Đề ôn luyện Toán theo Chủ đề 7. Thống kê (Đề số 1)

Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm là

250

300

300

300

350

450

500

650

Dãy trên có 8 giá trị nên ta lấy trung bình cộng 2 giá trị ở giữa $\frac{{300 + 350}}{2} = 325$. Chọn A.

Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm: 2; 3; 5; 5; 7; 10; 13.

Dãy trên có giá trị chính giữa bằng 5 nên ${Q_2} = 5$.

Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu: 7; 10; 13. Do đó ${Q_3} = 10$. Chọn A.

Mẫu số liệu trên được sắp xếp theo thứ tự tăng dần như sau:

1

3

6

8

12

15

18

27

29

31

33

54

Trung vị của mẫu số liệu trên là $\frac{{15 + 18}}{2} = 16{,}5$.

Trung vị của dãy 1; 3; 6; 8; 12; 15 là $\frac{{6 + 8}}{2} = 7$.

Trung vị của dãy 18; 27; 29; 31; 33; 54 là $\frac{{29 + 31}}{2} = 30$.

Vậy ${Q_1} = 7;{Q_2} = 16{,}5;{Q_3} = 30$. Chọn B.

Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm

21

24

25

27

28

30

33

34

35

36

Mẫu số liệu gồm 10 giá trị nên số trung vị là ${Q_2} = \left( {28 + 30} \right):2 = 29$.

Nửa số liệu bên trái là 21; 24; 25; 27; 28 gồm 5 giá trị, số chính giữa là 25 nên ${Q_1} = 25$.

Nửa số liệu bên phải là 30; 33; 34; 35; 36 gồm 5 giá trị, số chính giữa là 34 nên ${Q_3} = 34$.

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu bằng ${\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = 34 - 25 = 9$. Chọn D.

Ta có $\overline x = \frac{{3 \cdot 2{,}85 + 6 \cdot 3{,}15 + 5 \cdot 3{,}45 + 4 \cdot 3{,}75 + 2 \cdot 4{,}05}}{{20}} = 3{,}39$.

Phương sai ${s^2} = \frac{{3 \cdot 2,{{85}^2} + 6 \cdot 3,{{15}^2} + 5 \cdot 3,{{45}^2} + 4 \cdot 3,{{75}^2} + 2 \cdot 4,{{05}^2}}}{{20}} - 3,{39^2} = 0{,}1314$.

Độ lệch chuẩn $s = \sqrt {0{,}1314} \approx 0{,}36$. Chọn D.

Tổng số học sinh là $n = 3 + 5 + 28 + 14 + 8 = 58$.

Giả sử ${x_1};{x_2};...;{x_{58}}$ là thành tích nhảy xa của một số học sinh khối 12 và giả sử rằng dãy số liệu gốc này đã được sắp xếp theo thứ tự tăng dần.

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là ${x_{15}}$ nên nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là nhóm $\left[ {210;240} \right)$. Khi đó ${Q_1} = 210 + \frac{{\frac{{58}}{4} - \left( {3 + 5} \right)}}{{28}} \cdot 30 = \frac{{6075}}{{28}} \approx 216{,}96$.

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là ${x_{44}}$ nên nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là nhóm $\left[ {240;270} \right)$. Khi đó ${Q_3} = 240 + \frac{{\frac{{58 \cdot 3}}{4} - \left( {3 + 5 + 28} \right)}}{{14}} \cdot 30 = \frac{{3585}}{{14}} \approx 256{,}07$.

Vậy ${\Delta _Q} = 216{,}96 - 256{,}07 \approx 39{,}11$. Chọn A.

Ta có $n = 42$ nên trung vị của mẫu số liệu trên là ${Q_2} = \frac{{{x_{21}} + {x_{22}}}}{2}$.

Mà ${x_{21}};{x_{22}} \in \left[ {40;60} \right)$.

Vậy nhóm chứa trung vị của mẫu số liệu trên là nhóm $\left[ {40;60} \right)$. Chọn A.

Ta có cỡ mẫu là $n = 42$.

Gọi ${x_1};{x_2};...;{x_{42}}$ là thời gian tập thể dục trong ngày của 42 học sinh khối 11 và giả sử dãy này đã sắp xếp theo thứ tự tăng dần.

Khi đó tứ phân vị thứ nhất ${Q_1}$ là trung vị của dãy gồm 21 số liệu đầu nên ${Q_1} = {x_{11}}$.

