Đề ôn thi Tốt nghiệp THPT Toán có đáp án - Đề số 1

Đáp án đúng là B

Ta thấy hàm số $y = f\left( x \right)$ đồng biến trên các khoảng $\left( { - 3\,;\,\,0} \right)$ và $\left( {3\,;\,\, + \infty } \right)$.

Đáp án đúng là C

Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( {1\,;\,\,1\,;\,\,3} \right)$.

Đáp án đúng là C

Điều kiện: $x - 3 > 0 \Leftrightarrow x > 3$ nên tập xác định của hàm số là $D = \left( {3\,;\,\, + \infty } \right)$.

Đáp án đúng là A

Theo giả thiết ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{u_9} = 5{u_2}\\{u_{13}} = 2{u_6} + 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 8d = 5\left( {{u_1} + d} \right)\\{u_1} + 12d = 2\left( {{u_1} + 5d} \right) + 5\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4{u_1} - 3d = 0\\{u_1} - 2d = - 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 3\\d = 4\end{array} \right.$.

Đáp án đúng là C

Ta có: $\int_{}^{} {\left( {3{x^2} + \sin x} \right){\rm{d}}x} = {x^3} - \cos x + C$.

Đáp án đúng là D

Theo quy tắc hình hộp ta có $\vec v = \overrightarrow {B'A'} + \overrightarrow {B'C'} + \overrightarrow {B'B} = \overrightarrow {B'D}$.

Đáp án đúng là C

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm trên là $90 - 80 = 10$ gam.

Đáp án đúng là D

Từ hình vẽ ta thấy hai đồ thị hai hàm số $y = {x^2} + x - 2$ và $y = - x + 1$ cắt nhau tại hai điểm có hoành độ $x = - 3\,;\,\,x = 1$.

Diện tích hình phẳng cần tính là $S = \int\limits_{ - 3}^1 {\left[ { - x + 1 - \left( {{x^2} + x - 2} \right)} \right]{\rm{d}}x} = \int\limits_{ - 3}^1 {\left( { - {x^2} - 2x + 3} \right){\rm{d}}x}$.

Đáp án đúng là C

Cỡ mẫu là $n = 20$. Ta bổ sung thêm hàng giá trị đại diện cho mẫu số liệu ghép nhóm:

Giá trị trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm:

$\bar x = \frac{{2{,}85 \cdot 3 + 3{,}15 \cdot 6 + 3{,}45 \cdot 5 + 3{,}75 \cdot 4 + 4{,}05 \cdot 2}}{{20}} = 3{,}39$.

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là:

${s^2} = \frac{1}{{20}}\left( {{{2{,}85}^2} \cdot 3 + {{3{,}15}^2} \cdot 6 + {{3{,}45}^2} \cdot 5 + {{3{,}75}^2} \cdot 4 + {{4{,}05}^2} \cdot 2} \right) - {3{,}39^2} \approx 0{,}13$.

Đáp án đúng là C

Ta có: $f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {x + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = - 1\end{array} \right..$

Bảng xét dấu của $f'\left( x \right)$ như sau:

Hàm số đồng biến trên các khoảng $\left( { - \infty \,;\,\, - 1} \right)\,,\,\,\left( {2\,;\,\, + \infty } \right)$ và nghịch biến trên khoảng $\left( { - 1\,;\,\,2} \right)$.

Đáp án đúng là C

Mặt cầu đã cho có tâm $I\left( {1\,; \, - 2\,; \,0} \right)$ và bán kính $R = 2\sqrt 3$.

Mặt phẳng $\left( P \right)$song song mặt phẳng $\left( {Ox{\rm{z}}} \right):y = 0$ nên có dạng $\left( P \right):y + m = 0\,\,\,\left( {m \ne 0} \right)$.

Vì $\left( P \right)$ qua $I\left( {1\,; \, - 2\,; \,0} \right)$ nên $- 2 + m = 0 \Rightarrow m = 2$ nên phương trình $\left( P \right):\,\,y + 2 = 0$.

Đáp án đúng là A

Tập xác định hàm số $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}$.

