Đề ôn luyện Toán theo Chủ đề 8. Xác suất (Đề số 2)

Số cách chọn ngẫu nhiên 5 học sinh $C_9^5$ cách.

Số cách chọn 5 học sinh chỉ có 2 lớp: $C_7^5 + C_6^5 + C_5^5$.

Vậy số cách chọn 5 học sinh có cả 3 lớp là $C_9^5 - \left( {C_7^5 + C_6^5 + C_5^5} \right) = 98$. Chọn B.

Ta có $n\left( \Omega \right) = {6^2} = 36$.

Gọi $A$ là biến cố: “Số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc như nhau”.

Ta có $A = \left\{ {\left( {1;1} \right);\left( {2;2} \right);\left( {3;3} \right);\left( {4;4} \right);\left( {5;5} \right);\left( {6;6} \right)} \right\} \Rightarrow n\left( A \right) = 6$.

Vậy xác suất để số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc như nhau là $\frac{6}{{36}} = \frac{1}{6}$. Chọn D.

Chọn $A$ là biến cố “3 viên bi được chọn không có đủ cả ba màu”.

$\overline A$ là biến cố “3 viên bi được chọn có đủ cả ba màu”.

Số phần tử của không gian mẫu: $n\left( \Omega \right) = C_{14}^3$.

Số kết quả thuận lợi cho biến cố $\overline A$: $n\left( {\overline A } \right) = 3 \cdot 5 \cdot 6 = 90$.

Khi đó $P\left( {\overline A } \right) = \frac{{90}}{{C_{14}^3}} = \frac{{45}}{{182}}$$\Rightarrow P\left( A \right) = 1 - \frac{{45}}{{182}} = \frac{{137}}{{182}}$. Chọn A.

Chọn 3 bạn trong 30 bạn có $C_{30}^3$ cách chọn $\Rightarrow n\left( \Omega \right) = C_{30}^3$.

Gọi $A$ là biến cố “Chọn 3 bạn nam” $\Rightarrow n\left( A \right) = C_{16}^3 \Rightarrow P\left( A \right) = \frac{{C_{16}^3}}{{C_{30}^3}}$.

Gọi $B$ là biến cố “Chọn 3 bạn nữ” $\Rightarrow n\left( B \right) = C_{14}^3 \Rightarrow P\left( B \right) = \frac{{C_{14}^3}}{{C_{30}^3}}$.

Gọi $C$ là biến cố “Chọn 3 bạn đều là nam hoặc nữ” $\Rightarrow C = A \cup B$.

Do $A$ và $B$ xung khắc nên $P\left( C \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) = \frac{{C_{16}^3}}{{C_{30}^3}} + \frac{{C_{14}^3}}{{C_{30}^3}} \approx 0{,}228$. Chọn C.

Ta có $A = \left\{ {10;12;14;16;18;20} \right\}$, $B = \left\{ {8;9;10;11;12;13;14;15} \right\}$.

Suy ra $AB = \left\{ {10;12;14} \right\}$.

Vậy số phần tử của biến cố $AB$ bằng 3. Chọn A.

Ta có $P\left( A \right) = P\left( B \right) = 0{,}6 \Rightarrow P\left( {\overline A } \right) = P\left( {\overline B } \right) = 0{,}4$.

Xác suất để chỉ có một bạn thi đỗ là:

$P = P\left( {\overline A } \right) \cdot P\left( B \right) + P\left( A \right) \cdot P\left( {\overline B } \right) = 0{,}4 \cdot 0{,}6 + 0{,}6 \cdot 0{,}4 = 0{,}48$. Chọn D.

Gọi $A$ là biến cố: “Công ty trúng giá cao nhất mảnh đất số 1”;

$B$ là biến cố: “Công ty trúng giá cao nhất mảnh đất số 2”.

Suy ra $P\left( {B|A} \right) = \frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( A \right)}} = \frac{{P\left( A \right) \cdot P\left( B \right)}}{{P\left( A \right)}} = P\left( B \right) = 0{,}8$. Chọn A.

