Đề ôn luyện Toán Chương 3. Cấp số cộng và cấp số nhân

Ta có số hạng tổng quát của cấp số nhân: ${u_n} = {u_1} \cdot {q^{n - 1}}$.

$\Rightarrow {u_3} = {u_1} \cdot {q^2} \Leftrightarrow 12 = 4 \cdot {u_1} \Leftrightarrow {u_1} = 3$. Chọn B.

Do ${x^2}\,;\,8\,;\,x$ theo thứ tự lập thành cấp số nhân nên nếu giả sử cấp số nhân này có công bội $q$ thì ta có: $8 = {x^2} \cdot q$ (1) và $x = 8 \cdot q$ (2).

Từ (2) suy ra $q = \frac{x}{8}$, thay vào (1) ta được $8 = {x^2} \cdot \frac{x}{8} \Leftrightarrow {x^3} = 64 \Leftrightarrow x = 4$. Chọn A.

a) Đúng. Ta có: ${S_1} = {1^2} - \frac{3}{2} \cdot 1 = - \frac{1}{2};{S_2} = {2^2} - \frac{3}{2} \cdot 2 = 1$.

b) Sai. Vì ${S_n}$ là tổng $n$ số hạng đầu của dãy số nên ta có ${S_1} = {u_1} = - \frac{1}{2};{S_2} = {u_1} + {u_2} = 1$.

Do đó, ${u_2} = {S_2} - {u_1} = 1 - \left( { - \frac{1}{2}} \right) = \frac{3}{2}$.

c) Đúng. Với $n \ge 2$ thì ${u_n} = {S_n} - {S_{n - 1}} = - \frac{5}{2} + 2n$.

Mà ${u_1} = - \frac{1}{2} = - \frac{5}{2} + 2 \cdot 1$ nên ${u_n} = - \frac{5}{2} + 2n$ với $n \in {\mathbb{N}^*}$.

d) Đúng. Ta có ${u_n} - {u_{n - 1}} = - \frac{5}{2} + 2n - \left[ { - \frac{5}{2} + 2\left( {n - 1} \right)} \right] = 2$ với $n \in {\mathbb{N}^*},n \ge 2$.

Vậy $\left( {{u_n}} \right)$ là một cấp số cộng có công sai là $2$.

a) Đúng. Gọi $q$ là công bội của cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$.

Theo giả thiết, ta có: ${u_4} = {u_1}{q^3} = \frac{2}{{27}}$ và ${u_3} = {u_1}{q^2}$; ${u_8} = {u_1}{q^7}$.

Khi đó ta có $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{{u_1}{q^3} = \frac{2}{{27}}}\\{{u_1}{q^2} = 243 \cdot {u_1}{q^7}}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{{u_1}{q^3} = \frac{2}{{27}}}\\{{q^5} = \frac{1}{{243}}}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{q = \frac{1}{3}}\\{{u_1} = 2}\end{array}} \right.$.

Vậy ${u_1} = 2$; ${u_2} = {u_1}q = 2 \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.

b) Đúng. Ta có ${u_3} = {u_1}{q^2} = 2 \cdot {\left( {\frac{1}{3}} \right)^2} = \frac{2}{9}$; ${u_5} = {u_1}{q^4} = 2 \cdot {\left( {\frac{1}{3}} \right)^4} = \frac{2}{{81}}$.

Do đó ${u_5} - {u_3} = - \frac{{16}}{{81}}$.

c) Sai. Số hạng tổng quát của cấp số nhân: ${u_n} = {u_1}{q^{n - 1}} = \frac{2}{{{3^{n - 1}}}}$.

Xét ${u_n} = \frac{2}{{6561}} \Rightarrow \frac{2}{{{3^{n - 1}}}} = \frac{2}{{6561}}$$\Rightarrow {3^{n - 1}} = 6561 = {3^8} \Rightarrow n = 9.$

Vậy $\frac{2}{{6561}}$ là số hạng thứ 9 của cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$.

d) Sai. Tổng chín số hạng đầu của cấp số nhân là:

${S_9} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^9}} \right)}}{{1 - q}} = \frac{{2 \cdot \left[ {1 - {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^9}} \right]}}{{1 - \frac{1}{3}}} \approx 2{,}99985 < 3$.

Gọi số hạng đầu, công sai của cấp số cộng lần lượt là ${u_1},d$.

