Đề ôn luyện Toán theo Chủ đề 5. Hình học không gian (Đề số 1)

Ta có $MA \bot SA\,\,\left( {{\rm{do}}\,SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right)$ và $MA \bot AD$ nên $MA \bot \left( {SAD} \right)$ tại $A$.

Suy ra, khoảng cách từ trung điểm $M$ của $AB$ đến $\left( {SAD} \right)$ là $MA = \frac{{AB}}{2} = \frac{a}{2}$. Chọn B.

Đặt $OA = OB = OC = a$. Suy ra $AB = BC = AC = a\sqrt 2$.

Gọi $N$ là trung điểm $AC$ ta có $MN{\rm{//}}AB$ và $MN = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}$.

Suy ra $\left( {OM,AB} \right) = \left( {OM,MN} \right)$.

Xét tam giác $OMN$ có $ON = OM = MN = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}$.

Do đó, $\Delta OMN$ là tam giác đều. Suy ra $\widehat {OMN} = 60^\circ$.

Vậy $\left( {OM,AB} \right) = \left( {OM,MN} \right) = \widehat {OMN} = 60^\circ$. Chọn C.

Gọi $O$ là tâm của $ABCD$ suy ra $SO \bot \left( {ABCD} \right)$.

Ta có $SO = \sqrt {S{A^2} - A{O^2}} = \sqrt {{a^2} - {{\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}} = \frac{a}{{\sqrt 2 }}$. Chọn A.

Ta kẻ $CH \bot AB,\,H \in \,AB$.

$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}CH \bot AB\\CH \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow CH \bot \left( {SAB} \right)$.

Vậy $SH$ là hình chiếu vuông góc của đoạn thẳng $SC$ trên mặt phẳng $\left( {SAB} \right)$.

Khi đó $\left( {SC,\left( {SAB} \right)} \right) = \left( {SC,\,SH} \right) = \widehat {CSH}$.

Ta có $CH = \frac{{2a\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3$, $SH = \sqrt {S{A^2} + A{H^2}} = \sqrt {{{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2} + {a^2}} = a\sqrt 3$.

Xét tam giác $SHC$ vuông tại $H$ ta có: $\tan \widehat {CSH} = \frac{{CH}}{{SH}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{{a\sqrt 3 }} = 1 \Rightarrow \widehat {CSH} = 45^\circ$.

Vậy $\left( {SC,\,\left( {SAB} \right)} \right) = 45^\circ$. Chọn B.

Vì $SA \bot \left( {ABCD} \right)$ nên $SA \bot AD$.

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}SA \bot AD\\AB \bot AD\end{array} \right. \Rightarrow AD \bot \left( {SAB} \right)$$\Rightarrow d\left( {D,\,\left( {SAB} \right)} \right) = DA$.

Lại có $\left\{ \begin{array}{l}CD \not\subset \left( {SAB} \right)\\CD\,\,{\rm{//}}\,AB\\AB \subset \left( {SAB} \right)\end{array} \right. \Rightarrow CD\,{\rm{//}}\,\left( {SAB} \right)$.

$\Rightarrow d\left( {CD,\,SB} \right)$$= d\left( {CD,\,\left( {SAB} \right)} \right)$$= d\left( {D,\,\left( {SAB} \right)} \right) = DA = a$. Chọn A.