Gọi $A$ là biến cố “thẻ thứ nhất trúng thưởng”; $B$ là biến cố “thẻ thứ hai trúng thưởng”.

Khi đó $A \cap B$ là biến cố “cả hai thẻ đều là hai thẻ trúng thưởng”.

Ta có $P\left( A \right) = \frac{2}{{30}} = \frac{1}{{15}}$ và $P\left( {B|A} \right) = \frac{1}{{29}}$.

Mà $P\left( {B|A} \right) = \frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( A \right)}} \Rightarrow P\left( {AB} \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( {B|A} \right) = \frac{1}{{25}} \cdot \frac{1}{{29}} = \frac{1}{{435}}$. Chọn D.

Gọi $A$ là biến cố “Viên đạn trúng đích”, $B$ là biến cố “Chọn xạ thủ loại I bắn”.

Ta có $P\left( B \right) = \frac{2}{{10}} = 0{,}2;P\left( {A|B} \right) = 0{,}9;P\left( {\overline B } \right) = 1 - 0{,}2 = 0{,}8;P\left( {A|\overline B } \right) = 0{,}7$.

Ta có $P\left( A \right) = P\left( B \right) \cdot P\left( {A|B} \right) + P\left( {\overline B } \right) \cdot P\left( {A|\overline B } \right) = 0{,}2 \cdot 0{,}9 + 0{,}8 \cdot 0{,}7 = 0{,}74$. Chọn A.

Mỗi cách chọn 6 bạn trong 20 bạn để ngồi vào hàng ghế đầu tiên là một chỉnh hợp chập 6 của 20. Do đó có $A_{20}^6$ cách xếp 6 bạn ngồi vào hàng ghế đầu tiên.

Mỗi cách chọn 6 bạn trong 14 bạn để ngồi vào hàng ghế thứ hai là một chỉnh hợp chập 6 của 14. Do đó có $A_{14}^6$ cách xếp 6 bạn ngồi vào hàng ghế thứ hai sau khi sắp xếp xong hàng ghế đầu tiên.

Mỗi cách chọn 6 bạn trong 8 bạn để ngồi vào hàng ghế thứ ba là một chỉnh hợp chập 6 của 8. Do đó có $A_8^6$ cách xếp 6 bạn ngồi vào hàng ghế thứ ba sau khi sắp xếp xong hai hàng ghế đầu.

Còn lại 2 bạn ngồi vào hàng ghế cuối cùng.

Mỗi cách chọn 2 ghế trong 6 ghế để xếp chỗ ngồi cho 2 bạn là một chỉnh hợp chập 2 của 6.

Vậy có $A_6^2$ cách xếp 2 bạn còn lại ngồi vào hàng ghế cuối cùng.

Đáp án: a) Sai, b) Đúng, c) Đúng, d) Sai.

Ta có $n\left( \Omega \right) = 6 \cdot 6 = 36$.

Gọi $A$ là biến cố “Số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc hơn kém nhau 2 chấm”.

$A = \left\{ {\left( {1;3} \right);\left( {2;4} \right);\left( {3;5} \right);\left( {4;6} \right);\left( {3;1} \right);\left( {4;2} \right);\left( {5;3} \right);\left( {6;4} \right)} \right\} \Rightarrow n\left( A \right) = 8$.

Do đó $P\left( A \right) = \frac{8}{{36}} = \frac{2}{9}$.

$B$ là biến cố “Tích số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc chia hết cho 5”.

$B = \left\{ {\left( {1;5} \right);\left( {2;5} \right);\left( {3;5} \right);\left( {4;5} \right);\left( {5;5} \right);\left( {6;5} \right);\left( {5;1} \right);\left( {5;2} \right);\left( {5;3} \right);\left( {5;4} \right);\left( {5;6} \right)} \right\}$$\Rightarrow n\left( B \right) = 11$.

Do đó $P\left( B \right) = \frac{{11}}{{36}}$.

$C$ là biến cố “Tích số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc là một số chẵn”.