Ta có $y' = \frac{{{x^2} - 2x - 1}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\,;\,\,y' = 0 \Rightarrow {x^2} - 2x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1 \pm \sqrt 2$ (Hàm số có hai điểm cực trị).

Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của (C) là d: $y = \frac{{u'\left( x \right)}}{{v'\left( x \right)}}$$= \frac{{2x - 4}}{1}$ hay $y = 2x - 4$.

Gọi $M\left( {{x_M}\,;\,\,0} \right) \in Ox$; vì $M\left( {{x_M}\,;\,\,0} \right) \in d \Rightarrow 0 = 2{x_M} - 4 \Rightarrow {x_M} = 2$.

Xét mệnh đề a)

Gọi phương trình đường tiệm cận xiên là $y = ax + b$ đi qua $\left\{ \begin{array}{l}O\left( {0;\,0} \right)\\I\left( {1;\,1} \right)\end{array} \right.$ nên $\left\{ \begin{array}{l}0a + b = 0\\a + b = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 0\end{array} \right.$

Vậy phương trình đường tiệm cận xiên là $y = x$ nên mệnh đề a) đúng

Xét mệnh đề b)

Hàm số có dạng $y = f\left( x \right) = x + 0 + \frac{1}{{x - c}}$ và đồ thị có đường tiệm cận đứng là đường thẳng $x = 1$

Do đó $x = c = 1$ nên $y = f\left( x \right) = x + \frac{1}{{x - 1}} = \left( {x - 1} \right) + \frac{1}{{\left( {x - 1} \right)}} + 1 \ge 2\sqrt {\left( {x - 1} \right).\frac{1}{{\left( {x - 1} \right)}}} + 1 = 3$

Dấu “$=$” xảy ra khi $x - 1 = \frac{1}{{x - 1}} \Leftrightarrow x = 2$ nên mệnh đề b) đúng

Xét mệnh đề c)

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 0\\c = 1\end{array} \right.$ nên $a + b + c = 1 + 0 + 1 = 2$ nên mệnh đề c) sai

Xét mệnh đề d)

Xét hàm số $y = f\left( x \right) = x + \frac{1}{{x - 1}} = \frac{{{x^2} - x + 1}}{{x - 1}}$ có $y' = \frac{{{x^2} - 2x}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.$

Vậy hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là $A\left( {0;\, - 1} \right)$; $B\left( {2;\,3} \right)$ và gọi $M\left( {m;\,0} \right)$

Khi đó $\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {MA} = \left( { - m;\, - 1} \right)\\\overrightarrow {MB} = \left( {2 - m;\,3} \right)\end{array} \right.$ mà $\widehat {AMB} \le 90^\circ \Leftrightarrow \cos \left( {\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} } \right) \ge 0 \Leftrightarrow \frac{{\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} }}{{\left| {\overrightarrow {MA} } \right|.\left| {\overrightarrow {MB} } \right|}} \ge 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} \ge 0$

$\Leftrightarrow {m^2} - 2m - 3 \ge 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \le - 1\\m \ge 3\end{array} \right.$ nên $OM = \left| m \right| = m \ge 3$ nên giá trị nhỏ nhất bằng $3$ khi$M\left( {3;\,0} \right)$ nên mệnh đề d) sai

Xét mệnh đề a)

Tập hợp $X = \left\{ {1;\,2;\,3;\,4;\,5;\,6;\,7;\,8;\,9} \right\}$ có tập số lẻ $L = \left\{ {1;\,3;\,5;\,7;\,9} \right\}$ và tập số chẵn $C = \left\{ {2;\,4;\,6;\,8} \right\}$

Với tập số lẻ thì tổng số cách xếp $3$ số vào $3$ đỉnh là $A_5^3$. Các bộ số tạo thành cấp số cộng (các trường hợp vi phạm) có $4$ bộ $\{1;\ 3;\ 5\},\ \{\ 3;\ 5;\ 7\},\ \{\ 5;\ 7;\ 9\},\ \{1;\ 5;\ 9\}$

Mỗi bộ có $3!$ cách xếp hoán vị vào $3$ đỉnh nên số trường hợp vi phạm là $4.3! = 24$

Vậy số cách xếp thỏa mãn là $60 - 4.3! = 36$ (cách)