Do ${x_{11}}$ thuộc nhóm $\left[ {20;40} \right)$ nên nhóm này chứa ${Q_1}$. Chọn B.

a) Sản lượng lúa của hợp tác xã A là $40 \cdot 150 = 6000$ (tạ).

b) Sản lượng lúa của hợp tác xã B là $38 \cdot 130 = 4940$ (tạ).

c) Sản lượng lúa của hợp tác xã C là $36 \cdot 120 = 4320$ (tạ).

d) Tổng sản lượng lúa của ba hợp tác xã là $6000 + 4940 + 4320 = 15260$ (tạ).

Tổng diện tích trồng của cả ba hợp tác xã là $150 + 130 + 120 = 400$ (ha).

Năng suất lúa trung bình của toàn bộ ba hợp tác xã là $15260:400 = 38{,}15$ (tạ/ha).

Đáp án: a) Đúng, b) Sai, c) Sai, d) Đúng.

a) Số trung bình $\overline x = \frac{{1 \cdot 14 + 2 \cdot 16 + 3 \cdot 8 + 4 \cdot 18 + 5 \cdot 10 + 6 \cdot 34}}{{100}} = 3{,}96$.

b) Vì cỡ mẫu là $n = 100$, là số chẵn nên giá trị của tứ phân vị thứ hai là

${Q_2} = \frac{1}{2}\left( {{x_{50}} + {x_{51}}} \right) = \frac{1}{2} \cdot \left( {4 + 4} \right) = 4$.

c) Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu: ${x_{51}};{x_{52}};...;{x_{100}}$.

Do đó ${Q_3} = \frac{1}{2}\left( {{x_{75}} + {x_{76}}} \right) = \frac{1}{2} \cdot \left( {6 + 6} \right) = 6$.

d) Mốt ${M_0} = 6$.

Đáp án: a) Đúng, b) Sai, c) Đúng, d) Đúng.

a) Cỡ mẫu: $n = 22$.

b) Gọi ${x_1};{x_2};...;{x_{22}}$ là thu nhập của 22 người đã được sắp xếp theo thứ tự tăng dần.

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là ${x_6}$ nên nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là nhóm $\left[ {5;7} \right).$

Do đó ${Q_1} = 5 + \frac{{\frac{{22}}{4} - 5}}{{10}} \cdot 2 = 5{,}1$.

c) Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là ${x_{17}}$ nên nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là nhóm $\left[ {7;9} \right).$

Do đó ${Q_3} = 7 + \frac{{\frac{{3 \cdot 22}}{4} - 15}}{5} \cdot 2 = 7{,}6$.

d) Khoảng tứ phân vị ${\Delta _Q} = 7{,}6 - 5{,}1 = 2{,}5$.

Đáp án: a) Đúng, b) Sai, c) Sai, d) Sai.

a) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm trên là $R = 10 - 5 = 5$.

b) Xét mẫu số liệu ghép nhóm khu vực B

Có ${n_B} = 3 + 6 + 5 + 5 + 1 = 20$.

Gọi ${x_1};{x_2};...;{x_{20}}$ là mức lương khởi điểm của 20 công nhân ở khu vực B được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có ${Q_1} = \frac{{{x_5} + {x_6}}}{2}$ mà ${x_5};{x_6} \in \left[ {6;7} \right)$. Khi đó ${Q_1} = 6 + \frac{{\frac{{20}}{4} - 3}}{6} \cdot 1 = \frac{{19}}{3}$.

Ta có ${Q_3} = \frac{{{x_{15}} + {x_{16}}}}{2}$ mà ${x_{15}};{x_{16}} \in \left[ {8;9} \right)$. Khi đó ${Q_3} = 8 + \frac{{\frac{{3 \cdot 20}}{4} - 14}}{5} \cdot 1 = \frac{{41}}{5}$.

Do đó ${\Delta _{{Q_B}}} = \frac{{41}}{5} - \frac{{19}}{3} = \frac{{28}}{{15}} \approx 1{,}9$.

c) Ta có bảng giá trị đại diện mẫu số liệu khu vực A

Ta có $\overline {{x_A}} = \frac{{4 \cdot 5{,}5 + 5 \cdot 6{,}5 + 5 \cdot 7{,}5 + 4 \cdot 8{,}5 + 2 \cdot 9{,}5}}{{20}} = 7{,}25$.

$s_A^2 = \frac{{4 \cdot 5,{5^2} + 5 \cdot 6,{5^2} + 5 \cdot 7,{5^2} + 4 \cdot 8,{5^2} + 2 \cdot 9,{5^2}}}{{20}} - 7,{25^2} = 1{,}5875$.

Suy ra ${s_A} \approx 1{,}26$.

d) Mẫu số liệu ghép nhóm khu vực B có giá trị đại diện như sau

Ta có $\overline {{x_B}} = \frac{{3 \cdot 5{,}5 + 6 \cdot 6{,}5 + 5 \cdot 7{,}5 + 5 \cdot 8{,}5 + 1 \cdot 9{,}5}}{{20}} = 7{,}25$.

