Đề ôn luyện Toán theo Chủ đề 4. Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng (Đề số 1)

PHẦN I. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.

Họ các nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = 3{e^x}$ là

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$. Biết rằng phần hình phẳng giới hạn bởi ${S_1}$ và ${S_2}$ (xem hình vẽ) có diện tích lần lượt bằng $7$ và $2$.

Tích phân $\int\limits_{ - 1}^4 {f\left( x \right){\rm{d}}x}$ bằng

PHẦN II. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đạo hàm $f'\left( x \right) = 8{x^3} + \sin x,\forall x \in \mathbb{R}$. Biết $f\left( 0 \right) = 3$.

Một công ty thiết kế mẫu huy hiệu để tặng cho khách hàng thân thiết của mình (xem hình vẽ bên). Trong đó $ABCD$ là hình vuông có cạnh bằng $4\,{\rm{cm}}$, các đường cong $AOD$ và $BOC$ là một phần của các parabol đỉnh $O$. Với hệ trục tọa độ $Oxy$ (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là centimét) thì điểm $A$ có tung độ bằng $1$. Biết phần tô đậm trong hình vẽ được phủ vàng với chi phí $1$ một triệu đồng/$1\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}$, phần còn lại được phủ bạc với chi phí 300 nghìn đồng/$1\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}$, các chi phí còn lại là 500 nghìn đồng.

Cho một chất điểm chuyển động theo quy luật vận tốc $v\left( t \right)$( đơn vị: ${\rm{m/s}}$) có đồ thị như hình vẽ bên. Trong đó đồ thị có dạng các đoạn thẳng tương ứng theo thời gian $t$ giây khi $0 \le t \le 3$, $8 \le t \le 15$ và có dạng đường parabol tương ứng thời gian $t$ giây khi $3 \le t \le 8$.

PHẦN III. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.

Người ta cho một chiếc xe điện mô hình chạy thử nghiệm trên một đường thẳng trong 24 giây với vận tốc $v\left( t \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{2}t\;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\;\;0 \le t \le 8\\4\;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\,\;8 < t < 16\\ - \frac{1}{2}t + 12\;\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\;\;16 \le t \le 24\end{array} \right.$(decimét/giây), trong đó $t$ là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc xe bắt đầu chuyển động. Trong 24 giây chạy thử nghiệm đó, chiếc xe mô hình đi được quãng đường bao nhiêu decimét?

Hình vẽ bên cho biết một miền D (được tô đậm) nằm trong hình vuông cạnh bằng 4, miền D này gồm những điểm có khoảng cách tới tâm hình vuông nhỏ hơn hoặc bằng khoảng cách tới cạnh gần nhất của hình vuông.

Tính diện tích miền D, với kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất.

Trong các làng nghề chế tạo đá mỹ nghệ, người ta làm được nhiều đồ trang sức bằng đá rất đẹp. Một người thợ thủ công chế tạo vòng đeo tay hình tròn bằng đá xanh, biết rằng bán kính vòng ngoài của vòng là $7\,{\rm{cm}}$, bán kính vòng trong là $5\,{\rm{cm}}$ (hình vẽ). Tính thể tích của chiếc vòng (theo đơn vị đo là centimét khối và làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Cho hai khối trụ có bán kính đáy bằng $3$ và có trục là hai đường thẳng cắt nhau và vuông góc với nhau (xem hình vẽ). Gọi $\left( H \right)$ là phần giao nhau của hai khối trụ đó. Tính thể tích của $\left( H \right)$.

Người nghệ sĩ vẽ một bông hoa không màu trên một miếng bìa hình vuông $ABCD$ tâm $O$ bằng một đường cong kín $\left( L \right)$ rồi tô màu đen phần bên ngoài đường cong này của hình vuông (tham khảo hình vẽ). Nếu điểm $M$ thuộc cạnh của hình vuông $ABCD$ và tia $OM$ cắt $\left( L \right)$ tại điểm $N$ thì $MN = 2\,{\rm{dm}}$. Biết rằng $AB = 8\,\,{\rm{dm,}}$ phần được nghệ sĩ tô màu đen có diện tích bằng bao nhiêu centimet vuông (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?