Với tập số chẵn thì tổng số cách xếp $3$ số vào $3$ đỉnh là $A_4^3$. Các bộ số tạo thành cấp số cộng là $\left\{ {2;\,4;\,6} \right\},\,\left\{ {4;\,6;\,8} \right\}$

Mỗi bộ này có $3!$ cách hoán vị vào ba đỉnh nên số trường hợp vi phạm là $2.3!$

Vậy số cách xếp thỏa mãn là $24 - 2.3! = 12$ (cách)

Vậy tổng số cách xếp là $n\left( \Omega \right) = 36 + 12 = 48$ (cách) nên mệnh đề a) đúng

Xét mệnh đề b)

Với tập số chẵn thì tổng số cách xếp $3$ số vào $3$ đỉnh là $A_4^3$. Các bộ số tạo thành cấp số cộng là $\{1;\ 3;\ 5\},\ \{\ 3;\ 5;\ 7\},\ \{\ 5;\ 7;\ 9\},\ \{1;\ 5;\ 9\}$

Mỗi bộ này có $3!$ cách hoán vị vào ba đỉnh nên số trường hợp vi phạm là $2.3!$

Vậy số cách xếp thỏa mãn là $n\left( B \right) = 24 - 2.3! = 12$ (cách)

Xác suất để ba số ở các đỉnh $\left( {A;\,B;\,C} \right)$ đều là số chẵn là: $P = \frac{{12}}{{48}} = 0{,}25$ nên mệnh đề b) đúng

Xét mệnh đề c)

Trường hợp đỉnh lẻ gồm $5$ số $\left\{ {1;\,3;\,5;\,7;\,9} \right\}$ thì để $A + B = 10$ với $A,\,B$ là số lẻ thì ta có hai cặp là $\left\{ {1;\,9} \right\}$ và $\left\{ {3;\,7} \right\}$

Cặp $\left\{ {1;\,9} \right\}$ có $2!$(cách xếp) vào $A,\,B$, còn lại các số $\left\{ {3;\,5;\,7} \right\}$(loại $5$ do đã dùng ở $P$) nên $C$ chỉ có thể là $3$ hoặc $7$ nên có $2$ cách nên số cách là $2.2 = 4$(cách)

Cặp $\left\{ {3;\,7} \right\}$ có $2!$(cách xếp) vào $A,\,B$, còn lại các số $\left\{ {1;\,5;\,9} \right\}$(loại $5$ do đã dùng ở $P$) nên $C$ chỉ có thể là $1$ hoặc $9$ nên có $2$ cách nên số cách là $2.2 = 4$(cách)

Vậy tổng trường hợp thỏa mãn cho số lẻ là: $4 + 4 = 8$(cách)

Trường hợp đỉnh chẵn gồm $4$ số $\left\{ {2;\,4;\,6;\,8} \right\}$thì để $A + B = 10$ với $A,\,B$ là số chẵn thì ta có hai cặp là $\left\{ {2;\,8} \right\}$ và $\left\{ {4;\,6} \right\}$

Cặp $\left\{ {2;\,8} \right\}$ có $2!$(cách xếp) vào $A,\,B$, còn lại các số $\left\{ {4;\,6} \right\}$ nên $C$ chỉ có thể là $4$ hoặc $6$ nên có $2$ cách nên số cách là $2.2 = 4$(cách)

Cặp $\left\{ {4;\,6} \right\}$thì $C$ phải là $2$ hoặc $8$.

Nếu $C = 2$ thì bộ $\left\{ {4;\,6;2} \right\}$ vi phạm vì nó tạo thành cấp số cộng ở đỉnh

Nếu $C = 8$ thì bộ $\left\{ {4;\,6;8} \right\}$ vi phạm vì nó tạo thành cấp số cộng ở đỉnh

Vậy tổng trường hợp thỏa mãn cho số lẻ là: $4 + 0 = 4$(cách)

Vì có ba vị trí trung điểm $\left( {M,\,N,\,P} \right)$ là như nhau nên ta có $n\left( C \right) = 3.12 = 36$ (cách)

Xác suất để chữ số $5$ nằm ở vị trí trung điểm là: $P = \frac{{n\left( C \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{36}}{{48}} = 0{,}75$ nên mệnh đề c) sai

