Đề ôn luyện Toán Chương 1. Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số (đề số 2)

Đồ thị hàm số $y\, = \,f\left( x \right)$ đi xuống từ trái qua phải và nhận đường thẳng $x\, = \,1$ làm tiệm cận đứng.

Do đó, hàm số $y\, = \,f\left( x \right)$ nghịch biến trên khoảng $\left( { - \infty ;1} \right)$ và $\left( {1; + \infty } \right)$. Chọn C.

Dựa vào đồ thị ta có $f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 2\\x = 1\end{array} \right.$.

Ta có bảng biến thiên của hàm số $y = f\left( x \right)$:

Vậy hàm số $y = f\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( { - 2; + \infty } \right)$ và nghịch biến trên khoảng $\left( { - \infty ; - 2} \right)$.

Vậy phương án C sai. Chọn C.

Ta có $y' = - 3{x^2} + 6x = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x = 0}\\{x = 2}\end{array}} \right.$.

Hàm số đồng biến khi $y' > 0$$\Leftrightarrow 0 < x < 2$. Chọn D.

Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{1 + 2x}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{2x + 1}}{{x - 1}} = 2$.

Nên $y = 2$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. Chọn D.

Tập xác định: $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}$.

Phương trình đường tiệm cận xiên có dạng: $y = ax + b$.

Trong đó, $a = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{x^2} - 2x + 3}}{{{x^2} + x}} = 1$;

$b = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f\left( x \right) - ax} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\frac{{{x^2} - 2x + 3}}{{x + 1}} - x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ - 3x + 3}}{{x + 1}} = - 3$.

Ta cũng có $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{x} = 1;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {f\left( x \right) - x} \right] = - 3.$

Do đó, đồ thị hàm số có tiệm cận xiên là đường thẳng $y = x - 3.$ Chọn A.

Xét dáng hình của đồ thị, ta loại được hàm số $y = {x^2} - 4$ và $y = - {x^2} - 4$.

Do $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = - \infty$ nên ta loại hàm số $y = {x^3} - 4$ và nhận hàm số $y = - {x^3} + 3{x^2} - 4.$ Chọn A.

Tiệm cận ngang: $y = \frac{a}{c} = - 1$; tiệm cận đứng: $x = \frac{1}{c} = 1$.

Từ đây suy ra: $\left\{ \begin{array}{l}a = - 1\\c = 1\end{array} \right.$ mà đồ thị lại cắt trục hoành tại $x = 2$ nên $2a + b = 0$ hay $b = - 2a = 2.$

Vậy $S = a + b + c = - 1 + 2 + 1 = 2.$ Chọn C.

Đồ thị có tiệm cận đứng $x = - 2$. Suy ra $- \frac{2}{c} = - 2 \Leftrightarrow c = 1$.

Đồ thị có tiệm cận xiên đi qua hai điểm $\left( {0;1} \right)$ và $\left( { - 1;0} \right)$ nên có phương trình:

$\frac{x}{{ - 1}} + \frac{y}{1} = 1 \Leftrightarrow y = x + 1$.

Khi đó ta có:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{a{x^2} + bx + 1}}{{x\left( {x + 2} \right)}} = 1 \Leftrightarrow a = 1$;

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\frac{{{x^2} + bx + 1}}{{x + 2}} - x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\left( {b - 2} \right)x + 1}}{{x + 2}} = b - 2 = 1 \Leftrightarrow b = 3$.

Vậy $T = 2a + 3b - c = 2 + 9 - 1 = 10$. Chọn B.

a) Đúng. Có $f'\left( x \right) = \frac{1}{2} \cdot 2x + 1 - 6 \cdot \frac{1}{{x + 2}} = x + 1 - \frac{6}{{x + 2}}$.

b) Sai. Ta có

$f'\left( x \right) = 0 \Rightarrow x + 1 - \frac{6}{{x + 2}} = 0 \Rightarrow \frac{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right) - 6}}{{x + 2}} = 0 \Rightarrow {x^2} + 3x - 3 = 0 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = \frac{{ - 3 + \sqrt {21} }}{2}}\\{x = \frac{{ - 3 - \sqrt {21} }}{2}}\end{array}} \right.$.

Mà $x \in \left[ { - 1;2} \right]$ nên $x = \frac{{ - 3 + \sqrt {21} }}{2}$.

c) Đúng. Ta có $f\left( { - 1} \right) = \frac{1}{2} \cdot {\left( { - 1} \right)^2} + 1 - 6{\rm{ln}}\left( { - 1 + 2} \right) = \frac{{ - 1}}{2};$

$f\left( 2 \right) = \frac{1}{2} \cdot {2^2} + 2 - 6{\rm{ln}}\left( {2 + 2} \right) = 4 - 12{\rm{ln}}2$.

d) Sai. Có $f\left( {\frac{{ - 3 + \sqrt {21} }}{2}} \right) = \frac{1}{2}.{\left( {\frac{{ - 3 + \sqrt {21} }}{2}} \right)^2} + \left( {\frac{{ - 3 + \sqrt {21} }}{2}} \right) - 6{\rm{ln}}\left( {\frac{{ - 3 + \sqrt {21} }}{2} + 2} \right) \approx - 5{,}05$.