$\overline C$ là biến cố “Tích số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc là một số lẻ” $\Rightarrow n\left( {\overline C } \right) = 3 \cdot 3 = 9$.

Suy ra $P\left( {\overline C } \right) = \frac{1}{4} \Rightarrow P\left( C \right) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.

$D$ là biến cố “Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc là số lẻ”.

$\overline D$ là biến cố “Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc là số chẵn”.

Ta có tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc là số chẵn khi và chỉ khi cả hai số đó đều là số lẻ hoặc đều là số chẵn.

Suy ra $n\left( {\overline D } \right) = 2 \cdot 3 \cdot 3 = 18$. Do đó $P\left( {\overline D } \right) = \frac{{18}}{{36}} = \frac{1}{2} \Rightarrow P\left( D \right) = \frac{1}{2}$.

Đáp án: a) Đúng, b) Đúng, c) Sai, d) Đúng.

Ta có $P\left( A \right) = \frac{3}{5};P\left( B \right) = \frac{1}{3}$.

Vì $A,B$ là hai biến cố độc lập và ${X_1} = A \cap B$ nên $P\left( {{X_1}} \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( B \right) = \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{5}$.

${X_1}$ là biến cố “Lấy được hai viên bi cùng màu trắng”.

${X_2}$ là biến cố “Lấy được hai viên bi cùng màu đỏ”.

Vì $\overline A$ và $\overline B$ là hai biến cố độc lập và ${X_2} = \overline A \cap \overline B$ nên $P\left( {{X_2}} \right) = P\left( {\overline A } \right) \cdot P\left( {\overline B } \right) = \frac{2}{5} \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{{15}}$.

Biến cố để hai viên bi lấy ra cùng màu là $X = {X_1} \cup {X_2}$.

Vì ${X_1}$ và ${X_2}$ là hai biến cố xung khắc, xác suất để hai viên bi lấy ra cùng màu là:
$P\left( X \right) = P\left( {{X_1}} \right) + P\left( {{X_2}} \right) = \frac{1}{5} + \frac{4}{{15}} = \frac{7}{{15}}$.

Đáp án: a) Đúng, b) Đúng, c) Sai, d) Đúng.

Theo đề ta có $P\left( {B|A} \right) = 0{,}9 \Rightarrow P\left( {\overline B |A} \right) = 1 - P\left( {B|A} \right) = 1 - 0{,}9 = 0{,}1$.

Có $P\left( {AB} \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( {B|A} \right) = 0{,}8 \cdot 0{,}9 = 0{,}72$.

$\overline A \overline B$ là biến cố “Cả hai thí nghiệm đều không thành công”.

Theo giả thiết có $P\left( {\overline A } \right) = 1 - 0{,}8 = 0{,}2$ và $P\left( {\overline B |\overline A } \right) = 1 - P\left( {B|\overline A } \right) = 1 - 0{,}5 = 0{,}5$.

Vậy xác suất để cả hai thí nghiệm không thành công là:

$P\left( {\overline A \overline B } \right) = P\left( {\overline A } \right) \cdot P\left( {\overline B |\overline A } \right) = 0{,}2 \cdot 0{,}5 = 0{,}1$.

Đáp án: a) Đúng, b) Sai, c) Đúng, d) Đúng.

Chọn 2 trong 15 nam làm tổ trưởng và tổ phó có $A_{15}^2$ cách.

Chọn 3 tổ viên, trong đó có nữ

+) Chọn 1 nữ và 2 nam có $5 \cdot C_{13}^2$ cách,

+) Chọn 2 nữ và 1 nam có $13 \cdot C_5^2$ cách,

+) Chọn 3 nữ có $C_5^3$ cách.

Vậy có $A_{15}^2\left( {5 \cdot C_{13}^2 + 13 \cdot C_5^2 + C_5^3} \right) = 111300$ cách.

Khi đó $\left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 3\end{array} \right. \Rightarrow T = ab + {a^2} = 4$.

Đáp án: $4$.

Số phần tử không gian mẫu là $n\left( \Omega \right) = C_{12}^3$.