Xét mệnh đề d)

Ba số ở các đỉnh đều là đỉnh lẻ nên $n\left( {{\Omega _D}} \right) = 36$

Số bộ đỉnh lẻ có chứa số $7$(ở đỉnh hoặc trung điểm là): $\left\{ {1;\,3;\,7} \right\},\,\left\{ {1;\,5;\,7} \right\},\,\left\{ {1;\,7;\,9} \right\},\,\left\{ {3;\,5;\,9} \right\},\,\left\{ {3;\,7;\,9} \right\}$

Có $5$ bộ chứa số $7$ nên số cách sắp xếp thuận lợi là: $n\left( D \right) = 5.6 = 30$(cách)

Xác suất cần tính $P = \frac{{n\left( D \right)}}{{n\left( {{\Omega _D}} \right)}} = \frac{{30}}{{36}} = \frac{5}{6} \approx 0{,}83$ nên mệnh đề d) đúng

Xét mệnh đề a):

Quãng đường $s\left( t \right)$ mà xe ô tô đi được trong $t$ (giây) là một nguyên hàm của hàm số $v\left( t \right)$ nên mệnh đề a) đúng

Xét mệnh đề b):

Ta có: $s\left( t \right) = \int {\left( { - 10t + 20} \right){\rm{d}}t} = - 5{t^2} + 20t + C$ mà $s\left( 0 \right) = 0$$\Rightarrow C = 0$

Khi đó $s\left( t \right) = - 5{t^2} + 20t$ nên mệnh đề b) sai

Xét mệnh đề c):

Ô tô dừng hẳn khi $v\left( t \right) = 0$$\Leftrightarrow - 10t + 20 = 0 \Leftrightarrow t = 2$ (giây) nên mệnh đề c) sai

Xét mệnh đề d):

Quãng đường ô tô đi được kể từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn là: $S = \int\limits_0^2 {\left( { - 10t + 20} \right){\rm{d}}t} = 20$(m). Vì $S < 25$ nên ô tô không va vào chướng ngại vật trên đường nên mệnh đề d) đúng

Xét mệnh đề a):

Xét $\left( {Oxy} \right)$, gọi $H$là trung điểm $CD$, ta có $CD = 9{,}6 \Rightarrow DH = 4{,}8 \Rightarrow {y_D} = - 4{,}8$

Tam giác $DOH$vuông tại $H$ nên $OH = \sqrt {O{D^2} - D{H^2}} = \sqrt {{5^2} - {{4{,}8}^2}} = 1{,}4 \Rightarrow {x_D} = 1{,}4$

Vậy $D\left( {1{,}4; - 4{,}8;0} \right)$ nên mệnh đề a) đúng

Xét mệnh đề b):

Do $AB = 14 \Rightarrow AK = 7 \Rightarrow A\left( {{x_A}; - 7;0} \right),\left( {{x_A} > 0} \right)$ mà $\Delta SOA$ vuông tại $O$ nên ta có:

$O{A^2} + S{O^2} = S{A^2} \Leftrightarrow {x_A} = 22 \Rightarrow A\left( {22; - 7;0} \right)$$\Rightarrow \overrightarrow {DA} = \left( {20{,}6; - 2{,}2;0} \right)$

Vậy đường thẳng $AD:\left\{ \begin{array}{l}D\left( {1{,}4; - 4{,}8;0} \right)\\\overrightarrow {{u_{AD}}} = \overrightarrow {DA} = \left( {20{,}6; - 2{,}2;0} \right)\end{array} \right.$ có phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x = 1{,}4 - 20{,}6t\\y = - 4{,}8 + 2{,}2t\\z = 0\end{array} \right.,\left( {t \in \mathbb{R}} \right)$ nên mệnh đề b) đúng

Xét mệnh đề c):

Biển số của xe ôtô đã nằm trong vùng nhận diện tốt nhất của camera khi ô tô đi qua hình thang cân $ABCD$ tạo hai giao điểm $E,F$ như hình vẽ.

