Đề ôn luyện Toán theo Chủ đề 1. Phương trình và bất phương trình (Đề số 1)

Ta có $\sin x = \sin \frac{\pi }{6} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}$.

Vì $x \in \left[ {0;\pi } \right] \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6}\\x = \frac{{5\pi }}{6}\end{array} \right. \Rightarrow \frac{\pi }{6} + \frac{{5\pi }}{6} = \pi$. Chọn B.

Phương trình $\sin \left( {2024x - \frac{\pi }{{2055}}} \right) - m = 2026$$\Leftrightarrow \sin \left( {2024x - \frac{\pi }{{2055}}} \right) = m + 2026$.

Nên phương trình có nghiệm khi và chỉ khi $- 1 \le m + 2026 \le 1 \Leftrightarrow - 2027 \le m \le - 2025$.

Vậy có $3$ số nguyên $m$ thỏa mãn. Chọn C.

Ta có $\sin \left( {2x - \frac{{3\pi }}{4}} \right) = \cos \left( {\frac{\pi }{4} - x} \right)$$\Leftrightarrow \sin \left( {2x - \frac{{3\pi }}{4}} \right) = \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)$

$\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{2x - \frac{{3\pi }}{4} = x + \frac{\pi }{4} + k2\pi }\\{2x - \frac{{3\pi }}{4} = \frac{{3\pi }}{4} - x + k2\pi }\end{array}} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$$\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = \pi + k2\pi }\\{x = \frac{\pi }{2} + k\frac{{2\pi }}{3}}\end{array}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right.$.

Vì${\rm{ }}x \in \left( {0\,;\,2\pi } \right){\rm{ n\^e n }}x \in \left\{ {\pi \,;\,\frac{\pi }{2};\,\frac{{7\pi }}{6};\frac{{11\pi }}{6}} \right\}$.

Vậy phương trình có bốn nghiệm thuộc khoảng $\left( {0\,;\,2\pi } \right)$. Chọn B.

Ta có $\sin x + \sin 2x = 0 \Leftrightarrow \sin 2x = - \sin x \Leftrightarrow \sin 2x = \sin \left( { - x} \right)$

$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = - x + k2\pi \\2x = \pi + x + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{k2\pi }}{3}\\x = \pi + k2\pi \end{array} \right.,\,k \in \mathbb{Z}.$$

Trên đoạn $\left[ {0\,;\,2\pi } \right]$ phương trình có các nghiệm $0,\,\frac{{2\pi }}{3},\,\frac{{4\pi }}{3},\,2\pi ,\,\pi$.

Suy ra tổng các nghiệm là $5\pi .$ Chọn B.

Điều kiện $\left\{ \begin{array}{l}0 < x \ne 1\\x > \frac{6}{7}\end{array} \right. \Leftrightarrow \frac{6}{7} < x \ne 1\,\,\left( * \right)$.

Phương trình $\left( {2{x^2} - 5x + 2} \right)\left[ {{{\log }_x}\left( {7x - 6} \right) - 2} \right] = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2{x^2} - 5x + 2 = 0\,\\{\log _x}\left( {7x - 6} \right) - 2 = 0\end{array} \right.\,$.

+ Phương trình $2{x^2} - 5x + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = \frac{1}{2}\end{array} \right.$. Kết hợp với điều kiện $\left( * \right) \Rightarrow x = 2$.

+ Phương trình ${\log _x}\left( {7x - 6} \right) - 2 = 0 \Leftrightarrow 7x - 6 = {x^2} \Leftrightarrow {x^2} - 7x + 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 6\end{array} \right.$.

Kết hợp với điều kiện $\left( * \right) \Rightarrow x = 6$.

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm $x = 2;\,\,x = 6$ suy ra tổng các nghiệm bằng $8$. Chọn C.

Ta có ${5^{x - 1}} \ge {5^{{x^2} - x - 9}} \Leftrightarrow x - 1 \ge {x^2} - x - 9 \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 8 \le 0 \Leftrightarrow - 2 \le x \le 4$.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $\left[ { - 2;4} \right]$. Chọn A.