$s_B^2 = \frac{{3 \cdot 5,{5^2} + 6 \cdot 6,{5^2} + 5 \cdot 7,{5^2} + 5 \cdot 8,{5^2} + 1 \cdot 9,{5^2}}}{{20}} - 7,{25^2} = 1{,}2875$.

Suy ra ${s_B} \approx 1{,}13$. Vậy ${s_A} > {s_B}$.

Đáp án: a) Đúng, b) Sai, c) Đúng, d) Sai.

Cỡ mẫu $n = 50$.

Gọi ${x_1};{x_2};...;{x_{50}}$ là cân nặng của 50 quả xoài được xếp theo thứ tự không giảm.

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là ${x_{13}} \in \left[ {290;330} \right)$.

Do đó ${Q_1} = 290 + \frac{{\frac{{50}}{4} - 3}}{{13}}\left( {330 - 290} \right) = \frac{{4150}}{{13}}$.

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là ${x_{38}} \in \left[ {370;410} \right)$.

Do đó ${Q_3} = 370 + \frac{{\frac{{3 \cdot 50}}{4} - \left( {3 + 13 + 18} \right)}}{{11}}\left( {410 - 370} \right) = \frac{{4210}}{{11}}$.

Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là ${\Delta _Q} = \frac{{4210}}{{11}} - \frac{{4150}}{{13}} = \frac{{9080}}{{143}} \approx 63{,}5$.

Đáp án: $63{,}5$.

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm trên $R = 18 - 3 = 15$.

Đáp án: $15$.

Bảng có giá trị đại diện

Ta có $\overline x = \frac{{75 \cdot 12 + 105 \cdot 16 + 179 \cdot 20 + 96 \cdot 24 + 45 \cdot 28}}{{75 + 105 + 179 + 96 + 45}} = 19{,}448$.

Phương sai ${s^2} = \frac{{75 \cdot {{12}^2} + 105 \cdot {{16}^2} + 179 \cdot {{20}^2} + 96 \cdot {{24}^2} + 45 \cdot {{28}^2}}}{{75 + 105 + 179 + 96 + 45}} - 19,{448^2} = 21{,}487296$.

Suy ra $s = \sqrt {{s^2}} \approx 5$.

Đáp án: $5$.

Sắp xếp cân nặng theo thứ tự không giảm ta được

2,593

2,977

3,155

3,270

3,387

3,412

3,813

3,920

4,042

4,236

Mẫu số liệu này gồm 10 giá trị nên ${Q_2} = \frac{{3{,}387 + 3{,}412}}{2} = 3{,}3995$.

Nửa số liệu bên trái là 2,593; 2,977; 3,155; 3,270; 3,387 gồm 5 giá trị nên ${Q_1} = 3{,}155$.

Nửa số liệu bên phải là 3,412; 3,813; 3,920; 4,042; 4,236 gồm 5 giá trị nên ${Q_3} = 3{,}920$.

Vậy khoảng tứ phân vị là ${\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = 3{,}920 - 3{,}155 = 0{,}765 \approx 0{,}8$.

Đáp án: $0{,}8$.

Sắp xếp mẫu số liệu trên theo thứ tự tăng dần

16

22

29

30

31

31

32

32

32

36

41

47

Mẫu số liệu có 12 giá trị.

Nửa số liệu bên trái là: 16; 22; 29; 30; 31; 31. Khi đó ${Q_1} = \frac{{29 + 30}}{2} = 29{,}5$.

Nửa số liệu bên phải là: 32; 32; 32; 36; 41; 47. Khi đó ${Q_3} = \frac{{32 + 36}}{2} = 34$.

Do đó ${\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = 34 - 29{,}5 = 4{,}5$.

Ta có ${Q_1} - 1{,}5{\Delta _Q} = 29{,}5 - 1{,}5 \cdot 4{,}5 = 22{,}75$.

Mà $16;\,\,22 < 22{,}75$ nên $16;\,\,22$ là các giá trị ngoại lệ của mẫu số liệu.

Ta có ${Q_3} + 1{,}5{\Delta _Q} = 34 + 1{,}5 \cdot 4{,}5 = 40{,}75$.

Mà $41;\,\,47 > 40{,}75$ nên $41;\,\,47$ là các giá trị ngoại lệ của mẫu số liệu.

Vậy có 4 giá trị ngoại lệ.

Đáp án: $4$.

Ta có $\overline x = \frac{{12 + 10 + 17 + 18 + 18 + 15 + 16 + 27 + 35 + 38 + 36 + 34}}{{12}} = 23$.

Đáp án: $23$.