Ta có: $MF = 50 - 22 = 28$ mét

Thời gian từ $M$ đến $F$ là ${t_{M \to F}} = \frac{{MF}}{{{v_{\^o t\^o }}}} = \frac{{28}}{{\frac{{45}}{{3{,}6}}}} = 2{,}24$ (giây) nên mệnh đề c) sai

Xét mệnh đề d):

Áp dụng định lý Talet: $\frac{{EF}}{{DI}} = \frac{{AF}}{{AI}} = \frac{{7 - 6}}{{7 - 4{,}8}} = \frac{1}{{2{,}2}} \Rightarrow EF = DI.\frac{1}{{2{,}2}} = \frac{{\left( {22 - 1{,}4} \right)}}{{2{,}2}} = \frac{{103}}{{11}}$

Suy ra $v = \frac{s}{t} = \frac{{EF}}{t} = \frac{{\frac{{103}}{{11}}}}{{0{,}7}} = \frac{{1030}}{{77}}$(m/s)$= \frac{{3708}}{{77}}$(km/h)$\approx 48{,}16$(km/h)$< 50$(km/h)

Vậy xe không vượt quá tốc độ cho phép nên mệnh đề d) sai

Từ $B$ kẻ đường thẳng $BK$ vuông góc với nắp thùng tại $K$

Chiều cao điểm $F$ là ${h_F} = 0{,}2 + 3 = 3{,}2$(m); chiều cao điểm $B$ là ${h_B} = 0{,}8$(m)

Chênh lệch độ cao giữa $K$ và $F$ là: $KF = 3{,}2 - 0{,}8 = 2{,}4$(m)

Áp dụng định lý Pytago cho tam giác vuông $BKF$, ta có: $BK = \sqrt {{3^2} - {{2{,}4}^2}} = 1{,}8$(m)

Kẻ $CI \bot BH$ suy ra $\Delta BKF = \Delta BIC$(cạnh huyền – góc nhọn) nên $BI = BK = 1{,}8$(m)

Xét $\Delta BCH$ vuông nên ta có: $B{C^2} = BI.BH \Rightarrow BH = \frac{{B{C^2}}}{{BI}} = \frac{9}{{1{,}8}} = 5$(m)

Vậy độ dài $CH = \sqrt {{5^2} - {3^2}} = 4$(m)

Xét hình chóp tam giác đều $S.ABC$ trong đó $S$ là đỉnh của hình lập phương nằm bên trong ly nước và $A,\,B,\,C$ là các điểm chung của kim cương với miệng ly; $O$ là trọng tâm tam giác $ABC$và $H$ là trung điểm $BC$

Đặt $x$(cm) là cạnh đáy hình chóp thì $AO = \frac{2}{3}AH = \frac{2}{3} \cdot \frac{{x\sqrt 3 }}{2} = \frac{{x\sqrt 3 }}{3}$.

Vì hình chóp S.ABC có SA, SB, SC bằng nhau và đôi một vuông góc tại đỉnh S nên độ dài cạnh $SA = SB = SC = \frac{x}{{\sqrt 2 }}$.

Từ đó suy ra $SO = \sqrt {S{A^2} - O{A^2}} = \sqrt {\frac{{{x^2}}}{2} - \frac{{{x^2}}}{3}} = \frac{{x\sqrt 6 }}{6}$.

Theo giả thiết thì chiều cao hình chóp S.ABC bằng $\frac{1}{3}$ chiều cao ly nước: $SO = \frac{1}{3}.9 = 3$(cm)

Suy ra chiều dài cạnh đáy của hình chóp: $\frac{{x\sqrt 6 }}{6} = 3 \Rightarrow x = 3\sqrt 6$(cm)

Vậy thể tích nước tràn ra bằng với thể tích khối chóp $S.ABC$

Thể tích đó là: $V = \frac{1}{3}SO.{S_{ABC}} = \frac{1}{3}.3.\frac{{{{\left( {3\sqrt 6 } \right)}^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{27\sqrt 3 }}{2} \approx 23{,}4$(cm$^{3}$)

Xét với $k$ là số nhân viên tăng ca thì lương mỗi nhân viên sau tăng ca là: $400\left( {1 + 0{,}03k} \right)$ USD.

Tổng lương cho $k$ nhân viên là: $400k\left( {1 + 0{,}03k} \right) = 4k\left( {100 + 3k} \right)$.

