Đề ôn luyện Toán theo Chủ đề 3. Đạo hàm và khảo sát hàm số (Đề số 2)

PHẦN I. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có bảng biến thiên sau:

Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng:

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đồ thị là đường cong như hình vẽ bên. Hàm số đã cho nghịch biến trong khoảng nào dưới đây?

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ xác định và liên tục trên $\mathbb{R}$, có bảng biến thiên như sau:

Khẳng định nào sau đây đúng?

Cho hàm số $y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}\left( {c \ne 0\,;\,ad - bc \ne 0} \right)$ có đồ thị như hình vẽ bên. Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là

Đường cong ở hình bên là đồ thị của một trong bốn hàm số dưới đây. Hàm số đó là hàm số nào?

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ xác định, có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ và $f'\left( x \right)$ có đồ thị như hình vẽ dưới.

Hàm số $y = f\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có bảng biến thiên như sau:

Tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho bằng

PHẦN II. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Cho hàm số $f\left( x \right) = {e^{{x^2} - 1}} - {x^2}$.

PHẦN III. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.

Biết đồ thị hàm số $y = {x^3} + 3{x^2} - 9x - 1$ có hai điểm cực trị $A$ và $B$. Phương trình đường thẳng $AB$ là $y = ax + b\,\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)$. Tính tổng $a + b$.

Một hồ nước hình bán nguyệt có đường kính $AB = 150\,{\rm{m}}$. Một người chèo thuyền theo một đường thẳng với vận tốc 1,5 ${\rm{km/h}}$ từ vị trí $A$ đến vị trí $C$ bất kỳ trên cung . Tại vị trí $C$ người đó nghỉ 2 phút rồi tiếp tục đi bộ dọc theo cung nhỏ đến $B,$ sau đó đi bộ theo đường thẳng $BA$ để quay về $A$ với vận tốc 3 ${\rm{km/h}}$ (tham khảo hình vẽ). Hỏi thời gian chậm nhất mà người đó về đến $A$ là bao nhiêu phút? (Kết quả làm tròn đến hàng phần mười).

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị như hình vẽ. Gọi $M,\,m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $h\left( x \right) = 3f\left( {{{\log }_2}x - 1} \right) + {x^3} - 9{x^2} + 15x + 1$ trên đoạn $\left[ {1;4} \right]$. Tính giá trị của biểu thức $T = M + m$.

Để hạn chế vi phạm thời gian làm việc đối với công nhân, giám đốc công ty quyết định xử lý bằng cách phạt tiền. Nhờ sự giám sát chặt chẽ của các quản đốc, giám đốc công ty biết được trong một tháng, giữa tỉ lệ công nhân vi phạm đúng $k$ lần $\left( {1 \le k \le 2} \right)$ là ${t_k} = \frac{{{N_k}}}{N}$ (trong đó ${N_k}$ là số công nhân vi phạm đúng $k$ lần, $N$ là tổng số công nhân) và mức phạt mỗi lần vi phạm có mối liên hệ như sau:

Nếu mỗi công nhân nộp phạt $x$ nghìn đồng $\left( {60 \le x \le 300} \right)$ khi vi phạm lần thứ nhất và nộp phạt $x - 20$ nghìn đồng khi vi phạm lần thứ hai thì ${t_1} = \frac{{36}}{{x + 10}}$ và ${t_2} = \frac{4}{{x - 30}}$ (không có công nhân nào vi phạm quá hai lần).

Biết rằng $N$ không đổi và bằng $2\,400$. Tổng số tiền nộp phạt của các công nhân vi phạm trong một tháng ít nhất là bao nhiêu triệu đồng? (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Trong một công viên có một hồ nước và một đường đi lát gạch hoa. Thiết lập hệ trục $Oxy$ như hình vẽ dưới, kiến trúc sư thấy rằng bờ hồ có thể coi như một nhánh của đồ thị hàm số $y = \frac{{2x + 1}}{{x - 1}}$ và đường đi khi đó ứng với đường thẳng $\left( d \right):y = - x + 4$. Để đảm bảo ánh sáng, kiến trúc sư muốn đặt 2 cột đèn trên bờ hồ và 2 cột đèn trên đường đi sao cho 4 cột đèn này tạo thành một hình vuông. Tính khoảng cách giữa hai cột đèn trên bờ hồ (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).