Ta có ${2^x} + {2^{x + 1}} \le {3^x} + {3^{x - 1}} \Leftrightarrow {2^x} + 2 \cdot {2^x} \le {3^x} + \frac{1}{3}{3^x} \Leftrightarrow 3 \cdot {2^x} \le \frac{4}{3} \cdot {3^x}$

$\Leftrightarrow \frac{{{2^x}}}{{{3^x}}} \le \frac{4}{9} \Leftrightarrow {\left( {\frac{2}{3}} \right)^x} \le {\left( {\frac{2}{3}} \right)^2} \Rightarrow x \ge 2$.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $\left[ {2; + \infty } \right)$. Chọn D.

Điều kiện $4 - 2x > 0$$\Leftrightarrow x < 2$.

Ta có ${\log _8}\left( {4 - 2x} \right) \ge 2 \Leftrightarrow 4 - 2x \ge {8^2} \Leftrightarrow 4 - 2x \ge 64 \Leftrightarrow 2x \le - 60 \Leftrightarrow x \le - 30$.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $\left( { - \infty ; - 30} \right]$. Chọn C.

Điều kiện xác định của phương trình: $x \ne \frac{\pi }{2} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Ta có $\tan x = \sqrt 3 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{3} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}$.

Vì $x \in \left[ {0;2\pi } \right] \Rightarrow x \in \left\{ {\frac{\pi }{3};\frac{{4\pi }}{3}} \right\}$.

Đáp án: a) Đúng, b) Đúng, c) Sai, d) Đúng.

Ta có $2\sin \left( {3x + \frac{\pi }{3}} \right) + \sqrt 3 = 0$$\Leftrightarrow \sin \left( {3x + \frac{\pi }{3}} \right) = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}$

$\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{3x + \frac{\pi }{3} = - \frac{\pi }{3} + k2\pi }\\{3x + \frac{\pi }{3} = \frac{{4\pi }}{3} + k2\pi }\end{array}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right.$$\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{3x = - \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi }\\{3x = \pi + k2\pi }\end{array}} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$$\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = - \frac{{2\pi }}{9} + k\frac{{2\pi }}{3}}\\{x = \frac{\pi }{3} + k\frac{{2\pi }}{3}}\end{array}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right.$.

Dựa vào công thức nghiệm, ta có nghiệm âm lớn nhất bằng $- \frac{{2\pi }}{9}.$

Vì $x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)$ nên $x = \frac{\pi }{3},x = \frac{{4\pi }}{9}$.

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm thuộc khoảng $\left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)$.

Tổng 2 nghiệm của phương trình trong khoảng $\left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)$ bằng $\frac{{7\pi }}{9}.$

Đáp án: a) Sai, b) Đúng, c) Sai, d) Đúng.

Tập xác định của phương trình là $\mathbb{R}$.

Ta có ${3^{{x^2} - 4x + 5}} = 9$$\Leftrightarrow {3^{{x^2} - 4x + 5}} = {3^2} \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 5 = 2 \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 3 = 0 \Leftrightarrow x \in \left\{ {1\,;\,3} \right\}$.

Số các tập con khác tập rỗng của tập nghiệm của phương trình đã cho là ${2^2} - 1 = 3$.

Đáp án: a) Đúng, b) Sai, c) Đúng, d) Sai.

a) Với $m = 2$, bất phương trình trở thành ${\log _{\frac{1}{2}}}\left( {2x - 2} \right) + {\log _2}\left( {4 - x} \right) \le 0$.

Điều kiện xác định: $\left\{ \begin{array}{l}2x - 2 > 0\\4 - x > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow 1 < x < 4$. Suy ra mệnh đề sai.

b) Với $m = 2$, bất phương trình trở thành ${\log _{\frac{1}{2}}}\left( {2x - 2} \right) + {\log _2}\left( {4 - x} \right) \le 0$.

Với $x = 2$, ta thấy: ${\log _{\frac{1}{2}}}\left( {2x - 2} \right) + {\log _2}\left( {4 - x} \right) = {\log _{\frac{1}{2}}}2 + {\log _2}2 = 0$.