Với $100 - k$ nhân viên còn lại thì mức lương vẫn 400USD nên tổng sẽ là: $400\left( {100 - k} \right)$ USD.

Cứ $k$ nhân viên tăng ca doanh thu tăng $800k$ USD nên doanh thu tổng là: $40000 + 800k$ USD.

Suy ra lợi nhuận tổng của nhà hàng là:

$T\left( k \right) = 40000 + 800k - 4k\left( {100 + 3k} \right) - 8000 - 400\left( {100 - k} \right) = - 8000 + 800k - 12{k^2}$

Xét hàm số $T\left( k \right)$, ta có: $T'\left( k \right) = 800 - 24k$. Giải $T'\left( k \right) = 0 \Leftrightarrow k = \frac{{100}}{3} \notin \mathbb{N} \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}k = 33\\k = 34\end{array} \right.$

Xét $T\left( {33} \right) = 5332;T\left( {34} \right) = 5328 \to T\left( {33} \right) > T\left( {34} \right) \Rightarrow {T_{\max }} = T\left( {33} \right)$ tức lợi nhuận max là khi số nhân viên tăng ca là $33$ tức số nhân viên còn lại không tăng ca là $100 - 33 = 67$.

Tọa độ đỉnh của parabol là $I(a;\ 48)$, đi qua các điểm $O\left( {0;\,0} \right)$ và $A\left( {24;\,32} \right)$

Khi đó $y = k{\left( {x - a} \right)^2} + 48$ nên $\left\{ \begin{array}{l}k{a^2} + 48 = 0\\k{\left( {24 - a} \right)^2} + 48 = 32\end{array} \right. \Rightarrow \frac{{{{\left( {24 - a} \right)}^2}}}{{{a^2}}} = \frac{1}{3} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 36 - 12\sqrt 3 \\a = 36 + 12\sqrt 3 \end{array} \right.$

Kiểm tra lại điều kiện: $- \frac{b}{{2a}} < 24$ nên chọn $a = 36 - 12\sqrt 3$ thỏa mãn$\Rightarrow$$k = \frac{{ - {{\left( {\sqrt 3 + 1} \right)}^2}}}{{36}}$

Vậy phương trình parabol là: $y = \frac{{ - {{\left( {\sqrt 3 + 1} \right)}^2}}}{{36}}{\left( {x - 36 + 12\sqrt 3 } \right)^2} + 48$

Đường thẳng $OA$ đi qua $\left\{ \begin{array}{l}O\left( {0;\,0} \right)\\A\left( {24;32} \right)\end{array} \right.$ có phương trình $y = \frac{4}{3}x$

Diện tích hình phẳng là: $S = \int\limits_0^{24} {\left[ {\frac{{ - {{\left( {\sqrt 3 + 1} \right)}^2}}}{{36}}{{\left( {x - 36 + 12\sqrt 3 } \right)}^2} + 48 - \frac{4}{3}x} \right]} {\rm{d}}x = 477{,}7.. \approx 478$(cm$^{2}$)

Vậy diện tích hình phẳng $\left( H \right)$ là phần được tô màu bằng $478$(cm$^{2}$)

Nhận xét ban đầu: Ta thấy bốn đỉnh $B,D,A'$ và $A$ tạo thành một tam diện vuông bên trong hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ nên ta có thể chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ với điểm $A$ trùng với gốc tọa độ và các trục $Ox,Oy,Oz$ lần lượt trùng với các cạnh $OB,OD,OA'$ như hình vẽ dưới đây

Suy ra các tọa độ: $A\left( {0;0;0} \right),B\left( {10;0;0} \right),D\left( {0;10;0} \right),A'\left( {0;0;10} \right)$

Khi đó ta gọi $\left( P \right):ax + by + cz + d = 0$ và chọn $d = 10$, ta có: $\left( P \right):ax + by + cz + 10 = 0$

Từ đây lần lượt có được như sau: (với $a,b,c \in {\mathbb{R}^ + }$).