Theo bài ra, ta có $\{\begin{matrix}{u}_{5}=-15 \\ {u}_{20}=60\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}{u}_{1}+4d=-15 \\ {u}_{1}+19d=60\end{matrix}$ $\Leftrightarrow \{\begin{matrix}{u}_{1}=-35 \\ d=5\end{matrix}$

a) Đúng. Cấp số cộng có công sai $d = 5$.

b) Đúng. Cấp số cộng có số hạng đầu ${u_1} = - 35$.

c) Sai. Số hạng thứ $15$ của cấp số cộng là ${u_{15}} = {u_1} + 14d = - 35 + 14 \cdot 5 = 35$.

d) Sai. Ta có số hạng tổng quát của cấp số cộng là ${u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d = 5n - 40$.

Ta có ${u_n} < 100$ nên $5n - 40 < 100 \Leftrightarrow n < 28$.

Do đó có $27$ số hạng là ${u_1},{u_2},...,{u_{27}}$ nhỏ hơn $100$.

a) Đúng. Ta có $\frac{{{u_n}}}{{{u_{n - 1}}}} = \frac{{{3^{\frac{n}{2} + 1}}}}{{{3^{\frac{{n - 1}}{2} + 1}}}} = {3^{\frac{n}{2} + 1 - \frac{{n - 1}}{2} - 1}} = {3^{\frac{1}{2}}} = \sqrt 3 ,\,\,\forall n \ge 2$.

Vậy dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ là cấp số nhân có công bội $q = \sqrt 3$ và số hạng đầu ${u_1} = {3^{\frac{1}{2} + 1}} = {3^{\frac{3}{2}}} = 3\sqrt 3$.

b) Sai. Ta có ${u_n} = 19683 \Leftrightarrow {3^{\frac{n}{2} + 1}} = {3^9} \Leftrightarrow \frac{n}{2} + 1 = 9 \Leftrightarrow n = 16.$

Khi đó, số 19683 là số hạng thứ 16 của dãy số $\left( {{u_n}} \right)$.

c) Sai. Tổng của 100 số hạng đầu tiên của dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ chính là tổng 100 số hạng đầu của cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$ và bằng ${S_{100}} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^{100}}} \right)}}{{1 - q}} = \frac{{3\sqrt 3 \left( {1 - {{\sqrt 3 }^{100}}} \right)}}{{1 - \sqrt 3 }} = \frac{{3\sqrt 3 \left( {{3^{50}} - 1} \right)\left( {\sqrt 3 + 1} \right)}}{2}$.

d) Đúng. Ta có ${u_2} = {u_1}q = 3\sqrt 3 \cdot \sqrt 3 = 9$, ${u_4} = {u_1}{q^3} = {u_1}q \cdot {q^2}$, …, ${u_{20}} = {u_1}{q^{19}} = {u_1}q \cdot {\left( {{q^2}} \right)^9}$.

Như vậy, dãy số ${u_2},{u_4},{u_6},....,{u_{20}}$ là cấp số nhân có số hạng đầu là ${u_2} = 9$, công bội ${q^2} = 3$ và có 10 số hạng nên $S = {u_2} + {u_4} + {u_6} + .... + {u_{20}} = \frac{{9\left( {{3^{10}} - 1} \right)}}{2}$.

Giả sử cấp số cộng đã cho là $\left( {{u_n}} \right)$ $\left( {1 \le n \le 7} \right)$ có công sai $d$.

Theo bài ra, ta có $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{{u_1} + {u_7} = 30}\\{{u_3} + {u_6} = 35}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{2{u_1} + 6d = 30}\\{2{u_1} + 7d = 35}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{{u_1} = 0}\\{d = 5.}\end{array}} \right.$

Vậy ${u_7} = {u_1} + 6d = 0 + 6 \cdot 5 = 30$.

Đáp án: 30.

Gọi ${u_n}$ là số tiền bạn An nợ ngân hàng sau $n$ năm.

Ta có ${u_n} = {u_{n - 1}} + {u_{n - 1}} \cdot 0{,}04 = {u_{n - 1}} \cdot 1{,}04\,\,\,\left( {\forall n \ge 2} \right)$.

Ta có dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ lập thành một cấp số nhân với số hạng đầu ${u_1} = 40 + 40 \cdot 0{,}04 = 41{,}6$ (triệu đồng) và công bội $q = 1{,}04$.