Gọi $A$ là biến cố “Lấy được 3 bóng và có ít nhất 2 bóng tốt” $\Rightarrow n\left( A \right) = C_7^2C_5^1 + C_7^3 = 140$.

Suy ra $P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{140}}{{C_{12}^3}} = \frac{7}{{11}} \approx 0{,}64$.

Đáp án: $0{,}64$.

Gọi $A$ là biến cố “Học sinh thích học môn Toán”. Suy ra $P\left( A \right) = \frac{{32}}{{50}} = \frac{{16}}{{25}}$.

$B$ là biến cố “Học sinh thích học môn Lịch Sử”. Suy ra $P\left( B \right) = \frac{{17}}{{50}}$.

$A \cap B$ là biến cố “Học sinh thích cả môn Toán và môn Lịch Sử”. Suy ra $P\left( {AB} \right) = \frac{8}{{50}} = \frac{4}{{25}}$.

$A \cup B$ là biến cố “Học sinh thích môn Toán hoặc môn Lịch Sử”.

Ta có $P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) - P\left( {A \cap B} \right) = \frac{{16}}{{25}} + \frac{{17}}{{50}} - \frac{4}{{25}} = \frac{{41}}{{50}}$.

$\overline {A \cup B}$ là biến cố “Học sinh không thích cả môn Toán và môn Lịch Sử”.

Theo tính chất xác suất, ta có $P\left( {\overline {A \cup B} } \right) = 1 - P\left( {A \cup B} \right) = 1 - \frac{{41}}{{50}} = \frac{9}{{50}} = 0{,}18$.

Đáp án: $0{,}18$.

Gọi $A$ là biến cố “Rút ra được câu hỏi lí thuyết”; $B$ là biến cố “Rút ra được câu khó”.

Theo đề ta có $P\left( A \right) = \frac{{13}}{{40}};P\left( B \right) = \frac{{17}}{{40}};P\left( {A \cap B} \right) = \frac{5}{{40}}$.

Vậy $P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{5}{{40}}:\frac{{17}}{{40}} = \frac{5}{{17}} \approx 0{,}29$.

Đáp án: $0{,}29$.

Gọi $A$ là biến cố “Ngày hôm đó Sơn chạy bộ”; $B$ là biến cố “Bữa sáng hôm đó Sơn ăn thêm một quả trứng”.

Theo đề ta có $P\left( A \right) = \frac{3}{7} \Rightarrow P\left( {\overline A } \right) = \frac{4}{7}$; $P\left( {B|A} \right) = 0{,}7;P\left( {B|\overline A } \right) = 0{,}25$.

Ta có $P\left( B \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right) \cdot P\left( {B|\overline A } \right) = \frac{3}{7} \cdot 0{,}7 + \frac{4}{7} \cdot 0{,}25 = \frac{{31}}{{70}}$.

Khi đó $P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( A \right) \cdot P\left( {B|A} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{\frac{3}{7} \cdot 0{,}7}}{{\frac{{31}}{{70}}}} = \frac{{21}}{{31}} \approx 0{,}68$.

Đáp án: $0{,}68$.

Gọi $A$ là biến cố “Học sinh đó học lớp 12A1”; $B$ là biến cố “Học sinh đó yêu thích môn Toán”.

Theo đề ta có $P\left( A \right) = \frac{{40}}{{72}} = \frac{5}{9} \Rightarrow P\left( {\overline A } \right) = \frac{4}{9}$; $P\left( {B|A} \right) = 0{,}8;P\left( {B|\overline A } \right) = 0{,}75$.

Khi đó $P\left( B \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right) \cdot P\left( {B|\overline A } \right) = \frac{5}{9} \cdot 0{,}8 + \frac{4}{9} \cdot 0{,}75 = \frac{7}{9}$.

Do đó $P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( A \right) \cdot P\left( {B|A} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{\frac{5}{9} \cdot 0{,}8}}{{\frac{7}{9}}} = \frac{4}{7} \approx 0{,}57$.

Đáp án: $0{,}57$.