$d\left( {B;\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {10a + 10} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }} = 10;d\left( {D;\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {10b + 10} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }} = 11;d\left( {A';\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {10c + 10} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }} = 12$

Đặt $t = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}}$, khi ấy ta có dãy tỉ lệ thức sau: $\frac{{a + 1}}{{10}} = \frac{{b + 1}}{{11}} = \frac{{c + 1}}{{12}} = t \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 10t - 1\\b = 11t - 1\\c = 12t - 1\end{array} \right.$

Suy ra $t = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} = \sqrt {{{\left( {10t - 1} \right)}^2} + {{\left( {11t - 1} \right)}^2} + {{\left( {12t - 1} \right)}^2}} = \sqrt {365{t^2} - 66t + 3}$

Khi ấy ta có phương trình: $d\left( {B;\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {10a + 10} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }} = \frac{{\left| {100t} \right|}}{{\sqrt {365{t^2} - 66t + 3} }} = 10$

$\Leftrightarrow 265{t^2} - 66t + 3 = 0 \Leftrightarrow t = {t_0} = \frac{{33 + 7\sqrt 6 }}{{265}}$.

Vậy ta suy ra khoảng cần tìm là: $d\left( {A;\left( P \right)} \right) = {\left. {\frac{{\left| {10} \right|}}{{\sqrt {365{t^2} - 66t + 3} }}} \right|_{t = {t_0}}} = \frac{{33 - 7\sqrt 6 }}{3} \approx 5{,}28$(cm)

Tìm số lượng các biển số có 5 chữ số đôi một khác nhau lập từ tập $S = \left\{ {0;\,1;\,2;\,...;\,9} \right\}$ mà trong đó bắt buộc có chữ số $5$.

Gọi $A$ là biến cố “Biển số xe may mắn” và $B$ là biến cố “Biển số xe có chữ số $5$”

Tổng số biển có $5$ chữ số khác nhau $A_{10}^5$

Số biển không chứa chữ số $5$ là $A_9^5$ nên $n\left( B \right) = A_{10}^5 - A_9^5 = 15120$(biển)

Các cặp số có tổng bằng $10$ là: $\left\{ {1;\,9} \right\},\,\left\{ {2;\,8} \right\},\,\left\{ {3;\,7} \right\},\left\{ {4;\,6} \right\}$

Trường hợp 1: Chọn số $0$

Bộ số hiện có $\left\{ {5;\,0} \right\}$ thì ta cần chọn thêm $3$ số nữa được lấy từ $\left\{ {1;\,9} \right\},\,\left\{ {2;\,8} \right\},\,\left\{ {3;\,7} \right\},\left\{ {4;\,6} \right\}$(mỗi nhóm 1 số)

Chọn $3$ nhóm từ $4$ nhóm có $C_4^3 = 4$ (cách)

Trong mỗi nhóm đã chọn, có $2$ cách chọn một số nên có: $2.2.2 = 8$(cách chọn)

Xếp $5$ số này vào $5$ vị trí có $5!$ (cách)

Số biển thỏa mãn cho trường hợp này là: $4.8.5! = 3840$(biển)

Trường hợp 2: Không chọn số $0$

Bộ số hiện có là $\left\{ 5 \right\}$ thì ta cần chọn thêm $4$ số nữa từ $\left\{ {1;\,9} \right\},\,\left\{ {2;\,8} \right\},\,\left\{ {3;\,7} \right\},\left\{ {4;\,6} \right\}$(mỗi nhóm 1 số) và $4$số này phải lấy từ cả $4$ nhóm nên có $1$ cách chọn

Trong mỗi nhóm, có hai cách chọn $1$ số nên có $2.2.2.2 = 16$(cách)

Số cách chọn bộ số là $1.16 = 16$(cách)

Xếp $5$ số này vào $5$ vị trí có $5!$ (cách)

Số biển thỏa mãn cho trường hợp này là: $16.5! = 1920$(biển)

Tổng số biến cố thuận lợi là: $n\left( {A \cap B} \right) = 3840 + 1920 = 5760$

Vậy xác suất cần tính là: $P\left( {A|B} \right) = \frac{{n\left( {A \cap B} \right)}}{{n\left( B \right)}} = \frac{{5760}}{{15120}} = \frac{8}{{21}} = 0{,}38095... \approx 0{,}38$