Đề luyện thi Toán vào lớp 10 Hà Nội 2026 có đáp án - Đề 5

Từ bảng tần số ghép nhóm, nhóm chiều cao $[170;180)$ có tần số là 8.

Tần số tương đối của nhóm này được tính bằng: $\frac{8}{{40}} = 0{,}2 = 20\% .$

Vậy, tần số ghép nhóm của nhóm $[170;180)$ là 8, và tần số tương đối của nhóm này là 20%.

Xác suất của biến cố B"Hai viên xúc xắc đều ra số chẵn":

Khi gieo hai viên xúc xắc, thì không gian mẫu của phép thử là 36 cặp sô (1,1); (1,2), (1,3), …..

( 1,6), ( 2,1), ( 2,2),……(6,6)

Các số chẵn trên một viên xúc xắc là: 2, 4, 6.

Do đó, hai viên xúc xắc đều ra số chẵn có các cặp (x, y) là:

$(2{,}2),(2{,}4),(2{,}6),(4{,}2),(4{,}4),(4{,}6),(6{,}2),(6{,}4),(6{,}6).$

Có 9 kết quả thỏa mãn điều kiện này, do đó xác suất của biến cố B là:

$P(B) = \frac{9}{{36}} = \frac{1}{4}.$

Thay $x = 1$ (thoả mãn) vào biểu thức $A$, ta có: $A = \frac{{\sqrt 1 - 2}}{{\sqrt 1 + 9}} = \frac{{1 - 2}}{{1 + 9}} = \frac{{ - 1}}{{10}}$

Vậy $A = \frac{{ - 1}}{{10}}$ tại $x = 1$.

$B = \frac{{3\sqrt x - 6}}{{x - 2\sqrt x }} + \frac{{\sqrt x - 3}}{{\sqrt x }} - \frac{1}{{2 - \sqrt x }}$ với $x > 0$, $x \ne 4$

$B = \frac{{3\left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}} + \frac{{\sqrt x - 3}}{{\sqrt x }} + \frac{1}{{\sqrt x - 2}}$

$B = \frac{3}{{\sqrt x }} + \frac{{\sqrt x - 3}}{{\sqrt x }} + \frac{1}{{\sqrt x - 2}}$

$B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x }} + \frac{1}{{\sqrt x - 2}}$

$B = 1 + \frac{1}{{\sqrt x - 2}}$

$B = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x - 2}}$

$P = A.B = \frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 9}} \cdot \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x - 2}} = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 9}}$

$P < \frac{1}{2}$

$\frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 9}} < \frac{1}{2}$

$\frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 9}} - \frac{1}{2} < 0$

$\frac{{2\left( {\sqrt x - 1} \right) - \left( {\sqrt x + 9} \right)}}{{2\left( {\sqrt x + 9} \right)}} < 0$

$\frac{{2\sqrt x - 2 - \sqrt x - 9}}{{2\left( {\sqrt x + 9} \right)}} < 0.$

$\frac{{\sqrt x - 11}}{{2\left( {\sqrt x + 9} \right)}} < 0$

Giá trị phân thức nhỏ hơn 0 khi tử và mẫu trái dấu

Với mọi $x$ thoả mãn điều kiện, ta có: mẫu = $2\left( {\sqrt x + 9} \right) > 0$

Nên $\sqrt x - 11 < 0$

$\begin{array}{l}\sqrt x < 11\\x < 121\end{array}$

Kết hợp điều kiện xác định : $\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\x \ne 4\\x < 121\end{array} \right.$ ta được $\left\{ \begin{array}{l}0 < x < 121\\x \ne 4\end{array} \right.$

Mà $x$ là số nguyên lớn nhất nên $x = 120$ (thoả mãn)

Vậy $x = 120$ thỏa mãn bài toán.

Gọi $x,y$ (đồng) lần lượt là giá niêm yết của món hàng $A$ và món hàng $B$.

Điều kiện: $x,y > 0$

Mặt hàng $A$ giảm giá $20\%$ so với giá niêm yết nên giá phải trả cho 1 món hàng A là

$x - 20\% x = x\left( {1 - 20\% } \right)$ ( đồng)

mặt hàng $B$ giảm giá là $15\%$ so với giá niêm yết nên giá phải trả cho 1 món hàng A là

$y - 15\% y = y\left( {1 - 15\% } \right)$ ( đồng)

Mặt hàng $A$ giảm giá $20\%$ và mặt hàng $B$ giảm giá là $15\%$ so với giá niêm yết và mua $2$ món hàng $A$ và $1$ món hàng $B$ phải trả tổng số tiền là $362{\rm{ }}000$ đồng

nên $2.x\left( {1 - 20\% } \right) + y\left( {1 - 15\% } \right) = 362\,000$

Trong khung giờ vàng thì món hàng $A$ được giảm giá $30\%$ nên giá phải trả cho 1 món hàng A là