Suy ra mệnh đề đúng.

c) Với $m = 5$, bất phương trình trở thành ${\log _{\frac{1}{2}}}\left( {2x - 5} \right) + {\log _2}\left( {4 - x} \right) \le 0$

$\Leftrightarrow {\log _2}\left( {4 - x} \right) \le {\log _2}\left( {2x - 5} \right)$ $\Leftrightarrow 0 < 4 - x \le 2x - 5$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x < 4\\3x \ge 9\end{array} \right. \Leftrightarrow 3 \le x < 4$.

Suy ra mệnh đề đúng.

d) ${\log _{\frac{1}{2}}}\left( {2x - m} \right) + {\log _2}\left( {4 - x} \right) \le 0$$\Leftrightarrow {\log _2}\left( {4 - x} \right) \le {\log _2}\left( {2x - m} \right)$

$\Leftrightarrow 0 < 4 - x \le 2x - m$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x < 4\\x \ge \frac{{m + 4}}{3}\end{array} \right.$.

Để bất phương trình có nghiệm thì $\frac{{m + 4}}{3} < 4 \Leftrightarrow m < 8$.

Mà $m$ nguyên dương nên $m \in \left\{ {1;\,2\,;\,3\,;\,4\,;\,5\,;\,6\,;\,7} \right\}$.

Vậy có $7$ giá trị nguyên dương của tham số $m$ thỏa mãn. Suy ra mệnh đề sai.

Đáp án: a) Sai, b) Đúng, c) Đúng, d) Sai.

Ta có $\sin \left( {{\rm{cos}}x} \right) = 0 \Leftrightarrow {\rm{cos}}x = k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Mà $-1\le \text{cos}x\le 1\Rightarrow -1\le kπ\le 1\Leftrightarrow \frac{-1}{π}\le k\le \frac{1}{π}\overset{k\in ℤ}{\rightarrow }k=0$.

$\Rightarrow \text{cos}x=0\Leftrightarrow x=\frac{π}{2}+mπ\ (m\in ℤ)\overset{x\in [1;\ 2021]}{\rightarrow }\frac{1}{π}-\frac{1}{2}\le m\le \frac{2021}{π}-\frac{1}{2}$

$\overset{m\in ℤ}{\rightarrow }m\in \{0\ ;\ 1\ ;\ 2\ ;\ ...\ ;\ 642\}$ $\Rightarrow$có $643$ nghiệm thỏa mãn bài toán.

Đáp án: $643$.

Điều kiện: $x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Phương trình $\tan x+\sqrt{3}=0\Leftrightarrow \tan x=-\sqrt{3}\Leftrightarrow \tan x=\tan (-\frac{π}{3})\Leftrightarrow x=-\frac{π}{3}+kπ,k\in ℤ$

$\Rightarrow \{\begin{matrix}a=1 \\ b=3\end{matrix}\Rightarrow 2a+3b=11$

Đáp án: $11$.

Ta có ${5^{2\sin x}} = \frac{1}{{25}} \Leftrightarrow {5^{2\sin x}} = {5^{ - 2}} \Leftrightarrow \sin x = - 1 \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi ,\,k \in \mathbb{Z}.$

Nghiệm thuộc đoạn $\left[ {0\,;\,100\pi } \right]$ nên ta có $0\, \le - \frac{\pi }{2} + k2\pi < 100\pi \Leftrightarrow 1 \le k \le 50,\,k \in \mathbb{Z}.$

Các nghiệm của phương trình thuộc đoạn $\left[ {0\,;\,100\pi } \right]$ là $\frac{{3\pi }}{2};\,\frac{{7\pi }}{2};\,\frac{{11\pi }}{2};\,...\,;\frac{{199\pi }}{2}\,$, các nghiệm này lập thành một cấp số cộng có ${u_1} = \frac{{3\pi }}{2};\,{u_{50}} = \frac{{199\pi }}{2}.\,$

Tổng các nghiệm của phương trình là $S = \frac{{50}}{2}\left( {\frac{{3\pi }}{2} + \frac{{199\pi }}{2}} \right) = 2525\pi \, \Rightarrow \,a + 2025 = 4550.$

Đáp án: $4550$.