Mà $f\left( { - 1} \right) = \frac{{ - 1}}{2} = - 0{,}5;f\left( 2 \right) = 4 - 12{\rm{ln}}2 \approx - 4{,}32$.

a) Sai. Nếu $y$ là hàm số biểu thị cho chuyển động của hạt thì $y'$ là hàm vận tốc $v$.

b) Đúng. Ta có $y = {t^3} - 12t + 3 \Rightarrow v = y' = 3{t^2} - 12$.

c) Sai. Dựa vào hàm vận tốc $v\left( t \right) = 3{t^2} - 12$ thì hạt đi lên khi $v > 0$ và xuống khi $v < 0$.

Do đó, vật đi lên khi $t \in \left( {2; + \infty } \right)$ và đi xuống khi $t \in \left( {0;2} \right)$.

Vậy tại thời điểm $t = 1$ thì hạt đang chuyển động đi xuống.

d) Đúng. Từ $t = 0$ tới $t = 2$, vật chuyển động từ tọa độ $y = 3$ đến tọa độ $y = - 13$, tức là vật đi được quãng đường $16$ đơn vị độ dài, tương ứng 16 m.

Từ $t = 2$ tới $t = 3$, vật chuyển động từ tọa độ $y = - 13$ đến tọa độ $y = - 6$, tức là vật đi được quãng đường $7$ đơn vị độ dài, tương ứng 7 m.

Kết luận quãng đường vật di chuyển trong khoảng thời gian $0 \le t \le 3$ là $23$ m.

a) Đúng. Chi phí để $A$ sản xuất $10$ tấn sản phẩm trong một tháng là

$C\left( {10} \right) = 100 + 30 \cdot 10 = 400$ triệu đồng.

b) Sai. Số tiền $A$ thu được khi bán $10$ tấn sản phẩm cho $B$ là

$R\left( {10} \right) = 10 \cdot P\left( {10} \right) = 10 \cdot \left( {45 - 0{,}001 \cdot {{10}^2}} \right) = 449$ triệu đồng.

c) Đúng. Lợi nhuận mà $A$ thu được là:

$H\left( x \right) = R\left( x \right) - C\left( x \right) = xP\left( x \right) - C\left( x \right)$

$= 45x - 0{,}001{x^3} - \left( {100 + 30x} \right) = - 0{,}001{x^3} + 15x - 100$ (triệu đồng).

d) Đúng. Xét hàm số $H\left( x \right) = - 0{,}001{x^3} + 15x - 100$, $\left( {0 \le x \le 100} \right)$

Ta có: $H'\left( x \right) = - 0{,}003{x^2} + 15 = 0 \Leftrightarrow - 0{,}003{x^2} + 15 = 0 \Rightarrow x = 50\sqrt 2$ (chọn).

Khi đó: $H\left( 0 \right) = - 100$; $H\left( {50\sqrt 2 } \right) = 500\sqrt 2 - 100$; $H\left( {100} \right) = 400$.

Vậy $A$ bán cho $B$ khoảng $50\sqrt 2 \approx 70{,}7$ tấn sản phẩm mỗi tháng thì thu được lợi nhuận lớn nhất bằng $H\left( {50\sqrt 2 } \right) = 500\sqrt 2 - 100$ (triệu đồng).

a) Đúng. Có $AG = x \Rightarrow BG = 100 - x$ với $0 \le x \le 100$.

Xét tam giác $CBG$ vuông tại $B$ có $CG = \sqrt {C{B^2} + B{G^2}} = \sqrt {3600 + {{\left( {100 - x} \right)}^2}}$.

Khi $x = 20\,{\rm{km}} \Rightarrow CG = 100\,{\rm{km}}$.

b) Đúng. Chi phí tiền mắc điện là $f\left( x \right) = 3000x + 5000 \cdot \sqrt {3600 + {{\left( {100 - x} \right)}^2}}$

Khi $x = 20\,{\rm{km}} \Rightarrow CG = 100\,{\rm{km}}$ và tổng chi phí mắc điện là $T = f\left( {20} \right) = 560000\,{\rm{USD}}$.

c) Sai. Để chi phí mắc điện ít nhất thì $f\left( x \right)$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Ta có $f'\left( x \right) = 3000 - 5000\frac{{\left( {100 - x} \right)}}{{\sqrt {3600 + {{\left( {100 - x} \right)}^2}} }}$.

$\Rightarrow f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 3000 = 5000\frac{{\left( {100 - x} \right)}}{{\sqrt {3600 + {{\left( {100 - x} \right)}^2}} }} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 55\\x = 145\,\,{\rm{(loai)}}\end{array} \right.$.

