tối đa 1 bạn nam.

Điều kiện “Không có 3 bạn nữ nào ngồi kề nhau” nghĩa là không được để 2 khoảng trống liên tiếp bị bỏ trống

Tổng số cách chọn $4$ trong $6$ khoảng trống là $C_6^4 = 15$

Các trường hợp vi phạm (2 khoảng trống trống nằm cạnh nhau) có $6$ cặp như vậy

(Ví dụ: trống 1-2, 2-3, ..., 6-1).

Số cách chọn vị trí hợp lệ là $15 - 6 = 9$cách

Xếp 4 bạn nam vào 4 vị trí đã chọn có $4!$cách

Số cách thuận lợi: $n\left( A \right) = 5!.9.4!$

Vậy xác suất cần tính là: $P(A)=\frac{n(A)}{n(Ω)}=\frac{5!.9.4!}{9!}=\frac{120.9.24}{362.880}=\frac{1}{14}\Rightarrow a+b=\boxed{15}$