Ta có ${2^{{x^2} - 6x - \frac{5}{2}}} = 16\sqrt 2$$\Leftrightarrow {\left( {\sqrt 2 } \right)^{2{x^2} - 12x - 5}} = {\left( {\sqrt 2 } \right)^9}$

$\Leftrightarrow 2{x^2} - 12x - 5 = 9 \Leftrightarrow 2{x^2} - 12x - 14 = 0 \Leftrightarrow x \in \left\{ { - 1;7} \right\}$.

Vậy $S = \left\{ { - 1;7} \right\}$. Tổng bình phương tất cả các phần tử của tập $S$ là ${\left( { - 1} \right)^2} + {7^2} = 50$.

Đáp án: $50$.

ĐKXĐ: $x > 0$.

Đặt $t = \log x$, phương trình đã cho trở thành$\,\,4 \cdot \,3{\,^{2 + 2t}} + 9 \cdot \,{4^{1 + t}} = 13 \cdot \,{6^{1 + t}}$

$\Leftrightarrow \,\,4 \cdot 9{\,^{1 + t}} + 9 \cdot {4^{1 + t}} = 13 \cdot \,{6^{1 + t}}$$\Leftrightarrow \,\,4 \cdot \,{\left( {\frac{9}{4}} \right)^{1 + t}} + 9 - 13 \cdot \,{\left( {\frac{6}{4}} \right)^{1 + t}} = 0$.

Đặt $u = {\left( {\frac{3}{2}} \right)^{t + 1}}$, $u > 0$, ta được $4{u^2} - 13u + 9 = 0$$\Leftrightarrow \,u = 1\,;\,u = \frac{9}{4}$ (nhận).

Với $u = 1 \Leftrightarrow \,{\left( {\frac{3}{2}} \right)^{t + 1}} = 1$$\Leftrightarrow \,\,t = - 1\,\, \Leftrightarrow \,\log \,x\, = - 1\, \Leftrightarrow x = \frac{1}{{10}}$ (thỏa mãn).

Với $u = \frac{9}{4} \Leftrightarrow {\left( {\frac{3}{2}} \right)^{t + 1}} = \frac{9}{4} \Leftrightarrow t\, = 1\,$$\Leftrightarrow \,\,\log x = 1 \Leftrightarrow x = 10$ (thỏa mãn).

Vậy tích hai nghiệm bằng $1$.

Đáp án: $1$.

Ta có $N\left( 1 \right) = A \cdot {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {k + 1} \right) \Leftrightarrow A \cdot {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {k + 1} \right) = 1000$ (1).

$N\left( 5 \right) = A \cdot {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {5k + 1} \right) \Leftrightarrow A \cdot {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {5k + 1} \right) = 2000$ (2).

Từ (1) và (2) ta có $\frac{{A \cdot {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {k + 1} \right)}}{{A \cdot {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {5k + 1} \right)}} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}{\left( {k + 1} \right)^2} = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {5k + 1} \right)$

$\Leftrightarrow {\left( {k + 1} \right)^2} = 5k + 1 \Leftrightarrow {k^2} - 3k = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}k = 3\\k = 0\,\,(l)\end{array} \right.$.

Thay $k = 3$ vào (1) ta có $A \cdot {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {3 + 1} \right) = 1000 \Leftrightarrow A = 500$.

Do đó $N\left( t \right) = 500 \cdot {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {3t + 1} \right)$.

Công ty bán được $3000$ chiếc điện thoại di động khi $N\left( t \right) = 3000$

$\Leftrightarrow 500 \cdot {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {3t + 1} \right) = 3000 \Leftrightarrow {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {3t + 1} \right) = 6 \Leftrightarrow 3t + 1 = {2^6} \Leftrightarrow t = 21$ (tháng).

Đáp án: $21$.