Ta có $f\left( 0 \right) = 583\,095{,}1895\,\,{\rm{USD; }}f\left( {55} \right) = 540\,000\,\,{\rm{USD;}}\,f\left( {100} \right) = 600\,000\,\,{\rm{USD}}$.

Vậy chi phí mắc điện nhỏ nhất khi $x = 55\,{\rm{km}}$.

d) Đúng. Chi phí mắc điện nhỏ nhất là $f\left( {55} \right) = 540\,000\,\,{\rm{USD}}$.

Ta có $f\left( x \right) = \frac{1}{2}x - \sqrt {x + 1}$$\Rightarrow f'\left( x \right) = \frac{1}{2} - \frac{1}{{2\sqrt {x + 1} }} = \frac{{\sqrt {x + 1} - 1}}{{2\sqrt {x + 1} }}$.

$f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \sqrt {x + 1} = 1 \Leftrightarrow x = 0$.

Ta có $f\left( 0 \right) = - 1\,;\,f\left( 3 \right) = - \frac{1}{2}$ và hàm số $f\left( x \right)$ xác định và liên tục trên đoạn $\left[ {0;3} \right]$.

Vậy $M = - \frac{1}{2};\,m = - 1 \Rightarrow S = 2M - m = 2 \cdot \left( { - \frac{1}{2}} \right) + 1 = 0$.

Đáp án: 0.

Số điểm cực trị của hàm số đã cho là $1$. Vì dựa vào đồ thị của $f'\left( x \right)$ ta thấy đạo hàm $f'\left( x \right)$ đổi dấu một lần từ âm sang dương nên hàm số đã cho có một cực trị (một cực tiểu).

Đáp án: 1.

Ta có $f\left( x \right) = 5x - 1 + \frac{8}{{x - 1}}$ nên đồ thị hàm số nhận hai đường thẳng $x = 1$ và $y = 5x - 1$ tương ứng là tiệm cận đứng và tiệm cận xiên. Suy ra $a = 1,\,\,b = 4 \Rightarrow C = 1 + 3 \cdot 4 = 13$.

Đáp án: 13.

Tổng khối lượng của NaOH sau khi trộn $x$(ml) là: $25 \cdot 100 + 9x = 2500 + 9x$ (mg).

Tổng thể tích của dung dịch sau khi trộn là: $25 + x$$\Rightarrow C\left( x \right) = \frac{{2500 + 9x}}{{25 + x}}$ với $x \ge 0$.

Tập xác định là $D = \left[ {0; + \infty } \right)$ có $C'\left( x \right) = \frac{{9 \cdot \left( {25 + x} \right) - (2500 + 9x)}}{{{{\left( {25 + x} \right)}^2}}} = \frac{{ - 2275}}{{{{\left( {25 + x} \right)}^2}}} < 0,\forall x \in D$.

Lại có $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\frac{{2500 + 9x}}{{25 + x}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\frac{{2500}}{x} + 9}}{{\frac{{25}}{x} + 1}} = 9$.

Do đó nồng độ NaOH luôn giảm nhưng luôn lớn hơn $9$mg/ml.

Đáp án: 9.

Điều kiện: $x \in \left[ {0;\,15} \right]$ (vì độ giảm huyết áp không thể là số âm).

Có .

$G\left( 0 \right) = 0;\,G\left( {10} \right) = \frac{{35}}{2};\,G\left( {15} \right) = 0$.

Vậy huyết áp bệnh nhân giảm nhiều nhất khi tiêm cho bệnh nhân liều $x = 10$ miligam.

Đáp án: 10.

Gọi hình chữ nhật cần tính diện tích là $MNPQ$ có $OP = x$$\left( {0 < x < 4} \right)$, $ON = 4$.

Khi đó diện tích của hình chữ nhật $MNPQ$ là: $S = MN \cdot NP$$= 2x\sqrt {16 - {x^2}}$.

Xét hàm số $f\left( x \right) = 2x\sqrt {16 - {x^2}}$trên $\left( {0;\,4} \right)$.

Ta có $f'\left( x \right) = 2\sqrt {16 - {x^2}} - \frac{{2{x^2}}}{{\sqrt {16 - {x^2}} }}$$= \frac{{ - 4{x^2} + 32}}{{\sqrt {16 - {x^2}} }}$; $f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\sqrt 2 \in \left( {0;\,4} \right)\\x = - 2\sqrt 2 \notin \left( {0;\,4} \right)\end{array} \right.$.

Bảng biến thiên:

Ta có $\mathop {\max }\limits_{\left( {0;\,4} \right)} f\left( x \right) = f\left( {2\sqrt 2 } \right) = 16$.

Vậy diện tích lớn nhất của hình chữ nhật có thể cắt được là $16\,{\rm{(d}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}{\rm{)}}$.

Đáp án: 16.