Vậy số tiền bạn An nợ ngân hàng sau 4 năm là:

${u_4} = {u_1} \cdot {q^3} = 41{,}6 \cdot 1,{04^3} = 46{,}8$ (triệu đồng).

Đáp án: 46,8.

Số chỗ ngồi của hàng đầu tiên (hàng thứ nhất) là 15 chỗ ngồi và mỗi hàng ghế sau có thêm $6$ chỗ so với hàng ghế trước do đó số chỗ ngồi của mỗi hàng lập thành một cấp số cộng với số hạng đầu ${u_1} = 15$ và công sai $d = 6$.

Tổng số chỗ ngồi trên khán đài là $S = 3456$.

Giả sử khán đài A có $n$ hàng ghế $\left( {n > 0} \right)$, ta có ${S_n} = S = 3456$.

Mà ${S_n} = \frac{n}{2}\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right] = \frac{n}{2}\left[ {2 \cdot 15 + \left( {n - 1} \right) \cdot 6} \right] = n\left( {3n + 12} \right)$.

Khi đó,$n(3n+12)=3456\Leftrightarrow {n}^{2}+4n-1152\Leftrightarrow n=32hoặcn=-36(khôngthỏamãn)\$

Vậy khán đài A của sân vận động có $32$ hàng ghế.

Đáp án: 32.

Gọi ${S_1}$ là diện tích của mặt đáy tháp thì ${S_1} = 16\,{{\rm{m}}^{\rm{2}}}$.

${S_i}$ là diện tích mặt trên của tầng thứ $i\,\,\left( {1 \le i \le 10} \right)$.

Theo bài ra, ta nhận thấy $\left\{ {{S_i},1 \le i \le 10} \right\}$ lập thành một cấp số nhân với số hạng đầu ${S_1} = 16$ và công bội $q = \frac{1}{2}$.

Tổng diện tích mặt sàn của 10 tầng tháp là tổng của 10 số hạng đầu tiên của cấp số nhân trên và bằng ${T_{10}} = \frac{{{S_1}\left( {1 - {q^{10}}} \right)}}{{1 - q}} = \frac{{16 \cdot \left[ {1 - {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^{10}}} \right]}}{{1 - \frac{1}{2}}} = \frac{{1023}}{{32}}\,\,{\rm{(}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}{\rm{)}}$.

Diện tích của mỗi viên gạch là $30 \times 30 = 900\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}} = 0{,}09\,{{\rm{m}}^{\rm{2}}}$.

Ta thấy $\frac{{1023}}{{32}}:0{,}09 \approx 355{,}21$.

Vậy số lượng gạch cần dùng để lát hết toàn bộ nền nhà là 356 viên.

Đáp án: 356.

Số tiền du khách đặt cược trong mỗi lần chơi là một cấp số nhân có ${u_1} = 100\,000$ và công bội $q = 2$. Du khách thua trong $5$ lần chơi đầu tiên nên tổng số tiền thua là

${S_5} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_5} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {2^5}} \right)}}{{1 - 2}} = 3100000$đồng.

Số tiền mà du khách đã đặt cược trong lần thứ 6 là ${u_6} = {u_1} \cdot {q^5} = 3200000$ đồng.

Do số tiền đã nhận khi thắng bằng hai lần tiền đặt cược nên số tiền đã thắng ở lần chơi này là

$2 \cdot 3200000 - 3200000 = 3200000$ đồng.

Ta có $3200000 - 3100000 = 100000 > 0$ nên du khách thắng 100 nghìn đồng sau 6 lần chơi.

Đáp án: 100.

Gọi lương tháng thứ $n$ của người đó là ${A_n}$. Ta có${A_1} = 6$.

Lương tháng sau hơn tháng trước $0{,}2$ triệu đồng nên ta có $\left\{ {{A_n}} \right\}$ là một cấp số cộng với số hạng đầu ${A_1} = 6$ và công sai $d = 0{,}2$.

Số hạng tổng quát của dãy số là ${A_n} = {A_1} + \left( {n - 1} \right)d\,\,\,\,\left( {n > 1} \right)$.

Vậy tới tháng thứ 7, người đó nhận được lương là ${A_7} = {A_1} + 6d = 6 + 6 \cdot 0{,}2 = 7{,}2$ (triệu đồng).

Đáp án: 7,2.