$x - 30\% x = x\left( {1 - 30\% } \right)$ ( đồng)

Trong khung giờ vàng thì món hàng $B$ được giảm giá $25\%$ nên giá phải trả cho 1 món hàng A là

$y - 25\% y = y\left( {1 - 25\% } \right)$ ( đồng)

trong khung giờ vàng thì món hàng $A$ được giảm giá $30\%$ còn món hàng $B$ được giảm giá $25\%$

so với giá niêm yết và mua $3$ món hàng $A$ và $2$ món hàng $B$ trong khung giờ vàng nên chỉ trả số

tiền là $552{\rm{ }}000$ đồng

nên $3.x.\left( {1 - 30\% } \right) + 2.y.\left( {1 - 25\% } \right) = 552\,000$

ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}2.x\left( {1 - 20\% } \right) + y\left( {1 - 15\% } \right) = 362\,000\\3.x.\left( {1 - 30\% } \right) + 2.y.\left( {1 - 25\% } \right) = 552\,000\end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{l}1{,}6x + 0{,}85y = 362\,000\\2{,}1x + 1{,}5y = 552\,000\end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{l}x = 120\,000\\y = 200\,000\end{array} \right.$

Vậy giá niêm yết của món hàng $A$ là $120\,000$ đồng, của món hàng $B$ là $200\,000$ đồng.

Gọi số đèn lồng phải làm mỗi ngày theo kế hoạch là $x$ (đèn) ( $x \in {N^*}$)

thì Thời gian làm số đèn theo kế hoạch là $\frac{{1200}}{x}$ ( ngày)

Trong 12 ngày làm theo kế hoạch được $12x$ (đèn)

Số đèn còn lại là $1200 - 12x$(đèn)

Năng suất làm số đèn còn lại là $x + 20$(đèn)

Thời gian làm số đèn còn lại $\frac{{1200 - 12x}}{{x + 20}}$ ( ngày)

Vì nhóm thợ đã hoàn thành kế hoạch sớm 2 ngày

Ta có phương trình $\frac{{1200}}{x} = 12 + \frac{{1200 - 12x}}{{x + 20}} + 2$

Giải phương trình được $x = 60$(thỏa mãn), $x = - 200$( loại)

Vậy số đèn lồng phải làm mỗi ngày theo kế hoạch là $60$ (đèn)

phương trình $4{x^2} - 2x - 1 = 0$

Vì $\Delta = {b^2} - 4ac = {\left( { - 2} \right)^2} - 4.4.\left( { - 1} \right) = 20 > 0$

Nên phương trình có hai nghiệm phân biệt ${x_1},\,{x_2}$.

Theo định lí Vi-et, ta có: $\left\{ \begin{array}{l}S = {x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\\P = {x_1}.{x_2} = \frac{c}{a} = \frac{{ - 1}}{4}\end{array} \right.$

Ta có: $A = {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} - {x_1}\left( {{x_1} - \frac{1}{2}} \right)$

$\begin{array}{l}A = {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} - {x_1}\left( {{x_1} - \frac{1}{2}} \right)\\A = x_1^2 - 2{x_1}{x_2} + x_2^2 - {x_1}\left( {{x_1} - {x_1} - {x_2}} \right)\\A = x_1^2 - {x_1}{x_2} + x_2^2\\A = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 3{x_1}{x_2}\\A = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} - 3.\left( {\frac{{ - 1}}{4}} \right)\\A = 1\end{array}$

a) Thể tích đất sét làm viên gạch hình hộp chữ nhật chưa trừ bốn lỗ rỗng bên trong là:

$V = 8.8.20 = 1280\left( {c{m^3}} \right)$

Thể tích của 1 lỗ ống hình trụ là: ${V_1} = \pi {R^2}h = 3{,}14.{\left( {\frac{{2{,}5}}{2}} \right)^2}.20 = 98{,}125\left( {c{m^3}} \right)$

Mỗi viên gạch bên trong có bốn lỗ hình trụ bằng nhau

Nên thể tích đất sét để làm một viên gạch là: ${V_2} = V - 4.{V_1} = 1280 - 4.98{,}125 \approx 887{,}5\left( {c{m^3}} \right)$

b) Số viên gạch bác Ba cần mua là: $10000.\left( {1 + 2\% } \right) = 10200$ (viên gạch)

Số tiền bác Ba mua gạch để xây căn nhà là: $10{\rm{ }}200.{\rm{ }}1{\rm{ }}100 = 11{\rm{ }}220{\rm{ }}000$ (đồng)

a) Chứng minh tứ giác $BAEF$ nội tiếp đường tròn.

Xét tứ giác $BAEF$, ta có:

$\widehat {BFE} = 90^\circ$ ($EF \bot BC$ tại $F$)

$\widehat {BAE} = 90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa $\left( O \right)$)

Gọi I là trung điểm $BE$. Theo tính chất trung tuyến của tam giác vuông

Thì $IA = IE = IB = IF$suy ra 4 điểm $B,A,E,F$cùng thuộc đường tròn

$\Rightarrow$ Tứ giác $BAEF$ nội tiếp

b) Chứng minh DB là phân giác góc $ADF$.

Chứng minh tương tự tứ giác $CDEF$ nội tiếp

$\Rightarrow \widehat {EDF} = \widehat {BCA}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $EF$)

Mà $\widehat {BCA} = \widehat {ADB}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $AB$ của $\left( O \right)$

Nên $\widehat {EDF} = \widehat {ADB}$

$\Rightarrow DB$ là tia phân giác của góc $ADF$.

c) Chứng minh $DM.CA = CF.CO$.

Xét $\Delta CDE$ vuông tại $D$, ta có: $DM$ là đường trung tuyến ($M$ là trung điểm của $CE$)

$\Rightarrow DM = \frac{1}{2}CE$$\Rightarrow CE = 2DM$.

Xét $\Delta CEF$ và $\Delta CBA$, ta có:

$\widehat {ACB}$ là góc chung

$\widehat {CFE} = \widehat {CAB}$ $\left( { = 90^\circ } \right)$

$\left( {g - g} \right)$

$\Rightarrow \frac{{CE}}{{CB}} = \frac{{CF}}{{CA}}$ (tỉ số đồng dạng)

$\Rightarrow CE.CA = CF.CB$

Mà $CE = 2DM$ và $CB = 2CO$ ($BC$ là đường kính của $\left( O \right)$)

Nên $2DM.CA = CF.2CO$

$\Rightarrow DM.CA = CF.CO$.

Gọi số lần giảm giá $100{\rm{ 000}}$đồng thì thu được doanh thu lớn nhất là $x$ (lần)

$\Rightarrow$ Sau $x$ lần giảm thì giá của tour là:

$2{\rm{ }}000{\rm{ }}000 - 100{\rm{ }}000.x$ (đồng).

Vì cứ sau $1$ lần giảm thì có thêm $20$ người tham gia nên sau $x$ lần giảm thì có thêm $20.x$(người tham gia) nên tổng số người tham gia sau $x$ lần giảm giá là:

$150 + 20.x$ (người )

Tổng doanh thu sau $x$ lần giảm giá là:

$S = \left( {2{\rm{ }}000{\rm{ }}000 - 100{\rm{ }}000.x} \right).\left( {150 + 20.x} \right)$(đồng)

$S = 100{\rm{ }}000.10.\left( {20 - x} \right).\left( {15 + 2x} \right)$(đồng)

$S = 1{\rm{ 0}}00{\rm{ }}000.\left( { - 2{x^2} + 25x + 300} \right)$ (đồng)

Xét $\left( { - 2{x^2} + 25x + 300} \right) = - 2\left( {{x^2} - \frac{{25}}{2}x - 150} \right)$

$$\begin{array}{l} = - 2\left[ {\left( {{x^2} - 2.\frac{{25}}{4}.x + {{\left( {\frac{{25}}{4}} \right)}^2}} \right) - {{\left( {\frac{{25}}{4}} \right)}^2} - 150} \right]\\ = - 2\left[ {{{\left( {x - \frac{{25}}{4}} \right)}^2} - \frac{{3025}}{{16}}} \right]\end{array}$$

Vì : $- 2{\left( {x - \frac{{25}}{4}} \right)^2} + 2.\frac{{3025}}{{16}} \le \frac{{3025}}{8}$

$$\begin{array}{l} \Rightarrow 1{\rm{ 000 000}}{\rm{.}} - 2\left[ {{{\left( {x - \frac{{25}}{4}} \right)}^2} - \frac{{3025}}{{16}}} \right] \le 1{\rm{ 000 000}}.\frac{{3025}}{8}\\ \Rightarrow 1{\rm{ 000 000}}{\rm{.}} - \left[ {{{\left( {x - \frac{{15}}{4}} \right)}^2} - \frac{{3025}}{{16}}} \right] \le 378{\rm{ }}125{\rm{ 000}}\end{array}$$

$$\Rightarrow S \le 378{\rm{ }}12{\rm{5 000}}$$

$$\Rightarrow {S_{\max }} = 378{\rm{ }}12{\rm{5 000}}$$

Khi đó $x = \frac{{25}}{4} = 6{,}25$(lần)

Vậy: Giá tour khi đó: $2{\rm{ }}000{\rm{ }}000 - 100{\rm{ }}000.6{,}25 = 1{\rm{ 375 000}}$ (đồng).